Volumendehnung — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:07Wir hten uns bis jetzt die Verzerrungen
3. 0:08angeguckt und die Verzerrungen hatten
4. 0:10wir eingeführt als Maß einer
5. 0:14Längenänderung. Und jetzt kann man sich
6. 0:15natürlich die Frage stellen, okay, ich
7. 0:17habe jetzt eigentlich eine
8. 0:17Längenänderung in eins Richtung, in zwei
9. 0:19Richtung, in drei Richtung. Wenn ich das
10. 0:20zusammenbaue, dann dann ändert sich ja
11. 0:22auch das Volumen eines Körpers
12. 0:24dementsprechend wie dieser Körper
13. 0:26deformier deformiert wird. Und ich
14. 0:28möchte jetzt ein Maß herleiten für diese
15. 0:32Volumendhnung. Und zwar möchte ich
16. 0:34dieses eine Maß, dies Maß einmal ganz
17. 0:36allgemein herleiten, also für den
18. 0:38wirklich allgemeinfall und dann
19. 0:40vereinfachen für den linearen Fall. Das
20. 0:43heißt, für den Fall, indem wir uns
21. 0:44bewegen, wo wir sagen, dass wir kleine
22. 0:47Verformungen und Verzerrungen vorliegen
23. 0:56haben. Wir fangen, wie wir es auch zuvor
24. 0:59gemacht haben, jetzt einfach mal mit der
25. 1:01Einführung einer wirklich ganz
26. 1:02allgemeinen Volumendehnung an.
27. 1:10Und wie wir es bei den Längen gemacht
28. 1:12hatten, definieren wir auch diese
29. 1:13Volumdehnung äh als Differenz meiner als
30. 1:17Differenz zwischen der momentan
31. 1:21Konfiguration und dem Ausgangszustand.
32. 1:23Das heißt, meine Volumenung wird
33. 1:25definiert
34. 1:30als wobei der Index 0 das Volumen im
35. 1:35Ausgangszustand bezeichnet.
36. 1:37und das eben das DV das Volumen im
37. 1:41momentanzustand ist. Und diese Differenz
38. 1:44wird definiert als Volumendehnung
39. 1:49E mit dem Index
40. 1:53Volumen. Damit ergibt
41. 2:00sich die Volumdehnung als Differenz der
42. 2:06Volumen bezogen auf das
43. 2:12Ausgangsvolumen. Und dieses EV
44. 2:15bezeichnet man als allgemeine
45. 2:19Volumendehnung, wobei der
46. 2:21Vollständigkeithalber jetzt hier noch
47. 2:22mal gesagt sei, das
48. 2:25DV ist das
49. 2:28Volumen im
50. 2:36momentanzustand und das DV0 ist das
51. 2:41Volumen im Referenz.
52. 2:49Zustand. Damit haben wir die allgemeine
53. 2:53Volumenung definiert. Aber jetzt stellt
54. 2:55sich natürlich die Frage, wie berechnet
55. 2:57man jetzt diese
56. 3:00Volumenelemente? Und das geht relativ
57. 3:02einfach. Wir haben das Werkzeug dazu
58. 3:04schon kennengelernt in der Mechanik 1,
59. 3:06in der Vektorrechnung. Wenn wir das
60. 3:08Volumen eines Körpers berechnen wollten,
61. 3:09haben wir das sogenannte Spartprodukt
62. 3:11verwendet. Und genau das gleiche machen
63. 3:13wir jetzt hier. Das heißt, wir bestimmen
64. 3:15als allererstes mal das
65. 3:27Ausgangsvolumen, wobei dieses
66. 3:29hier die Definition des
67. 3:33Spartprodukts entsprach.
68. 3:38Genau das gleiche mache ich früher das
69. 3:40Volumen des
70. 3:51Momentanzustands. Wobei sich hier
71. 3:52natürlich jetzt aber die Kantenläng
72. 3:56jeweils um den Verschiebungsvektor
73. 3:59änderten. Das heißt, wir haben dx1 +
74. 4:01eben du1, das heißt der Anteil der
75. 4:04Verschiebung infolge der Verformung in
76. 4:05ein Richtung. Das gleiche für die
77. 4:07Kantenlänge in 2 und die Kantenlänge in
78. 4:093 Richtung. Und in dieser Ausdrücke hier
79. 4:13setze ich jetzt unsere bekannte
80. 4:14Deformation Definition des materiellen
81. 4:17Deformationsgradienten F ein.
82. 4:31wobei das F
83. 4:33eben, wie wir es zuvor äh kennengelernt
84. 4:37haben, eben
85. 4:38als Differenz der Linienelemente bezogen
86. 4:41auf die Ausgangslänge definiert ist. Und
87. 4:45diesen Ausdruck, den ich jetzt hier
88. 4:46gewonnen habe für das Volumen der
89. 4:50momentan Konfiguration, des
90. 4:53Momentanzustands, diesen Ausdruck kann
91. 4:55ich jetzt mit den bekannten Rechenregeln
92. 4:58der Tensorrechnung noch
93. 5:00vereinfachen. Das möchte ich mal alles
94. 5:02nicht so ausführlich machen, sondern ich
95. 5:03möchte hier einfach nur auf das Ergebnis
96. 5:06zu sprechen kommen. Das heißt mit
97. 5:08Anwendung der Tensorrechnenregeln.
98. 5:16Genaueres können Sie dazu im Skript
99. 5:18nachlesen. Mit diesen Anwendungen der
100. 5:20Tensorrechenregeln ergibt sich für das
101. 5:23Volumen im Moment Zustand ein relativ
102. 5:27kompakter, einfacher Ausdruck,
103. 5:36nämlich nichts anderes als dass ich das
104. 5:39Volumen des Momentanzustands ergibt als
105. 5:43das Volumen des
106. 5:46Referenzustands multipliziert mit der
107. 5:49Determinante des
108. 5:52Deformationsgradienten. Das heißt, die
109. 5:53Determinante des Deformationsgradienten
110. 5:56ist direkt ein Maß für die
111. 6:00Volumenänderung. Mit diesem Wissen
112. 6:02ergibt sich dann für die
113. 6:05Volumenung folgender Ausdruck.
114. 6:13Die Volumendehnung ist nichts anderes
115. 6:16als die
116. 6:19Volumenänderung ausgerückt durch die
117. 6:22Determinante des Deformationsgradienten
118. 6:26-1. Das ist ein ganz einfaches Maß für
119. 6:29die
120. 6:31Volumendhnung. Bis jetzt haben wir aber
121. 6:33noch keine Einschränkung hinsichtlich
122. 6:35der Größe der Deformation gemacht. Das
123. 6:37heißt, wir bewegen uns noch in den Fiten
124. 6:40Deformation. Das heißt, es können
125. 6:42beliebig große Deformationen
126. 6:43stattfinden. Wir wollen ja aber am Ende
127. 6:45wieder eine Linearisierung vornehmen.
128. 6:47Das heißt eine Einschränkung auf
129. 6:48infinite Deformation, das heißt sehr
130. 6:51kleine Deformation.
131. 6:53Das wollen wir natürlich auch für die
132. 6:54Volumenung machen, aber um das machen zu
133. 6:56können, muss ich als allererstes die
134. 6:58Volumendehnung als Funktion des
135. 7:01Verschiebungsgradienten
136. 7:11ausdrücken. Dazu gucke ich mir als
137. 7:13allererstes wieder mein
138. 7:14Deformationsgradienten
139. 7:18an, den ich ja auch in dieser Form
140. 7:21Einheitstensor plus Gradient von U plus
141. 7:24Verschiebungsgradient ausdrücken konnte.
142. 7:26Und von dem bilde ich dann die
143. 7:30Determinante, weil das ist ja der
144. 7:31Ausdruck, den ich später in meiner
145. 7:33Volumen Dehnung
146. 7:41verwende. Und hier auch wieder unter
147. 7:43Verwendung der Rechenregeln. Ich kann
148. 7:45diesen Ausdruck jetzt unter den
149. 7:47Tensorrechenregeln, die ich Ihnen
150. 7:49gegeben habe, die Sie auch im Skript
151. 7:50alle komplett nachlesen können.
152. 7:51Zusätzlich zu den Videos, kann ich
153. 7:53diesen Ausdruck berechnen unter
154. 7:56Verwendung der Divergenz. Auch das bitte
155. 7:59ich Sie in dem Video Tensor und Funktion
156. 8:02Analysis sich noch mal anzugucken, was
157. 8:04die Divergenz ist. Und unter Verwendung
158. 8:06des sogenannten äußeren Produktes kann
159. 8:10ich diesen Ausdruck hier auswerten und
160. 8:12gelange so zu einer Darstellung der
161. 8:15Volumdehnung in Abhängigkeit von dem
162. 8:21Verschiebungsgradienten. Das hier ist
163. 8:23die Divergenz der Verschiebung.
164. 8:35Sie sehen, das ist kein wirklich sehr
165. 8:39handlicher Ausdruck, aber wir wollen
166. 8:41diesen Ausdruck ja wirklich nur dafür
167. 8:43verwenden, um anschließend eine
168. 8:44Linearisierung vorzunehmen. Und das
169. 8:46machen wir wie folgt. Wir gucken uns an,
170. 8:49wo unsere Vermungen, die ja sehr klein
171. 8:52sind, überall als Produkt
172. 8:55vorkommen. Wenn wir das mal bei diesem
173. 8:57Ausdruck machen, wir haben hier
174. 8:58Divergenz U, dort steht die Verformung
175. 9:00nicht als Produkt, aber wir haben hier
176. 9:01einen
177. 9:02Klammerausdruck, wo den Verschiebungs,
178. 9:04das äußere Produkt des
179. 9:05Verschiebungsgradienten haben. Und auch
180. 9:08hier ein Klammerausdruck, wo wir das
181. 9:10äußere Produkt des
182. 9:11Verschiebungsgradienten haben. Und diese
183. 9:14Ausdrücke sind aufgrund der sehr, sehr
184. 9:16kleinen Verformungen sehr klein
185. 9:18gegenüber diesem ersten Ausdruck hier.
186. 9:22Und das liefert uns dann in bekannter
187. 9:24Art und Weise die Linearisierung. Wir
188. 9:26vernachlässigen einfach die Ausdrücke,
189. 9:29wo die sehr kleinen Verformungen als
190. 9:31Produkt hervorkommen und gelangen so zu
191. 9:35der Linearisierung der
192. 9:45Volumdehnung, nämlich dass die lineäre
193. 9:48Volumdehnung, die definiert wird als das
194. 9:51Epsil war mal Maß für unser lineares
195. 9:54Verzerrungsmaß oder für das linear Jahre
196. 9:56Maaß mit dem Index V für Volumen nichts
197. 9:58anderes ist als die Divergenz meiner
198. 10:01meines Verschiebungsvektors. Und ganz
199. 10:04zum Schluss möchte ich jetzt diese
200. 10:07lineare Volumendhnung auch direkt aus
201. 10:10dem linearen Verzerrungstensor EP
202. 10:14bestimmen. Dazu rufe ich mir einmal ganz
203. 10:16kurz in Erinnerung, wie dieser lineare
204. 10:18Verzerrungstensor definiert war.
205. 10:26und zwar sinnvollerweise in Abhängigkeit
206. 10:29von dem Verschiebungsgradienten Grad U.
207. 10:32Und es gibt eine weitere Beziehung, die
208. 10:34ich kenne. Und zwar ist das die, wie die
209. 10:37Divergenz eines Vektors definiert ist.
210. 10:39Und ich kann diese Divergenz unmittelbar
211. 10:41über die Definition der Divergenz mit
212. 10:43der Spur dieses Tensors in Beziehung
213. 10:50setzen. Und diesen Zusammenhang erhalten
214. 10:52Sie sofort, wenn Sie sich die
215. 10:55Definition der
216. 10:57Divergenz angucken und die Definition
217. 11:00der Spur eines Tensors. Und für die
218. 11:03Volumenzehnung im Basis im Basissystem
219. 11:07ergibt sich dann unter Verwendung dieser
220. 11:09Beziehung ganz einfach folgende
221. 11:12folgender Zusammenhang.
222. 11:21Das heißt, wenn Sie einen
223. 11:23Verzerrungszustand vorliegen haben und
224. 11:26Sie
225. 11:27möchten eine Aussage über die
226. 11:32Volumendehnung, die zu diesem
227. 11:34Verzerrungszustand gehört, machen, dann
228. 11:36machen Sie einfach folgendes. Dann
229. 11:38nehmen Sie einfach die drei
230. 11:41Hauptdiagonalelemente dieses
231. 11:43linearen Verzerrungstens.
232. 11:47und addieren sie. Das heißt, sie bilden
233. 11:49die Spur und diese Spur des linearen
234. 11:52Verzerrungstensors, das ist das Maß für
235. 11:55die linearisierte Volumendehnung.