Torsion dünnwandiger geschlossener Querschnitte — Transcript

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1. 0:06wir haben die torsion spannung in folge
2. 0:10eines torsion momentan voll
3. 0:12querschnitten schon kennengelernt
4. 0:14insbesondere die torsion bei volksfesten
5. 0:17mit kreis vor genau die gleichen formeln
6. 0:23kann man natürlich auch verwenden für
7. 0:25den kreis ring querschnitt wobei wir den
8. 0:29in radios mit kleinen er und den außen
9. 0:32radios mit grossert bezeichnen und
10. 0:35lediglich die formel für das polar
11. 0:37flächen trägheitsmoment die ändert sich
12. 0:39mein i p ist jetzt gleich dass sie die
13. 0:43greifs tropez der einzige bad wenn sie
14. 0:51das vergleichen mit der formel über
15. 0:52letztes mal kennengelernt haben ist hier
16. 0:53dass anstatt der integrations grenze 0
17. 0:56wie sie es beim vollen kreisky schnitt
18. 0:59der fall wäre hier wieder die untere
19. 1:01grenze gleich dessen radius setzen
20. 1:04der querschnitt zur verdeutlichung ist
21. 1:07jetzt noch mal dieses jahr und
22. 1:09dementsprechend ergibt sich daneben auch
23. 1:11die spannungs verteilung die
24. 1:13hochspannungs verteilung linear
25. 1:19allerdings eben jetzt nur innerhalb
26. 1:24natürlich des querschnitts teils und
27. 1:27jetzt können sie sich vorstellen dass
28. 1:28wir den radius klein er immer größer
29. 1:30werden lassen das heißt wir lassen den
30. 1:31querschnitt den kreis ring immer dünner
31. 1:33werden und gelangen dann am ende zu
32. 1:36einer neuen querschnitts klasse mit dem
33. 1:37uns heute beschäftigen wollen nämlich
34. 1:39mit den dünnwandigen geschlossenen
35. 1:42querschnitten
36. 1:50das heißt unser quartett ist jetzt dünn
37. 1:55wann nicht die annahme der kreisform
38. 1:58lassen wir fallen dann ergibt sich
39. 2:01folgende darstellung hier und ich
40. 2:05zeichne ich jetzt mal die profil mittel
41. 2:07fläche ein wenn wir normalerweise diesen
42. 2:09querschnitt darstellen
43. 2:11wir präsentieren wir ihnen nur durch die
44. 2:14darstellung der profil mittellinie
45. 2:15wir haben hier jetzt unsere dicke wieder
46. 2:19mit delta bezeichnet wir führen analog
47. 2:23zur berechnung der schub spannungen
48. 2:24infolge der querkraft einen lauf
49. 2:26koordinate es ein
50. 2:27unser delta unsere dicke sei jetzt
51. 2:29abhängig also auch von es im schwerpunkt
52. 2:32liegt weiterhin unser koordinatensystem
53. 2:40und für dieses für diesen querschnitt
54. 2:43für diesen querschnitts typ möchten wir
55. 2:44jetzt die spannungen folge eines von
56. 2:46außen angreifenden torsion momentes
57. 2:47ermitteln die allererste annahme die wir
58. 2:50dabei treffen ist wieder die dass wir
59. 2:52keine spannung im profil dicken richtung
60. 2:54haben ist das genau das gleiche was wir
61. 2:56eigentlich auch bei dem volk
62. 2:57verschnitten haben und die zweite
63. 2:58annahme die folgt eigentlich direkt
64. 3:00heraus wilmots angucken wie hier an
65. 3:03dieser stelle die spannungs verteilung
66. 3:06aussieht dies nämlich linear wenn sie
67. 3:09sich jetzt vorstellen dass wir den
68. 3:11querschnitt immer dünner werden lassen
69. 3:12dann sehen sie dass auch dieser bereich
70. 3:15der schub spannungen natürlich immer
71. 3:17kleiner wird und irgendwann war sehr
72. 3:18sehr dünn sind kann man fast sagen dass
73. 3:20der unterschied zwischen dem äußeren und
74. 3:23dem inneren rand bei den schub spannung
75. 3:25dass der fast vernachlässigbar ist und
76. 3:27das führt uns zu der zweiten wichtigen
77. 3:29annahme bei den dünnwandigen
78. 3:31querschnitten nämlich die dass die
79. 3:32spannung über die dicke konstant
80. 3:35verläuft
81. 3:43wie sie hier sehen unsere spannung hat
82. 3:46jetzt eben das ist jetzt ein querschnitt
83. 3:48ausschnitt der hier dargestellt ist und
84. 3:52die spannung das ist ganz elementar bei
85. 3:54den dünnwandigen querschnitt dieser
86. 3:55annahme die spannung ist über die dicke
87. 3:58des querschnitts konstant mit dieser
88. 4:03annahme vereinfachen sich unsere
89. 4:05folgenden formeln etwas wir möchten
90. 4:09jetzt genau dieses formel verkehr leiten
91. 4:11das heißt wie berechne ich jetzt geben
92. 4:12diese spannungen in einem querschnitt
93. 4:14der dünnwandig ist und geschlossen und
94. 4:18zu diesem zweck gehen wir genauso vor
95. 4:19wie wirst mich jetzt kennengelernt haben
96. 4:20wir gucken uns als aller erstes mal ein
97. 4:23teil element herausgeschnitten aus dem
98. 4:25gesamtsystem an
99. 4:27wir sehen hier dieses teil element wir
100. 4:31haben hier unseren dünnwandigen
101. 4:32querschnitt wie gesagt die form sei
102. 4:34jetzt beliebig und wir schneiden daraus
103. 4:36ein teil element heraus hier ist dieses
104. 4:39teil element herausgeschnitten
105. 4:40die einzige kraft die außen angreifen
106. 4:43soll sei das fusions moment und
107. 4:46dementsprechend tragen jetzt hier all
108. 4:49unsere kräfte an die kräfte das sind die
109. 4:52resultieren der angreifenden schub
110. 4:54spannungen
111. 4:55sie sehen also hier einmal die spannung
112. 4:57zumal delta mal die x1 delta mal dx11
113. 5:00ist die fläche wald das ist dann eben
114. 5:02entsprechend dann die kraft die einander
115. 5:05zugeordneten schub spannungen und am
116. 5:07anderen ende haben sie denn eben die
117. 5:10sauna delta weil der x1 plus natürlich
118. 5:13dass wir auch immer geartete instrument
119. 5:16des flusses und jetzt stelle ich eben
120. 5:19das gleichgewicht im x1 richtung auf so
121. 5:21wie es schon kennengelernt haben und
122. 5:26dort sehen sie auch wieder dass ich
123. 5:28natürlich der teilte mal delta der hebt
124. 5:30sich auf und es verbleibt allein das
125. 5:32instrument und infolge des
126. 5:34gleichgewichts das muss eben null sein
127. 5:35andere kräfte greifen in x1 richtung an
128. 5:39meinem element nicht an und das kann ich
129. 5:41jetzt frei stellen nach dem schub fluss
130. 5:49und wenn ich das eben hier als zufluss
131. 5:51interpretiere maintal delta und sehe
132. 5:55dass eben die änderung dieses flusses
133. 5:57entlang s0 ist dann heißt das dass eben
134. 6:00mein schub fluss um den querschnitt
135. 6:02konstant ist das ist eine ganz wichtige
136. 6:05erkenntnis an diesem an diesem zeitpunkt
137. 6:07einschub fluss der schuhplus nicht die
138. 6:09spannung der schub fluss ist um den
139. 6:12geschlossenen querschnitt konstant
140. 6:14diesen schluss möchte ich jetzt im
141. 6:16folgenden berechnen und ich gehe
142. 6:18verfolge dabei die gleiche systematik
143. 6:21die wir eigentlich schon die ganze zeit
144. 6:22kennengelernt haben
145. 6:23ich bemühe jetzt als allererstes einmal
146. 6:26die äquivalenz beziehung zwischen der
147. 6:28spannung und dem torsion moment
148. 6:39ich sehe hier eben mein fusions moment
149. 6:43ein äußerer von außen angreifen des
150. 6:45pensions- moment ist gleich dem integral
151. 6:47um den gesamten querschnitt deswegen das
152. 6:49rating einem eingeschlossenen crash das
153. 6:51heißt ich muss einmal um den kompletten
154. 6:52querschnitt herumgehen und dann habe ich
155. 6:55am ende nichts anderes dort stehen als
156. 6:56kraftmeier hebelarm meine kraft ist
157. 6:58gleich maintower delta multipliziert
158. 7:00natürlich mit der fläche und mein
159. 7:02hebelarm ist das rt was der abstand in
160. 7:05diesem fall zum schwerpunkt des
161. 7:07querschnitts ist das trauma das kann ich
162. 7:10als schuhplus interpretieren und
163. 7:12dementsprechend herausziehen der ist ja
164. 7:14das haben wir gerade festgestellt
165. 7:16entlang des querschnitts entlang es
166. 7:19konstant also auch unabhängig von es
167. 7:23also kann ich ihnen vor das integral
168. 7:24ziehen
169. 7:29und deshalb bleibt einzig der ausdruck
170. 7:31zufluss mal diesen rind hering integral
171. 7:34mit dem hebel arm herr t
172. 7:35und das wird interpretiert als das
173. 7:40doppelte der querschnitts fläche die von
174. 7:44der profil mittellinie eingeschlossen
175. 7:47wird hierzu ein ganz kurzes beispiel
176. 7:50stellen wir uns einfach mal weiter
177. 7:52hinein dünnwandigen kreis querschnitt
178. 7:54vor wenn man dünnwandigen kreis kredit
179. 7:57haben hier jetzt nur dargestellt durch
180. 7:58die profile mittel fläche können jetzt
181. 8:01eben genau einmal dieses integral
182. 8:02durchführen das heißt wir haben das
183. 8:03integral von 0 bis 2
184. 8:07er das ergibt am ende genau den umfang
185. 8:10oder mit die länge dsds
186. 8:16das ist genau dieser ausdruck hier
187. 8:19dieses dieser ausdruck hier ich
188. 8:21kennzeichnet das mal diese rostock hier
189. 8:26und wenn ich das jetzt eben ausführe
190. 8:27bekomme ich am ende raus die r quadrat
191. 8:32und das entspricht genau dem doppelten
192. 8:34der von der profi mittel fläche
193. 8:36eingeschlossenen fläche zu heim und das
194. 8:39kann man auch darstellen für beliebige
195. 8:42querschnitts form
196. 8:43es musste ich immer der kreis kräfte
197. 8:45seien also jede allgemeine geschlossene
198. 8:47form ergibt dann eben diesem
199. 8:48zusammenhang dass dieses integral genau
200. 8:50das doppelte der von der profi
201. 8:53fläche das ist ganz wichtig der profil
202. 8:55mittel fläche eingeschlossene
203. 8:56querschnitts fläche ergibt und damit
204. 8:59vereinfacht sich die formel oben
205. 9:00erheblich und ich halte einfach dass
206. 9:03mein torsion sru nennt gleich dem schuh
207. 9:06+ x dem doppelten der eingeschlossenen
208. 9:10profil bitte fläche ist in dem moment wo
209. 9:21ich diesen zusammenhang habe ist es ein
210. 9:23einfaches aus dem torsion moment mit dem
211. 9:26schluss dann auch die spannungen zu
212. 9:29berechnet dazu muss ich einfach nur
213. 9:31statt dem schub fluss eben die beziehung
214. 9:33für meine schub spannung einrechnen und
215. 9:35ich bekomme dann ganz einfach den hier
216. 9:44zusammengestellten zusammenhang dass die
217. 9:46spannung nichts anderes ist als man
218. 9:47pensions- moment dividiert durch die
219. 9:49dicke in abhängigkeit von es dividiert
220. 9:52durch das doppelte der eingeschlossenen
221. 9:55fläche und und interessierte immer nur
222. 9:59die spannung die maximale spannung aber
223. 10:03darauf hinaus legen und an dieser stelle
224. 10:04noch einmal auf den unterschied zwischen
225. 10:06fluss und schub spannung warum es
226. 10:09sinnvoll ist manchmal mit dem schluss zu
227. 10:10rechnen
228. 10:11die skater das kann jetzt ja von es
229. 10:13abhängig sein wir haben ja nicht
230. 10:14vorausgesetzt dass unser querschnitt
231. 10:16eine konstante dicke hat das war keine
232. 10:19voraussetzung dass delta ist immerhin
233. 10:20immer noch abhängig von s damit ergibt
234. 10:23sich natürlich auch automatisch in
235. 10:25diesem moment wo sich das angucken das
236. 10:26natürlich auch meine spannung abhängig
237. 10:28von ss wenn meine schub spannung ist
238. 10:30abhängig von es von der lauf koordinate
239. 10:33und jetzt ist natürlich die frage an
240. 10:35welcher stelle tritt jetzt die maximale
241. 10:37spannung auf und das führt uns zu der
242. 10:39ersten britischen formel die erste
243. 10:47bresche formel gibt nämlich den
244. 10:49zusammenhang an mit dem man die maximale
245. 10:52spannung in einem querschnitt infolge
246. 10:54eines äußeren tosio instrument berechnen
247. 10:55kann
248. 10:56und das ist natürlich ganz einfach wenn
249. 10:58sich diesen formel zusammen hier
250. 10:59angucken natürlich die stelle an der das
251. 11:01delta minimal wird dort habe ich
252. 11:04die maximale spannung vorliegen und brad
253. 11:13der herr brett hat denn neben den
254. 11:14zusammenhang so definiert dass eben die
255. 11:16maximale betragsmäßig maximale spannung
256. 11:19sich berechnet aus dem fusions trägers
257. 11:22moment dividiert durch das fusions
258. 11:24widerstands moment des analog zu den
259. 11:26beziehungen bei den spannungen infolge
260. 11:29eines bi dokumentes sigma war gleich m
261. 11:32durch weh und wir haben jetzt hier teils
262. 11:33gleich mt durch wt und das tor sie uns
263. 11:36widerstand ergibt sich in diesem
264. 11:38zusammenhang zu der dem zweifachen deck
265. 11:45eingeschlossen crashes welche x der
266. 11:48minimalen querschnitts dicke eines
267. 11:51querschnitts innerhalb des querschnitts
268. 11:53es geht jetzt nicht mehr an dieser
269. 11:55stelle nochmal darauf möchte ich das
270. 11:57noch mal betonen wir bewegen uns jetzt
271. 11:59nicht innerhalb des tragwerks im lande
272. 12:0161 koordinate sondern wir haben eine
273. 12:03feste stelle und betrachten diesen
274. 12:04querschnitt diesen querschiff betrachten
275. 12:07wir jetzt fix und innerhalb dieses
276. 12:09querschnitt ist können wir jetzt
277. 12:10unterschiedliche dicken haben und die
278. 12:12maximale spannung tritt an der stelle
279. 12:14auf die geringste dicke haben genau das
280. 12:18sagt mir diese erste bresche formeln und
281. 12:22das anschauen heraus ist es auch ganz
282. 12:24logisch wenn sie sich den schub fluss
283. 12:26oder die spannung wieder mit dem bild
284. 12:28des flusses versinnbildlichen
285. 12:31dann können sie sich vorstellen dass da
286. 12:32eben wo der querschnitt am dünnsten ist
287. 12:35sie sozusagen dort den ganzen schub
288. 12:37haben dadurch gepresst wird
289. 12:39und dort haben sie dann dementsprechend
290. 12:40eben auch die größte spannung vorliegen