Schubspannungsermittlung bei der geraden Biegung — Transcript

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1. 0:06wir hatten uns im rahmen der technischen
2. 0:08biege theorie mit der ermittlung der
3. 0:11normal spannungen infolge bigu moment
4. 0:14und auch in folge normal kraft
5. 0:17beanspruchung
6. 0:19beschäftigt jetzt gibt es ja aber noch
7. 0:21in der dritte
8. 0:22schnitt größe die am querschnitt wirkt
9. 0:25das ist meine querkraft kuh und diese
10. 0:27querkraft das wissen wir aus dem
11. 0:29äquivalenzprinzip diese querkraft kuh
12. 0:32verursacht schub spannungen jetzt haben
13. 0:36wir diese spannung bis jetzt noch nicht
14. 0:38ermittelt und das haben wir jetzt tun
15. 0:39jetzt könnte man ja auf der einen seite
16. 0:41sagen okay ich habe meine schub spannung
17. 0:43und schob spannung ist ja nichts anderes
18. 0:46als als gab aig das heißt ich benutze
19. 0:50das stoff gesetzt das heißt ich könnte
20. 0:51die verformung meines mein mann ist mein
21. 0:54eines querschnitts ermitteln in folge
22. 0:56der beagle linie zum beispiel mit der
23. 0:57hilfe der beagle linie und hätte dann
24. 0:59mein gamma und könnte einfach über das
25. 1:01hübsche werkstoff gesetzt dann auf
26. 1:03meiner spannung zu kommen
27. 1:05an dieser stelle haben wir aber längst
28. 1:08ein problem und zwar haben wir ja im
29. 1:10rahmen der täter schnitt biege theorie
30. 1:13die schub die formation zu null gesetzt
31. 1:16die schub die formation hat mir zu null
32. 1:18gesetzt das war die männliche prothese
33. 1:21zweiter teil und hintergrund für dieses
34. 1:24zu null setzen wir ja das war eigentlich
35. 1:25ein problem hatten mit dem eben bleiben
36. 1:27der querschnitte das hatte der
37. 1:29gleichgewichts hypothese beziehungsweise
38. 1:32der gleichgewichts bedingungen
39. 1:34widersprochen und daher mussten wir eine
40. 1:35zusätzliche annahme treffen denn die
41. 1:38lautete eben dass unser balken schub
42. 1:40star ist schub star heißt er definiert
43. 1:43sich gar nicht unter schock
44. 1:44infolgedessen können wir natürlich auch
45. 1:46gar nicht diese schub die formation
46. 1:48nehmen um die spannung zu ermitteln weil
47. 1:51es diese schub deformation dauert
48. 1:54unseren annahmen ja gar nicht gibt wie
49. 1:57gehen wir also trotzdem vor um die
50. 1:59spannungen zu ermitteln nun dafür nehmen
51. 2:02wir eigentlich unseren zweiten gleichen
52. 2:04satz den wir zur verfügung haben und das
53. 2:06ist die
54. 2:07gleichgewichts bedingung
55. 2:10das heißt wir haben jetzt das thema die
56. 2:13hochspannungs ermittlung
57. 2:22die spannungs ermittlungen bei der
58. 2:25geraden biegung
59. 2:27wenn man gleichgewicht verwendet haben
60. 2:29haben wir immer unser element
61. 2:31freigeschnitten hier haben wir jetzt
62. 2:34einmal diesen fall wir haben unseren
63. 2:35prismatischen balken das geld noch die
64. 2:37gleichen annahmen und voraussetzungen
65. 2:40wie wir sie auch bei der herleitung der
66. 2:42bg theorie hatten das heißt wir
67. 2:43betrachten jetzt folgt schnitte
68. 2:45und symmetrische querschnitte die achsen
69. 2:50liegen in der
70. 2:51es handelt sich um ein hauptachsen
71. 2:53system und
72. 2:55in diesem fall ist auch die der
73. 2:58querschnitt entlang des ortes x1
74. 3:00unveränderlich das heißt ja meinen
75. 3:01sogenannten prismatischen balken
76. 3:03vorliegen und aus diesen prismatischen
77. 3:05balken schneide ich jetzt eben hier so
78. 3:07ein element aus und trage dort mal die
79. 3:08vorherrschenden kräfte an das ist
80. 3:10natürlich einmal eine außen liegende
81. 3:11kraft gut 3 und dann habe ich natürlich
82. 3:14meine querkräfte
83. 3:30und meine momente
84. 3:42wobei wir natürlich am rechten rand
85. 3:45immer in diesem fall inkrementellen
86. 3:47zuwachs haben sowohl bei den querkräften
87. 3:49als auch bei den momenten und diesen
88. 3:51querkräften und momenten diesen schnitt
89. 3:53größen sind jetzt spannungen zugeordnet
90. 3:55auch diese spannungen sind hier
91. 3:56angetragen das sind einmal die
92. 3:58spannungen
93. 4:01sigma 31 und es sind die normalen
94. 4:05spannungen infolge des moments
95. 4:07sigma 11 hier jeweils
96. 4:10mit den formulierungen
97. 4:14und unsere aufgabe ist es jetzt das
98. 4:17sigma 31
99. 4:19die bisher unbekannte spannung zu
100. 4:22ermitteln dafür wollen wir das
101. 4:24gleichgewicht bemühen und das besondere
102. 4:27ist eigentlich jetzt an dieser stelle
103. 4:28dass wir nicht das gleichgewicht in drei
104. 4:30richtung verwenden was er eigentlich
105. 4:32vielleicht erstmal naheliegend wäre wenn
106. 4:35man sich diese spannung 31 anguckt lange
107. 4:38verwenden nicht das gleichgewicht in
108. 4:39drei richtungen sondern wir machen
109. 4:40folgendes
110. 4:42wir schneiden unseren balken unser
111. 4:46ausgeschnittenes element schneiden wir
112. 4:48noch einmal
113. 4:49und zwar diesmal entlang einer
114. 4:53konstanten höhe wir erhalten so also
115. 4:55eine weitere schnittfläche hier und in
116. 4:57dieser schnittfläche erhalten wir die
117. 4:59größe sigma
118. 5:0213 die aufgrund der einander
119. 5:05zugeordneten schub spannungen natürlich
120. 5:07gleich der größe sigma 31 ist das ist
121. 5:09eigentlich das besondere an der
122. 5:11herleitung der schub spannungen wir
123. 5:13machen nicht dass gleich in drei
124. 5:15richtungen sondern wir machen das
125. 5:16gleiche üblich den einst richtung geben
126. 5:18also hier das sigma 31 und wir stellen
127. 5:21jetzt das gleichgewicht auf
128. 5:23hierfür dieses obere element dafür
129. 5:27stellen wir jetzt das gleichgewicht auf
130. 5:30eine annahme treffen wir an dieser
131. 5:32stelle noch
132. 5:34diese annahme lautet dass wir sagen okay
133. 5:38wir
134. 5:38haben eigentlich hier
135. 5:41an dieser stelle ja ein zuwachs von
136. 5:45links nach rechts in der querkraft dass
137. 5:47die q3
138. 5:48diesen zuwachs
139. 5:50den möchte ich jetzt aber
140. 5:52vernachlässigen warum können wir das
141. 5:55machen
142. 5:56wir haben hier eine wirkende querkraft
143. 6:00oder quer belastung schultern quer
144. 6:02belastung sollte ich das korrekt aber
145. 6:04sie hindern ihr meine wirkende quer
146. 6:05belastung und wir wissen dass diese quer
147. 6:09belastung die erste
148. 6:10ableitung der querkraft ist damit haben
149. 6:14wir also einen linear veränderlichen
150. 6:15verlauf der querkraft jetzt haben wir
151. 6:18aber im rahmen der infiniti sie mal
152. 6:21geometrie hier nur ein sehr kleines dx 1
153. 6:24also ich habe wirklich ein sehr schmales
154. 6:25scheibe ausgeschnitten und hätten nur
155. 6:28einen linearen verlauf dieser sehr
156. 6:30schmalen entlang dieser schmerz scheibe
157. 6:32der querkraft und wir sagen einfach okay
158. 6:35der zuwachs von links und rechts auf
159. 6:37grund dieser linearität der ist so klein
160. 6:39dass wir ihnen in diesem rahmen wirklich
161. 6:41vernachlässigen können das heißt wir
162. 6:43sagen an dieser stelle
163. 6:45okay dass die eq-3 hier ist ungefähr 0
164. 6:50und mit diesem wissen oder mit dieser
165. 6:53annahme dieser weiteren annahme gehe ich
166. 6:55jetzt wie gesagt an dieses system hier
167. 6:57und stelle einmal das gleichgewicht auf
168. 7:02was ich an dieser stelle allerdings auch
169. 7:04noch wissen muss ist das hatte ich auch
170. 7:07schon mehrfach darauf hingewiesen dass
171. 7:08man das gleichgewicht nicht mit kräften
172. 7:12schulung nicht mit spannungen machen
173. 7:14kann sondern nur mit kräften wir haben
174. 7:16jetzt hier an dieser stelle spannungen
175. 7:19angetragen wenn ich also gleichgewicht
176. 7:22machen muss wo sich diese spannungen
177. 7:24integrieren und zwar zum 1 jeweils immer
178. 7:28über die entsprechende fläche deswegen
179. 7:31werde ich mich am ersten schritt jetzt
180. 7:32einfach mal mit der mit den querschnitt
181. 7:35größen insbesondere mit der fläche
182. 7:37dieses balkens beschäftigen
183. 7:57wir haben hier einmal aufgetragen jetzt
184. 8:00unseren prismatischen balken mit einem
185. 8:03von der form her beliebigen allerdings
186. 8:06symmetrischen querschnitt das
187. 8:08koordinatensystem nicht im schwerpunkt
188. 8:11und wir möchten jetzt uns die
189. 8:15querschnitts größen eines teilbereiches
190. 8:18angucken wir machen ja wenn wir unser
191. 8:21gleichgewicht machen aufstellen
192. 8:25davon führen wir ja an einer stelle
193. 8:27einschnitt entlang einer konstanten höhe
194. 8:30das einmal gemacht und für dieses für
195. 8:32diesen bereich den ich jetzt hier gelb
196. 8:34eingezeichnet habe für diesen bereich 40
197. 8:36gelb eingezeichnet habe möchten wir
198. 8:38jetzt zum beispiel die querschnitts
199. 8:40fläche ermitteln weil wir ja am ende
200. 8:43gleichgewicht ein gleichgewicht
201. 8:46aufstellen müssen und das ist eben
202. 8:47spannung mal der fläche
203. 8:50diese fläche die bezeichne ich jetzt mal
204. 8:53als a1 er für die sogenannte restfläche
205. 8:59und die größe der restfläche berechnet
206. 9:01sich dann wie folgt
207. 9:12das heißt wir haben einmal das integral
208. 9:14über die breite
209. 9:16über die breite und dann das integral
210. 9:20über die höhe des querschnitts wobei wir
211. 9:23bei den breiten natürlich feste grenzen
212. 9:24haben von minus ein bis plus anhang b
213. 9:26und bei der integration oder über der
214. 9:29höhe haben jetzt eben nur beim beginn
215. 9:31einen festen standpunkt das ist nämlich
216. 9:32der punkt - h 0
217. 9:35- 40 das ist sozusagen der rand abstand
218. 9:38nach oben
219. 9:39und die obere grenze das x3 das ist eben
220. 9:44jetzt variabel aber wer den den schnitt
221. 9:47an einer beliebigen stelle vollführen
222. 9:50und aus diesem grund weil jetzt eben
223. 9:52auch die grenze die grenze mit der
224. 9:55migrations variablen übereinstimmt
225. 9:57führen wir hier oben eben diesen strich
226. 10:00ein diese sind legal werden wir jetzt
227. 10:02aus und wir erhalten den ausdruck
228. 10:12an dieser stelle möchte ich im vorgriff
229. 10:15auf das was auch noch kommt noch eine
230. 10:17weitere querschnitts größe behandeln und
231. 10:19zwar das statische moment dieser
232. 10:21restfläche
233. 10:25das statische moment der restfläche ist
234. 10:29definiert als auch wieder das integral
235. 10:31der fläche jetzt aber jeweils mit dem
236. 10:34zugehörigen hebelarm deswegen auch
237. 10:37statisches moment das heißt im
238. 10:39unterschied zu diesem termin oben kommt
239. 10:41hier einfach nur noch der deal auch vor
240. 10:44die nato x3 mit rein und wenn ich das
241. 10:46aus werte dieses integrale halt die
242. 10:47folgenden ausdruck
243. 10:55und in dem moment wo ich diese beiden
244. 10:57größen habe kann ich jetzt wirklich in
245. 11:00die formulierung des kräftig gewichts
246. 11:03gehen wobei hier nochmal das
247. 11:05kräftegleichgewicht in x1 richtung
248. 11:08aufgestellt wird
249. 11:15wir stellen das kräftegleichgewicht für
250. 11:18den oberen teil des geschnittenen
251. 11:20balkens auch das heißt für diesen teil
252. 11:24für diesen bereich den wir jetzt das
253. 11:26kräftegleichgewicht aus wir haben hier
254. 11:27unsere spannungs verteilungen wir wissen
255. 11:30wie sich die spannung sieht x 11 erteilt
256. 11:33das signal 13 möchten wir ermitteln
257. 11:51das heißt wir haben jetzt hier haben wir
258. 11:54die komponente
259. 11:55die kraft die resultierende kraft
260. 11:58infolge der wiege nur mal in folge der
261. 12:02normalen spannung in folge des bebens
262. 12:03das war das signal science ligna
263. 12:05veränderlich über die es wird eben hier
264. 12:07durch das integral ausgedrückt und weil
265. 12:09wir erleben eine kraft haben ist es eben
266. 12:11auch ein kommt auch noch die breite mit
267. 12:13hinzu
268. 12:14dieser teil hier das ist die spannung an
269. 12:18dem unteren schnitt den wir hatten an
270. 12:21dem unteren schnitt wobei jetzt hier
271. 12:23eben noch mal der hinweis
272. 12:25da ist die spannung
273. 12:27konstant
274. 12:31entlang
275. 12:34der x1
276. 12:37angenommen ist das ist eine annahme die
277. 12:40wir getroffen haben deswegen taucht
278. 12:42nicht daran bei der spannung nicht der
279. 12:45therme auf der hier bei der beagle
280. 12:46normalen spannung auftaucht das hier ist
281. 12:48sozusagen die bg mal normalen spannung
282. 12:50am linken rand und dieses hier ist die
283. 12:52biege normalen spannung am rechten rand
284. 12:53dass wir genau den gleichen ausdruck
285. 12:55aber hier tauchte eben das inkrementelle
286. 12:58auch die breite auf weil wir am ende ein
287. 13:01integral über die fläche vollführen
288. 13:04müssen das heißt das ist der ausdruck
289. 13:08das ist die formulierung des
290. 13:09gleichgewichts in kräften und wir wollen
291. 13:12das sigma 13 ermitteln also stelle ich
292. 13:15jetzt im nächsten schritt nach dem sieg
293. 13:16am 13
294. 13:29das heißt wenn ich das freistelle dann
295. 13:31stelle ich als allererstes fest dass ich
296. 13:33hier diese teile siegmar 11 x b
297. 13:36integriert über die curves höhe dass sie
298. 13:38sich aufheben aufgrund des
299. 13:40unterschiedlichen vorzeichen - plus und
300. 13:43es verbleibt nur der inkrementelle teil
301. 13:46und was ich ebenfalls aus kürzt ist eben
302. 13:48das dx 1 auch das kürzlich raus und am
303. 13:52ende verbleibt dieser ausdruck hier
304. 13:56in diesem ausdruck setze ich jetzt dass
305. 14:00er
306. 14:01setze ich jetzt die biege die die
307. 14:05normalen spannungen infolge der biegung
308. 14:08durch ein ausdruck der mit der querkraft
309. 14:12in verbindung steht warum tue ich das
310. 14:14ich möchte ja am ende heraus finden
311. 14:17dieses sigma
312. 14:191313 ist ja die spannung in folge der
313. 14:24querkraft ich habe jetzt hier ein
314. 14:27ausdruck gewonnen indem die querkraft
315. 14:29aber noch nicht auftaucht das heißt mein
316. 14:32bestreben muss es jetzt sein in diesen
317. 14:35ausdruck irgendwie die querkraft zu
318. 14:38bekommen und dazu verwende ich folgenden
319. 14:41zusammenhang als allererstes weiß ich ja
320. 14:43wie sich meine normale spannung in folge
321. 14:46des bebens berechnet nämlich wie folgt
322. 14:54und was ich noch weiß ist dass ich mein
323. 14:59baby moment ja zur querkraft verhält
324. 15:03mein baby momentan abgeleitet ist das
325. 15:05gleich meine querkraft und ich brauche
326. 15:07ja hier
327. 15:08in diesem ausdruck auch das bego moment
328. 15:12schönung diddy diddy bigelow hat die
329. 15:14wige normal spannung einmal abgeleitet
330. 15:17und mit diesem wissen komme ich eben
331. 15:19zudem ausdruck
332. 15:28es heißt diesen ausdruck die bg normal
333. 15:33spannung sieht man 11 partiell
334. 15:34abgeleitet nach 61 wenn ich dort die
335. 15:37berechnung der beagle normal spannung
336. 15:38ein einsätze gelange ich am ende zu
337. 15:41einem ausdruck der das gewünschte q3
338. 15:45enthält und dieses gewünschte in diesen
339. 15:48ausdruck dieses q3 das setze ich jetzt
340. 15:50hier oben in diesen ausdruck hier oben
341. 15:53ein
342. 15:56und gelangen dann zudem ausdruck
343. 16:09und wenn ich mir diesen ausdruck jetzt
344. 16:12näher angucke dann habe ich also die
345. 16:14spannung sieht man 13 jetzt in
346. 16:16abhängigkeit von der querkraft das heißt
347. 16:17eigentlich bin ich schon am ziel jetzt
348. 16:19angelangt jetzt gucke ich noch inwiefern
349. 16:21ich diesen ausdruck vereinfachen kann
350. 16:24als allererstes war sich ja das meint
351. 16:26gut 39 querkraft ist ja nur abhängig vom
352. 16:29vom ort x1 und das gleiche gilt für mein
353. 16:34flächen trägheitsmoment zweiter ordnung
354. 16:36das heißt diese beiden sachen kann ich
355. 16:40vorziehen
356. 16:50und es verbleibt dann nur dieser
357. 16:53integral ausdruck hier
358. 16:55diesen integral ausdruck den kennen wir
359. 16:57schon und zwar kennen wir diesen
360. 17:00integral ausdruck als das statische
361. 17:03moment der restfläche
362. 17:05das heißt ich kann für diesen ausdruck
363. 17:08hier diesen integral ausdruck hier kann
364. 17:11ich schreiben
365. 17:13das ist mein
366. 17:15statisches moment
367. 17:20und dann
368. 17:23gelange ich am ende zu der formulierung
369. 17:25dass man sieht mal 13 gleich - die
370. 17:28querkraft
371. 17:30dividiert durch das flächen
372. 17:32trägheitsmoment die 22
373. 17:34x b x dem statischen moment s2 ist und
374. 17:40diese formel hier die berechnet mir die
375. 17:44spannung
376. 17:46immer querschnitt
377. 17:49infolge der querkraft und man kann sich
378. 17:53diese formel ganz einfach merken sieht
379. 17:56man 13 ist gleich - zumal es durch x b
380. 17:59wenn man das ausspricht also cusip solle
381. 18:03lautmalerei mit der man sich diese
382. 18:04formel merken kann und ganz alt ganz
383. 18:09alte formulierung ist komme es durch
384. 18:11kusi wenn man dieses spiel nämlich auch
385. 18:15die linke seite überholen würde das bier
386. 18:18auf die linke seite überholen würde dann
387. 18:19hätte ich sozusagen den + den werde ich
388. 18:22nachher noch mal mehr leute an den schub
389. 18:25schluss und er ist gleich zumal es durch
390. 18:27iq sie und das ist der grund warum man
391. 18:29diese formel auch die cousinen formel
392. 18:32nennt
393. 18:39das ist an dieser stelle vielleicht eine
394. 18:41ganz nette e mails brücke wie man sich
395. 18:42diesen zusammenhang merken kann