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Suma de Riemann - Definición de Integral Definida — Transcript

by Profe Vera · 3,016 words · 433 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00bien muchachos el día de hoy vamos a ver
0:01la definición de integral así que vamos
0:04con ello pues
0:06[Música]
0:19la idea parte de lo siguiente supongamos
0:22que aquí tenemos una curva esta curva es
0:25modelada con una función f x
0:27vamos a acotar esta curva entre dos
0:29valores a y b y ahora nos interesa
0:32encontrar el área debajo de la curva o
0:35sea el área que se encuentra en esta
0:37parte y bueno podemos pensar cómo lo
0:40podemos hacer pues tenemos tres lados
0:42que son rectos a es recto esta parte que
0:45está aquí termina es recta y esta parte
0:47que está en b también esa recta el único
0:50lado curvo es el que está modelado por
0:52la función fx entonces cuál sería la
0:55primera idea intuitiva para encontrar
0:57esta área bueno la primera idea
1:00intuitiva es que toda esta parte de esta
1:03región del área la dividamos en figuras
1:06geométricas conocidas por ejemplo un
1:08rectángulo un triángulo un cuadrado
1:10cosas así no entonces fíjense bien por
1:12ejemplo si yo dibujo aquí un rectángulo
1:15en esta parte es una aproximación pero
1:20es una muy mala aproximación porque
1:22todavía me falta conocer esta parte que
1:24está aquí no
1:25a ver otra idea sería que en vez de un
1:27solo rectángulo lo divida en dos
1:29rectángulos y me quedaría más o menos
1:31así ahí está si lo divido en dos
1:33rectángulos entonces el área es un poco
1:36más aproximada que la parte anterior
1:37pero aún así en falta que dura este
1:39pedacito y este pedacito entonces ahora
1:42si lo divido en cuatro entonces el área
1:44es más aproximada qué quiere decir esto
1:46que mientras más rectángulos le meta
1:48debajo de la función entonces el área va
1:51a ser cada vez más exacta y la pregunta
1:54sería cuántos rectángulos tengo que
1:57poner aquí para obtener el área exacta
1:59bueno a ver vamos poco a poco bien vamos
2:03a designar a delta de x como la base de
2:06los rectángulos y como tenemos este
2:08delta de x vamos a poner aquí la base de
2:12los rectángulos que están aquí yo lo
2:14puedo escribir como delta de x ahora
2:17aquí es igual este delta de x bueno
2:19tenemos toda esta longitud
2:20toda esta longitud es igual a b menos a
2:23saleh pero ahora como la vamos a dividir
2:26entre varios rectángulos lo ponemos
2:28entre n osea n es el número de
2:31rectángulos que
2:32si tengo cuatro rectángulos sería de
2:34menos entre cuatro y eso vale del tarde
2:36x sale vamos a dejarlo así expresado
2:38ahora ya que tengo en la base la
2:41siguiente longitud de encontrar es
2:42altura de cada uno de esos rectángulos y
2:46vemos que va creciendo para este ejemplo
2:48entonces vamos a designar como altura
2:51esta parte efe x uno digamos este sería
2:58fx2 efe de x 3 y así no fx4 y así pueden
3:05seguir entonces para todos los
3:06rectángulos que tengas ahí podríamos
3:09extender eso hasta el infinito a ver
3:11entonces ponemos aquí altura
3:15vamos a empezar con el valor de a
3:16entonces me queda esto efe
3:19de x asterisco y aquí es igual fx
3:22asterisco efe de a más este delta de
3:26equis y con ese delta de x encuentro la
3:30primera altura después si quiero esta
3:32altura esta altura y esta altura
3:34entonces voy a poner aquí un subíndice y
3:37que me decide entonces delta de x sube
3:40el y estimó
3:42el décimo rectángulo ok ya tengo base ya
3:46tengo altura como calculó el área de un
3:48rectángulo pues multiplicando su base y
3:50su altura me queda más o menos esto
3:52entonces área
3:55si es igual
3:59delta de x por efe de x asterisco y
4:04bueno ya vimos que cada una de estas
4:06cosas pues significa esta parte que está
4:09aquí no ok entonces ahora que sigue esto
4:12me representa el área del décimo
4:15rectángulo ahora qué concepto
4:17tengo que recordar para sumar todas las
4:19áreas de todos los rectángulos pues el
4:22concepto de sumatoria entonces lo voy a
4:24poner aquí el área total aproximada si
4:29es igual a la sumatoria desde y igual a
4:341 hasta n de esta parte que está aquí
4:39delta de x por efe de x asterisco sale
4:45bien recordemos que siempre vamos a
4:49empezar desde igual a 1 porque
4:50imagínense que esta parte la dividimos
4:52en un solo rectángulo hasta n n es el
4:55número total de rectángulos que yo pueda
4:57dividirlo no entre mayor cantidad de
4:59rectángulos tenga o sea si n tiene un
5:01valor muy grande el área
5:03un poquito más aproximada no se va a
5:05acercar más al área exacta ahora cómo le
5:08hago para que esta n se incremente
5:11bastante hay que recordar otro concepto
5:14en matemáticas que se llama límite
5:16entonces vamos a ponerlo así el área
5:19total pero ya exacta es igual a el
5:24límite cuando n tiende a infinito de que
5:29de la sumatoria desde igual a uno hasta
5:33n delta de x
5:36efe de x asterisco y eso que está ahí me
5:41va a calcular el área exacta que está
5:44debajo de la curva porque si en el logo
5:46atender al infinito entonces tengo
5:49infinitos rectángulos no bueno pues esto
5:52que está aquí se conoce como la
5:55definición de integral
5:57ahora bien habíamos dicho que esta
5:59expresión me va a calcular entonces el
6:01área debajo de la curva de cierta
6:03función entre los valores de a y b
6:07esta parte que está aquí se conoce como
6:10la definición de integral y esto es
6:14igual a lo siguiente la integral desde a
6:18ave de fx la función de de x
6:24sale y eso es igual a efe mayúscula
6:27evaluado en b - efe mayúscula evaluado
6:31en o sea una diferencia y ahora qué
6:34significa entonces esta f mayúscula con
6:36respecto a esta de efe minúscula bueno
6:38fx es la función la curva no f
6:43mayúscula se conoce como la anti
6:45derivada de fx que bueno ahorita vamos a
6:49ver un ejemplo para ver cómo trabajar
6:51con esto que está aquí que se conoce
6:53como la suma de rima y aquí que es la
6:56integral no la integran definida como se
6:58evalúa eso esto que está acá es lo mismo
7:01que está acá
7:03esto es un poquito más elegante que esto
7:06sale entonces detrás de toda gran
7:09integral
7:10hay una gran sumatoria que se aproxima
7:12al infinito esa es la idea pues
7:18e
7:19e
7:21bien vamos a realizar el siguiente
7:23ejemplo hay que calcular el área debajo
7:25de la curva de la función fx igual a
7:28equis cuadrada más 1 entre los valores
7:30de x desde 0 a 1
7:33vamos a hacerlo primero con la sumas de
7:36rima entonces a ver hay que calcular
7:38primero base base de un solo rectángulo
7:43que esbelta de x delta de x es igualdad
7:46de menos a entre n cuanto vale 1 punto
7:51sería uno menos a a vale cero entre n
7:56cuanto es 1 - 0
7:58esto es 1 entre el entonces la base de
8:01los rectángulos es uno entre l ahora que
8:05sigue altura
8:07altura
8:10que vamos a escribir como efe de x
8:13asterisco y fx asterisco es igual a efe
8:17que a más delta de x sub vip bien
8:22entonces es igual a efe de avales 0 +
8:27delta de x que ya lo tenemos aquí es 1 /
8:31n por y recordamos que es ahí indica el
8:35décimo rectángulo bien hay que valor
8:38entonces esta parte lo pongo en esto
8:41esto es igual a efe este 0 que lo puedo
8:44eliminar porque es un valor nulo de 1
8:47entre n porque ahora
8:50sigue fx es igual a x1 entonces
8:54efe de un no entrene por y es igual a
8:591 / n x y al cuadrado más 1 porque estoy
9:06evaluando un cierto valor en la función
9:08original ya tenemos base y altura que si
9:12ahora
9:14el área el área del rectángulo
9:19hay que multiplicar esto que es 1
9:21entrene o sea la base por lo que está ya
9:25que es altura entonces pongo aquí 1 / n
9:30al cuadrado por y al cuadrado no porque
9:33estoy entonces aplicando esta operación
9:35más uno pero todo esto pues va entre
9:39paréntesis
9:41multiplicamos ahora 1 / n por uno
9:45entrena el cuadrado por y al cuadrado
9:47esto me queda como 1 entre n por ende
9:51cuadrada sn kubica y entonces escribo
9:54aquí y al cuadrado
9:56ahora hay que multiplicar este 1 por
9:59este 1 en red pues me da prácticamente
10:01lo mismo 1 / entonces eso que está ahí
10:05es el área de un rectángulo
10:10ahora tengo que sumar entonces todas las
10:12áreas de los rectángulos mediante la
10:14parte de cátodos voy a continuar aquí
10:16arribita lo importante es esto sale
10:20hasta el momento los escribo aquí área
10:23total aproximada es igual a la sumatoria
10:27desde igual a uno hasta n de el área de
10:31los rectángulos entonces criba acá uno
10:34entrene al cubo por y al cuadrado más
10:39uno entre en sale bien esta sumatoria la
10:45puedo divide en 2 sumatorias la
10:47sumatoria de esta parte y la sumatoria
10:48de esta parte
10:50así área total aproximada es igual a la
10:55sumatoria desde igual a uno hasta n de
11:00este primer término que está aquí el
11:02valor de n no depende de la sumatoria
11:04ahorita porque empieza desde igual a 1
11:06aquí tengo y cuadrada entonces voy a
11:08escribir 1 entre n al cubo aquí como un
11:11escalar
11:14y cuando más lo mismo en esta parte
11:19entonces me queda más o menos así
11:20sumatoria desde iu igual a 1 hasta n
11:26después uno entre en que prácticamente
11:29es 1
11:30en esta escala voy a poner un 1 para
11:34tener un valor eje sale ahora hay que
11:37utilizar las fórmulas de la sumatoria de
11:41los cuadrados de los primeros números
11:42enteros de aquí la sumatoria de un
11:45escalar no
11:47entonces eso lo voy a dar por hecho que
11:50se conoce
11:52bien voy a continuar en esa parte
11:54escribo aquí otra vez área total
11:57aproximada es igual a 1 / en el cubo 1 /
12:02en el cubo por esta sumatoria que hay
12:06una fórmula para hacer eso es la
12:09siguiente n por n 1 por 2 n 1 entre 6
12:19vale lo que está allá + 1 / n x también
12:25se puede demostrar que la fórmula para
12:27esta parte pues simplemente es uno que
12:31es el número que está aquí
12:33x
12:35y ahí estamos
12:37ahora pues me aplicará toda álgebra que
12:40conozca para poder simplificar esta
12:43parte y esta parte entonces bien
12:44seguimos área total aproximada es igual
12:48a voy a multiplicar todo esto y después
12:51lo puede eliminar aquí por ejemplo en el
12:55cubo por 6
12:58pues yo lo puedo escribir como 6 en el
13:00cubo pero aquí una n y aquí hay tres en
13:04ese entonces puede eliminar esta n con
13:06una de estas y me quedan dos abajo pues
13:08aquí me quedaría seis n cuadrada ya
13:12borró esto y equipos le puede poner el 2
13:15que es lo que está aquí no en de
13:17cuadrada por 66 n cuadrada y este 1
13:19multiplica a todo este binomio por todo
13:21este binomio entonces como me queda este
13:23binomio n por 12 n
13:25me da 2 n cuadrada más
13:30por uno tengo una n y luego 1 por 12 n
13:3412 ene 12
13:36daine me da 3 n más uno por uno
13:41proximidad 1
13:43entonces eso es lo que me queda en la
13:45parte de aquí más uno entrene por uno
13:49por n
13:50esto sería igual a él entrene y entrena
13:52pues me dan 12 aquí está la respuesta
13:54simple ok este dominador no puedo
13:58compartir para las otras
13:59los otros tres términos que tengo en la
14:01parte del numerador y así me queda como
14:052 n al cuadrado entre 6 en al cuadrado
14:09pues en el cuadrado se elimina con el
14:11cuadrado y me queda 2 entre 6 y eso es
14:15tercio
14:16+ 3 cn entre 6 cine al cuadrado 3 en 36
14:21pues me dan un medio
14:23un medio y n / n cuadrada pero me queda
14:27una n y esa está abajo más 1 entre 6 n
14:34al cuadrado más el 1 que está aquí bien
14:38entonces ya tengo simplificado esta
14:41parte que es el área total aproximada
14:43ahora qué concepto sigue pues el
14:45concepto de límite entonces vamos a
14:47aplicarle un límite a todo eso que está
14:49ahí y ya tendría el área total es igual
14:53a límite cuando n tiende a infinito pues
14:58de lo que está ahí en esta parte que es
15:00un tercio más uno entre dos n más uno
15:07entre seis en el cuadrado
15:09uno sale ahora simplemente pues el valor
15:13este límite cuando n tiende infinito
15:14vemos que la sen es que están acá están
15:17en la parte del denominador entonces me
15:20quedaría uno entre dos por infinito o
15:23sea uno entre un número muy grande y eso
15:26es ser entonces yo puedo eliminar esto
15:29que está acá esto que está acá y
15:30únicamente sobreviven esos dos números
15:33entonces eso es igual a un tercio más
15:37uno son una fracción más una entero y
15:40cuánto es un tercio más uno pues eso es
15:43igual a este uno lo puede escribir como
15:46tres tercios entonces tres tercios más
15:47un tercio me da cuatro tercios o sea el
15:53área total debajo de la curva de la
15:55función fx igual x cuadrada más uno
15:58desde los valores de cero a uno es igual
16:00a cuatro tercios cuatro tercios son
16:03unidades cuadradas entonces ahí está
16:06calculamos el valor del área debajo de
16:09la curva utilizando la definición de
16:12integral ahora vamos a utilizar la
16:14integral definida para ver si es más
16:16fácil o es más difícil
16:19vale habíamos escrito entonces la
16:21integran como aquí aparece la integral
16:25desde a ave de fx de de x es igual a
16:31mayúscula vladan b - efe mayúscula
16:35evaluado en alza son las anti derivadas
16:37de la función efe vamos a sustituir los
16:41datos entonces me queda como la integral
16:44desde a que tiene valor de 0 hasta b que
16:47tiene el valor de 1 de fx fx vale x
16:51cuadrada más 1 y le pongo equipo es el
16:55diferencial ahora como evaluó esta parte
16:59bueno me dice que toda esta integral es
17:02igual a la anti derivada evaluado en b
17:05menos la anti derivada evaluada en a
17:07entonces hay que encontrar la anti
17:10derivada de x cuadrada más 1 sean
17:12también se conoce como integral a ver
17:14vamos por partes entonces como encuentro
17:17la integral de x cuadrada y después la
17:20integral de 1
17:21bien vamos a recordar esto
17:24la derivada con respecto a x de x
17:28cuadrada es 2x entonces yo puedo afirmar
17:33que la integral de 2x es igual a x
17:39cuadrada o sea b en el proceso de
17:41transformación la derivada de que es
17:44cuadrada es 2x y la integral de 2x es x
17:48cuadrada entonces si yo quiero encontrar
17:50la integral de x cuadrada tengo que
17:53pensar en lo siguiente la integral de x
17:56cuadrada sale equipo x cuadrada tiene
18:01que ser una especie de función tal que
18:04si yo la deriva me da entonces x
18:06cuadrado y esa función sería x ubica
18:12entre 3 porque si yo le digo entonces me
18:15queda aquí 3 x cuadrada 3 x cuadrada y
18:18este 13 elimina con este 3 que está bajo
18:20y me queda entonces
18:21x cuadrado entonces la integral de x
18:23cuadrada es x cúbica entre 3
18:27y lo voy a poner hay x
18:31kubica entre 3 ahora la integral de 1
18:35como busco la integral de 1 la integral
18:37de 1 que pongo el 1 tendría que ser una
18:41función tal que siguió a la deriva me
18:43queda el número 1 y esa función es x no
18:47porque la derivada de x es 1 entonces la
18:49integral de 1 es x bueno luego vamos a
18:52hablar del rollo de las constantes
18:54porque a veces ponen un + c pero eso lo
18:57vamos a ver después entonces aquí la
18:59integral de 1 pues es x bien ahora se va
19:04a evaluar toda esta parte entre los
19:06valores de 1 y 0
19:08yo voy a poner aquí un corchete y le
19:09pongo el 1 y aquí le pongo el ser
19:11entonces esto que está aquí es fx ahora
19:15voy a evaluarlo en b luego resto y lo
19:18evalúo en a de la siguiente forma esto
19:21es igual
19:25el valor de mes 1 entonces en todas x
19:27que esté aquí voy a sustituir el valor
19:29de 1 me queda 1 al cubo entre tres más
19:34uno
19:36menos
19:38ahora la misma parte pero hablado en 0
19:40que sería 0 al cubo entre 3 + 0 o sea
19:46prácticamente esto vuela porque 0 al
19:48cubo es 0
19:49entre 300 más 00 esto se eliminan
19:52directamente y cuando me quede aquí 1 al
19:55cubo es 1
19:57entre 31 y de la misma forma cuánto es
20:02un tercio más uno este uno lo escribo
20:04como tres tercios y tres tercios más un
20:06tercio me da cuatro tercios o sea aquí
20:11está la respuesta utilizando la integral
20:14definida me queda que el área debajo de
20:16la curva es cuatro tercios y esta parte
20:19es mucho más sencilla porque el
20:21procedimiento es más simple se dan
20:23cuenta del poder de estas integrales
20:25vean tan solo la diferencia entre estos
20:27dos métodos utilizando la integral
20:29definida y utilizando la definición de
20:31integral o sea las sumas de rima con las
20:34sumas de riman es un proceso mucho más
20:36extenso mucho más talacha más álgebra y
20:39con la integral miren cuántos pasos 34
20:43renglones más sencillo vale entonces
20:46recuerde eso que utilizando la integral
20:49definida es un proceso mucho más
20:51sencillo pero no se olviden de que
20:54detrás de toda gran integral
20:56hay una gran sumatoria que se aproxima
20:58al infinito
20:59entonces espero que haya llegado mi
21:01mensaje entre esa diferencia entre estos
21:04dos métodos esta es la base del cálculo
21:07integral y bueno como siempre espero que
21:10les haya ayudado a este vídeo y nos
21:13vemos en otro próximo para más
21:15matemática y más ejercicios de integral
21:18así que hasta la próxima
21:21[Música]
21:25ah

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