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WEBCONFERENCIA 9 CALCULO DIFERENCIAL RETO 4 — Transcript

by william andres avila leyva · 18,636 words · 3,646 segments · language en · Watch on YouTube

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0:08Bueno, muy buenas tardes para todos.
0:10Eh.
0:12Me vuelvo a presentar.
0:14O el saludarlos nuevamente. Mi nombre es
0:17William Andrés Ávila Leiva, director de
0:19apoyo del curso de cálculo diferencial.
0:23Eh, el día de hoy vamos a desarrollar la
0:25webconferencia número nueve, eh,
0:28relacionada al reto cuatro,
0:29específicamente con las temáticas de
0:32ecuación implícita y derivadas de orden
0:34superior, que son las que siguen en el
0:36orden de las temáticas que veníamos
0:38trabajando en las webconferencias.
0:40Anteriormente, eh, trabajaron ya con la
0:43derivada, con los principios generales
0:45de la derivada y, pues, el manejo básico
0:49que tienen esta, bueno, las funciones
0:51con relación a la derivación. Entonces,
0:53el día de hoy, pues, vamos a dar
0:55continuación y articulándolo
0:58con las estructuras que las que se van a
1:00encontrar en el reto cuatro, que, pues,
1:02es lo que, lo que, digamos, más nos
1:05interesa en este caso.
1:07Bueno.
1:08[carraspeo]
1:09Eh, ya me presenté, entonces, el día de
1:12hoy vamos a contar con el apoyo de, eh,
1:15cuatro compañeros, el profesor Elber
1:17Rincón, eh, el profesor José Joaquín, la
1:21profesora Lilian Cristina y la profesora
1:24Maica Irina.
1:25Que nos estarán acompañando en el chat
1:28dando respuestas a estas preguntas o
1:30dudas emergentes, eh, que vayan, eh,
1:34surgiendo en el, en el transcurso de la
1:36webconferencia. Bueno.
1:38[suspiro]
1:39Bueno, eh, por favor, me confirman si ya
1:41están observando la, la presentación,
1:44mis profes, por favor.
1:47Sí, señor, es correcto, se visualiza.
1:50Muchísimas gracias.
1:52Bueno, entonces, eh, antes de empezar a
1:56meternos con, con el contenido
1:58específico, hay que hablar sobre normas
2:01eh, que siempre debemos tener en cuenta
2:03para el desarrollo de estas
2:04conferencias. Eh, el chat es para hacer
2:07preguntas si y solo si o específicamente
2:12de los temas que estamos trabajando. Si
2:14llega a surgir alguna pregunta de un
2:17tema anterior o de un tema a tratar, ya
2:20lo podríamos tocar eh, a manera personal
2:23con la con por medio del Teams o con los
2:25respectivos tutores. Sin embargo, las
2:28preguntas que se hagan deben ser siempre
2:30sobre eh, las temáticas que se están
2:33trabajando ahora. No se deben tratar
2:36otros temas, no se debe compartir
2:38información personal, no se debe hablar
2:41sobre eh, otros desarrollos que no sean
2:44los que estamos trabajando para este
2:46reto número cuatro, ¿bueno?
2:49De igual manera, es importante preguntar
2:51con respeto, utilizar palabras
2:53adecuadas, ya que eh, este diálogo entre
2:57tutores eh, estudiantes eh, debe ser
3:01ameno y pues para ahora para ahora para
3:04una webconferencia, pues debe ser eh, lo
3:07más
3:08respetuoso posible.
3:10Eh, de igual forma también, no hay que
3:13revelar información pues también con
3:16relación a los grupos, ya que pues
3:18sabemos que pertenecemos a algunos
3:20grupos y algunas eh, digamos a partes de
3:23información es importante tenerla eh,
3:27individualizada. Bueno.
3:29¿En qué nos vamos a basar el día de hoy?
3:32En la derivación implícita y la
3:34derivación de orden superior.
3:36¿Qué vamos a hacer en la derivación
3:38implícita? Entonces, vamos a derivar
3:40relaciones entre variables mediante
3:42reglas de la cadena y producto que ahora
3:44los vamos a amplificar eh, a verlos pues
3:46de manera más detallada. Pero vamos a
3:49verificar un punto, vamos a calcular una
3:51pendiente y a construir a partir de
3:53estos elementos que calculamos una recta
3:55tangente, ya que estos son los puntos
3:58que básicamente está solicitando uno de
4:01los ejercicios
4:03de eh cada uno de estos escenarios,
4:05específicamente pues de del reto cuatro,
4:08¿no? Y también vamos a trabajar con las
4:10derivadas de orden superior, las cuales
4:12pues también las vamos a tratar de
4:14contextualizar hacia un ejercicio o
4:17hacia unos ejercicios que nosotros vamos
4:19a trabajar en el reto número cuatro,
4:21¿bueno?
4:23Eh bueno, entonces,
4:26si voy de pronto muy rápido, me indican.
4:28[risas]
4:28A veces eh me me conecto mucho con la
4:32temática y y y lo dicto las cosas como
4:36muy rápido, entonces es bueno que si me
4:37estoy pasando un poquito de velocidad,
4:39por favor, me indiquen.
4:40Entonces, inicialmente vamos a hablar
4:43sobre una de las cosas que más se va a
4:45utilizar en la derivada implícita y s-
4:49la regla de la cadena.
4:51¿Y a qué hace referencia la regla de la
4:52cadena? Sabemos que dependiendo de las
4:54funciones, es así mismo su aplicación,
4:56¿no? Por ahora, como nosotros estamos
4:58trabajando con funciones algebraicas,
5:01entonces, ¿en qué se basa la regla de la
5:03cadena en las funciones algebraicas?
5:05Depende mucho del exponente que nosotros
5:07estamos trabajando.
5:09Entonces, por ejemplo, en este caso, si
5:11nuestro exponente es cuatro, sabemos que
5:13el principio fundamental de la derivada
5:15¿qué me dice? Que bajo el exponente a
5:17multiplicar y resto uno. Sin embargo,
5:20pues para la derivada implícita, pues ya
5:23viene un proceso un poquito diferente a
5:26lo que nosotros, bueno, el concepto que
5:27nos construyeron de derivación básica,
5:30que fue lo que vieron en la
5:31webconferencia pasada.
5:32Entonces, ¿qué nos están diciendo aquí
5:34con la regla de la cadena? Que hacemos
5:36nuestra primera derivada externa y
5:38multiplicamos
5:40por la derivada interna.
5:42¿Cuál es la derivada de 3x? Pues es
5:45tres, ¿verdad? Porque la derivada de x
5:48pues es uno y la derivada de un término
5:50independiente que sería el el más uno,
5:53la derivada de un término constante
5:55independiente es cero. Entonces,
5:57multiplicamos por su derivada interna,
5:59esto sería tres.
6:01Algo
6:03algo similar es lo que vamos hacer con
6:06la derivada implícita, pero ahora vamos
6:08a denotar o a demostrar los elementos
6:11adicionales que llevan eh este concepto,
6:15¿bueno?
6:16Entonces, aquí tenemos dos formas de
6:19explicar esta relación. Pues la relación
6:21explícita es cuando nosotros derivamos
6:24comúnmente, pero pues ya tenemos
6:27definido cuál es una variable
6:28dependiente y una variable
6:30independiente. ¿A qué le llamamos
6:32variable independiente? Pues a aquella
6:33que yo le puedo dar cualquier valor y la
6:36variable dependiente pues es la que
6:37depende de esa variable independiente,
6:39¿no? Un poquito trabalenguas, pero pues
6:42entendible. Entonces, cuando nosotros
6:44derivamos con relación la variable X
6:49en la función [carraspeo] Y,
6:51esa es la forma tradicional en la que
6:53hemos venido trabajando y a eso le
6:55llamamos la forma explícita. Sin
6:57embargo, llamamos a una relación
6:59implícita cuando el proceso se realiza
7:02para ambas variables sin tener en cuenta
7:05de que una dependa de la otra.
7:07¿Sí? Para allanar el camino.
7:10Entonces, eso lo podemos ver reflejado
7:13de una manera un poco más eh detallada a
7:15continuación.
7:17Entonces, cuando derivamos decimos,
7:19cuando derivamos normalmente decimos que
7:21eh Y depende de X, ¿verdad? Entonces,
7:24cuando hacemos nuestro proceso de
7:25derivación normal y al al terminar de
7:29derivar la variable X, básicamente ya el
7:32proceso termina ahí. Ahora,
7:35en la derivación implícita agregamos
7:38agregamos este elemento llamado Y prima.
7:41¿Y a qué hace referencia ese Y prima? En
7:44la notación de derivada que establece
7:46Lagrange,
7:48establece que la prima hace referencia a
7:50la primera derivada. Si la colocamos
7:52sobre la denominación de una función,
7:55entonces, por ejemplo, si nosotros
7:58tenemos una función eh
8:01Ah, bueno, que estamos mostrando un
8:03ejemplo aunque no está completamente
8:05definido, decimos X a la 3 - 5 y si
8:07hallamos su derivada, su colita hacia
8:09arriba significa que esta es su primer
8:11derivada. Y esta es la notación que
8:13establece la gran para eh la primera
8:16derivada. Sin embargo, también está la
8:19notación de Leibniz, que habla sobre los
8:22diferenciales o la variación entre los
8:24diferenciales. Tenemos que la el
8:26diferencial de Y, que es nuestra función
8:29definida, porque el nombre de la función
8:31es Y,
8:32¿sí? Ese es el nombre que nosotros le
8:34estamos dando a la función. Entonces, el
8:36diferencial de la función dividido entre
8:39el diferencial de la variable que yo voy
8:42a derivar establece la derivada. ¿Sí?
8:45Esta es la estructura que nos está eh
8:49nos está compartiendo Leibniz y es la
8:51que más utilizamos para el resto de
8:53cálculos, por ejemplo, para el cálculo
8:55integral, para ecuaciones diferenciales,
8:57para cálculo multivariado, ¿sí? Eh sin
9:00embargo, sin embargo, por ejemplo, para
9:02este tipo de ejercicios eh rescatamos
9:05bastante la notación de Lagrange.
9:08Por ejemplo, aquí estamos definiendo
9:11eh una función que es Y al cuadrado.
9:14Y al cuadrado. Y entonces, nosotros
9:16necesitamos hallar la derivada de esa
9:19función. ¿Con relación a qué? A eh a de
9:23X. Entonces, si nosotros
9:26fuéramos a derivar solo con relación a
9:29X, aquí no hay variable X, por lo tanto,
9:33no nos, digamos, eh sería trataría como
9:35una constante y su derivada sería 0. Sin
9:38embargo, sin embargo, al hacer la
9:40derivada implícita, significa que no nos
9:43vamos a basar en que la variable a
9:45derivar sea específicamente X, sino que
9:48yo puedo derivar el Y al cuadrado como
9:50si fuera una variable independiente, una
9:52rama independiente. Entonces, yo hago o
9:55aplico el proceso o el principio general
9:57de la derivada que me dice, bajo el 2 a
9:59multiplicar y eh le resto 1 al
10:02exponente, ¿verdad? Entonces, me
10:04quedaría 2 Y de X, porque lo vamos a
10:06hacer con relación, pues, a la la en
10:08como lo estamos estableciendo acá. Y
10:10ahora, ¿qué me dice la derivada
10:12implícita? Que tengo que establecer como
10:15eh la la variable que se está tratando
10:18es X más Y, y yo he derivado Y, entonces
10:21tengo que dejarlo acá escrito de que se
10:24hizo una derivada implícita con relación
10:26a la variable Y, por eso se tiene que
10:28colocar una Y y una comita al lado para
10:31definir que he hecho una derivada
10:34implícita con relación a la variable Y,
10:36ya que la variable que se estaba con la
10:39que se está expresando la derivada en
10:40este caso es X. Bueno, aquí está como
10:44una estructura, como una forma una
10:46ecuación como para definirlo un poco más
10:48concretamente.
10:50Bueno,
10:51yo creo que con los ejemplos se va a a a
10:54entender un poco mejor,
10:55[risas]
10:56ya que esto de las las fórmulas, pues,
10:59de pronto puede ser un poco ambiguo,
11:00pero ahora que pasemos a los ejemplos,
11:03pues ya vamos a entender un poco mejor.
11:06[carraspeo]
11:06Bueno,
11:07entonces, acá nos están mostrando tres
11:09maneras de encontrarnos eh tres
11:13diferentes eh funciones y sus formas,
11:16pues, de derivarlas con relación a las
11:18derivadas implícitas.
11:19Eh digamos que aquí no es necesario
11:21pasar al tablero, yo ahora les tengo
11:23preparado también un tablero para
11:24explicarles el paso a paso de los
11:26ejercicios, pero pues acá, como son,
11:29digamos, de cierta manera sencillas, no
11:30es necesario. Sin embargo, pues vamos a
11:33observar acá que acá se aplica el
11:34principio de la derivada general. ¿Qué
11:36nos dice el principio de la derivada?
11:38Que bajamos el tres, que está de
11:40exponente, pasa a multiplicar y se le
11:43resta uno. Entonces, el tres multiplica
11:47el Y y se le resta uno al exponente, o
11:49sea, que nos queda dos. Y como acabamos
11:51de hacer una derivada implícita con
11:53relación a la variable Y, entonces
11:55debemos dejar de anotado que es Y prima
11:57por la primera derivada. ¿Listo? Así es
12:00como se debe expresar y así es como nos
12:02queda nuestra primera derivada implícita
12:04de un monomio, de un bueno, de una
12:06función que está más en términos de la
12:08variable de Y.
12:09Ahora, ¿qué pasa cuando nos encontramos
12:13un producto?
12:14Y ojo, no necesariamente tiene que ser
12:17un producto de Y con Y o de X con X.
12:20¿Qué pasa si nos encontramos la variable
12:22X y la variable Y? Recordemos que cuando
12:25hablamos de la derivada implícita, no
12:27estamos definiendo eh no estamos
12:30definiendo una sola variable. Estamos
12:32estableciendo que estamos dándole uso a
12:34las dos variables que componen la
12:36función. Entonces, en este caso, pues
12:38aplicamos la ley del producto, ¿sí
12:39recuerdan? ¿Qué nos dice la ley del
12:41producto? Nos dice que si yo tengo una
12:44función, a esta la podremos llamar
12:46primera, a esta la podemos llamar
12:48segunda, ¿verdad? Entonces, ¿qué nos
12:50dicen? Si yo requiero hallar yo tengo
12:53una función de una multiplicación de la
12:56primera por la segunda
12:59y quiero hallar su derivada. Entonces,
13:00me dicen que es derivada de la primera
13:03por la segunda sin derivar
13:05más la primera sin derivar por la
13:07segunda derivada. Ahí les dejo como este
13:09esquema que les puede facilitar un
13:11poquito el trabajo. Entonces, si a esto
13:13llamamos primera y a esto segunda, vamos
13:15a seguir este esquema. ¿Qué me dice la
13:17la primer el primer término? Derivada de
13:20la primera, entonces vamos a bajamos el
13:22dos a multiplicar y le restamos uno.
13:24¿Cuál es la derivada de X al cuadrado?
13:26Pues 2X, porque va el dos a a a
13:28multiplicar y se le resta uno. 2X, aquí
13:31lo tenemos. Por ¿qué nos dice? Por la
13:33segunda sin derivar, entonces paso el Y
13:35enterito como está. Más, ojo que aquí no
13:38colocamos Y prima, porque el Y no se ha
13:40derivado como no se derivó, paso tal
13:42cual. Más eh ¿qué nos dice el segundo
13:45término? La primera sin derivar, o sea,
13:47este X pasa tal cual como está aquí y y
13:51nos dicen que por ahí sí, por la segunda
13:54derivada. ¿Cuánto es la derivada de Y?
13:56La derivada de Y es uno, o sea, el el
13:59valor constante uno, pero como acabamos
14:02de hacer una derivada de una variable
14:05implícita, entonces por eso debemos
14:07colocar el Y prima. Y así nos quedaría
14:09la estructura de un producto. Entonces,
14:12¿qué pasa, mis queridos muchachos?
14:13Cuando nosotros nos encontramos una
14:15multiplicación entre dos variables, no
14:17es que yo solo le vaya a aplicar la
14:19derivada una. Cuando estemos haciendo
14:21derivación implícita, entonces debemos
14:24sacar una, por ejemplo, en este caso que
14:27sí es un producto, debemos aplicar la
14:29norma, la norma correcta, que en este
14:31caso pues es la derivada de un producto,
14:33¿no?
14:34Ahora, lo mismo se aplica para las
14:35funciones especiales, como las
14:37exponenciales, como las logarítmicas y
14:40en este caso las trigonométricas. Creo
14:42que para este tema,
14:44creo que para, creo, si no estoy mal,
14:46para este tema, solo nos vamos a
14:48encontrar con estas dos tipos de
14:49funciones, con algebraicas y
14:51trigonométricas. O sea, para los
14:52ejercicios que ustedes tienen planteados
14:54en en el reto.
14:55Entonces, exactamente lo mismo.
14:57Observen, si la variable que yo estoy
15:00trabajando es Y, pero la derivada me
15:02dice que eh va en con relación a la
15:05variable X, eso quiere decir que tenemos
15:06que hacer una derivación implícita.
15:09Ahora, la derivada funciona
15:10completamente igual. ¿Cuánto es la
15:12derivada de seno según la tabla de las
15:14derivadas que se ha compartido?
15:16Eh la derivada de seno pues es coseno.
15:19Recuerden que vuelve siempre y se
15:21reescribe la el mismo ángulo que está
15:24aquí adentro.
15:25Por regla de la cadena nos dice eso,
15:26¿no? Al sacar la derivada de seno se
15:29escribe coseno, se escribe exactamente
15:32el mismo ángulo y ahí sí se multiplica
15:35por eh en este caso, pues la Y prima,
15:38para establecer que se hizo una
15:40derivación implícita, ¿listo?
15:43Bueno.
15:44En este caso,
15:47eh recordarles, compañeritos, por favor,
15:50no compartir datos sensibles en el chat
15:53de la reunión.
15:55Bueno, muy importante.
15:57Listo. Entonces, eh teniendo esto en
16:01cuenta, por lo menos estos tres normas,
16:03que tengamos claridad con relación a
16:05esto, nos va a permitir ir avanzando en
16:07este proceso. Ahora,
16:10para empezar a implementar esto en
16:13aplicaciones o en funciones que son un
16:15poquito más complejas, pues debemos
16:17tener en cuenta lo que nos han explicado
16:19en la videoconferencia anterior con
16:21relación a las derivadas, o sea, las
16:23normas de derivación básicas, ¿bueno?
16:26Porque ahora que empiece a explicarlo,
16:27pues la idea es ir implementando e ir
16:29mostrándoles qué normas son las que se
16:31van utilizando, ¿bueno?
16:33Entonces, acá hay como una secuencia de
16:35lo que se debe tener en cuenta para
16:37desarrollar una derivada implícita eh
16:41con relación a una función.
16:43Uy, perdón, con relación a una función,
16:45¿bueno?
16:46Listo. Entonces, pasamos a nuestro
16:48primer ejemplo. Y este, pues también de
16:50pronto no es tan difícil en el hecho de
16:52que se puede observar aquí por encima
16:55cómo es una derivada despejando y cómo
16:58es una derivada implícita sin necesidad
17:00de despejar. En ambos casos, como
17:02ustedes pueden observar, llegamos a la
17:05al mismo resultado. Sin embargo, aquí,
17:09observen por favor a la izquierda, ¿qué
17:10fue lo primero que hicimos? Entonces,
17:13como lo que yo necesito es despejar la
17:15denominación de la función, que en este
17:17caso es Y. Entonces, empiezo observando
17:20lo que está más lejos de la Y. 3X al
17:22cuadrado. Este 3X al cuadrado, ¿qué está
17:25haciendo? Está sumando.
17:27Entonces, yo lo paso a restar. Y nos
17:29quedaría 2Y
17:32igual a 10
17:353X
17:38al cuadrado.
17:39Listo, perdonen la caligrafía, pero
17:41ahorita que pase el tablero ya utilizo
17:42la tablet gráfica.
17:44Bueno.
17:45Eh 2Y = 10 - 3X al cuadrado. Ahora, este
17:502 que está multiplicando, yo lo puedo
17:52pasar a dividir, ¿verdad? Entonces, si
17:54yo paso a dividir ese 2 aquí, quedaría
17:58dividido entre 2. Aquí quedaría dividido
18:00entre 2, y aquí quedaría dividido entre
18:022. 2 dividido entre 2, ¿cuánto es? 1,
18:05¿verdad?
18:0810 dividido entre 2, 5.
18:10Y 3 - 3/2, que quedaría acá. Entonces,
18:14ya tenemos despejado, ya tenemos
18:16despejado. Lo que nosotros debemos hacer
18:19ahora es encontrar la derivada de Y.
18:23Entonces, teniendo en cuenta lo que nos
18:25enseñaron en la webconferencia pasada,
18:28la derivada de Y hace referencia, pues,
18:31a derivar estos dos términos, pero ojo,
18:33con relación a X porque ya la variable Y
18:35no está, ya no está, entonces no hay
18:37necesidad de hacer una derivada
18:38implícita.
18:39Entonces, derivada de una constante que
18:41no tiene variable, sabemos que eso es
18:43cero.
18:45Menos,
18:46esto es una constante, 3/2.
18:49Entonces, eh no se ve afectada por la
18:51derivada, aquí debería ser -3/2. Sin
18:54embargo, ¿por qué cambia de aquí acá?
18:56Pues resulta que la derivada de X al
18:58cuadrado, este 2, recordemos que baja a
19:01multiplicar, entonces ¿qué nos quedaría?
19:035
19:053/2
19:07multiplicado por este 2 que baja a
19:09multiplicar porque estamos derivando la
19:11Ah, perdón, este 5 ya se nos convirtió
19:13en un cero.
19:15Eh X y su exponente es 1, o sea, no lo
19:18colocamos. Entonces, se va este 2 con
19:20este 2, dos que multiplica con dos que
19:22divide, y nos quedaría -3X,
19:25que es el resultado que tenemos acá.
19:27Entonces, este proceso, esta función, lo
19:29que hicimos ¿qué fue? Organizar la Y
19:32y después hacer el proceso de derivación
19:34que nos han venido explicando y que
19:36podemos empalmar en este caso.
19:38Aquí a la derecha no hemos hecho ese
19:40proceso, lo que hemos hecho es derivar
19:42implícitamente. Observemos, por favor,
19:44muy bien.
19:46Entonces, aplicamos la derivada común y
19:48corriente a ambos términos. Bueno, a a
19:51los tres porque aquí hay otro término al
19:53otro lado del igual. Entonces, este 2
19:56que está multiplicando eh está en
19:58exponente, perdón, baja a multiplicar, 3
20:01* 2 6, y el exponente quedaría 1.
20:04Ahora, en este segundo término, esta
20:05constante acompañante, sabemos que las
20:07constantes acompañantes de una variable
20:10no se ven afectadas por la derivada,
20:12siempre y cuando estén acompañadas de
20:13una variable, ¿no? Entonces, queda tal
20:16cual, pero la derivada de de Y ¿cuánto
20:18es? 1, o sea, derivada de una variable
20:20que tenga exponente 1 es 1.
20:23Y sabemos que colocamos el Y prima
20:25porque acabamos de hacer una derivada
20:27implícita con relación a la variable Y,
20:30¿sí? Porque la variable que estamos
20:31derivando es el en la denominación de la
20:33función es X. Entonces, tendríamos ya
20:37nuestra derivada. ¿Qué vamos a hacer?
20:39Despejar para poderlo organizar.
20:41Entonces, este 6X que está sumando lo
20:43paso a restar y este dos que está
20:46multiplicando lo paso a dividir o en su
20:48efecto es como si dividiéramos a ambos
20:50lados del igual entre dos.
20:52Dos dividido dos, uno. Seis dividido
20:54dos, tres. Y aquí quedaríamos con el
20:57mismo resultado. Entonces, observe, la
20:59derivación implícita eh digamos para
21:02ciertos procesos nos facilita y sin
21:06embargo, pues hay que hacer un algunos
21:08pasos adicionales o algunos pasos
21:10diferentes a lo que estamos de pronto
21:12trabajando con relación a la derivación
21:15común. Bueno.
21:17Eh mis profes, por el momento alguna
21:19duda que se haya eh
21:22que haya salido, surgido, que se
21:25vea de forma prolongada
21:28o constante.
21:34Profe, las preguntas solamente alrededor
21:37del tema de la infografía, pero ya les
21:39compartimos
21:41la información y y que se debe revisar
21:43desde la guía también la actividad
21:45propuesta. Pero las inquietudes han sido
21:47en torno a la infografía en inglés que
21:49se debe presentar en el reto.
21:51Ah bueno, muchísimas gracias por
21:52colaborar con eso mis profes.
21:54Bueno, entonces vamos a darle
21:56continuación al proceso.
21:58Eh
22:00bueno. Aquí ya nos metemos con una
22:03derivada que tiene exponentes un poco
22:06pues más grandecitos. Para ello eh voy a
22:11voy a pasar esto.
22:14Voy a empezar a presentarlos aquí.
22:17Se supone que
22:19que
22:20aquí.
22:21¿Ya ahí están observando el tablero?
22:28Sí profe, señor, adelante.
22:36Desincronizando la pantalla para que no
22:39la escritura ya no se me vea tan feíta.
22:42Bueno.
22:43Entonces, en nuestra derivación
22:45implícita con relación a un ejercicio
22:47que requiera
22:49bueno, que tenga más términos y que
22:51requiera eh un poco más de proceso,
22:54entonces se trata de la siguiente
22:56manera. Tendríamos 2x
23:00elevado a la 3
23:03más
23:043xy
23:06- y al cuadrado
23:09igual a 4.
23:12Bueno.
23:14Tendríamos entonces este triángulo
23:16izquierda y este punto derecha. Es una
23:19función que tiene eh ambas variables y
23:22lo que nosotros vamos a iniciar en ese
23:23proceso, o sea, a a realizar una
23:26derivada implícita con relación a las
23:27dos variables que que aparecen.
23:30Entonces, aquí vamos a distinguir esto
23:33que es nuestra función original con un
23:34recuadro para no de pronto confundirnos
23:37en lo que vamos a desarrollar a
23:39continuación.
23:40Entonces,
23:42vamos a empezar a a derivar cada
23:44término. Sabemos que la derivada de una
23:46suma es la suma de sus derivadas, es una
23:49propiedad eh de la derivación, entonces
23:52podemos derivar término por término y
23:54ninguno de ellos incide en el otro. ¿Qué
23:57quiere decir lo que acabo de decir? Pues
23:58que podemos derivar empezando derivando
24:00el primer término que es el que está
24:02acá. Entonces, lo mismo, aplicamos el
24:04principio general de la derivada que nos
24:06dice que este 3 lo vamos a multiplicar,
24:093 * 2 6.
24:11Le restamos uno al exponente, 3 - 1 2.
24:16Más, ojo, ojito,
24:18porque aquí nos encontramos con un
24:19producto.
24:21Aquí nos encontramos con un producto,
24:23¿verdad? O sea, que tenemos dos
24:24variables. Entonces, vamos a decir
24:28que este 3
24:30multiplica
24:32la derivada de este producto.
24:35Entonces, la X es el primero y Y es el
24:37segundo. Entonces, derivada de la
24:38primera X, sabemos que es 1, ¿verdad?
24:41Por el segundo sin derivar.
24:44Más la primera sin derivar por la
24:46derivada de la segunda. Sabemos que la
24:48derivada de Y es 1, pero como estamos
24:49haciendo un proceso de derivación
24:51implícita, sabemos que debemos colocar Y
24:54prima. O sea, que ya tenemos nuestro
24:58Ya tenemos nuestro primer Y prima.
25:04Listo. Bueno, se había ralentizado un
25:06poquito la pantalla, perdón.
25:09Bueno.
25:10Ahora, ya tendríamos la derivada de
25:12nuestro primer término, que es esta.
25:15Ya tendríamos la derivada de nuestro
25:16segundo término, que es esta.
25:19Que nos faltaría la derivada de nuestro
25:21tercer término, -Y al cuadrado.
25:23Entonces, ¿cómo se deriva esto? Menos.
25:26Lo mismo. El 2 que está como exponente
25:29va a multiplicar.
25:302Y, me quedaría con exponente 1 y
25:34debemos multiplicarlo por nuestra Y
25:35prima para establecer que se ha
25:38realizado una derivada implícita.
25:41Bueno.
25:42Ahora, para nosotros sacar nuestra Y
25:44prima, que es lo que nos interesa para
25:46establecer cuál es la derivada en sí de
25:49la función, lo que debemos iniciar a
25:51hacer, pues en este caso, es hacer una
25:53distribución simple de este de 3.
25:56Entonces, volvemos a escribir 6X al
25:57cuadrado. Y estos pasos, mis queridos
25:59estudiantes, son los que nos gustaría
26:02que ustedes expusieran en los videos
26:04cuando expliquen los ejercicios.
26:07Bueno, entonces,
26:083 por, bueno, 3 por 1, 3. Más por más,
26:12más.
26:143 X
26:17Y prima.
26:18Y finalmente el término que está
26:21aparte, que es -2Y
26:24por Y prima.
26:26Listo.
26:27Fácil, sencillo.
26:29Y entonces, ahora lo que nosotros
26:31debemos hacer, o sea, agrupar. Ah,
26:33sabemos que esto está igualado a cuatro,
26:35no debemos olvidar esto que es muy
26:36importante. Es una función, por tanto
26:39está igualado a otro término. Bueno.
26:41Entonces,
26:43a la derecha vamos a colocar los
26:45términos que no tienen Y prima, y a la
26:48izquierda nos vamos a quedar con los
26:50términos que sí tienen Y prima.
26:52Pues a la izquierda, 3X Y prima
26:56-2Y
26:57por Y prima.
26:59Y a la derecha, ojo que ese cuatro
27:01multiplicaría lo que haya a la derecha.
27:05Entonces sería cuatro
27:08cuatro por seis
27:12eh sí, sería seis X
27:17al cuadrado.
27:19Ah, perdón, perdón, perdón, perdón, y
27:21ponle tú un local.
27:24Este cuatro está positivo y este seis
27:27que está aquí, seis X al cuadrado, pues
27:29está sumando, pasaría a restar. Entonces
27:32X al cuadrado
27:34y qué otro término no tiene Y prima, o
27:36sea, sería este
27:38y este término, ¿verdad? Que sería -3
27:42Y.
27:43Listo.
27:44Ahora, observen, por favor, aquí a la
27:46izquierda, observen, por favor, aquí a
27:48la izquierda, esto es un término en
27:50común y este es un término en común.
27:53¿Eso a qué les suena?
27:54Que vamos a sacar factor común.
27:57Entonces, factor común Y prima de, si yo
27:59saco Y prima de este primer término,
28:02¿qué me queda?
28:03El 3X.
28:05Y si saco Y prima de este término, ¿qué
28:07me queda?
28:082Y.
28:10Eso es igual a cuatro -6 X al cuadrado
28:14-3Y.
28:16Ahora, finalmente, esto que está
28:18multiplicando
28:20esto que está multiplicando acá, lo
28:22podemos pasar a dividir.
28:23¿Qué nos queda? Y prima es igual a
28:26cuatro -6 X al cuadrado
28:29-3
28:32Y
28:34dividido entre
28:363 X menos 12.
28:47Bueno,
28:48vamos a a ponerlo de esta manera y
28:50quiero hacer una pregunta general para
28:52mis queridos estudiantes.
28:56Mis queridos estudiantes, vamos a ver si
28:58todos si todos están pendientes.
29:00Aquí he puesto un valor
29:03en la ecuación, en el desarrollo he
29:05colocado un valor que no debe ir, un
29:07valor que debió haber desaparecido.
29:11¿Qué valor es ese?
29:14Vamos a ver, lo podemos escribir ahí en
29:15el chat.
29:20Muy bien, el cuatro. ¿Y por qué? ¿Por
29:22qué no lo debió no debió haber escrito
29:24el cuatro en la continuación del
29:26ejercicio? ¿Quién me responde el por
29:28qué?
29:32Debe ser cero.
29:34Muy bien, porque la derivada, muy bien,
29:37porque el cuatro es una constante. Y
29:39cuando nosotros empezamos a realizar la
29:41derivada aquí, su derivada ¿cuánto debió
29:44ser?
29:48La derivada debió ser cero, cero.
29:52Y entonces el resto del del del
29:53ejercicio no lo explican. Perfecto, muy
29:56bien.
29:57Hay como unos cuatro ahí que están bien
29:59pendientes, los felicito.
30:01Bueno, entonces esto es una derivación
30:03implícita, ya nosotros hemos encontrado
30:05la derivada de esa función eh sin
30:07necesidad pues de despejarla, porque en
30:09algunos casos como este, por ejemplo, se
30:12convierte un poquito tedioso el proceso
30:14de despejar esa Y, y entonces nosotros
30:17podemos realizar la derivada implícita
30:20para que este proceso sea un poco más eh
30:23sencillo. Entonces, vamos ahora
30:27Permítanme un tico que les voy a pasar,
30:29hay un micrófono encendido de mis
30:31profes.
30:34Hay un micrófono encendido, creo que ya,
30:36lo apagué. Listo, perfecto. De igual
30:38manera aquí en la diapositiva les queda
30:40también el paso a paso. Eh, yo igual les
30:44voy también a colocar el tablero que
30:46estoy usando para que eh
30:48tengan como esos apuntes y esos
30:50desarrollos paso a paso que vamos a ir
30:52trabajando, ¿listo?
30:53Bueno, ahora
30:55tenemos una trigonométrica para los
30:57estudiantes que de pronto les tocó un
30:59ejercicio con trigonometría. Este es
31:01nuestro enunciado y voy a proceder a
31:04desarrollarlo en el tablero paso a paso,
31:05¿bueno?
31:09Entonces
31:13tenemos seno
31:17de Y al cuadrado
31:20más 2X
31:23igual a coseno
31:25de X menos Y.
31:28Entonces
31:30ojo ojito, ojo ojito aquí es muy
31:33importante tener en cuenta y tener
31:35claridad acerca de la regla de la
31:36cadena.
31:38Porque como vamos a hacer una derivada
31:39implícita, entonces vamos a estar
31:41derivando tanto la variable X como la la
31:44variable Y.
31:46Vamos a empezar término por término.
31:48Entonces vamos a iniciar con este
31:49término inicialmente.
31:51Derivada de seno ¿cuánto es? Coseno,
31:54¿verdad? Ah, bueno, vamos a colocar un
31:55recuadro como para
31:57distinguir que esta es nuestra nuestra
31:59función inicial.
32:01Y aquí vamos a empezar con el proceso de
32:03derivación.
32:04Entonces, ¿cuánto es la derivada de
32:06seno? Es coseno. Se escribe exactamente
32:09el mismo ángulo. Ojo, ojo, ojo con eso,
32:12no ir a confundir ese proceso. ¿Qué me
32:14dice la regla de la cadena? Que ahora se
32:16multiplico por la derivada de su ángulo
32:19interno, que la derivada de 2Y, de Y al
32:22cuadrado, perdón, sería 2Y.
32:26Y sabemos que como estamos haciendo una
32:27derivación implícita, pues tenemos que
32:30colocar Y prima, ¿listo? Aquí tendríamos
32:34apenas la derivada de este primer
32:36término.
32:37Más ahora la derivada de nuestro segundo
32:40término, derivada de 2x, sabemos que la
32:43derivada de x es 1.
32:45Entonces, 2 * 1, 2. Recuerden que las
32:48constantes acompañantes no se ven
32:49afectadas por la derivada.
32:52Y aquí,
32:53y aquí a la derecha, al otro lado del
32:55igual, aplicamos exactamente lo mismo.
32:58¿Cuánto es la derivada de coseno?
33:00Sabemos que la derivada de coseno es
33:02menos seno. Se reescribe siempre
33:05exactamente el mismo ángulo, chicos.
33:07Ojo, porque la mayoría de estudiantes
33:09siempre tienen problemas con eso.
33:11Ahora colocamos la derivada interna de
33:13su ángulo. ¿Cuánto es la derivada de x?
33:15Sabemos que la derivada de x es 1. Ojo,
33:18porque algunos estudiantes colocan 0.
33:21Menos
33:22eh la derivada de y que sería también 1,
33:25pero en este caso, como estamos haciendo
33:26una derivación implícita, entonces para
33:29nosotros sería y prima.
33:31Y aquí estaría, de cierta forma, eh la
33:35derivación implícita. Lo que debemos
33:37hacer ahora es organizarla, ¿no?
33:40Organizarla para poder llegar a ese y
33:43prima. ¿Y cómo lo organizamos? Bueno,
33:45pues sencillo. Inicialmente deben estar
33:47a ambos lados los términos que tengan y
33:49prima. Como por ejemplo, esto es un solo
33:52término, de acá acá.
33:54Y el término que y la parte del término
33:55que nos interesa es este que tiene y
33:57prima. ¿Se observa muy bien? Sin
33:59embargo, acá este término tiene relación
34:03tanto con el 1 como con el y prima.
34:05Entonces, debemos abrir este paréntesis.
34:08¿Cómo? Haciendo una distribución
34:09compuesta, este por este y este por
34:11este. Entonces, vamos a desarrollar. Lo
34:14de la izquierda por ahora, entonces, lo
34:15vamos a dejar igual.
34:17Coseno de y al cuadrado
34:21y
34:22prima
34:24más 2
34:25es igual. Entonces, ahora sí empezamos.
34:27Menos por más da menos.
34:31Se reescribe y lo que yo multipliqué por
34:341, pues me da exactamente lo mismo, ¿no?
34:36Entonces, escribo exactamente lo mismo.
34:38Ahora, menos
34:40por menos
34:42me da más.
34:44Y al multiplicar esto por Y, pues
34:46estaríamos colocando
34:48la misma función seno,
34:50pero agregándole
34:53el Y prima.
34:55Bueno,
34:56ya tengo ahora sí separadito, ya tengo
34:59separadito el término con Y prima y
35:01tengo que pasarlo a este lado para que
35:03queden los dos con Y prima.
35:06Y este dos, que es el único que está ahí
35:08como solito, lo puedo pasar también a
35:10restar al otro lado. Bueno,
35:12eso es lo que voy a hacer en este
35:13siguiente paso.
35:15Entonces, vuelvo y reescribo
35:18coseno de Y al cuadrado
35:20por dos Y
35:22por Y prima.
35:24Recuerden que el el más dos no lo vamos
35:26a colocar, sino que vamos a pasar esto
35:27que está sumando, lo pasamos a restar
35:29acá al otro lado.
35:31Observe, menos
35:34seno
35:35de X menos Y
35:37por Y prima
35:38igual.
35:39¿Qué me queda acá a la derecha? Esto que
35:41no lo pasé, esto que está sin señalar.
35:45Menos seno
35:47de X menos Y
35:49y el dos que estaba sumando lo pasamos a
35:50restar.
35:52Sería menos dos.
35:54Listo. Entonces, observen muy bien, ya
35:55tenemos la Y prima acá y acá. Lo que
35:58vamos a hacer es sacarla como si fuera
36:00un factor común.
36:02Entonces, decimos, Y prima factor común
36:04de
36:05coseno de X al cuadrado
36:08por dos Y
36:10[resoplido]
36:11menos seno
36:13de X menos Y.
36:16Y al otro lado ¿qué nos queda? Pues
36:18menos seno.
36:20Eso todavía no lo toco, o bueno, no lo
36:22voy a tocar, entonces queda exactamente
36:23igual.
36:25Ahora, esta Y
36:27está multiplicando todo esto, entonces,
36:30todo esto lo puedo pasar al otro lado a
36:33dividir.
36:34Y me quedaría Y prima igual.
36:37¿Qué queda en el numerador? Lo que está
36:39a este lado.
36:41Menos seno
36:43de X menos Y
36:45Más dos
36:47Dividido entre coseno
36:51Y cuadrado
36:54Coseno
36:56Menos seno
37:02Y ya hemos hallado
37:04Hemos hallado la derivada de esta
37:06función, que a pesar de que se ve un
37:08poquito compleja, observen y eso que
37:10bien detalladito y bien masticadito y
37:12bien explicadito nos comemos 1 2 3 4 5
37:15pasos
37:175 pasos
37:18Uy, perdón
37:195 pasos
37:21Entonces
37:23Eh
37:25[resoplido][carraspeo]
37:26No sé si haya alguna pregunta que haya
37:28sido Eh remanente
37:32Mis profes
37:34Profe, Mayra nos pregunta que por qué en
37:37la segunda derivada se puso al final Y
37:39prima
37:42Ah, bueno, porque como hicimos una
37:46distribución, aquí en la en el segundo
37:48paso
37:49Eso soy yo
37:50Sí, exactamente, allí ella pregunta que
37:53por qué al final pone seno de X menos Y
37:55por Y prima, que es porque prácticamente
37:57hace como una factorización allí, ¿no?
38:00Sí, explicar el seno de X menos Y por 1
38:03Exacto, es una factorización a la
38:05inversa, y que sería una distribución.
38:07Entonces, lo que hacemos es iniciar
38:09multiplicando este por el 1
38:11Que nos daría esto que tenemos aquí
38:15Y la segunda parte de la distribución es
38:17multiplicar esto mismo por la Y prima,
38:21que nos daría esto que tenemos acá
38:24¿Listo?
38:28Eh dice, "Profe, si o sí se debe poner Y
38:30prima o también se puede utilizar" Sí,
38:33se puede utilizar la eh la nomenclatura
38:36o la la notación de de Leibniz, pero
38:39esto ya se hace más cuando la tenemos ya
38:42despejadita, para términos de ecuaciones
38:44diferenciales o de cálculo multivariable
38:46ya nos como cuando la tenemos así, ya
38:49organizadita.
38:50Entonces, utilizamos la derivación
38:52implícita y ahí sí utilizamos la
38:54notación de Leibniz ya para
38:57eh para desarrollos de ejercicios
38:58aplicados. ¿Listo? Bueno.
39:01Entonces, creo que no no hay más
39:03pregunticas, ¿verdad, mis profes? Así
39:05como que sean reiterativas.
39:08Bueno.
39:11Entonces,
39:13siguiendo con nuestra presentación,
39:17ahora vamos a tratar un ejercicio,
39:20un ejercicio que es bastante similar a
39:23lo que ustedes tienen que hacer, mis
39:26queridos estudiantes, en el en
39:30el reto.
39:31En los es en los distintos escenarios
39:33que a los cuales ustedes se tienen que
39:35enfrentar.
39:36Entonces, ¿qué qué es lo que se
39:38recomienda inicialmente?
39:40Primero, verificar el punto que se les
39:42está dando y esto tiene que darnos una
39:45igualdad. ¿Para qué? Para verificar si
39:48ese punto pertenece o no a la curva.
39:51Lo siguiente que tenemos que hacer es
39:53hallar la primera derivada con relación
39:56a ese punto y eso nos va a dar la
39:58pendiente. Porque a ustedes les van a
40:01pedir hallar la pendiente y hallar la
40:04recta tangente. ¿Qué es la recta
40:06tangente? Pues no más que la ecuación la
40:09función de una recta, una función
40:12lineal.
40:13Pero para que esa función lineal eh esté
40:16bien estructurada, debe llevar la
40:18pendiente y al menos el punto que nos
40:21dieron inicialmente. Y ya con eso hemos
40:24construido nuestra función, que es lo
40:26que nos interesa. Entonces, no hay que
40:28buscar, porque he notado que algunos
40:30estudiantes en sus aportes o en sus
40:32apuntes se han, digamos, extendido a
40:35realizar procesos que, con todo respeto,
40:37pero que ni entienden y pues no debemos
40:41hacer más de lo que nos están pidiendo.
40:43Entonces, por favor, eh les pido por
40:45favor mucho focus a lo que vamos a hacer
40:47a continuación, porque eh es muy
40:50importante que tengan en cuenta cómo es
40:52el proceso que tienen que realizar.
40:54Bueno, aquí hay un ejemplo que es
40:55bastante básico, pero que se adapta a lo
40:58que ustedes tienen que hacer realmente
41:00en en este reto específicamente en lo de
41:03las derivaciones implícitas. Bueno,
41:06entonces, nos están presentando una
41:08función.
41:09Esta función tiene que ver con eh con
41:12consumo de energía y con producción
41:14diaria. O sea, como para que se iguale
41:16por ahí uno que otro contexto que que
41:18hay en el reto, pero igual se aplica
41:20para todos los cinco que hay.
41:22Entonces, aquí nos están de eh
41:24definiendo las dos variables, nos están
41:26diciendo que eh X es consumo energético
41:30en megavatios hora y Y es producción
41:33diaria en miles de unidades.
41:35¿Por qué es importante tener clara la
41:37definición de las dos variables? Porque
41:39en el resultado, cuando nos dé el
41:41resultado del ejercicio, debemos tener
41:43eh bastante claridad a la hora de
41:45establecer ya la conclusión. Recuerden
41:48que a ustedes se les pide concluir, se
41:50les pide bastante concluir. Si ustedes
41:52no concluyen de forma adecuada, pues ahí
41:54van bajando puntos en en la cuando se
41:57les evalúen los los los tutores. Bueno,
42:00listo.
42:02Mmm, hay que tener bastante claridad
42:03acerca de esto y es nuestra función.
42:05Bueno, entonces, pues creo que voy a
42:08pasar a hacerlo mejor en el tablero para
42:10que se vea más detallado. Sin embargo,
42:11ahí en el en el
42:14en la presentación les he dejado también
42:16el paso a paso y pues les voy a anexar
42:18también este ejercicio. Entonces,
42:20nuestra función inicial aquí nos dice,
42:23Y al cuadrado
42:25más XY
42:27menos 4X al cuadrado menos 2 igual a 0.
42:33Nos están dando un punto específico para
42:35este ejemplo. Nos están diciendo que ese
42:37punto es
42:381,2.
42:41¿Listo? Ese punto es 1,2, o sea, que
42:43para nosotros esto sería X sub 0 y esto
42:46sería Y sub 0. ¿Qué es lo primero que
42:48nos recomiendan?
42:50¿Qué es lo primero que nos recomiendan?
42:52Evaluar, evaluar este punto, evaluar
42:55este punto
42:56en la función para saber si cumple o no
43:00con el proceso de igualdad. Entonces, es
43:02lo primero que nosotros vamos a hacer.
43:04Vamos a evaluar. ¿Y yo cómo evalúo?
43:07¿Yo cómo evalúo? Pues sencillo, uy, se
43:09me fue el lápiz negro.
43:13Tanta.
43:14¿Cómo evalúo? Pues reemplazando lo que
43:16es en el X en X y lo que es Y en Y.
43:19Entonces, Y por uy,
43:21[risas]
43:21perdón.
43:22Será lo que estaba buscando el lápiz.
43:24Mmm, Y para nosotros ¿cuánto es? Dos.
43:27Donde va el cuadrado.
43:29Dos.
43:30¿Y Y cuánto es?
43:33X por Y, perdón.
43:34X es uno
43:37y Y es dos.
43:39Menos cuatro
43:41por X que para nosotros es uno al
43:43cuadrado menos dos. ¿Y esto cuánto nos
43:45tiene que dar? Cero. Si nos da cero,
43:47significa que sí pertenece a eh a la
43:50curva, a la función que nosotros hemos
43:52trabajado.
43:53Entonces, dos al cuadrado es cuatro más
43:57uno por dos,
43:58dos.
43:59Aquí tendríamos que desarrollar primero
44:01la potencia. Uno al cuadrado, pues es
44:03uno y uno por cuatro, pues cuatro
44:06y menos dos, que está suelto.
44:08Entonces, este con su inverso aditivo,
44:11cero.
44:12Este con su inverso aditivo, cero.
44:15Entonces, nos daría cero igual
44:16a cero. Por lo tanto, acabamos de
44:18definir que sí es un punto que pertenece
44:21a la función. Muy importante eh definir
44:25esto inicialmente. Bueno,
44:27ahora, [resoplido] teniendo en cuenta
44:29eso, entonces vamos a pasar a hacer lo
44:31de la derivación implícita. O sea, en
44:33correcto puesto para acá,
44:35para que nos quede un poquito más claro
44:37de lo que estamos trabajando, lo que
44:38estamos haciendo.
44:40Entonces,
44:43realizamos, como hemos venido trabajando
44:45ahora, lo de la derivación implícita.
44:47Bajamos el dos que está como exponente a
44:49multiplicar.
44:51Dos. Y Y, le restamos uno, me quedaría Y
44:54a la uno, multiplicado por el Y prima.
44:57¿Listo?
44:58Más, aquí nos encontramos un producto.
45:01Entonces, recordemos, derivada de la
45:02primera es uno, por la segunda sin
45:05derivar. Entonces, me que, uno por Y, Y.
45:08Más, la primera sin derivar
45:11por la derivada de la segunda. ¿Cuánto
45:13es la derivada de Y? Uno. Pero como
45:15estamos derivando Y, tenemos que dejar
45:16implícitamente también
45:18el Y prima. Y aquí hemos hecho la
45:21derivada del segundo término.
45:23Vamos por el tercer.
45:26Menos.
45:27Bajamos el exponente, dos por cuatro,
45:29ocho.
45:30Y le restamos uno.
45:32Pues, me quedaría elevado a la uno.
45:35Menos, derivada de una constante, cero.
45:38Entonces, quedaría cero.
45:40Bueno, ahí ya sabemos que esto es igual
45:43a cero.
45:44Listo. ¿Qué es esto que acabamos de
45:46poner acá, mis queridos estudiantes?
45:49Esto es la primer derivada.
45:51O sea, que lo pongo aquí con un
45:52colorcito diferente.
45:54Y vamos a hacer referencia
45:56a que esto es nuestra primer derivada de
46:00la función Y
46:01con relación a la variable X.
46:05Bueno.
46:06Esta va a ser de mucha utilidad. O sea,
46:08que para nosotros esto es nuestra
46:09función principal que es uno, y esta es
46:13nuestra derivada que es dos. Listo.
46:17Vamos a tener mucho en cuenta ese
46:18proceso. Ahora, ¿qué hacemos después de
46:20derivar?
46:21Nosotros nos organizamos, ¿cierto? ¿Para
46:23qué? Para poder hallar el Y prima.
46:25Para poder saber a cuánto equivale el Y
46:27prima.
46:28Entonces, vamos a abrir estos paréntesis
46:30y eso lo vamos a hacer a través, pues,
46:31de un desahogo.
46:33Entonces, decimos, dos Y
46:34[carraspeo]
46:35por Y prima.
46:37Más, aquí no pasa nada si rompo el
46:39paréntesis, ya que no hay un menos que
46:40lo anteceda.
46:42Más, X Y prima.
46:45Menos ocho X, igual a cero.
46:48Lo mismo, pasamos los términos que no
46:50tienen Y prima hacia la derecha y lo que
46:52tienen Y prima lo dejamos a la
46:53izquierda.
46:55Entonces, sería dos por Y prima.
46:58Y aquí se nos queda también este más X
47:00por Y prima. Y a la derecha que nos
47:02queda, menos Y.
47:05Menos 8 X.
47:08Listo.
47:09Ah, perdón, más 8, está restando, pasa a
47:11sumar. Ahora los conmutamos para que
47:14queden más organizaditos. Listo,
47:16entonces hacemos el mismo proceso que
47:18hicimos anteriormente, sacamos factor
47:20común Y prima.
47:22Y prima factor común de, si saco Y prima
47:25de este primer término que me queda.
47:272 Y.
47:29Si saco Y prima de este segundo término
47:31que me queda.
47:32X.
47:34Y esto al otro lado vamos a conmutarlo,
47:36o sea, el 8 X que es positivo lo
47:38colocamos primero, y el Y que es
47:40negativo lo colocamos de último como
47:41para darle estética al proceso.
47:45Listo.
47:46Ahora.
47:47Este elemento que está multiplicando
47:51Y prima, lo puedo pasar a dividir. Me
47:54quedaría que la derivada en sí, ya
47:57desarrollada,
47:59bien presentada sería.
48:03De esta forma,
48:04o sea, lo que está en el, en esta parte
48:07de la derecha queda en el numerador, y
48:09lo que está multiplicando pues pasó a
48:11dividir, ah.
48:13Entonces quería lo mismo, perdón,
48:15es 2 Y.
48:20Y más X, ahora sí está bien.
48:23[resoplido]
48:23Listo, entonces.
48:26Aquí tendríamos nuestra función, pero
48:28sin eh, despejar la Y, aquí ya
48:31tendríamos la derivada despejada.
48:34Pilas que es muy importante, ¿qué nos
48:35decían en el paso anterior? Que si
48:38nosotros hallamos la derivada
48:40y evaluamos el punto, evaluamos el punto
48:43en esa derivada, ¿qué valor nosotros
48:46vamos a encontrar?
48:48Lo que nosotros llamamos en la ecuación
48:50de la recta, la pendiente.
48:54[carraspeo]
48:55Entonces la pendiente no es más que este
48:57mismo eh, esa la derivada, pero
48:59evaluando el punto que tenemos
49:01inicialmente. Entonces, ¿cómo sería para
49:04nosotros esa evaluación?
49:06¿Qué es X para nosotros? Uno, nos lo
49:08están mostrando aquí arriba.
49:10[resoplido]
49:10¿Qué es Y para nosotros? Dos, nos lo
49:12están mostrando aquí arriba, mis
49:14queridos estudiantes.
49:15Y abajo, en el denominador, ¿qué nos
49:17dicen? 2 * Y,
49:19que para nosotros sería 2 * 2,
49:21recordemos que Y es 2,
49:22+ X, que para nosotros es 1.
49:25Listo, entonces solucionamos esto para
49:27ya hallar la pendiente. 8 * 1 = 8 - 2 =
49:316.
49:32Y acá abajo, 2 * 2 = 4 + 1 = 5.
49:36Tendríamos 6/5. 6/5 que también lo
49:39podemos trabajar en decimales, ya que
49:41pues no es
49:43un decimal periódico,
49:46pero también lo podemos trabajar como
49:48fraccionario y no hay ningún problema.
49:50Entonces, ya tenemos la pendiente, ya
49:52tenemos la pendiente. ¿Qué nos está
49:54pidiendo el ejercicio, qué nos está
49:57pidiendo el reto? Nos está pidiendo que
49:59hallemos la pendiente, pero no solo la
50:02pendiente, sino también la estructura de
50:05la de la recta tangente. ¿Y cómo
50:07hallamos esa recta tangente? Pues
50:09sencillo, como ya tenemos un punto y
50:12tenemos la pendiente, pues vamos a
50:14utilizar la fórmula que nos estaban
50:16sugiriendo antes de iniciar. ¿Cómo es
50:19esa fórmula? Nos dicen que la Y general
50:22- la Y evaluada en el punto es igual a
50:25la pendiente por
50:27la X general - la X evaluada en el
50:30punto. Esa es la estructura general de
50:32una función, de una recta, una función
50:35lineal.
50:36Entonces, lo que vamos a hacer es
50:37reemplazar esos valores.
50:39Entonces, tendríamos que Y
50:42¿qué es Y el Y sub 0 de nosotros? Dos.
50:45Sería 2.
50:47¿Y qué es M para nosotros?
50:506/5.
50:52X, esa X sí toca dejarla, porque las
50:55funciones deben ser la relación entre la
50:57variable independiente y la variable
50:58dependiente, recordemos bien, o sea,
51:00debe tener una X y una Y.
51:02y el - X sub 0 que para nosotros sería
51:051.
51:06Entonces, si se deja de esta manera,
51:08pues de cierta manera es válido. Sin
51:11embargo, eh tendríamos que despejarlo
51:14para que sea más presentable.
51:17Entonces, ¿cómo nos quedaría? Y =
51:20a
51:22Bueno, podríamos, antes del igual,
51:25podríamos
51:27eh hacer la distribución de este 6/5,
51:30¿no?
51:316/5
51:34X
51:36más por menos menos 6/5.
51:39Ahora sí, este 2 que está restando lo
51:42podemos pasar a ese lado del otro lado.
51:45Y es igual a 6/5 de X - 6/5
51:50+ 2.
51:52Y aquí les voy a recordar
51:54una partecita de aritmética que nos dice
51:56que podemos sumar fracciones
51:59por una regla bastante básica que es la
52:01carita feliz.
52:03[risas]
52:03Nos dice, ¿qué nos dice la carita feliz?
52:06Y es igual 6/5 de X
52:10eh
52:11De hecho, esto lo podemos eh conmutar
52:14para que no se vayan a confundir.
52:16O sea, podemos decir que es 2 - 6/5
52:20sobre 1.
52:21Ahí lo hemos conmutado para que no se
52:23vayan a confundir.
52:24Entonces, decimos 2 * 5
52:2710.
52:28Menos.
52:321 * 6 6 sobre 1 * 5 5.
52:36El resultado de nuestra operación
52:39y es - 6
52:404 positivo, ojo, ojito,
52:44dividido entre 5.
52:47O sea, que nuestra función o la función
52:50de la recta tangente
52:53que es esta que tenemos acá,
52:54lo voy a escribir aquí al ladito.
52:57Rec-
52:58ta
53:01tangente.
53:04Esto Y así hemos encontrado las dos
53:07cosas que nos están pidiendo el
53:08ejercicio, que es la pendiente y la la
53:12fórmula o la ecuación de la recta
53:13tangente.
53:15Ahora bien, mis queridos estudiantes,
53:18¿cómo se observaría esto?
53:20Miren, por favor, muy bien. Esta es la
53:22curva que representa la función inicial
53:25que nosotros tenemos.
53:27Que ya voy para allá con lo de lo de
53:29Google
53:32Colab.
53:33Esa es nuestra curva. Ese es el punto
53:35que estamos evaluando y esta es la recta
53:37tangente a la cual le hemos sacado la
53:39fórmula. Entonces, esas tres cosas
53:42tienen que coincidir y es lo que
53:44nosotros necesitamos ver en los gráficos
53:46que ustedes generan en el Google Colab.
53:49Entonces,
53:50hasta el momento esta es la parte
53:52algebraica y la parte ya desarrollada.
53:54¿Qué nos queda como conclusión?
53:56Observen.
53:58Nos dicen que cerca del punto P, un
54:00aumento pequeño de energía se asocia con
54:03un aumento de producción aproximada de
54:051,2 miles. ¿De dónde viene ese 1,2? Pues
54:08de la pendiente. Eso quiere decir que el
54:11el el aumento de producción es de 1,2000
54:16por eh megavatios megavatios hora,
54:19perdón. Eh MWH significa megavatios
54:21hora. Entonces, esta es nuestra
54:23conclusión. Sin embargo, recuerden que
54:26nos queda una parte adicional, que es la
54:28de Google Colab, que es la que vamos a
54:30tratar de mostrar a continuación.
54:32Quisiera saber, mi profe, si de pronto
54:35hay alguna alguna pregunta que sea
54:38recurrente o que se esté repitiendo
54:39mucho.
54:47Hasta el momento no ha habido preguntas.
54:50Bueno, muchas gracias, mi profe.
54:52Entonces, pasamos a la parte que es
54:55bastante pronto a veces ambigua para
54:58para los estudiantes. Y es que mi
55:00recomendación inicial es que nos leamos
55:03todos eh del anexo 6, que son las
55:06orientaciones para el Google Colab.
55:09Recuerden que estas orientaciones
55:11tienen, aquí les voy a mostrar,
55:13estas orientaciones tienen todos los
55:16elementos con los que yo puedo, digamos,
55:19trabajar en el código.
55:22Aquí, digamos, no necesariamente tiene
55:23que ser exactamente este mismo código,
55:26sino que tienen que ser las partes que a
55:28mí me interesan o lo que se adapte a mi
55:30estructura.
55:31¿Yo qué he hecho? En esta presentación
55:33les he dejado
55:35les he dejado parte de los códigos y qué
55:38significa ante nuestro presente
55:41ejercicio. ¿Sí?
55:44Para que ustedes, por favor, se tomen de
55:45pronto el eh detalladamente el trabajo
55:50de leerlo cada elemento y que puedan de
55:53pronto entender. Ahora bien,
55:55yo he aplicado ese este este proceso a
55:58este código de Google Colab.
56:00Este código es algo similar a lo que se
56:02co- repito, a la estructura que se les
56:04ha brindado a ustedes.
56:06Eh claramente pues adaptada a nuestro
56:08ejercicio inicial. Entonces, recordar eh
56:12la curva inicial, eh los valores que
56:14nosotros queremos graficar para que se
56:16vea bien bonita la curva, recordar entre
56:19pues más valores uno le dé, más forma o
56:21estructura de curva va a tener. En este
56:23caso pues la recomendación es que sea
56:25aproximadamente 500. Si yo llego entre
56:27-3 y 3, eso significa que entre -3 y 3
56:31es la, digamos, el dominio de las
56:34funciones que me va a establecer.
56:36Bueno,
56:38eh bueno, los demás elementos, en este
56:41caso, por ejemplo, el punto dado, eh 1
56:442. Lo que tenemos que hacer, como les
56:46digo, pues es tratar de adaptar la
56:48estructura, por ejemplo, que aquí
56:49coloqué mi derivada, la derivada como me
56:52daba eh inicialmente, que fue lo que les
56:55expliqué aquí.
56:57Aquí está, mírenla. Esta es la derivada,
56:59la hemos adaptado y también hemos
57:01colocado el resultado de lo que me
57:03interesa eh utilizar, que es M, que es
57:06la pendiente, que es lo que se va a ver
57:07reflejado aquí en las rectas más
57:09adelante.
57:10Entonces, lo que tenemos que hacer o lo
57:12que siempre se les ha dicho, mis
57:13estimados estudiantes, es que agarren el
57:15código y lo adapten.
57:17Entonces, no sé, no sé hasta dónde de
57:20pronto pueda compartirles este código,
57:22no sé si de pronto pueda ponérselos en
57:24la presentación para que ustedes lo
57:26tengan a la
57:28a la mano, como ejemplo, como que. Y
57:31esto nos arroja esta gráfica que ustedes
57:33están observando acá.
57:34Entonces, ¿qué nos dice? Esto que
57:36ustedes están observando, esta curva que
57:38está aquí, es la función inicial,
57:41la estructura inicial. Esta es la la
57:43recta tangente que nos dio a partir de
57:45esta fórmula.
57:47Eh, ustedes están viendo 0,8, pero que
57:49en es bueno, aquí el Google Colab no lo
57:51toma como fraccionario, sino como
57:54como decimal. Entonces, 1.2 pues es el
57:57mismo 6/5 que encontramos. Y el 0.8 es
58:00el mismo 4/5, entonces no se asusten por
58:03eso. Y el punto 1,2 pues es el punto que
58:06nosotros tenemos de referencia, tanto
58:08para la recta tangente como para la
58:09función inicial. Eso es lo que nosotros
58:12queremos ver reflejado a eh en en los
58:14desarrollos que ustedes están
58:16estableciendo, mis muchachos, ¿bueno?
58:19Entonces,
58:21eh
58:22[resoplido]
58:23Profe William, perdón.
58:24Ajá.
58:25Discúlpeme, es que el estudiante Darwin
58:27nos le pide si es posible que muestre
58:29brevemente el desarrollo del ejercicio,
58:32porque él le tuvo que ausentarse un
58:33momento, entonces no pudo como terminar
58:36de visualizar la solución.
58:38Sí, he estado observando que, muchas
58:40gracias, mi profe. He estado observando
58:42que Darwin, específicamente, creo que
58:43habla de cuando se evalúa el punto en la
58:45derivada.
58:46Aquí es donde estamos evaluando, mi
58:48estimado Darwin,
58:49el X,
58:51el X,
58:52la Y
58:53y la Y.
58:55Y esto nos da como resultado 6/5,
58:58que es lo que nosotros llamamos
58:59pendiente.
59:01¿Sí?
59:02Y para hallar el resto de la estructura,
59:04pues tenemos la pendiente, pero ojo, que
59:07también
59:08hacemos útil este punto inicial,
59:11eh
59:13hacemos útil este punto inicial que es 1
59:152, vamos a colocar aquí 1 para X y 2
59:18para Y.
59:19Listo, y nuestra pendiente, ya lo que
59:21hacemos es pues despejar y distribuir
59:23para poder llegar a la estructura de la
59:26de la recta, que recuerden que esto
59:28Colab interpreta como 1.2 y esto como
59:320.8, porque Colab creo que lo interpreta
59:34es como decimales, ¿listo?
59:37Entonces, bueno.
59:39Eh, creo que lo de Colab pues ya ustedes
59:41ya en otras estructuras hemos trabajado.
59:44Voy a mirar a ver cómo puedo, listo
59:46Darwin, con mucho gusto. Voy a mirar a
59:48ver cómo puedo pronto compartirles parte
59:49de esa estructura y básicamente esto es
59:52lo que ustedes se van a encontrar, mis
59:54queridos estudiantes, en eh
59:57lo que se van a encontrar en el
59:58desarrollo de los ejercicios de eh
1:00:01derivada implícita. Ahora, a
1:00:03continuación nos va a colaborar el profe
1:00:06Elber eh con la temática relacionada a
1:00:10derivadas de orden superior, ¿listo?
1:00:13Entonces, mi profe Elber, muchas gracias
1:00:16antes que nada, siempre agradecerle, y
1:00:18voy a dejar de presentar para que el
1:00:20profe Elber nos inicie la la
1:00:22presentación. Bueno, muchísimas gracias.
1:00:27Muchas gracias, profe William.
1:00:29Muy buenas tardes para todos, apreciados
1:00:31estudiantes.
1:00:35Bueno.
1:00:36Eh, agradezco al profe William por
1:00:38haberme dado la oportunidad, este
1:00:41espacio de compartir con todos ustedes.
1:00:44Y pues eh
1:00:47voy a compartirles pantalla y por favor,
1:00:50confírmenme que me están escuchando
1:00:52bien.
1:00:55Perfectamente bien, mi profe.
1:00:59Okay.
1:01:05Y se está observando muy bien, mi profe.
1:01:08Okay.
1:01:09Bueno, entonces eh voy a comenzar con la
1:01:14con la primera parte.
1:01:16Bueno, eh esta segunda parte de la de la
1:01:19webconferencia está relacionada con
1:01:22las derivadas de orden superior,
1:01:25que corresponde al ejercicio tres de
1:01:27cada uno de los de los escenarios eh
1:01:31propuestos en el reto cuatro.
1:01:33Entonces,
1:01:34eh si bien es cierto que están las
1:01:37derivadas de orden superior, detrás de
1:01:40esas derivadas de orden superior
1:01:42están otros otros conceptos eh bien
1:01:46importantes en el cálculo diferencial y
1:01:49que corresponden
1:01:50eh al análisis de gráficas a través de
1:01:52los criterios de la primera y segunda
1:01:54derivada.
1:01:56De eh
1:01:58esos criterios de primera y segunda
1:02:00derivada se van a utilizar, seguramente
1:02:02en aplicaciones de las derivadas en
1:02:05en ejercicios de optimización, se
1:02:08utilizan también, pero aquí los vamos a
1:02:10utilizar para
1:02:11el comportamiento que tienen las las
1:02:14curvas. Okay.
1:02:16Bueno, dentro de los objetivos está
1:02:18definir el concepto de notación, que ya
1:02:20vi que el profesor William ya lo mostró,
1:02:23pero quiero mostrarles algo
1:02:26relacionado con la notación. Es bien
1:02:28importante porque diferentes autores en
1:02:32diferentes libros utilizan este tipo de
1:02:34notación, no solamente en el cálculo
1:02:37diferencial, sino también en el cálculo
1:02:40multivariado. Entonces, es bueno que
1:02:41ustedes vayan conociendo,
1:02:44digamos, cómo se deben escribir las
1:02:46derivadas, cómo se representan, cómo se
1:02:48escriben.
1:02:49Segundo, relacionar el signo de la
1:02:51derivada con los intervalos de
1:02:53monotonía, es decir, intervalos de
1:02:55crecimiento y decrecimiento,
1:02:59eh la concavidad de una función,
1:03:03la clasificación de los extremos
1:03:05relativos, puntos de inflexión,
1:03:07a través de eh un análisis que vamos a
1:03:10hacer a esa función. Bueno, eso sería a
1:03:13groso modo.
1:03:21Okay.
1:03:22Bueno.
1:03:24Luego tenemos, bueno, tenemos la la
1:03:27definición formal en el contexto de las
1:03:29derivadas de orden superior
1:03:32y es, digamos, la segunda derivada se
1:03:35define matemáticamente como la primera
1:03:37derivada de la función. Eso sería, a
1:03:39grosso modo,
1:03:40en diferentes
1:03:42en diferentes, eh,
1:03:45formas de representarlo tenemos, por
1:03:47ejemplo, a Lagrange, que utiliza
1:03:50la forma
1:03:52eh, cuando la función se define como Y =
1:03:55a f(x), entonces utilizamos Y' o Y'' o
1:04:00Y''',
1:04:01y a partir de la tercera derivada,
1:04:04entonces, ya no seguimos colocando las
1:04:07primas, sino utilizamos números
1:04:09arábigos, eso es lo que dice Lagrange.
1:04:12En la notación de Leibniz,
1:04:15la que estaba explicando el profe para
1:04:18eh, el cálculo de derivación implícita,
1:04:21se suele utilizar.
1:04:23Y a partir de la segunda derivada,
1:04:25esa notación es más recurrente en el
1:04:29cálculo multivariado.
1:04:31Y también tenemos la de
1:04:34la notación de Cauchy,
1:04:36y la notación de Cauchy, eh, pues la
1:04:39encuentra uno en algunos libros, son muy
1:04:41muy pocos los libros,
1:04:43diría yo, los libros, eh,
1:04:45antiguos, o sea, libros hace como de 30
1:04:48años utilizan ese esa notación de
1:04:51Cauchy, como, por ejemplo, el cálculo de
1:04:55el cálculo de Louis Leithold,
1:04:57es un cálculo clásico. Bueno.
1:05:00Y, pues, digamos que esta notación en
1:05:03algún momento puede generar cierta
1:05:05confusión,
1:05:07los estudiantes suelen cometer algunos
1:05:10errores, como esa que nos
1:05:12nos dice ahí,
1:05:14en la cual existe una distinción
1:05:16estricta entre el cuadrado de la primera
1:05:19derivada, es decir, f prima elevado al
1:05:22cuadrado,
1:05:23es una forma de
1:05:25de de esa expresión utilizada por allá
1:05:27en algunas aplicaciones de
1:05:30de las integrales
1:05:32y la segunda derivada. Entonces, la
1:05:34segunda derivada
1:05:35se utiliza
1:05:37esa notación que corresponde a la a la
1:05:40notación de Leibniz. Y en ese caso no
1:05:43son equivalentes. Entonces, una cosa es
1:05:46la segunda derivada y otra muy diferente
1:05:48es la primera derivada elevada al
1:05:51cuadrado.
1:05:52Bueno, entre algunas de las
1:05:54entre algunas de las
1:05:56diferencias y errores que se pueden
1:05:58cometer.
1:06:00Quise traerles un un ejemplo concreto.
1:06:03Eh
1:06:05ustedes eligieron diferentes diferentes
1:06:08contextos. Eh prácticamente estuve
1:06:10viendo que la
1:06:12eh digamos el modelo que estamos
1:06:14utilizando para el ejercicio 3 es un
1:06:16modelo cúbico,
1:06:18pero
1:06:19digamos en diferentes contextos, así que
1:06:22traje este a colación relacionado con
1:06:25con física, en particular la cinemática.
1:06:29Y dice,
1:06:30eh la aceleración en la luna eh
1:06:35a través de un modelo matemático de un
1:06:37objeto en caída libre en la superficie
1:06:39lunar está por la expresión s de t
1:06:44igual a -0.81
1:06:46t cuadrado + 2, donde s está en metros y
1:06:50t está en segundos. Entonces, ese es el
1:06:53el modelo para
1:06:55para la caída de ese objeto en la
1:06:56superficie
1:06:58lunar.
1:06:59Entonces,
1:07:00al derivar esa expresión,
1:07:03es decir, la primera derivada, entonces,
1:07:05esa nueva función representa en ese
1:07:08contexto la velocidad. Es decir, una
1:07:11función que llamamos v en función de t
1:07:14y equivale a -1.62
1:07:17t
1:07:18y está en
1:07:20metros por segundo, porque esas serían
1:07:22las unidades de la velocidad.
1:07:26Y si calculamos la derivada a la función
1:07:30velocidad,
1:07:32entonces hallamos la aceleración. Es
1:07:35decir,
1:07:37que la segunda derivada, que la segunda
1:07:39derivada de
1:07:41s de t, corresponde a la aceleración.
1:07:45Y en este caso, la aceleración nos daría
1:07:48eh -1.62
1:07:50y las unidades corresponden a unidades
1:07:53de aceleración, es decir, m/s².
1:07:58Okay.
1:07:59Entonces, aquí, digamos que el ejercicio
1:08:02pretendía hacer una comparación entre la
1:08:05eh la gravedad de la Tierra y la
1:08:07gravedad de la Luna, así que
1:08:10al final, la relación entre la ace la
1:08:13aceleración gravitacional de la Tierra y
1:08:15la Luna,
1:08:16de una parte la de la Tierra, eh
1:08:19aproximadamente - 1 -9.8
1:08:23m/s,
1:08:25y la otra de -1.62,
1:08:28esa relación aproximadamente me da de 6,
1:08:32es decir, concluimos que la fuerza de
1:08:35gravedad terrestre es aproximadamente 6
1:08:38veces mayor
1:08:39que la lunar. Bueno, eso se
1:08:42sería como para analizar
1:08:44eh lo que significan en este contexto de
1:08:46la cinemática la segunda derivada y la
1:08:49tercera derivada.
1:08:54Okay.
1:08:55Bueno, y aquí tenemos algunos algunos
1:08:58ejercicios propuestos relacionados en el
1:09:01primer bloque
1:09:02la segunda derivada, hay que encontrar
1:09:05la segunda derivada
1:09:07y
1:09:08en el otro bloque dice eh encontrar la
1:09:12derivada de orden superior que se
1:09:13indica, así que vamos a resolver algunos
1:09:16de esos ejercicios
1:09:18eh
1:09:20para que ustedes sepan, digamos, la
1:09:22notación y cómo
1:09:24estas derivadas son unas derivadas muy
1:09:26muy sencillas, así que
1:09:28pues vamos a ver cómo cómo se hace.
1:09:32Bueno,
1:09:33si usted ve alguna que yo no
1:09:36no voy a hacer, entonces puede escribir
1:09:37ahí por el chat, me gustaría que hiciera
1:09:40tal derivada.
1:09:41Pero todas son muy sencillas.
1:09:44Bueno, [resoplido] vamos a empezar con
1:09:45con la número tres.
1:09:47Aquí dice encontrar la segunda derivada,
1:09:49solamente la segunda derivada.
1:09:51Okay.
1:09:52Entonces, en este caso
1:09:54en este caso, la segunda derivada
1:09:57la segunda
1:09:59la segunda derivada.
1:10:01Sí, la segunda derivada. Entonces,
1:10:03primero voy a calcular la primera
1:10:05derivada
1:10:07que sería
1:10:10f prima de x.
1:10:13f prima de x.
1:10:14Entonces, usted ya
1:10:16ya están familiarizados de alguna manera
1:10:18con
1:10:19eh las reglas de derivación. En este
1:10:21caso
1:10:22eh podemos decir que tenemos una
1:10:25constante multiplicado por una función,
1:10:27así que la derivada sería la constante
1:10:31multiplicado por la derivada de la
1:10:33función.
1:10:34Y en este momento tenemos una función
1:10:36potencia, así que bajamos el exponente,
1:10:39es decir, sería el 3/2
1:10:42el 3/2
1:10:44de x a la 3/2
1:10:491.
1:10:50Esa sería.
1:10:51Y efectuando las operaciones, tendríamos
1:10:54que podemos simplificar aquí este
1:10:57sacándole mitad y este así.
1:11:01Entonces
1:11:02organizando, tendríamos 2 * 3 que sería
1:11:056
1:11:06multiplicado por x
1:11:10a la 3/2 - 1 que es a la 3/2 - 2/2, es
1:11:14decir, a la 1/2.
1:11:17Bueno, esa sería la primera derivada.
1:11:19Y la segunda derivada
1:11:22entonces, tendríamos
1:11:24la segunda derivada.
1:11:27Entonces, tenemos algo similar, dejamos
1:11:29este término que es constante.
1:11:33Volvemos a aplicar la regla de la de la
1:11:35potencia, entonces bajamos 1/2
1:11:39de X
1:11:41a la 1/2 - 1.
1:11:44¿Okay?
1:11:45En este caso, simplificando tendríamos
1:11:49eh 3
1:11:51X y aquí tenemos 1/2 - 2/2 que sería
1:11:56-1/2.
1:11:58Y si queremos reescribir la función para
1:12:02quitar el
1:12:04el exponente negativo, sencillamente
1:12:06sería
1:12:083
1:12:09sobre X a la 1/2
1:12:12que es lo mismo que escribir 3 sobre la
1:12:16raíz
1:12:18de X.
1:12:19Y hemos calculado la segunda la segunda
1:12:23derivada
1:12:24de esa función.
1:12:26Bueno.
1:12:28Y vamos a calcular
1:12:35Vamos a calcular ahora para la segunda
1:12:38función, para el número cuatro.
1:12:41Entonces, tenemos la primera derivada
1:12:46la primera derivada, aquí tendríamos una
1:12:49función que tiene dos términos, entonces
1:12:51sería la derivada del primer término más
1:12:54la derivada del segundo término y en el
1:12:56segundo término tenemos el caso anterior
1:12:58que ya les había dicho. Entonces, de
1:13:01manera directa
1:13:02vamos a calcular la derivada de X que
1:13:04sería 1
1:13:06más
1:13:0732
1:13:1032 multiplicado por -2 que sería el
1:13:14exponente que baja
1:13:15X
1:13:16a la -2 -1 que sería
1:13:20-3.
1:13:22Es decir, que aquí me quedaría
1:13:241
1:13:26menos
1:13:2764
1:13:29X a la -3.
1:13:32Esa sería la primera derivada
1:13:34Miremos la segunda derivada, entonces la
1:13:36segunda derivada
1:13:40La segunda derivada será igual
1:13:43Entonces la derivada de una constante me
1:13:45da 0
1:13:4964 que es constante multiplicado por -3
1:13:54que sería el exponente que bajo
1:13:57X a la - 3 - 1 que sería X a la -4
1:14:02Finalmente
1:14:03Finalmente me quedaría menos por menos
1:14:06queda más
1:14:07Aquí sería 3 * 4 12
1:14:10Y 6 * 3 18 y una 19
1:14:13X a la -4
1:14:16Que se puede escribir como
1:14:20192
1:14:22Sobre X
1:14:24A la 4
1:14:25Y esa sería la segunda derivada
1:14:29Okay
1:14:31Bueno, eso sería del primer bloque
1:14:34Del primer bloque dos ejercicios donde
1:14:38encontramos la segunda derivada
1:14:40Para el siguiente tenemos
1:14:50Entonces nos dan una función
1:14:54Nos dan una función que corresponde a la
1:14:56tercera derivada de F de X y debo hallar
1:15:00la cuarta derivada
1:15:02Entonces en utilizando esa notación
1:15:05tenemos que
1:15:06La derivada cuarta
1:15:09La derivada la de derivada cuarta
1:15:13De F de X
1:15:15Será igual
1:15:16Entonces para poder hacerlo no puedo
1:15:18aplicar una regla de manera indirecta
1:15:20sino que debo reescribir
1:15:23Debo reescribir entonces antes de
1:15:25derivar reescribo la función
1:15:28Es decir que la tercera derivada
1:15:31La voy a escribir como dos
1:15:34X a la 1/2
1:15:37Y de esta manera me queda más fácil
1:15:39aplicar la regla de la potencia.
1:15:41Entonces, voy a dejar el dos Que es
1:15:44constante, multiplicado por la derivada
1:15:46de X a la 1/2. Entonces, bajo el 1/2
1:15:51Y coloco X a la 1/2
1:15:55-1
1:15:57O sea
1:15:58Este dos Con este dos lo puedo
1:16:01simplificar y me queda
1:16:03Y me queda
1:16:05X a la 1/2 -2/2 que sería a la -1
1:16:10Medio Y finalmente puedo reescribir esto
1:16:13como
1:16:141 sobre X A la 1/2 para quitar el
1:16:18exponente negativo
1:16:20Y también lo puedo expresar como 1 sobre
1:16:23la raíz
1:16:25De X
1:16:27Y esa sería
1:16:29La derivada cuarta de esa función
1:16:33Bueno
1:16:35Continuamos
1:16:37Profe, disculpa, en el anterior Juli nos
1:16:39hace una consulta, Juli Patricia nos
1:16:42dice que en el anterior por qué tres, o
1:16:44sea, creo que se refiere al ejercicio
1:16:45anterior que hiciste
1:16:47¿Acá tres? ¿Este tres era?
1:16:51¿Será ese?
1:16:53Bueno, es que están numerados por
1:16:55números, no sé si esa es la pregunta,
1:16:57que por qué tres
1:16:58Simplemente los los copié de acá y los
1:17:01pegué
1:17:03No sé si si eso es lo que están
1:17:04preguntando
1:17:06No, creo que se refiere al exponente
1:17:09Sí, creo que del ejercicio 12, no estoy
1:17:12mal, es el único donde hay un tres por
1:17:14ahí
1:17:15Aquí, ah, el -3 ¿era este?
1:17:18Asumo que sí
1:17:20Lo que pasa es que lo hice de manera
1:17:21directa
1:17:22Entonces Eh, bajé el -2 y me quedaría X
1:17:27a la -2 -1 que es -3
1:17:31Tal vez ese sea, porque lo hice directo
1:17:34profe. Ya nos escribieron Juli que era a
1:17:37eso que hacía referencia.
1:17:38Okay, está bien.
1:17:40Bueno, a veces
1:17:42saltarse pasos genera preguntas. Está
1:17:45bien.
1:17:47Okay. Bueno, vamos con la siguiente.
1:17:50Entonces tenemos
1:17:52que la cuarta derivada
1:17:55la cuarta derivada eh es 2x + 1 y vamos
1:17:58a calcular la sexta, es decir, que
1:18:00tenemos que calcular la derivada quinta
1:18:02y la derivada sexta.
1:18:03Vamos a comenzar con
1:18:07la 5.
1:18:09La derivada quinta
1:18:11de x
1:18:13será igual. Entonces tenemos para el
1:18:15primer término la derivada de 2x sería
1:18:182.
1:18:19Y para el segundo término la derivada
1:18:23de una constante sería 0.
1:18:25Es decir, que me queda igualado a 2.
1:18:29Y para la otra derivada que sería la
1:18:32derivada sexta
1:18:34de x, entonces tenemos que la derivada
1:18:37de una constante es 0.
1:18:39Y a partir de este momento la derivada
1:18:427, la 8, la 9
1:18:45de ahí en adelante todas irán a dar 0
1:18:47porque la derivada de una constante
1:18:48siempre va a dar 0.
1:18:50Entonces
1:18:51bueno, digamos que eso a grosso modo
1:18:54sería
1:18:56la forma como se resuelven, digamos,
1:18:58estos ejercicios.
1:19:00Por supuesto que hay ejercicios un poco
1:19:01más complejos en los que piden calcular
1:19:04la segunda, tercera, cuarta derivada,
1:19:07pero
1:19:08pues
1:19:09vamos a dejarlo, vamos a dejarlo así
1:19:12y vamos a continuar.
1:19:14Okay.
1:19:18Bueno, entonces
1:19:22lo que sigue
1:19:23tiene que ver con el análisis de las de
1:19:25las funciones. Entonces
1:19:27eh en una función encontramos que las
1:19:31funciones pueden
1:19:33pueden crecer o decrecer.
1:19:36¿Cómo cómo identifica que usted es eh
1:19:40¿Cómo identifica que una función está
1:19:42creciendo?
1:19:43Si toma dos puntos,
1:19:45dos puntos de coordenadas
1:19:47X1, F de X1 y X2, F de X2, entonces
1:19:52eh se supone que X1 es menor que X2. Si
1:19:56eso es así, entonces
1:19:59también debe ocurrir
1:20:02que F de X1
1:20:03sea menor que F de X2 para que la
1:20:06función vaya creciendo.
1:20:09En caso contrario, en caso contrario,
1:20:11teniendo en cuenta que el X1 es menor
1:20:14que X2, entonces lo que debe ocurrir es
1:20:17que el F de X1, que sería la imagen o el
1:20:21valor de Y que le corresponde,
1:20:23es mayor que F de X2.
1:20:27Okay.
1:20:28Entonces existe existe criterio para
1:20:31establecer
1:20:33en qué intervalo la función crece o
1:20:36decrece.
1:20:37Entonces
1:20:39la definición dice así.
1:20:41Supongamos una función que sea continua,
1:20:45bueno, ustedes ya
1:20:47ya tienen
1:20:49ya tienen conocimiento de lo que
1:20:50significa la continuidad.
1:20:53Entonces sea F una función continua en
1:20:55un intervalo cerrado AB
1:20:57y que es derivable,
1:21:00derivable en el intervalo abierto AB.
1:21:02Entonces para que la función sea
1:21:05creciente en ese intervalo se debe
1:21:07cumplir lo siguiente.
1:21:09Que la derivada
1:21:11que la derivada de la función sea mayor
1:21:13que cero.
1:21:14En ese caso es creciente.
1:21:18Si la derivada es menor que cero,
1:21:20entonces se dice que es decreciente.
1:21:23Pero
1:21:24si la derivada es igual a cero, entonces
1:21:26se dice que la función
1:21:28ni crece ni decrece, sino se mantiene
1:21:30constante.
1:21:32Para que comprendan un poco de lo que
1:21:34significaría constante, es una
1:21:37una
1:21:38una recta horizontal.
1:21:41Okay.
1:21:42Bueno, y
1:21:44¿cómo vamos a analizar eso? Pues eh
1:21:46existe otro concepto
1:21:49y es el de números críticos,
1:21:51el de números críticos.
1:21:54Eh entonces, para los números críticos,
1:21:56lo que hace uno es
1:21:58calcular la primera derivada
1:22:01y esa nueva función la convertimos en
1:22:03una ecuación, resolvemos la ecuación.
1:22:06¿Sí? Y de esa forma hallamos los números
1:22:08críticos.
1:22:09Esa sería uno, pero existen algunos
1:22:11números críticos que no necesariamente
1:22:14salen de esa
1:22:16de esa de la solución de esa ecuación,
1:22:18sino son números que no están definidos,
1:22:21que no forman parte del dominio.
1:22:24Entonces, también se consideran números
1:22:26críticos.
1:22:28Okay.
1:22:29Aquí tenemos un ejemplo de una función
1:22:31concreta.
1:22:33Dice, "Determine los intervalos de
1:22:35monotonía, es decir, en los que es
1:22:36creciente o decreciente."
1:22:39Para la función
1:22:40x a la 3 - 3/2 de x a la 2.
1:22:44Entonces, lo que se hizo fue calcular la
1:22:47primera derivada, que me dio
1:22:503x² - 3x.
1:22:53Y luego
1:22:55y luego eh esta derivada se convirtió en
1:22:58una ecuación y al resolver la ecuación,
1:23:01entonces tenemos
1:23:03Bueno, aquí se hizo una factorización.
1:23:05Entonces, el producto de dos números es
1:23:09igual a 0 si cada uno por separado es
1:23:11igual a 0.
1:23:13Entonces, para el primer factor, se
1:23:15concluye que x es igual a 0 y para el
1:23:18segundo factor, x - 1 = 0, se concluye
1:23:21que es
1:23:22x es igual a 1.
1:23:24Entonces, como tenemos dos números
1:23:25críticos, si ubicamos esos números en la
1:23:29recta, entonces, la recta quedará
1:23:31dividida en tres intervalos y esos tres
1:23:34intervalos son los que tenemos aquí.
1:23:37El de la izquierda sería el intervalo
1:23:39que va desde menos infinito hasta 0, hay
1:23:41otro intervalo que va desde 0 hasta uno
1:23:44y hay otro que va desde uno hasta
1:23:46infinito.
1:23:47Entonces eligen unos números de prueba,
1:23:50es decir, un número que esté en ese
1:23:53intervalo. En este caso, por ejemplo, el
1:23:56menos uno pertenece a este intervalo y
1:23:59ese será mi valor de prueba. El un medio
1:24:01también está entre cero y uno, me sirve
1:24:03perfectamente para el valor de prueba y
1:24:05en el otro caso sería dos.
1:24:07Entonces con la derivada, con la
1:24:10derivada yo calculo f prima de menos
1:24:13uno, es decir, de cada uno de los
1:24:15valores de prueba y en el caso de que el
1:24:19resultado sea mayor que cero, entonces
1:24:21la conclusión es que la función es
1:24:23creciente.
1:24:25Pero si es menor que cero, la función es
1:24:27decreciente.
1:24:29Y aquí vuelve otra vez a ser mayor que
1:24:32cero, entonces es creciente. Entonces
1:24:34esa es la forma como utilizamos eh la
1:24:37primera derivada para hallar los números
1:24:38críticos y concluir. Entonces aquí en
1:24:42conclusión esa función es creciente en
1:24:45los intervalos que van desde menos uno,
1:24:47de menos infinito hasta cero y desde uno
1:24:50hasta infinito. Y decrece solamente en
1:24:53el intervalo que está desde cero hasta
1:24:55uno.
1:24:59Bueno, aquí ya tenemos el criterio de la
1:25:01primera derivada. ¿Para qué me sirve?
1:25:03Existe un criterio de la primera
1:25:05derivada para decir
1:25:08o garantizar mejor la existencia de un
1:25:11número de un número crítico como máximo
1:25:15o como mínimo relativo. Entonces la
1:25:17condición es
1:25:19que la función cambia de más a menos. Y
1:25:22cuando hablamos de más a menos estamos
1:25:25refiriéndonos al signo de la pendiente.
1:25:28Es decir,
1:25:29qué pendiente tiene, ¿no? Recuerden que
1:25:32la derivada de una función es una nueva
1:25:34función que me permite
1:25:37el cálculo
1:25:39de cada pendiente particular, cada
1:25:43pendiente particular eh
1:25:46dependiendo del, digamos, del punto.
1:25:49Okay.
1:25:50Entonces,
1:25:51a través del criterio de la primera
1:25:53derivada, entonces tenemos
1:25:55eh que el
1:25:57que el número crítico puede ser máximo o
1:25:59mínimo. Entonces, miren,
1:26:01si tuviéramos esta función así como está
1:26:04aquí,
1:26:05aquí dibujada, entonces tendríamos que
1:26:07todas las rectas
1:26:09que todas las rectas que podamos trazar
1:26:11aquí, digamos, desde este de este punto
1:26:15hasta este, tienen pendiente positiva.
1:26:19Y los que van desde aquí hasta aquí
1:26:20tienen pendiente
1:26:22negativa.
1:26:23Okay. Entonces, aquí va de más a menos,
1:26:26es decir, las pendientes hasta aquí a
1:26:29este punto más alto serían positivas y
1:26:32luego cambia a pendientes que serían
1:26:33negativas. Y en ese caso, el criterio
1:26:36dice que garantiza la existencia de un
1:26:39máximo relativo.
1:26:41Y en caso contrario, las pendientes
1:26:43aquí, por ejemplo, desde aquí hasta el
1:26:45punto más bajo serían pendientes con
1:26:47valor negativo y de aquí en adelante
1:26:50pendientes con valor
1:26:51eh positivo, pero cambia de menos a más,
1:26:54entonces garantizamos que ahí hay un
1:26:56mínimo.
1:26:58Okay.
1:26:59Y
1:27:01si no hay un cambio de signo, entonces
1:27:03sencillamente, pues, la función
1:27:07es posible que venga decreciendo y
1:27:09llegue al número crítico y siga
1:27:11decreciendo. Como también puedes ocurrir
1:27:14que la función vaya creciendo, llegó a
1:27:16ese número crítico y continúe creciendo.
1:27:19Es el caso, por ejemplo, de algunas
1:27:21funciones eh cúbicas.
1:27:24Okay.
1:27:27Bueno, y en este caso, teniendo en
1:27:29cuenta, pues, eso, entonces, eh
1:27:33observen aquí que en el anterior
1:27:35cambiamos de
1:27:37íbamos creciendo y ahora
1:27:40decreciendo. ¿En qué valor?
1:27:43¿En qué valor?
1:27:44En el valor de cero, miren, en el valor
1:27:46de cero.
1:27:48Entonces, aquí, por eso dice que existe
1:27:50un máximo relativo en el valor de cero.
1:27:53Y en el otro caso, que sería el valor de
1:27:55uno, entonces ahora la función iba
1:27:58decreciendo y ahora comienza a crecer.
1:28:02Entonces, en esa transición, aquí para X
1:28:04= 1,
1:28:06entonces tenemos este que sería el
1:28:08mínimo relativo.
1:28:10¿Cómo se obtiene ese punto? Pues a
1:28:11través de la función que la teníamos al
1:28:14principio. Simplemente reemplazar y
1:28:16hallar su respectivo valor de Y.
1:28:20Okay.
1:28:22Bueno, otro
1:28:24otra parte que es susceptible de
1:28:26analizar es la concavidad.
1:28:29La concavidad
1:28:31es determinar en qué intervalo la
1:28:34función es cóncava hacia arriba o
1:28:36cóncava hacia abajo. Y para eso
1:28:39utilizamos el
1:28:41utilizamos la segunda derivada.
1:28:44Un razonamiento
1:28:45similar al anterior, pero a
1:28:49eh con la segunda derivada.
1:28:51Entonces, ahí en ese caso
1:28:54calculamos la segunda derivada,
1:28:55igualamos a cero, hallamos unos nuevos
1:28:58números, ¿sí?
1:29:00Y
1:29:01los analizamos.
1:29:03En el caso de que la segunda derivada
1:29:05sea mayor que cero, se dice que la
1:29:07conclusión es que es cóncava hacia
1:29:09arriba. Pero en caso contrario, es
1:29:11cóncava hacia abajo.
1:29:14Y
1:29:15tenemos una definición importante que es
1:29:18la de punto de inflexión. Entonces, el
1:29:21punto exacto C, {coma} F de C, que es un
1:29:24número crítico,
1:29:26eh sobre la curva donde la grafa donde
1:29:29la gráfica cambia su concavidad, es
1:29:31decir, cambia de cóncava hacia abajo a
1:29:34cóncava hacia arriba. Entonces, en esa
1:29:37transición existe ese número crítico que
1:29:39lo llamamos punto de inflexión.
1:29:43Y es donde hace el cambio de concavidad.
1:29:46Okay.
1:29:47Y tenemos una un caso especial en el que
1:29:51el valor no es ni mayor ni menor sino
1:29:55igual a cero y en ese caso pues no hay
1:29:57sencillamente no
1:29:59no existe eh un cambio real y ahí no hay
1:30:05no habría un punto de inflexión.
1:30:08Okay.
1:30:10Bueno,
1:30:11tenemos el criterio de la segunda
1:30:12derivada.
1:30:13Entonces,
1:30:14con la segunda derivada también podemos
1:30:17determinar si hay un máximo relativo o
1:30:20un mínimo relativo.
1:30:22Entonces, el criterio dice, bueno, que
1:30:24si
1:30:26que si sea F la
1:30:28sea F una función tal que la
1:30:31que la primera derivada igualada a cero
1:30:34bueno, este es que nos garantice unos
1:30:36unos números críticos la primera
1:30:39y también garantizamos la existencia de
1:30:41la segunda derivada. Entonces,
1:30:43si al evaluar ese número crítico, el
1:30:46número crítico recuerden que sale de la
1:30:47primera derivada igualada a cero.
1:30:50Entonces, si al evaluarlo a través de la
1:30:52segunda derivada
1:30:54eso nos da menor que cero, entonces, se
1:30:57dice que es un máximo relativo.
1:30:59En caso contrario, si es mayor que cero,
1:31:02se dice que es un mínimo relativo, es
1:31:04decir, tanto la primera derivada como la
1:31:06segunda derivada podemos decir pues que
1:31:09eh podemos eh determinar un máximo o un
1:31:13mínimo relativo.
1:31:15Okay.
1:31:16Y en el caso de que la segunda derivada
1:31:19sea igual a cero, entonces, decimos que
1:31:21no podemos decir que ese número sea
1:31:24máximo o mínimo relativo, ¿por qué?
1:31:26Porque se dice que el criterio falla y
1:31:29no no podemos tomar
1:31:31una decisión.
1:31:33Okay.
1:31:34Bueno, a continuación quiero mostrarles
1:31:36pues todo este procedimiento paso a paso
1:31:38para que ustedes sepan cómo
1:31:40cómo se hace.
1:31:41Okay, entonces, vámonos
1:31:43a hacerlo.
1:31:52Bueno, entonces, el ejercicio dice,
1:31:54para la función dada determine
1:31:56analíticamente
1:31:58los puntos críticos de f de x, los
1:32:01intervalos donde la función es creciente
1:32:03o decreciente, la clasificación de los
1:32:06extremos relativos mediante el criterio
1:32:07de la primera derivada,
1:32:09los puntos de inflexión y el análisis de
1:32:12concavidad de la gráfica, la
1:32:14verificación visual y confirmación de
1:32:16resultados con una herramienta de
1:32:18graficación, es decir, lo vamos a hacer
1:32:20a través de Geogebra. Pero primero vamos
1:32:22a hacer todo el análisis, así como lo
1:32:25está mostrando.
1:32:26Bueno, entonces por aquí ya tengo la
1:32:30por aquí ya tengo la función, entonces
1:32:33la definición de número crítico es que f
1:32:35prima es igual a cero. Entonces lo
1:32:38primero que yo necesito sería
1:32:40pues calcular la primera derivada.
1:32:42Entonces la primera derivada
1:32:46sería igual a 4 x a la 3
1:32:51menos
1:32:5312 x al cuadrado, ¿sí? O sea, que el
1:32:56primer paso sería derivar.
1:32:59Luego vamos a igualar a cero, es decir,
1:33:024 x a la 3
1:33:06menos
1:33:0712 x al cuadrado igual a cero y
1:33:10resolvemos esa ecuación.
1:33:13Entonces esta ecuación
1:33:15la podemos resolver de la siguiente
1:33:17manera, podemos factorizar, podemos
1:33:20sacar un factor común, en este caso
1:33:21sería el 4 x al cuadrado
1:33:26será factor de quién, de x
1:33:29de x menos
1:33:323 y esto es igual a cero.
1:33:35Entonces
1:33:36decimos que 4 x al cuadrado es igual a
1:33:40cero
1:33:44es igual a cero o
1:33:46x menos 3 es igual a cero.
1:33:50En el primer caso decimos que x es igual
1:33:54a cero
1:33:55o
1:33:56que x es igual a 3. Entonces, estos
1:34:01serían mis números críticos.
1:34:04Primero.
1:34:05Estos serían mis números críticos.
1:34:07Bueno,
1:34:08entonces, como les había dicho,
1:34:11los números críticos los ubico en una
1:34:13recta.
1:34:17Si usted lo ubica en una recta,
1:34:21entonces, por aquí tendríamos el 0
1:34:25y por aquí podemos ubicar el 3.
1:34:28Entonces, los intervalos serían
1:34:31intervalo desde menos infinito hasta 0,
1:34:35desde 0 hasta 3
1:34:39y de 3
1:34:41hasta más infinito.
1:34:43Bueno, eso sería, esos serían los
1:34:45intervalos.
1:34:46Entonces, ahora lo que vamos a hacer es
1:34:48analizar
1:34:50analizar eh
1:34:54analizar eh aplicando eh
1:34:58aplicando qué. Bueno, primero vamos a
1:35:00establecer los
1:35:02los los intervalos. Bueno, yo tengo aquí
1:35:05ya lista la
1:35:09para hacer el resumen.
1:35:11Bueno.
1:35:12Entonces, sencillamente vamos a ubicar
1:35:13aquí en esta tabla el resumen.
1:35:16Entonces, tenemos el primer intervalo
1:35:18que va desde menos infinito
1:35:21hasta 0.
1:35:23Eh otro que va desde 0
1:35:25hasta 3 y el otro que va desde 3
1:35:29hasta infinito.
1:35:31Bien. Ahora vamos a elegir un valor de
1:35:33prueba. Entonces, un valor de prueba es
1:35:36un número que está en este intervalo. En
1:35:38este caso, yo voy a tomar un valor de
1:35:40prueba que sea, por ejemplo, X es igual
1:35:44a -1.
1:35:45Aquí voy a tomar X es igual a 1, por
1:35:49ejemplo, me serviría. Y en este
1:35:53X es igual a 4.
1:35:55Bueno, es por conveniencia un número
1:35:57entero, pero puede ser cualquier valor
1:35:58excepto los los extremos.
1:36:01Okay.
1:36:02Ahora necesitamos el signo de F prima de
1:36:05X, pero yo ya calculé esa derivada,
1:36:07entonces la voy a la voy a llevar acá.
1:36:11Para que la
1:36:13la sepamos. Ahí.
1:36:17Okay.
1:36:18Entonces voy a evaluar
1:36:20voy a evaluar F prima de -1.
1:36:24¿Cómo sería?
1:36:27F prima de -1 será igual. Entonces usted
1:36:31va a calcular eso rápidamente, vamos a
1:36:33calcularlo.
1:36:35Entonces aquí tenemos 4
1:36:38multiplicado por eh algo elevado al cubo
1:36:44y
1:36:48-12 multiplicado por
1:36:50algo elevado al cuadrado. Entonces el
1:36:52primer valor será el de -1.
1:36:55-1.
1:37:00Y aquí también tenemos -1. Entonces el
1:37:01primer resultado me da -16.
1:37:05Entonces -16.
1:37:08De la misma forma voy
1:37:11a evaluar
1:37:12F prima de 1
1:37:14y también
1:37:16F prima
1:37:18de 4.
1:37:20Bueno, miremos.
1:37:23Entonces
1:37:25para 1
1:37:32para 1 tenemos
1:37:34-8.
1:37:40Para 1 tenemos
1:37:41-8 y finalmente para
1:37:46para 4
1:37:59para 4 sería 64.
1:38:05Okay, entonces ahora voy a ver cómo es
1:38:07el comportamiento, entonces en este caso
1:38:09voy a decir que esto es menor que cero.
1:38:12Esto es menor que cero. Y esto es mayor
1:38:16que cero.
1:38:17Y ahora sí voy a escribir la conclusión,
1:38:20entonces como este es menor que cero,
1:38:22entonces se dice que la función es
1:38:26decreciente.
1:38:30Aquí sigue decreciente.
1:38:36Y aquí
1:38:38creciente.
1:38:41Okay, entonces ya
1:38:43ya tengo los intervalos en las que la
1:38:45función crece y decrece. Okay.
1:38:48Bueno, esa sería la primera parte.
1:38:51La primera parte.
1:38:54Bueno, vamos con el lo siguiente.
1:38:59Bueno.
1:39:00Entonces aquí tengo los criterios, mire,
1:39:03este estos fueron los criterios, el
1:39:04criterio que utilicé para para creciente
1:39:08y decreciente.
1:39:10Y ahora lo que vamos a hacer es
1:39:14lo que vamos a hacer es
1:39:21aplicar el criterio de la segun, de la
1:39:24el criterio de la primera derivada.
1:39:26Entonces dice
1:39:28dice el criterio que si F prima cambia
1:39:31de negativa a positiva en C, entonces
1:39:33hay un mínimo, ¿sí?
1:39:35Y si cambia de positiva a negativa,
1:39:37entonces hay un máximo.
1:39:41Y
1:39:42que si no cambia, entonces no es ni
1:39:45mínimo ni ni máximo.
1:39:48Eso en otras palabras lo podemos decir
1:39:50de la siguiente forma. Si cambia de
1:39:53si cambia de decreciente a creciente, o
1:39:57sea, la función vendría algo así, mire.
1:40:00Viene decreciendo, viene decreciendo y
1:40:03ahora crece.
1:40:05Entonces, venía acá y ahora va acá.
1:40:08Entonces, este punto
1:40:11este punto sería un
1:40:16un mínimo, un mínimo relativo.
1:40:18Es decir,
1:40:19aquí ya podemos con ese criterio decir,
1:40:22oiga, mire, en este en este
1:40:27en este valor de X = 3
1:40:31en este valor de X = 3 existe un mínimo
1:40:34relativo. Un mínimo relativo.
1:40:37Pero, ¿cómo voy a hallar el, digamos, el
1:40:39punto?
1:40:40El punto lo hallo a través de la
1:40:42función, es decir, voy a calcular
1:40:47voy a calcular F de 3
1:40:51y F de 3
1:40:56Bueno, F de 3 me daría
1:40:59me daría 3 elevado a la 4
1:41:02- 4
1:41:09- 4 multiplicado por 3
1:41:14a la 3.
1:41:16Me daría -27.
1:41:19Es decir,
1:41:22me daría -27
1:41:24y tenemos un punto que lo voy a llamar
1:41:26P1 de coordenadas
1:41:293, -27
1:41:33y eso sería un
1:41:35un mínimo relativo.
1:41:39Ese sería un mínimo relativo.
1:41:41Okay.
1:41:43Bueno, pasémonos a la segunda parte.
1:41:47Pasémonos a la segunda parte. Entonces,
1:41:49la segunda parte tiene que ver con los
1:41:51puntos de inflexión.
1:42:04Puntos de inflexión y concavidad.
1:42:10Puntos de inflexión y concavidad.
1:42:12Bueno, entonces necesito la primera
1:42:14derivada que ya la calculé aquí arriba.
1:42:21Voy a colocarla por acá.
1:42:26Y a partir de esa voy a calcular la
1:42:29segunda derivada.
1:42:30Entonces,
1:42:32la segunda derivada
1:42:35la segunda derivada será
1:42:373 * 4 12
1:42:41x al cuadrado menos
1:42:4424 x.
1:42:46Y ahora
1:42:49y ahora voy a resolver la ecuación
1:42:5212 x al cuadrado menos
1:42:5724 x igualado a cero. Listo.
1:43:00Voy a resolver entonces esa ecuación.
1:43:03Para resolver esa ecuación voy a sacar
1:43:05un factor
1:43:07el factor común será 12 x
1:43:10será factor de x
1:43:13de x menos 2 y esto es igual a cero.
1:43:17Aplico exactamente la misma estrategia
1:43:19de la anterior.
1:43:2212 x es igual a cero
1:43:25o
1:43:26x menos 2 es igual a cero.
1:43:29En este caso x es igual a cero sería
1:43:33un primer candidato
1:43:35y x es igual a 2.
1:43:39Okay.
1:43:40Bueno, esos serían los
1:43:42los dos.
1:43:43Vuelvo a colocar esos números allá en la
1:43:45recta
1:43:47para establecer cuáles serían los
1:43:52cuáles serían los intervalos.
1:43:58Entonces, ubico cero
1:44:01por aquí cero, por aquí dos
1:44:04y me quedaría
1:44:06desde menos infinito hasta cero, primer
1:44:09intervalo, otro intervalo que va desde
1:44:11cero hasta dos y otro intervalo que va
1:44:14de dos
1:44:16hasta infinito.
1:44:18Bueno,
1:44:19esos serían los intervalos que voy a
1:44:20utilizar
1:44:22para llenar la siguiente tabla.
1:44:27Para llenar la siguiente tabla.
1:44:29Entonces, lo primero será colocar los
1:44:31intervalos
1:44:36desde menos infinito a cero,
1:44:40desde cero a dos
1:44:43y desde dos hasta infinito.
1:44:46Okay.
1:44:47Establezcamos entonces ahora los valores
1:44:50de prueba. Entonces, yo he colocado aquí
1:44:54x = -1,
1:44:57x = -1, por aquí vamos a colocar x = 1 y
1:45:02por aquí x = a 3.
1:45:05Okay.
1:45:06Ahora con la segunda derivada vamos a
1:45:09evaluar esos números de prueba.
1:45:11Voy a colocarla por acá.
1:45:24Bueno, dejémosla acá.
1:45:26Listo, entonces para el primero,
1:45:29bueno, para el primero tenemos que la
1:45:31segunda derivada,
1:45:34la segunda derivada sería 12
1:45:37multiplicado por algo elevado al
1:45:39cuadrado
1:45:42menos
1:45:4424
1:45:47eh y el primer valor sería -1.
1:45:57Bueno, esto me daría 36
1:46:00el primer valor, 36.
1:46:03Entonces, vamos a escribir aquí que
1:46:08f segunda
1:46:09de -1 es igual
1:46:12a 36.
1:46:15Aquí vamos a calcular f segunda de 1
1:46:19igual
1:46:21y f segunda
1:46:23de 3 igual.
1:46:26Entonces, en el caso de 1
1:46:36en el caso de 1 será igual a -12.
1:46:43Y en el caso de 3
1:46:58tenemos 36.
1:47:0336. Ahora
1:47:05establezcamos que esto es
1:47:07mayor que 0, esto es menor que 0 y esto
1:47:11es mayor que 0.
1:47:13Okay.
1:47:15Bueno, y por aquí tengo
1:47:17por aquí tengo eh la definición.
1:47:21Entonces
1:47:23decimos que
1:47:25si f segunda es mayor que 0, entonces es
1:47:28cóncava hacia arriba. Entonces, esa es
1:47:30la conclusión que vamos a tener acá.
1:47:33Entonces, aquí
1:47:34cóncava
1:47:38hacia
1:47:41hacia arriba.
1:47:45Aquí menor que 0
1:47:49cóncava
1:47:52hacia abajo.
1:47:55Y aquí otra vez mayor que 0
1:47:59cóncava
1:48:02hacia arriba.
1:48:05Hacia arriba. Okay.
1:48:08Bueno.
1:48:09Entonces, ya tenemos la segunda tabla,
1:48:10entonces ya tenemos
1:48:13eh
1:48:14los intervalos en que la función es
1:48:16creciente, decreciente y también los
1:48:19intervalos donde hay donde Está la
1:48:22función cóncava hacia arriba y cóncava
1:48:24hacia abajo.
1:48:25Okay, asociado a esa concavidad,
1:48:27entonces recuerden que habíamos visto la
1:48:30definición del punto de inflexión.
1:48:33Entonces, básicamente qué dice la
1:48:35definición del punto de inflexión. Dice
1:48:38que Eh en el intervalo en que la función
1:48:41cambie de cóncava hacia arriba a cóncava
1:48:43hacia abajo o viceversa, entonces
1:48:46garantiza que ahí hay un punto de
1:48:48inflexión.
1:48:50Okay, entonces tenemos
1:48:52Tenemos dos puntos de inflexión, ¿no?
1:48:55Entonces, miren.
1:48:56Aquí
1:48:58Justamente aquí, en X igual a 0
1:49:02En X igual a 0 tenemos De cóncava hacia
1:49:06arriba pasó a cóncava hacia abajo. Y
1:49:08aquí, en X igual a 2
1:49:12Lo mismo. De cóncava hacia abajo pasó a
1:49:14cóncava hacia arriba, entonces Estos
1:49:17serían
1:49:18Puntos de inflexión.
1:49:20Esos serían los dos puntos de inflexión.
1:49:22Entonces, los puntos de inflexión
1:49:26Vamos a hallarlos
1:49:28Aquí
1:49:30Con la función.
1:49:32Entonces, vamos a calcular
1:49:35Vamos a calcular F de 0
1:49:38F de 0, que en este caso sería igual a
1:49:400. Es decir
1:49:43Un punto dos de coordenadas 0,
1:49:480.
1:49:49Y vamos a calcular también F de
1:49:53F de 2.
1:49:55F de 2. En este caso, F de 2
1:50:04En este caso tenemos
1:50:072 elevado a la 4
1:50:11Menos 4
1:50:14Elevado a la 3.
1:50:17Elevado a la 3 y el número es 2.
1:50:242.
1:50:25O sea, me da -16.
1:50:28-16.
1:50:30Obtenemos.
1:50:33Listo.
1:50:37Entonces, tenemos
1:50:38otro punto que sería el punto 3 de
1:50:41coordenadas
1:50:442, -16.
1:50:47Y estos serían
1:50:49puntos de inflexión.
1:50:52Puntos de inflexión.
1:50:55Bueno, ahí vamos resumiendo, ahí vamos
1:50:58haciendo el, digamos, el análisis y
1:50:59después lo vamos a verificar allá en la
1:51:03en la gráfica.
1:51:04Okay. Y por último,
1:51:06y por último, vamos a aplicar el
1:51:08criterio de la segunda derivada.
1:51:12Entonces,
1:51:13criterio
1:51:16de la segunda derivada.
1:51:23De la segunda derivada. Entonces,
1:51:24recuerden que la el criterio de la
1:51:26segunda derivada me sirve para verificar
1:51:30la existencia de un máximo o de un
1:51:33mínimo relativo.
1:51:35Okay. Y entonces,
1:51:36para eso necesito la segunda derivada.
1:51:43Para eso necesito la segunda derivada.
1:51:45Y los valores que voy a evaluar a través
1:51:48de la segunda derivada serían los
1:51:50números críticos.
1:51:52O sea, estos que tengo acá, miren.
1:51:54Estos serían los valores.
1:52:05Okay. Entonces,
1:52:07eh, vamos a calcular
1:52:10F segunda de 0.
1:52:14Entonces,
1:52:16F segunda de 0
1:52:18será igual
1:52:20a cero.
1:52:23Y F segunda
1:52:26F segunda de tres
1:52:29que será igual
1:52:32a ver cuánto nos da.
1:52:39Bueno, F segunda
1:52:41sería 12
1:52:43multiplicado por
1:52:46por tres
1:52:48elevado al cuadrado
1:52:49menos
1:52:5124 multiplicado por tres.
1:52:54Y eso sería 36.
1:52:5936.
1:53:0236.
1:53:04Bueno,
1:53:05entonces recuerden que el criterio dice
1:53:07que
1:53:13dice que si es mayor
1:53:15que si es mayor como en este caso
1:53:18como en este caso
1:53:20entonces
1:53:22la conclusión es que hay un
1:53:24mínimo relativo.
1:53:28Mínimo relativo.
1:53:29Entonces ese número
1:53:32ese mínimo relativo ya lo habíamos
1:53:33definido aquí, mire, a través del
1:53:35criterio de la primera derivada, mire,
1:53:38mínimo relativo en tres.
1:53:41En tres y ya dijimos que era el punto de
1:53:43coordenadas
1:53:48Ese es el mismo.
1:53:49Entonces es el punto uno
1:53:53verificado a través del criterio de la
1:53:54segunda derivada cuyas coordenadas son
1:53:573, menos
1:53:5927.
1:54:01Pero qué pasa con F segunda de cero
1:54:03igual a cero, pues dice aquí que el
1:54:05criterio falla y no puede usted
1:54:06determinar si es mínimo o máximo.
1:54:09Bueno, eso sería
1:54:11a grosso modo digamos como lo que uno
1:54:14hace
1:54:15eh de forma manual, es de forma
1:54:17analítica
1:54:18antes de pasar a la gráfica y ahora
1:54:20vamos a garantizar o vamos a ver cómo
1:54:23sería pues esa función en GeoGebra.
1:54:25Entonces vamos a pasarnos a GeoGebra.
1:54:30Okay, bueno, lo primero es vamos a poner
1:54:33ahí la función.
1:54:35A ver, yo la tengo por acá.
1:54:38Entonces la función es f de x
1:54:46f de x es igual
1:54:48f de x es igual a x a la 4
1:54:55a x a la 4
1:54:58-4x a la 3
1:55:00-4x a la 3
1:55:04Okay.
1:55:05Bueno, esa es la función.
1:55:07Bueno.
1:55:08Entonces tenemos
1:55:12tenemos eh
1:55:15Bueno, dijimos que habíamos hallado
1:55:18números críticos
1:55:20números críticos en cero. Vamos a
1:55:23colocar los los primeros números los
1:55:25primeros números eh
1:55:29los primeros números críticos. Permítame
1:55:32yo
1:55:33miro acá.
1:55:37Cómo los vamos a colocar.
1:55:40Eh
1:55:43A caray.
1:55:46Permítame yo veo acá.
1:55:50Bueno, hay hay varias formas de de
1:55:52sacarlos allá en la
1:55:56de sacarlos allá en en GeoGebra, pero
1:55:59voy a utilizar
1:56:01voy a utilizar este comando que es
1:56:05a través de extremos
1:56:09extremos
1:56:11extremos eh
1:56:13y polinomio.
1:56:16Extremos
1:56:18extremos Ah, pero esta no es.
1:56:21Esta no es, esta no es.
1:56:25A ver, extremos función y abscisa.
1:56:29Es esta.
1:56:30Entonces, de F,
1:56:32coma,
1:56:34por ejemplo, eh desde -5,
1:56:38desde -5 hasta
1:56:41hasta 5. Vamos a colocarlo ahí.
1:56:44Listo.
1:56:46Extremos de -5 a 5.
1:56:52A ver.
1:56:54Solo me colocó uno.
1:56:58Solo me colocó uno.
1:57:06Sí, solo me colocó uno. Entonces, ese
1:57:09valor ¿cuál es? Ese valor sería este de
1:57:11aquí, el mínimo, el mínimo recuerden que
1:57:13habíamos calculado un mínimo relativo
1:57:16que es eh el punto de coordenadas 3,
1:57:19-27. O sea, ahí ya tenemos el primero.
1:57:23¿Sí?
1:57:24Y tenemos otros puntos que son los
1:57:26puntos de inflexión, entonces vamos a
1:57:27ver los puntos de inflexión.
1:57:30Entonces, vamos a decirle punto
1:57:34punto de inflexión
1:57:37del polinomio F.
1:57:41Punto de inflexión.
1:57:44Okay.
1:57:45Entonces, tenemos dos puntos de
1:57:47inflexión.
1:57:49Tenemos el punto de coordenadas 0,0 y el
1:57:522, -16.
1:57:55A ver si lo tenemos por acá, dos puntos
1:57:57de inflexión, el 2, -16 y el 0,0. Ahí
1:58:01está bien.
1:58:04Okay.
1:58:05Bueno, pero la otra es analizar los
1:58:08puntos, los puntos no, sino los
1:58:10intervalos en que la función es
1:58:12creciente o decreciente. Entonces, ¿qué
1:58:14dijimos de acuerdo
1:58:16al análisis?
1:58:17Dijimos
1:58:19dijimos que desde -infinito hasta 0 la
1:58:23función
1:58:24decrece.
1:58:27Entonces, desde menos infinito, desde
1:58:30menos infinito hasta cero viene
1:58:32decreciendo, o sea, viene bajando hasta
1:58:34aquí.
1:58:34Decrece.
1:58:36Luego,
1:58:39crece desde cero hasta tres.
1:58:43La función crece desde cero hasta tres.
1:58:49Caray.
1:58:51De cero a tres.
1:58:54Ah, bueno, pero aquí es, a ver, espere
1:58:56un momentico.
1:58:58Desde menos infinito
1:59:01a cero, de cero a tres, decreciente. Es
1:59:04decir, la función sigue decreciendo. De
1:59:06cero a tres sigue decreciendo.
1:59:08O sea, sería esta parte, mire.
1:59:10Desde aquí hasta
1:59:13hasta el tres. Hasta este punto la
1:59:16función se sigue decreciendo.
1:59:19Y ahora, desde tres hasta infinito la
1:59:22función crece.
1:59:23O sea, sería el otro.
1:59:25El otro intervalo.
1:59:27Bueno, eso con respecto a los intervalos
1:59:29[resoplido] de crecimiento y
1:59:31decrecimiento.
1:59:32Y
1:59:34con relación
1:59:36con relación a la concavidad, entonces
1:59:38se dice que es cóncava hacia arriba
1:59:41y
1:59:42desde menos infinito hasta cero, pero
1:59:46eh la cosa es que no sé
1:59:49no sé cómo hacer el ajuste de la escala
1:59:51aquí para mostrarles bien.
1:59:54Pero vamos a tener
1:59:56vamos a hacer un plan B acá.
2:00:00Mi profe, qué pena le interrumpo. La
2:00:02escala se puede ajustar manteniendo
2:00:04shift presionado y y seleccionando el
2:00:08eje.
2:00:09A ver, vamos a ver, profe.
2:00:11Shift y
2:00:12¿y cómo, profe?
2:00:13No, sobre sobre el eje que que quiere
2:00:16cambiar la
2:00:17¿Acá sobre este?
2:00:19Eso. Y dele hacia Eso, ahí cuando le
2:00:23sale esa flechita es porque
2:00:24No, pero pero pero se
2:00:26Mantenga el chi, eso, mantenga el chi
2:00:28presionado y dele hacia hacia donde lo
2:00:30quiera usted.
2:00:31ya, ya,
2:00:32sí,
2:00:38Bueno, aquí ya podemos ver un poco más,
2:00:40pero podíamos
2:00:42como la cosa, shift, eso.
2:00:45Bueno, ahí sí se puede ver mejor.
2:00:47Entonces, tenemos
2:00:49que la función es cóncava
2:00:51cóncava hacia arriba desde menos
2:00:53infinito hasta cero. Entonces, revisemos
2:00:56esa parte.
2:00:58Desde menos infinito hasta cero.
2:01:01Mire, desde menos infinito cóncava hacia
2:01:04arriba, o sea, hasta aquí.
2:01:07Cóncava hacia arriba, ¿sí?
2:01:09Desde cero hasta dos es cóncava hacia
2:01:13abajo, o sea, sería este pedazo aquí no
2:01:15más.
2:01:17O sea, desde B hasta C, cóncava hacia
2:01:19abajo.
2:01:20Desde C hasta más infinito
2:01:23sería cóncava hacia arriba.
2:01:26Y aquí donde hay un cambio de
2:01:28concavidad, que es justamente aquí en
2:01:30este punto, de cóncava hacia arriba a
2:01:32cóncava hacia abajo, este sería el punto
2:01:34de inflexión. Y en este otro caso
2:01:36también, en que cóncava hacia abajo y
2:01:39ahora cóncava hacia arriba serían los
2:01:40dos puntos de inflexión.
2:01:42Bueno, y esa es la forma como se se
2:01:44analiza la gráfica, ¿no?
2:01:46Y digamos que para realizar más cosas,
2:01:49más elementos
2:01:51en el caso de unas funciones más
2:01:53complejas, porque
2:01:54esta función la la busqué, la la
2:01:56construí garantizando pues que la
2:01:58solución de las ecuaciones fuera
2:02:00sencilla para mostrar el procedimiento.
2:02:03Se utilizan se utilizan el
2:02:06comportamiento a través de los límites,
2:02:08en el caso de la de la existencia, por
2:02:10ejemplo, de asíntotas verticales, de
2:02:13asíntotas horizontales, entonces se
2:02:15complementa para hacer el esbozo de una
2:02:17gráfica. Eso sería como para para
2:02:20terminar.
2:02:21Bueno, no sé si tienen preguntas hasta
2:02:23ahí.
2:02:26Porque nos vamos a pasar ahora sí al
2:02:27ejercicio de aplicación, ¿qué horas
2:02:29tenemos?
2:02:31[risas]
2:02:33Ya, hasta el momento no hay preguntas,
2:02:35mi profe.
2:02:35Okay, bueno.
2:02:37Ténganme paciencia porque dice y como
2:02:39dice el profe,
2:02:40yo me emociono aquí, pero quería
2:02:42mostrarles, digamos, todo el
2:02:43procedimiento porque es que,
2:02:45digamos, un estudiante que no,
2:02:47que no tiene, bueno, que no está en la
2:02:50presencialidad, se pierde de todo esto,
2:02:52¿sí? Y entonces, el único espacio en el
2:02:54que podemos compartir toda esta cantidad
2:02:57de de de de conocimiento, de teoría, de
2:02:59análisis, es en este espacio,
2:03:01justamente, así que,
2:03:03vamos a pasar a la a la aplicación.
2:03:05Entonces,
2:03:07vamos a ir un poco más rápido, en este
2:03:09caso,
2:03:10de la aplicación. Bueno, el ejercicio
2:03:12aplicación, este es un contexto
2:03:14que tiene el mismo modelo de de función
2:03:18cúbica, pero pues es un contexto
2:03:20totalmente diferente, pues, que no no
2:03:23tendría ningún sentido resolver el el A
2:03:25o el B o el cualquiera de las letras
2:03:27porque
2:03:28ese es la la tarea que les toca a
2:03:30ustedes.
2:03:31Entonces, dice así,
2:03:34"Para la carga de datos en procesamiento
2:03:36en un centro de cómputo en la nube, en
2:03:39terabytes,
2:03:41eh,
2:03:43donde T es el tiempo en horas y F de T
2:03:45es la carga de datos en terabytes.
2:03:47Entonces, el modelo,
2:03:50eh, se pide que a través de ese modelo
2:03:52se analice lo siguiente lo siguiente.
2:03:56Primero,
2:03:57qué información da la primera derivada
2:03:59de
2:04:00F prima de T sobre el procesamiento de
2:04:02datos.
2:04:04Eh, segundo,
2:04:06eh, la segunda derivada,
2:04:09que haga la segunda derivada.
2:04:12Eh, que explique antes de calcular para
2:04:15qué sirve cada una, cada una de esas,
2:04:18eh,
2:04:19digamos,
2:04:20de esas derivadas, para qué me sirve,
2:04:23eh, en ese contexto, eh, relacionado con
2:04:26la carga de datos. Eh, bueno, esto
2:04:27aplica más, digamos, más como para
2:04:30para estudiantes, eh, de ingeniería
2:04:33ingeniería de sistema, ingeniería
2:04:35electrónica, relacionados en el en el
2:04:38contexto de
2:04:40de esos datos.
2:04:42En el segundo dice que calcule las dos
2:04:45derivadas, la primera y la segunda, y
2:04:47con esos resultados determine en qué
2:04:49horas el tráfico no sube ni baja, en qué
2:04:52periodo la carga está creciendo,
2:04:54en qué horas
2:04:56en qué horas el bueno, el procesamiento
2:04:59se acelera
2:05:01y que haga la gráfica en GeoGebra de las
2:05:03tres funciones
2:05:05y que
2:05:07y que responda la pregunta en qué
2:05:08momento conviene activar servidores de
2:05:11respaldo y que explique la respuesta.
2:05:14Bueno, entonces aquí hay unos elementos
2:05:15relacionados con lo que yo acabo de
2:05:17explicar de manera analítica, por
2:05:19ejemplo, que mire dónde está creciendo,
2:05:24pero
2:05:25la diferencia con lo que les acabo de
2:05:27explicar es que vamos a poner en
2:05:29simultánea las tres gráficas,
2:05:32las tres gráficas, es decir, el modelo,
2:05:34el modelo de FDT, la derivada y la
2:05:38segunda derivada.
2:05:40Bueno, para responder la primera
2:05:41pregunta, entonces vamos a pasarnos al
2:05:43otro lado.
2:05:50Aquí.
2:05:52Entonces,
2:05:54entonces para responder la primera
2:05:55pregunta sería
2:05:58eh qué significa la primera derivada.
2:06:01Entonces, recuerdan que les mostré en el
2:06:03contexto de la cinemática que
2:06:06teníamos una primera
2:06:08una primera función,
2:06:12función de SDT y la primera derivada eh
2:06:16correspondía a la velocidad y la segunda
2:06:18derivada correspondía a la aceleración,
2:06:20pues aquí ocurre algo similar.
2:06:23Entonces, se dice que
2:06:25F prima de T proporciona la tasa de
2:06:28cambio, se suele se suele llamar también
2:06:31razón de cambio.
2:06:33Entonces,
2:06:35tasa de cambio instantánea de la carga
2:06:38de datos.
2:06:40Y las unidades serían en terabyte hora.
2:06:43Terabyte hora.
2:06:45Okay.
2:06:47Bueno.
2:06:49Otra parte dice que eh bueno, ¿para qué
2:06:51sirve? ¿Para qué sirve eh digamos esa
2:06:55primera derivada?
2:06:57Pues en este contexto esa primera
2:07:00derivada sirve para la gestión de
2:07:02servidores en la nube. Quienes tienen
2:07:04conocimiento de eso, bueno, yo
2:07:05desconozco eso.
2:07:07Eh se dice que permite conocer si
2:07:12la cola de peticiones está creciendo, es
2:07:15decir, lo que les acabo de explicar.
2:07:18F prima de T es mayor que cero,
2:07:21o sea, está creciendo.
2:07:23O también podemos analizar
2:07:26eh si la capacidad de cómputo se está
2:07:30está decreciendo en el sistema, es
2:07:32decir, F prima de T es menor que cero.
2:07:36Bueno, permite calcular eso. O también
2:07:39en el caso de que F prima de tres,
2:07:42perdón, F prima de cero sea i
2:07:45F prima de T sea igual a cero. En ese
2:07:47caso permite identificar las horas
2:07:50críticas
2:07:52de flujo estacionario.
2:07:54Donde se alcanzan
2:07:57picos de congestión o valles, es decir,
2:08:00donde
2:08:01donde se disminuye, donde se disminuye
2:08:04esa cola
2:08:05de datos
2:08:07que está eh siendo
2:08:10siendo procesada para subir a la nube.
2:08:13Bueno, eso sería más o menos
2:08:15eh
2:08:16la primera parte.
2:08:18Para la segunda parte, entonces, vamos a
2:08:20comenzar a calcular la primera y la
2:08:22segunda derivada. Entonces, vamos a
2:08:23pasar ahí.
2:08:39Bueno, calculamos primera derivada.
2:08:43Bueno, entonces F prima
2:08:54F prima de T será igual
2:09:16Okay.
2:09:17Bueno, vamos a aplicar la la derivada de
2:09:20manera directa para no demorarnos.
2:09:21Entonces, vamos a decir que esto es
2:09:253/5
2:09:273/5 de T al cuadrado menos
2:09:31menos 12 T
2:09:33más
2:09:3545. Esa sería la primera derivada.
2:09:38La segunda derivada.
2:09:44F segunda de T sería
2:09:476/5
2:09:506/5 de T menos
2:09:53menos 12.
2:09:55Okay.
2:09:56Bueno.
2:09:58Entonces, recuerden que con la primera
2:09:59parte
2:10:00hallamos los números críticos.
2:10:03Entonces, para hallar los números
2:10:05críticos
2:10:11pues hacemos 3/5
2:10:163/5 de T cuadrado menos 12 T
2:10:21eh más 45
2:10:25igual a cero.
2:10:26Esta es una
2:10:28esta es una qué esta es una ecuación
2:10:30cuadrática que podemos simplificar
2:10:33si usted multiplica, por ejemplo
2:10:37si multiplica por el inverso
2:10:39multiplicativo, es decir, por 5/3
2:10:42entonces obtenemos
2:10:46obte que esto es
2:10:48T cuadrado
2:10:50-20T
2:10:52-20T + 75
2:10:57= 0.
2:10:58Bueno, esto es por conveniencia
2:11:01para resolver esta ecuación eh por
2:11:04factorización, porque ustedes saben que
2:11:06se puede resolver como por tres formas
2:11:08distintas, entonces yo he elegido esa.
2:11:11Entonces, aquí vamos a factorizar.
2:11:16Vamos a factorizar este trinomio como T
2:11:21T menos
2:11:22y T menos por menos, menos por más da
2:11:25menos
2:11:26y esto = 0.
2:11:29Entonces, se buscan dos números
2:11:31dos números que sumados den -20 y que
2:11:34multiplicados den 75. Esos números son
2:11:385 y 15.
2:11:41Entonces, para resolver esa ecuación
2:11:43hacemos
2:11:44T -5 = 0
2:11:47o
2:11:49T -15 = 0. En este caso, T es = 5 y T es
2:11:56= 15.
2:11:58Okay, estos serían nuestros números
2:12:00críticos.
2:12:01Dos números críticos que van que van a
2:12:04servirnos
2:12:06para
2:12:07eh el análisis.
2:12:09Okay.
2:12:12Bueno, entonces, ahora
2:12:15lo que vamos a hacer es
2:12:17responder la pregunta horas en que la
2:12:19carga no sube ni baja.
2:12:22Horas en que la carga no sube ni baja.
2:12:47Entonces, es
2:12:49F prima de T
2:12:52igual a cero.
2:12:53Entonces esos serían estos dos valores.
2:12:56Serían esos dos primeros valores.
2:12:59Okay.
2:13:01Bueno.
2:13:07Ahora vamos a aplicar
2:13:09vamos a aplicar, recuerden que el la
2:13:11segunda derivada me sirve para
2:13:14establecer eh
2:13:17la existencia de un mínimo o de un
2:13:19máximo local. Entonces vamos a aplicar
2:13:21criterio de la segunda derivada.
2:13:36Criterio de la segunda derivada.
2:13:38Es decir, voy a evaluar a través de la
2:13:40segunda derivada
2:13:41estos números críticos.
2:13:44Entonces
2:13:46F segunda
2:13:48F segunda de cinco
2:13:51que será igual
2:13:54que será igual a 6/5
2:13:586/5 por 5 menos
2:14:01menos 12.
2:14:06Y esto me da
2:14:08esto me da
2:14:09menos
2:14:116.
2:14:12Y también voy a calcular F segunda
2:14:16de 15.
2:14:19Es decir, 6/5
2:14:22multiplicado por 15
2:14:24menos 12.
2:14:26Y esto me da
2:14:29y esto me da 6.
2:14:32Bueno.
2:14:33Entonces
2:14:34este número es menor que cero
2:14:38y este número es mayor que cero.
2:14:41Ese número es mayor que cero. Entonces
2:14:44en el caso
2:14:45en el caso del menor que cero
2:14:48entonces la conclusión sería que aquí
2:14:51hay un
2:14:54máximo local.
2:14:59Y en este otro sería aquí hay un
2:15:03mínimo
2:15:04local. Okay.
2:15:07Bueno, estoy yendo un poco rápido porque
2:15:08ya estamos sobrepasados del tiempo.
2:15:11Entonces,
2:15:12¿cuáles son esos puntos? ¿Cuáles son
2:15:15esos puntos? Esos puntos son evaluar
2:15:18esos números a través de la función, es
2:15:21decir,
2:15:22f de cinco,
2:15:24f de cinco
2:15:26es igual
2:15:28calculándolo a través de la expresión,
2:15:30eso me da
2:15:32180
2:15:34terabytes.
2:15:36Es decir, que el punto
2:15:39tiene coordenadas
2:15:415,
2:15:44180.
2:15:45Y en este caso,
2:15:48tenemos que esto es,
2:15:50a ver,
2:15:52tenemos f de 15
2:15:55y f de 15
2:15:57me da
2:15:5980
2:16:01terabytes.
2:16:03Es decir, el punto
2:16:06de coordenadas
2:16:0915,
2:16:1180.
2:16:13Bueno,
2:16:14okay.
2:16:16Bueno, entonces,
2:16:18esos son los esos son los criterios.
2:16:19Entonces, recuerden que
2:16:21recuerden que eh
2:16:25el criterio de la segunda derivada
2:16:28me determina ese máximo y ese mínimo.
2:16:30Pero
2:16:32en el caso que la primera derivada sea
2:16:35igual a cero,
2:16:37a ver,
2:16:39sea igual a cero,
2:16:42bueno,
2:16:44bueno, vamos a analizar primero, vamos a
2:16:46analizar primero antes de meternos allá,
2:16:49vamos a analizar primero los periodos
2:16:52en que la carga está creciendo.
2:16:54Entonces, vamos a escribir aquí
2:17:01periodos
2:17:05en que la carga
2:17:08está creciendo.
2:17:11Es una de las preguntas
2:17:15que debemos responder.
2:17:17Y lo vamos a hacer con los números
2:17:18críticos. Bueno, yo tengo por aquí la
2:17:20tabla.
2:17:22Okay.
2:17:24Entonces, [carraspeo]
2:17:26como los números críticos, como los
2:17:28números críticos son 5 y 15, entonces,
2:17:32eh los intervalos me quedarían
2:17:36Ah, bueno, esta esta función no diríamos
2:17:39eh desde menos infinito,
2:17:41no diríamos desde menos infinito a a 5,
2:17:44¿por qué? Pues porque porque no tiene
2:17:47ningún sentido eh
2:17:50el los números negativos para esta
2:17:52función, ¿no?
2:17:53¿Por qué? Porque es una función que
2:17:56depende del tiempo, entonces, el tiempo
2:17:58lo vamos a tomar desde 0. Es decir, esta
2:18:00función
2:18:02eh nos conviene analizarla o mejor ese
2:18:05modelo está definido desde 0 en
2:18:07adelante. Por eso es que en este caso
2:18:10particular, voy a colocar el intervalo
2:18:12que vaya desde 0
2:18:14hasta 5.
2:18:16El otro intervalo sería desde 5 hasta 15
2:18:20y el otro intervalo sí sería desde 15 en
2:18:22adelante, es decir, hasta infinito.
2:18:25Bueno,
2:18:26elijamos los valores de prueba
2:18:27rápidamente, entonces, un número que
2:18:29esté entre 0 y 5, yo voy a tomar T = 1.
2:18:34Por aquí voy a tomar
2:18:36T = 6.
2:18:38Y por aquí voy a tomar T = 16. Y voy a
2:18:42calcular el signo, voy a calcular el
2:18:45signo a través de la segunda derivada
2:18:48que la tengo acá.
2:18:51Entonces, mirémoslo.
2:18:54Entonces, esta es la segunda derivada,
2:18:55entonces vamos a calcular
2:18:58Ah no, esta es la esta es la segunda,
2:18:59necesito la primera.
2:19:02Necesito la primerita, es esta.
2:19:11Okay.
2:19:13Entonces vamos a calcular eh
2:19:16F prima
2:19:19Vamos a calcular
2:19:21F prima de 1
2:19:25F prima de 6
2:19:27Y F prima
2:19:29De
2:19:3016
2:19:32Igual, igual.
2:19:34Bueno, entonces F prima de 1 me da 33,6.
2:19:4033,6
2:19:43Por aquí me da -5,4
2:19:48Y por acá me da 6,6.
2:19:516,6
2:19:52Entonces analizando esto es mayor que 0
2:19:56Esto es menor que 0 y esto es mayor que
2:20:000. Entonces ya saben las conclusiones,
2:20:02¿no?
2:20:03Entonces mayor que 0 significa
2:20:05Creciente
2:20:07Por aquí decreciente
2:20:11Y por aquí nuevamente creciente.
2:20:14Bueno, eso es.
2:20:16Okay.
2:20:17Entonces para responder esa parte,
2:20:19entonces lo que podemos decir es Que la
2:20:22carga de datos eh en procesamiento está
2:20:26creciendo en qué intervalos
2:20:28Desde 0 hasta 5
2:20:32Desde 0 hasta 5
2:20:35Unido desde
2:20:38Desde 15
2:20:41Hasta infinito
2:20:44Horas.
2:20:45Horas porque
2:20:47Hora es el dominio de la función, ¿no?
2:20:49Okay.
2:20:51Bueno.
2:20:52Y por el otro lado
2:20:55Nos preguntan las horas en el que el
2:20:58procesamiento se está acelerando.
2:21:00Y para eso vamos a utilizar la segunda
2:21:03derivada.
2:21:04Entonces, la segunda derivada que ya la
2:21:07tenía por acá.
2:21:18Okay.
2:21:19Entonces, vamos a colocar aquí
2:21:21horas
2:21:25horas en que el procesamiento
2:21:35se está acelerando.
2:21:42Se está acelerando. Okay.
2:21:44Es decir, vamos a revisar
2:21:46F F segunda de T
2:21:50mayor que cero.
2:21:51¿Listo?
2:21:52Bueno, entonces, eh
2:21:55vamos a ponerla acá.
2:21:59Y vamos a calcular
2:22:03Vamos a calcular eso. Entonces,
2:22:05tenemos la segunda derivada,
2:22:07entonces, vamos a decir 6/5
2:22:116/5 de T - 12 es mayor que cero.
2:22:16Observen ahora que ya no tengo que ya no
2:22:19tengo una ecuación, sino tengo una
2:22:22inecuación.
2:22:23Porque aquí ya no tengo el igual, sino
2:22:26tengo mayor.
2:22:27Entonces, vamos a resolver.
2:22:29Entonces, aquí diríamos
2:22:316/5 de T es mayor que 12 y
2:22:37aquí tendríamos a
2:22:40que T es mayor
2:22:43que 12 multiplicado por
2:22:455/6, o sea, que T es mayor que
2:22:4910.
2:22:51Bueno, este es el dato que me interesa.
2:22:53T es mayor que 10. Entonces, significa
2:22:56que
2:22:57significa que se está acelerando el
2:22:59procesamiento
2:23:01a partir de la hora 10.
2:23:04Eso sería.
2:23:06Bueno.
2:23:09Y de una vez
2:23:11vamos a utilizar, vamos a utilizar ese
2:23:14valor
2:23:15para hacer el análisis
2:23:17de la concavidad.
2:23:25Okay. Bueno, entonces como solamente
2:23:27tengo un valor, aquí solamente me salen
2:23:29dos intervalos, uno que va desde 0 hasta
2:23:3210. Ya les dije por qué desde 0 y el
2:23:36otro que iría desde 10 hasta infinito.
2:23:39Entonces los valores de prueba para mí
2:23:42son
2:23:44T igual a 1 y T es igual a 11.
2:23:48T es igual a 11. Y aquí yo calculé
2:23:52F segunda de 1 y también calculé F
2:23:56segunda de 11.
2:23:59Y los resultados fueron
2:24:02-10.8
2:24:05y 1.2.
2:24:07Entonces este valor es menor que 0, este
2:24:11valor es mayor que 0 y la conclusión es
2:24:14que es
2:24:16cóncava
2:24:17hacia abajo.
2:24:21Hacia abajo y aquí cóncava hacia arriba.
2:24:29Cóncava hacia arriba. Okay.
2:24:32Bueno, eso sería
2:24:34eso sería eh la parte analítica.
2:24:39Entonces
2:24:41eh
2:24:42el procesamiento de los datos se está
2:24:44acelerando para todo tiempo eh posterior
2:24:48a la hora 10. Ya lo vamos a ver allá en
2:24:50las gráficas.
2:24:51Y ese ese ese tema T igual a 10
2:24:56como hay un cambio como hay un cambio de
2:24:58concavidad, me determina que ese es un
2:25:00punto de inflexión.
2:25:02Entonces, podríamos calcularlo
2:25:04como punto de inflexión
2:25:06haciendo
2:25:08F de 10
2:25:10y en este caso F de 10 es igual
2:25:13a 130
2:25:16terabytes.
2:25:17Okay.
2:25:18Bueno, y ahora sí, vamos a pasar a
2:25:20mostrar la gráfica, a mostrar las tres
2:25:23gráficas y hacer eh hacer el análisis de
2:25:26manera rápida porque
2:25:28estamos bien de tiempo.
2:25:30Entonces, pasémonos a Geogebra.
2:25:32Sí, mi profe, qué pena interrumpirte. Eh
2:25:34te encargaría, mi profe, si podemos
2:25:36rápidamente resumir la última parte
2:25:38porque sí, estoy en el SEAT y ya me
2:25:41están pidiendo retirarme.
2:25:43[risas]
2:25:44Listo, listo, listo, profe. 5 minutos
2:25:45cerramos, cerramos, listo. Acá. Bueno,
2:25:48vamos a hacerlo rápidamente, solamente
2:25:50las
2:25:51las funciones.
2:25:53Uy.
2:25:54Bueno, la función, entonces, la
2:25:56primerita, primerita,
2:25:59F
2:26:01vamos a colocar aquí
2:26:05F de X
2:26:07F de X es igual a 1/5
2:26:11a 1/5
2:26:12de X a la 3
2:26:16de X a la 3
2:26:18menos
2:26:20menos 6 X al cuadrado
2:26:256 X al cuadrado
2:26:28más 45 T
2:26:29más 45 X
2:26:32más 80. Esa es mi
2:26:34mi función.
2:26:36Esa es mi función.
2:26:45Bueno, esa es la función. Ahora vamos a
2:26:47calcular la derivada, una función que se
2:26:49llame G
2:26:51G de X
2:26:52que sea igual a la derivada
2:26:57a la derivada
2:27:00de la función F.
2:27:02Okay.
2:27:03Y vamos a poner otra función que se
2:27:05llame H de X.
2:27:07Que sea igual.
2:27:08A la derivada.
2:27:11A la derivada de la anterior que sería
2:27:13la derivada de.
2:27:14De G.
2:27:16Okay.
2:27:21Bueno, vamos a hacer.
2:27:27Caray.
2:27:29Bueno, aquí las tengo.
2:27:30Bueno, esas esas serían las. Esas serían
2:27:33las tres.
2:27:35Las tres, pero es que no se ve bien.
2:27:38Bueno, yo las tengo yo las tengo aquí.
2:27:40Aquí en la en la presentación.
2:27:44Y por tiempo vamos a pasar aquí. Mira,
2:27:46aquí están las tres.
2:27:48La función.
2:27:49La función eh.
2:27:54La función roja es el modelo, es la
2:27:56función. Es la función inicial.
2:28:00La segunda función.
2:28:02Eh la es la primera derivada, o sea,
2:28:04sería la azul.
2:28:07La azul y la tercera.
2:28:09Sería la segunda derivada de la roja.
2:28:12Okay.
2:28:13Y aquí vamos a ver si si tenemos, no sé
2:28:16si se escucha, a ver si tengo.
2:28:20Si tengo audios, permítanme un momento.
2:28:25Sí se escucha, sí está escuchando bien,
2:28:27profe, tranquilo.
2:28:28Sí, pero es que aquí vamos a poner un
2:28:30audio. Un audio acá.
2:28:34Necesito que suene esto.
2:28:37Okay, vamos a ver si se escucha.
2:28:39El cálculo diferencial es lo que evita.
2:28:41¿Sí? ¿Sí están escuchando?
2:28:43¿Sí se alcanzó a escuchar?
2:28:44Sí, señor, sí se escucha.
2:28:45Okay, listo, pues.
2:28:47Ponerle cuidado ahí, esa sería la.
2:28:52El cálculo diferencial es lo que evita
2:28:54que los servidores en la nube colapsen.
2:28:56La memoria en cola de un centro de datos
2:28:58obedece a modelos matemáticos que suben
2:29:01y bajan. En esta gráfica la curva roja
2:29:04es la carga en terabytes, es el estado
2:29:06actual del sistema. La curva azul es la
2:29:09primera derivada, el velocímetro. Nos
2:29:12indica si entran o salen datos. Hasta la
2:29:14hora 5, la velocidad es positiva y
2:29:17empuja la carga hasta el primer pico.
2:29:19Luego, el velocímetro se vuelve
2:29:21negativo.
2:29:22La carga cae y parece que el peligro ya
2:29:24pasó.
2:29:25Falso. Observa la segunda derivada, la
2:29:28recta verde que actúa como el pedal del
2:29:30acelerador.
2:29:32En la hora 10, tenemos un punto de
2:29:33inflexión.
2:29:35El acelerador cruza a terreno positivo.
2:29:37Aunque la carga siga bajando, el tráfico
2:29:40ya está acelerando. Es tu radar de
2:29:42alerta temprana.
2:29:44En la hora 15, el velocímetro azul
2:29:46vuelve a ser positivo tras tocar el
2:29:48fondo del valle.
2:29:49Como la aceleración verde ya traía
2:29:51impulso, los datos se disparan
2:29:53verticalmente sin control. Si enciendes
2:29:56servidores de respaldo recién aquí, la
2:29:59congestión repentina colapsará todo el
2:30:01sistema. Por eso, la matemática exige
2:30:03iniciar el protocolo preventivo
2:30:05exactamente en la hora 10, mientras el
2:30:07tráfico está abajo.
2:30:09La primera derivada lee tu presente,
2:30:11pero la segunda te avisa hacia dónde vas
2:30:14mucho antes de que sea tarde.
2:30:21Bueno, y de esta forma terminamos.
2:30:23[risas]
2:30:24Faltó analizar ahí unas cositas, pero
2:30:26bueno, ese ese video, si lo vuelven a
2:30:28ver en la en la grabación que les vamos
2:30:31a compartir, ahí está,
2:30:33digamos, el análisis de lo que pedía él,
2:30:36el ejercicio de aplicación.
2:30:39Bueno, ha sido un gusto compartir con
2:30:40ustedes.
2:30:41Les deseo una buena noche.
2:30:44Mi profe, más que agradecido con usted
2:30:47por el apoyo, por el desarrollo, todo
2:30:49muy bien detallado, muy bien descrito.
2:30:52Entonces, le agradezco completamente por
2:30:54el apoyo a mis demás tutores de apoyo
2:30:57también, muchísimas gracias por el
2:30:59acompañamiento
2:31:01y, pues, por la realización de esta gran
2:31:03webconferencia. Eh, compañeritos, esta
2:31:06grabación se les se compartiendo el día
2:31:08de mañana por todos los medios de
2:31:11comunicación, entonces para que por
2:31:12favor estemos pendientes. Feliz noche,
2:31:15que estén muy bien. Muchas gracias, mi
2:31:16profe. Muchas gracias, mis compañeros
2:31:18tutores.
2:31:20Que estén muy bien.
2:31:25Gracias, profe. Feliz noche.

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