SERIE DE FOURIER: Parte 1: Idea Intuitiva | El Traductor — Transcript

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1. 0:00al momento de grabación de este vídeo es
2. 0:0220 de junio es mi cumpleaños y no quiero
3. 0:05ningún regalo lo único que quiere es
4. 0:06hacer lo que me apasiona y lo que me
5. 0:08apasiona es explicar cosas tratar de
6. 0:10demostrar que las cosas que parecen
7. 0:12difíciles de entender en realidad no son
8. 0:14difíciles a entender simplemente son
9. 0:15necesarias buenas explicaciones lo que
10. 0:18se me ocurrió hacer en este vídeo es
11. 0:20explicar un tema que fue muy pedido tema
12. 0:23muy interesante y muy poderoso que es
13. 0:25series de furia eso es lo que vamos a
14. 0:28ver en este vídeo cuando termines de
15. 0:30verlo lo que vas a terminar entendiendo
16. 0:32es el concepto de serie fourier cómo
17. 0:35utilizar una serie de fourier a modo de
18. 0:38herramienta cómo interpretar las
19. 0:40diferentes series de fourier que se ven
20. 0:42que en realidad son una sola pero se ven
21. 0:44de diferentes formas y cómo razonar cómo
22. 0:47usarla como herramienta nada de truquito
23. 0:49matemático lo aplico y me olvido y
24. 0:51aplico la formulita no vamos a ver en
25. 0:54realidad que significa la serie de furia
26. 0:56como interpretarlo y cómo usarla como
27. 0:58herramienta que es lo que como
28. 0:59ingenieros más nos interesa es una
29. 1:02herramienta muy
30. 1:03muy muy poderosa empezamos tales bien
31. 1:08[Música]
32. 1:12series de fourier como te decía es un
33. 1:14tema muy pero muy muy interesante es una
34. 1:17herramienta muy poderosa en cómo
35. 1:20empezamos a desarrollar este tema que es
36. 1:22lo primero que hay que prestar atención
37. 1:23a kaká tenemos la serie furia acá te la
38. 1:26presentó
39. 1:27hay que poner unas ciertas condiciones
40. 1:29antes unos lemas y unos puntos de
41. 1:32partida para poder entender el
42. 1:34desarrollo de la serie de fourier está
43. 1:36bien empecemos presta atención bien para
44. 1:39entender serie de fourier el concepto
45. 1:41fundamental es que entiendas que es una
46. 1:44función periódica o función periódica lo
47. 1:47podemos analizar intentado en otros
48. 1:49vídeos lo importante es que una función
49. 1:52periódica va a poder ser representada
50. 1:55usando serie de fourier si cumple
51. 1:58ciertas condiciones que están en la
52. 1:59descripción de este vídeo yo creo que
53. 2:01entiendas la idea el concepto importante
54. 2:03de esto si si tienes una función de una
55. 2:06sola variable que es periódica imagínate
56. 2:08que yo
57. 2:09ppt y periódica y por eso le puse pe de
58. 2:13periodo de periodo de grande eso
59. 2:15significa que es parte de su curva se va
60. 2:17a repetir cada este valor sobre lo
61. 2:20independiente
62. 2:21o sea que si esta curva roja que grafica
63. 2:24acá es esta función pd t t grande es
64. 2:28esta ventana este intervalo de su
65. 2:31variable independiente esto mide tiene
66. 2:34una longitud de t grandes unidades de su
67. 2:38variable independiente se entiende a
68. 2:40título informativo te lo digo esta
69. 2:42función de una sola variable
70. 2:43estrictamente hablando va a ser
71. 2:46periódicas y cumple esta igualdad que la
72. 2:48función evaluar ante cualquier t que
73. 2:51elijas coincide con la función evaluada
74. 2:53en ese mismo t sumándole es el número
75. 2:56grande que puse acá es tt que está acá
76. 2:57si cumple esto entonces p es periódica
77. 3:01de periodo de grande acá gráficamente se
78. 3:04ve esta es la idea que quiero que veas
79. 3:06sí pero hay que perder la idea tengo una
80. 3:08función de una sola variable que tiene
81. 3:10una curva determinada que es periódica
82. 3:12el período de grande
83. 3:13si se cumple eso y cumple las
84. 3:16condiciones que están acá abajo en la
85. 3:17descripción entonces va a poder ser
86. 3:19representado usando serie juliana y que
87. 3:21es una serie furia bueno hay varias
88. 3:23expresiones para la serie de julián que
89. 3:25son la misma cosa después vamos a
90. 3:27demostrar que son la misma cosa tiempo
91. 3:29al tiempo yo acá te pongo esta serie
92. 3:31furia sí que es una de las tantas
93. 3:33expresiones después de una exponencial
94. 3:35compleja que es lo mismo lo creas aunque
95. 3:38no lo creas es lo mismo lo importante es
96. 3:40que entendamos qué cosas son las que
97. 3:43tenemos acá vamos paso por paso los
98. 3:45condimentos necesarios para interpretar
99. 3:48cada una de las partes de la serie
100. 3:49führer te las voy a decir de a poco y
101. 3:51bien rápido si primer cosa importante si
102. 3:54vos tenés una función senoidal o sea una
103. 3:57función de estas características donde
104. 4:00en su argumento del seno aparecen dos
105. 4:03pistas por un número por t donde t es la
106. 4:06hora independiente
107. 4:07imagínate que tengo 2 x 5 x te estoy
108. 4:09inventando para que me entiendas la idea
109. 4:11si no tenés algo así dos pi por una cosa
110. 4:14aporte esa cosa es la frecuencia de este
111. 4:17seno
112. 4:18y qué es la frecuencia la inversa del
113. 4:20periodo y que es el periodo eso que te
114. 4:22mostré hoy donde la curva es un seno o
115. 4:25sea que si esa es la curva de mi efe dt
116. 4:27mi función entonces el 5 que está acá es
117. 4:30la frecuencia y el periodo es un quinto
118. 4:32o sea que la distancia entre dos máximos
119. 4:35o la distancia entre dos mínimos que es
120. 4:37igual al periodo de mi función es un
121. 4:39quinto estamos de acuerdo o sea que
122. 4:42estos de acá hasta acá mide un quinto y
123. 4:46porque nos interesa tanto meter el
124. 4:48concepto de frecuencia acá y porque esto
125. 4:51que aparece acá arriba o sea de la serie
126. 4:52furia usa senos y cosenos de frecuencias
127. 4:56o sea frecuencias de como este 5 que te
128. 4:58puse las frecuencias iguales a múltiplos
129. 5:00de la frecuencia fundamental de mi
130. 5:02función que quiero representar o sea que
131. 5:05si la función que quiero representar
132. 5:06tiene frecuencia f 0 porque la llamé f 0
133. 5:09y tiene un periodo t donde este es uno
134. 5:12sobre f 0 entonces los senos y cosenos
135. 5:16que aparezcan acá van a tener frecuencia
136. 5:19igual a múltiple del f 0 que aparece acá
137. 5:22entonces primer cosa a tener en cuenta
138. 5:25si la expresión está capa de saca me
139. 5:28aparece 1 sobre t yo estoy autorizado
140. 5:30decir que esta frecuencia 1
141. 5:32sobre t es la frecuencia fundamental o
142. 5:34sea la frecuencia de la señal está la
143. 5:36función que quiero representar si no
144. 5:38aparece 2 sobre t estos dos por uno
145. 5:41sobre t odos sobre yo mismo me está
146. 5:43haciendo esto que está acá es una
147. 5:45frecuencia por
148. 5:47esta relación que te estoy mostrando y
149. 5:49esta frecuencia es el doble de la
150. 5:51frecuencia fundamental o sea 2 f 0
151. 5:54si te pongo 3 sobre t esto es 3 f 0 es
152. 5:57clave que entiendas que 1 sobre t 1
153. 6:00sobre t frecuencia y en este caso es la
154. 6:02frecuencia de mi función que quiero
155. 6:05representar se entiende entendido de eso
156. 6:08lo único que tenemos que hacer es usar
157. 6:10la cabeza fíjate lo que tengo acá no es
158. 6:12otra cosa que una suma de senos y
159. 6:16cosenos que tienen frecuencia igual a
160. 6:19múltiplos de la frecuencia f 0 o sea de
161. 6:23la frecuencia 1 sobre t
162. 6:25si están multiplicados afuera acá por
163. 6:28constantes son los coeficientes de
164. 6:31foliar que me dicen que tanto influye en
165. 6:34la representación de la función cada uno
166. 6:37de esos costos musicado unos senos por
167. 6:40qué porque fourier demostró que una
168. 6:42función periódica que cumple todas estas
169. 6:44características que estamos viendo puede
170. 6:47ser representada sumando una cantidad
171. 6:50determinada de senos y cosenos de
172. 6:53amplitudes determinadas y de frecuencias
173. 6:56iguales a múltiplos de este f 0 que
174. 7:00aparece acá eso demostró fourier y
175. 7:03también hay que sumar una constante
176. 7:04afuera de todo que es esto que está acá
177. 7:06que lo vamos a hablar ahora no te
178. 7:07preocupes tiempo al tiempo o sea lo que
179. 7:09está diciendo el tipo es que si por
180. 7:11ejemplo tú pdte tu función que vos
181. 7:13querés representar imagínate qué es esto
182. 7:15estoy inventando para que entendamos la
183. 7:16idea vos sumando una cantidad
184. 7:19determinada de senos y cosenos vas a
185. 7:21poder aproximar esta curva acá y lo más
186. 7:24maravilloso que demostró führer es que
187. 7:26si sumas una cantidad ínfima en este
188. 7:27caso infinita de senos y cosenos
189. 7:31esa suma horrible que parece horrible
190. 7:33pero tremenda converge o sea da lo mismo
191. 7:37que esta curva acá
192. 7:40es tremendo lo que hizo el tipo o sea
193. 7:42partir de senos y cosenos y logras una
194. 7:45cosa rara como está ya qué se debe eso
195. 7:48fundamentalmente
196. 7:50eso se debe para empezar a entender aquí
197. 7:52por ejemplo yo te pongo un ejemplo por
198. 7:54ejemplo si tenemos dos senos por ejemplo
199. 7:57dos senos de frecuencias diferentes la
200. 8:00misma amplitud para que entonces
201. 8:01aguantando a la idea la misma amplitud
202. 8:03pero frecuencias diferentes silos sumas
203. 8:05te puedan algo así mira ves lo que pasa
204. 8:08ahí lo único que hice fue sumar dos
205. 8:11senos o sea dos funciones senoidal es de
206. 8:15la misma amplitud porque se me antojó de
207. 8:16amplitud pero diferentes frecuencias te
208. 8:18das cuenta lo que pasa lo que aparece es
209. 8:21una cosa periódica aquí no es sin soy
210. 8:24dal
211. 8:25tiene una forma rara pero en ciudad qué
212. 8:28pasa si sumamos 5 por ejemplo de lo que
213. 8:30pasa y sumamos 5 lo que obtenemos es una
214. 8:33función periódica que tiene una forma
215. 8:35diferente a una seguridad totalmente
216. 8:37diferente y es periódica eso nos da una
217. 8:41intuición nos da un poco de idea de que
218. 8:43podríamos eligiendo bien los
219. 8:45coeficientes eligiendo bien las
220. 8:47amplitudes o senos y cosenos y eligiendo
221. 8:49bien las frecuencias que podemos
222. 8:51representar una cosa periódica de una
223. 8:53forma rara tan loca como quieras que
224. 8:55cumpla con las condiciones que están en
225. 8:56la descripción utilizando
226. 8:58sólo xenón y cosenos
227. 9:00es lo que demostró furia y es
228. 9:02maravilloso e intuitivamente si yo
229. 9:04quisiera representar esta cosa de acá
230. 9:06esta señal cuadrada a esta función de
231. 9:08una sola variable que se usa mucho los
232. 9:10generadores de señal es muy común este
233. 9:12tipo de función podría empezar aproximar
234. 9:14a la roja usando la verde es una señal
235. 9:16sinusoidal tradicional que tiene una
236. 9:18frecuencia determinada como podrás ver
237. 9:20la frecuencia de la verde que dibuje es
238. 9:23igual a la frecuencia de la roja una vez
239. 9:26a la fundamental no importa la ideas que
240. 9:28te des cuenta que cuanto más tardes
241. 9:31agregue más no voy a poder aproximar
242. 9:33pero tengo que elegir bien la frecuencia
243. 9:34y elegir bien las amplitudes eso me lo
244. 9:36dice fourier hasta la magia eso es
245. 9:38impresionante si son muy finitos hay que
246. 9:40pasar en este caso con bergé de a lo
247. 9:42mismo atención porque si tu función que
248. 9:44querés representar con serie de fourier
249. 9:46cumple todas las condiciones pero tienes
250. 9:48discontinuidades entonces tu serie de
251. 9:51fourier en las zonas de discontinuidad
252. 9:53se va a aproximar al promedio de los
253. 9:57valores que toma esa función o sea que
254. 9:59tu serie de funciones va a tomar en este
255. 10:01valor de t este valor de acá
256. 10:04ni este este valor de acá por qué y por
257. 10:07qué estás usando senos y cosenos que son
258. 10:09funciones continuas entonces por ejemplo
259. 10:11si tienes una cantidad finita de
260. 10:12términos a esta señal su serie führer se
261. 10:15aproxima de esta forma por ejemplo por
262. 10:17ponerte una cosa te das cuenta acá en
263. 10:20los valores de discontinuidad tu serie
264. 10:22de fourier vale esto en la siguiente
265. 10:25parte lo que vamos a hacer es meternos
266. 10:26bien en detalle pero bien en detalle de
267. 10:29cada una de estas cosas que aparecen acá
268. 10:30pero bien en detalle hasta vamos a ir
269. 10:33con productos internos presta atención
270. 10:34porque está muy buena la idea era ésta
271. 10:37motivarte para que te des cuenta que una
272. 10:39cosa periódica la van a poder
273. 10:40representar con senos y cosenos esa es
274. 10:42la idea la intuición ahora usa la
275. 10:44realidad como calculamos una serie como
276. 10:47que cuenta tenemos que hacer moda le
277. 10:49queda tela es una parte que lo vamos a
278. 10:50ver