Transformada de Laplace - Parte 2 de 3 | El Traductor — Transcript

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1. 0:11Espero que te hayas tomado mate o algo
2. 0:13rico, hayas descansado un poco, porque
3. 0:16ahora viene la magia, como te dije hoy,
4. 0:18ahora
5. 0:19empieza a brillar todo esto que te
6. 0:21mostré, que parece tan frío, tan
7. 0:23aburrido.
8. 0:24Vamos a hacer un ejemplo. Si tengo la
9. 0:26ecuación diferencial, por ejemplo, 2 f
10. 0:29de t,
11. 0:30porque un tipo vino y me dijo que un
12. 0:31sistema responde
13. 0:33dos veces la función que que representa
14. 0:35el sistema más
15. 0:37eh tres veces por la primera derivada de
16. 0:41una función que desconozco igual a 1.
17. 0:44Pero un tipo me dijo, un sistema
18. 0:46responde a esto.
19. 0:48¿Cuánto vale la función?
20. 0:50Si vos sos un genio y decís, ah, fíjate,
21. 0:53evalúa a esta función, métela acá,
22. 0:55fíjate qué te da. Y me da.
23. 0:57Bueno, sos un mago.
24. 0:59Yo también voy a hacer magia, pero con
25. 1:00la transformada de Laplace, no así, no
26. 1:02más, sin criterio.
27. 1:04¿Qué voy a hacer?
28. 1:05Voy a transformar ambos miembros de esta
29. 1:08igualdad para encontrar
30. 1:12la función f de t, que es la que yo
31. 1:14quiero encontrar.
32. 1:16Para eso,
33. 1:18transformo ambos miembros. Aplico la
34. 1:21transformada de Laplace
35. 1:24a ambos miembros.
36. 1:26Acá tengo dos veces una función.
37. 1:29Voy a decir que
38. 1:31una función f de t, que es la función
39. 1:34que resuelve esta ecuación diferencial,
40. 1:35la función que quiero encontrar, se
41. 1:37transforma en una f grande de s.
42. 1:40Qué creativo, qué fui de poner f, porque
43. 1:43f es la letra que representa la función.
44. 1:46F grande para la transformada y f
45. 1:48minúscula para la función que
46. 1:49transformo.
47. 1:51Aplico transformada.
48. 1:52¿Cómo sería aplicar transformada?
49. 1:55Aplico transformada a este miembro. Como
50. 1:57tengo una suma, la transformada de
51. 1:59Laplace es lineal, porque es un
52. 2:01integral. Recuerden que el integral de
53. 2:03una suma es suma de integrales.
54. 2:06Así que, si existen, ¿no? Acá existe
55. 2:08todo, por suerte.
56. 2:10Así que transformo esto, transformo esto
57. 2:13y transformo esto. ¿Cuánto vale la
58. 2:14transformada de esto?
59. 2:16El dos sale afuera
60. 2:18y me queda la transformada de f de t,
61. 2:20que es f de s.
62. 2:23Muy bien. Más. Estamos pasando para la
63. 2:26tercera dimensión. Estamos
64. 2:27Estamos pasando para otro mundo, ¿sí?
65. 2:29Para el mundo de la transformada de
66. 2:30Laplace.
67. 2:32Más.
68. 2:32Tres
69. 2:34por la transformada de la primer
70. 2:35derivada.
71. 2:36¿Cuánto vale la transformada de la
72. 2:37primer derivada? S por f de s
73. 2:41menos la f chica en cero,
74. 2:44que es la condición inicial que me dan
75. 2:46en el sistema. Todavía no la dije, pero
76. 2:48te la presento ahora.
77. 2:50La condición inicial
78. 2:52es que la función evaluada en t igual a
79. 2:55cero vale cero.
80. 2:58Digo que la función para t igual cero
81. 3:00vale cero.
82. 3:01Así que este término
83. 3:03lo saco porque vale cero.
84. 3:06Me queda S por f de s igual a la
85. 3:10transformada de uno,
86. 3:12que es uno sobre s,
87. 3:14como vimos hoy.
88. 3:15¿Qué hago ahora?
89. 3:17¿Terminé?
90. 3:18No, si todavía no encontré la f chica
91. 3:20que quiero.
92. 3:22Tengo que encontrar la expresión de f de
93. 3:24s grande para después antitransformarla.
94. 3:28Hago eso. Despejo y encuentro f de s.
95. 3:31f de s
96. 3:33factor común de dos más tres s
97. 3:37igual a uno sobre s.
98. 3:40Despejo f de s.
99. 3:42f de s me va a valer
100. 3:44uno sobre
101. 3:46s por
102. 3:47dos más tres s.
103. 3:51Bien.
104. 3:53Genial. tengo la expresión de F de S.
105. 3:55Ahora tengo que antitransformar esto
106. 3:56para encontrar la función, así de fácil.
107. 3:59Voy a borrar esto de acá
108. 4:01y me quedo con la función esta.
109. 4:05Que es 1 sobre esto.
110. 4:07¿Qué es lo que quiero ahora para poder
111. 4:09encontrar la antitransformada? Escuchá y
112. 4:11prestá atención al siguiente criterio.
113. 4:13Voy a aplicar fracciones parciales. Para
114. 4:15aplicar fracciones parciales, los
115. 4:17términos que tienen que aparecer en el
116. 4:19numerador de la función
117. 4:21tienen que ser solamente S
118. 4:24o S más una constante
119. 4:28o cosas parecidas, como se dice en el el
120. 4:31el método de fracciones parciales.
121. 4:34Es todo un método que está desarrollado,
122. 4:35que no lo voy a desarrollar ahora,
123. 4:36simplemente lo voy a aplicar.
124. 4:38Llevaría tiempo demostrarlo y y
125. 4:41explicártelo, no es la intención de este
126. 4:43video.
127. 4:44Así que F de S
128. 4:48escribo, divido por 3 arriba y abajo
129. 4:50para que me quede S sola, divido por 3
130. 4:53arriba, divido por 3 abajo, como tengo
131. 4:55un producto puedo dividir acá.
132. 4:58Divido por 3 dije, por 3 dije.
133. 5:01¿Y qué hago ahora?
134. 5:03Distribuyo el 3 acá, así que me queda,
135. 5:05arriba me queda un tercio.
136. 5:07Y abajo me va a quedar S por
137. 5:102 tercios
138. 5:13más S.
139. 5:15Logré lo que yo quería, que en el
140. 5:17denominador me quede S o productos donde
141. 5:21tengo S más una constante, genial.
142. 5:25¿Por qué necesito eso? Porque el método
143. 5:27de las fracciones parciales, que es lo
144. 5:29que voy a aplicar ahora me pide que eso
145. 5:31ocurra.
146. 5:33Así que
147. 5:35aplico el método de las fracciones
148. 5:36parciales, atención.
149. 5:38¿Qué voy a decir?
150. 5:40Voy a decir que esto que está acá
151. 5:43es igual a una constante que la voy a
152. 5:45llamar A y la voy a averiguar en breve.
153. 5:48Dividido uno de los factores que te
154. 5:50mencioné que están en el denominador,
155. 5:51acá es S, uno de los factores, más otra
156. 5:55constante que voy a averiguar ahora,
157. 5:57dividido el otro factor que tengo acá,
158. 5:59que es 2/3
159. 6:01más S.
160. 6:06Y ahora tengo que encontrar cuánto vale
161. 6:08A y B mediante un mecanismo que te voy a
162. 6:10explicar que es muy sencillo,
163. 6:13y ya encontraría
164. 6:16cuál es la antitransformada de F de S,
165. 6:19porque F de S es esto que está acá.
166. 6:22La antitransformada de una suma,
167. 6:25cuando hablo de antitransformada es
168. 6:27encontrar la cosa que transformó en
169. 6:29esto,
170. 6:30que es la F chiquita. Entonces tengo que
171. 6:33antitransformar F de S, o sea que tengo
172. 6:35que antitransformar esta suma.
173. 6:38Pero la antitransformada también es
174. 6:40lineal.
175. 6:43Entonces puedo decir que la
176. 6:44antitransformada de esta suma es la
177. 6:46antitransformada de esto más la
178. 6:48antitransformada de esto.
179. 6:50La antitransformada de esto ya la
180. 6:51conozco, porque yo sé qué es lo que se
181. 6:53transforma en una constante sobre S,
182. 6:56una constante por uno.
183. 6:58Esto también es una exponencial.
184. 7:01Repasar los pares transformados,
185. 7:02tenerlos a mano porque si no no vas a
186. 7:04entender ni jota.
187. 7:07Bien.
188. 7:08Am, ¿cómo encuentro A?
189. 7:12Voy a
190. 7:13aplicar residuos, se dice.
191. 7:15Aplicar residuos sería hacer lo
192. 7:16siguiente.
193. 7:17Uno de los dos términos
194. 7:19que yo quiero encontrar, quiero
195. 7:21encontrar A, así que este término lo voy
196. 7:23a hacer preponderante frente al otro que
197. 7:25tengo.
198. 7:26¿Cómo hago eso? Si S es muy chiquito,
199. 7:29este término se hace muy grande en
200. 7:31comparación con este.
201. 7:33Entonces, cuando S es muy chiquito,
202. 7:36me queda solamente este término
203. 7:39igual a esto, esto no está.
204. 7:41Entonces, puedo despejar A.
205. 7:45El S se me cancela con el S.
206. 7:47Y evalúo esta expresión cuando S vale 0.
207. 7:51Me queda 1/3 / 2/3.
208. 7:56Y eso vale 1/2. Así que A vale 1/2.
209. 8:01Yo sé que lo hice rápido, pero es ese el
210. 8:03criterio. Vamos con este.
211. 8:06Es lo mismo.
212. 8:07Tengo que hacer preponderante este
213. 8:09término
214. 8:10para que este sea despreciable.
215. 8:12Entonces, no considerarlo. ¿Cómo hago
216. 8:14eso?
217. 8:15Si S se aproxima a -2/3,
218. 8:21entonces,
219. 8:22este término se hace muy grande.
220. 8:25Y este no lo considero, así que me queda
221. 8:27esto igual a esto cuando S tienda a
222. 8:29-2/3.
223. 8:30Despejo B de lo que me queda,
224. 8:33evalúo en S = -2/3 y encuentro cuánto
225. 8:37vale B. Y B me dio -1/2.
226. 8:41-1/2.
227. 8:46Vamos a hacer otra pausita. Descansá,
228. 8:48tomate un vaso de agua o mate o un té o
229. 8:51un café o andá a comprar un pan relleno,
230. 8:53no sé, lo que vos quieras, no importa la
231. 8:55hora que sea,
232. 8:56porque ahora viene la antitransformada y
233. 8:59hay que prestar mucha atención.