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Schubspannungsermittlung bei der Biegung gerader Balken mit dünnwandiger Querschnitte — Transcript

by Medien für die Lehre · 2,723 words · 507 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00[Musik]
0:07Wenn wir wir hatten die Schubspannung
0:08bis jetzt hergeleitet äh gültig für
0:12Vollquerschnitte. Wenn Sie aber mal mit
0:14offenen Augen durch oder mit für
0:16Strukturen offenen Augen durch die
0:18Umgebung gehen, dann werden Sie
0:20feststellen, dass viele Querschnitte von
0:24Tragelementen, die wir sehen, dünnwandig
0:26sind.
0:28Dünnwandig heißt, dass die
0:32Dicke, die Dicke der Wandlung dieser
0:36Querschnitte sehr viel kleiner ist im
0:39Vergleich zu den
0:42anderen
0:44Querschätzprofilabmessungen. Das sind
0:45z.B. natürlich die Länge, aber auch die
0:48Höhe und die Breite. Und einige
0:50Beispiele für solche dünnwandigen
0:53Querschnitte. Das können z.B. Design
1:01Kastenprofile oder
1:06Uprofile, das sogenannte I oder auch T
1:11bezeichnete
1:17Profil
1:21oder als letzter Profiltyp Das L-profil.
1:25Das sind eigentlich so die gängsten
1:27Profiltypen, denen Sie bei realen
1:30Tragstrukturen begegnen. Das U-Profil
1:33wird manchmal auch noch, wenn es steht,
1:35als C-Pil bezeichnet, aber dies sind
1:37eigentlich so die gängigsten
1:39Profiltypen. Von all diesen Profiltypen
1:41ist
1:43gemeinsam, dass die Dicke des Profils,
1:47ich bezeichne sie jetzt mal als Delta,
1:49also mit einem griechischen D, dass die
1:52Profildicke sehr viel kleiner ist als
1:54die anderen Profilabmessungen. Das
1:56können z.B. sein die Höhe und die
2:02Breite und natürlich auch
2:05selbstverständlich die Länge des
2:07Profils. Das heißt, Delta ist sehr viel
2:09kleiner als B, H und L. Wenn wir so eine
2:13Profile vorliegen haben, dann reden wir
2:16von sogenannten dünnwandigen
2:25Profilen. Und für diese dünnwandigen
2:27Profile muss ich natürlich genauso auch
2:30die ganzen Spannungsverläufe ermitteln,
2:33wie ich das für bisher kennengelernte
2:35Volquitätte machen muss. Bei der
2:37Ermittlung der Normalspannungen infolge
2:40von Biegemomenten und Normalkräften
2:43ändert sich nichts. Das ist eigentlich
2:45gleich einfach für
2:49ähm dünnwandige Profile wie
2:51Vollquerschnitte. Ein Problem stellen
2:53allerdings oder eine Herausforderung
2:55stellen allerdings die Schubspannungen
2:58da. Und mit dieser Herausforderung
2:59möchte ich mich jetzt im Anschluss
3:01beschäftigen. Das heißt, mit der
3:03Schubspannungsermittlung bei der Biegung
3:05gerader Balken von dünnwandigen
3:21Querschnitten. Die erste Frage, die sich
3:23dann natürlich stellt, wo worin soll
3:26denn jetzt eigentlich die
3:27Herausforderung bestehen? Und die
3:29Herausforderung besteht da drin, dass
3:31wenn wir uns noch einmal unsere Formel
3:34angucken, zur Berechnung der
3:36Schubspannung Sma 3 = -
3:40Q S durch
3:43I mal B, die sogenannte Cosinformel,
3:47dann ist das Besondere an dieser Formel
3:49ja gewesen, dass die Elemente Q, I und
3:53B, dass die eigentlich konstant sind
3:56innerhalb eines Querschnittes.
3:58Das statische Moment allerdings das
4:01statische Moment allerdings war eine
4:05Funktion unserer
4:09Querschnittshöhe. Die Challenge, die wir
4:11jetzt haben, ist
4:12die, dass wir
4:15dieses statische Moment also aus einer
4:18Integration ermitteln müssen. Bei
4:21Volkswerschitten war diese Integration
4:22noch relativ einfach, weil wir eben nur
4:24in X3 Richtung gegangen sind. Das heißt,
4:26wir haben am oberen Rand angefangen und
4:27sind einfach nach unten durchgegangen
4:29und hatten so den gesamten Querschnitt
4:32abgedeckt. Bei dünnwandigen Profilen ist
4:35es jetzt nicht ganz so einfach, weil
4:36dünnwandige Profile auch
4:39Querschnittsbestandteile
4:41haben, die sozusagen nicht in X3
4:44Richtung verlaufen, sondern in X2
4:51Richtung hier dargestellt. Das
4:55heißt, ich bin eigentlich nicht in der
4:57Lage, den Querschnitt stetig in X3
5:01Richtung zu beschreiben, sondern ich
5:03habe Unstetigkeitsstellung in X3
5:04Richtung. Und das würde eigentlich die
5:06Ermittlung dieses statischen Moments für
5:08dünnwandige
5:10Querschnitte erheblich aufwendiger
5:12machen, wenn ich da nicht einige
5:14Vereinfachungen annehmen würde. Und zu
5:16diesen Vereinfachungen komme ich jetzt.
5:21Wir haben hier einmal das dünnandige
5:24Profil
5:26dargestellt. Hier ist das
5:28Dünnwandigpfil. Ich betrachte hier jetzt
5:30mal ein U-Profil.
5:36Und die Annahmen, die wir getroffen
5:39haben beim Dünwandigen Profil, war ja
5:40die erste, dass dieses Delta, die Dicke
5:45sehr viel kleiner ist als die anderen
5:47Querschnittsabmessungen. Und das
5:48Besondere bei den dünnwandigen
5:50Querschnitten ist jetzt eben oder ist
5:52das, dass ich jetzt diese Integration,
5:54die gefordert ist, über das X3, dass ich
5:57die nicht über das X3 vollführe, sondern
6:00dass ich eine sogenannte Laufkoordinate
6:02S
6:04einfüge. Diese Laufkoordinate S füge ich
6:07ein und diese Laufkoordinate S, die muss
6:10immer beginnen an einem
6:14Rand, an dem
6:16die an dem die Schubspannung null ist.
6:25Das heißt, ich suche mir also einen
6:26freien Rand aus und fange dort an, mein
6:28S anzutragen. Es ist jetzt dabei egal,
6:30ob ich jetzt an diesem Rand anfange oder
6:31an diesem Rand anfange. Und dann lasse
6:33ich das S einmal
6:36durchlaufen. Dann lasse ich das S einmal
6:38durchlaufen und das ist meine sogenannte
6:45Laufkoordinate. Und die Besonderheit ist
6:47eben jetzt die, dass ich diese
6:49Integration, um das statische Moment zu
6:51erhalten, eben jetzt nicht entlang S3
6:53mache, sondern schon nicht entlang X3
6:54mache, sondern entlang dieser
6:57Laufkoordinate. Um das machen zu können,
6:58muss ich allerdings noch eine zweite
7:00kleine Annahme treffen, die mir die
7:03Behandlung dann wesentlich vereinfacht.
7:05Und zwar ist das die, dass ich auf der
7:08einen Seite
7:10annehme, dass ich keine Schubspannungen
7:12in Profil dicken Richtung habe. Das
7:18heißt, das heißt, ich habe keine
7:20Schubspannungen, die in die dicken
7:24Richtung zeigen. Also, ich habe hier
7:26Schubspannungen, die in diese Richtung
7:27zeigen. Ups. Und ich habe hier im
7:31unteren Bereich Schubspannungen, die in
7:33diese Richtung zeigen, aber ich habe
7:34keine Schubspannung, die im Bereich des
7:36Pflansches in diese Richtung zeigen, von
7:38oben nach unten. Und ich habe keine
7:40Schubspannung, die im Bereich der Stege
7:42von links nach rechts zeigen. Das ist
7:44meine Annahme.
7:46Delta Sigma Delta
7:491 soll sein 0. Und die zweite Annahme,
7:54die ich treffe, ist hinsichtlich des
7:56Verlaufs der Schubspannung. Und zwar
7:58sage ich, dass meine Schubspannungen,
8:00die innerhalb des Querschätzteils
8:02verlaufen, dass die über die Dicke
8:04konstant sind. Das heißt, sieht dann so
8:06aus. Wenn ich dann hier mein Querschütz
8:09dicke
8:14habe, meine Dicke in Abhängigkeit von
8:17S, dann sage ich, dass meine
8:20Schubspannungen im Querschnitt
8:25verlaufen und die Verteilung dieser
8:28Schubspannungen über die Dicke konstant
8:31ist.
8:36Und in dem Moment, wo ich diese Annahmen
8:38treffe, das heißt eine konstante Dicke
8:42der Entschuldigung, eine konstante
8:44Schubspannung über die Dicke des des
8:46Profils, über die Dicke der Wandung des
8:48Profils. In dem Moment kann ich eine
8:50neue Größe einführen und zwar den
8:52sogenannten Schubfluss. Wir haben ih
8:53schon vorhin einmal kennengelernt. Wenn
8:55meine Schubspannungen konstant über die
8:57Dicke sind, kann ich einfach diese
8:59Schubspannungen schon einmal mit der
9:01Dicke multiplizieren und ich halte dann
9:02den sogenannten
9:12Schubfluss. Der Schubfluss ist nichts
9:14anderes als die Schubspannung
9:16multipliziert mit der Dicke. Und hier an
9:18dieser Stelle, wo ich mich in diesem in
9:22diesem in diesem theoretischen
9:23Konstrukt, in diesen theoretischen
9:24Rahmen bewege, wo ich sage, okay, ich
9:26habe jetzt dünnwandige Querschnitte
9:28vorliegen, ähm und meine Schubspannung
9:30formuliere ich jetzt alle in
9:31Abhängigkeit von S, in dem Moment macht
9:33es eigentlich keinen Sinn mehr, die
9:35Indexnotation weiterzuführen, wo ja die
9:39Indizes entsprechend den
9:41Laufoordinaten der entsprechenden den
9:43Ord entsprechenden Raumkoordinaten
9:45waren, an sondern an diesem
9:48In diesem an diesem Punkt macht es dann
9:50Sinn, dieses Sigma S1
9:55als
9:57Tau zu bezeichnen. Das erspart mir
9:59einfach immer den Wechsel der
10:03Koordinatenrichtungen. Das heißt, der
10:05Schubfluss ist als an im Ende nichts
10:07anderes als die Schubspannung
10:10multipliziert mit der jeweils
10:12zugehörigen
10:13Profildicke Delta.
10:16Wenn ich soweit bin, kann ich jetzt
10:19daran gehen, die Schubspannungen
10:21herzuleiten. Und dabei verwende ich die
10:22genau die gleiche Methodik, die ich auch
10:24beim Vollquerschnitt angewandt habe. Das
10:27heißt, ich schneide jetzt einfach aus
10:29meinem Querschnitt einen Teil heraus.
10:33Das habe ich mal hier unten
10:34gemacht. Ich schneide einen Teil heraus
10:38und stelle jetzt das Gleichgewicht und
10:39auch jetzt wieder in X1 Richtung auf.
10:43Ich mache also genau das gleiche. Ich
10:44stell das Gleichgewicht in X1 Richtung
10:46aus an einem herausgeschnittenen
10:47Element. Jetzt ist es allerdings dieses
10:49Element nicht das Element eines
10:51Vollquerschnitts, sondern es ist eben
10:53nur eine Teilfläche des dünnwandigen
10:57Querschnitts. Und auch da habe ich dann
11:00folgende Situation vorliegen. Das ist
11:01einmal hier dargestellt. Ganz wichtig
11:03hier oben, der Rand hier
11:05oben, der war
11:12spannungsfrei. Das war ja sozusagen die
11:14Bedingung, die wir hier oben angenommen
11:17hatten, als wir die Laufkoordinate
11:19angeführt hatten. Das heißt, wir haben
11:20einen Rand gesucht, wo die Spannung null
11:23ist und haben dort die Laufkoordinate
11:28angesetzt und stellen jetzt einfach ganz
11:30wieder die einzelnen Kräfte auf, bzw.
11:33Also hier an dieser Stelle sind es jetzt
11:34dann eben auch wieder die Spannungen.
11:36Ganz analog zu dem, was wir vorher auch
11:38gemacht haben. Wir haben jetzt hier die
11:40Normalspannungen am linken und am
11:41rechten
11:42Ende und wir haben die Schubspannungen
11:45in der unteren Fläche und am linken und
11:48am rechten andere Ende und stellen jetzt
11:50das Kräftegleichgewicht auf. Das heißt,
11:51wir müssen jetzt einfach wieder über die
11:53Flächen
11:54integrieren. Das heißt, wir stellen auch
11:56jetzt einfach wieder das Gleichgewicht
11:58in X1 Richtung auf.
12:11Das ist einmal hier gemacht, wobei wir
12:12hier jetzt schon sozusagen auf die
12:14reduzierte Form äh gegangen sind, wo wir
12:17die ganzen Teile, die sich rauskürzen,
12:20auch schon gleich hier weggelassen
12:21haben. Und der einzige Unterschied zu
12:23der Formel, die wir vorher hatten, ist
12:24und darauf muss ich an dieser Stelle
12:25noch mal hinweisen, ist, dass jetzt
12:26alles eben abhängig ist von der Lauf
12:30Koordinate S. Das heißt, alle Größen,
12:32die den Schub betreffen, sind jetzt
12:33abhängig von der Laufkoordinate S und
12:36nicht mehr von X3, wie es vorher der
12:38Fall war. Die Normalspannung allerdings,
12:42ne, die sind immerhin noch immer
12:43weiterhin noch abhängig von DX1. Das war
12:45ja sozusagen entkoppelt von diesem
12:47Problem.
12:48Das heißt, wir haben jetzt hier also die
12:50Abhängigkeit von meiner
12:52Laufkoordinate und ich füge jetzt auch
12:54die andere Größe, die wir eingeführt
12:56haben, den Schubfluss ein. Das macht die
12:57Formulierung ein bisschen einfacher und
12:59ich erhalte dann den
13:06Ausdruck und auch hier habe ich jetzt
13:09noch die Herausforderung, dass ich hier
13:10jetzt eben einen Ausdruck habe. Ich will
13:12ja meinen Schubfluss berechnen. Jetzt
13:14den Schubfluss, ne? Gleich Schubspannung
13:16mal Profildicke. Den Schubschluss möchte
13:17ich berechnen infolge der Querkraft. Ich
13:20habe hier jetzt aber die Querkraft noch
13:21nicht drin stehen. Das heißt, ich gehe
13:23jetzt hier auch wieder über die
13:25Beziehungen der Normalspannungen zu dem
13:27Biegermoment. Genau. Analog zu dem, was
13:29wir bei den Vollquerschnitten gemacht
13:30haben und gelange so zu einem Ausdruck,
13:32wo hier das Q drin
13:41auftaucht. Und wenn ich das in die
13:43Gleichung oben einsetze, kommt folgendes
13:45raus.
13:52Und auch hier ist es wieder so, dass wir
13:55dieses hier als Q durch I und S, das ist
13:59eben können wir nichts weiter machen,
14:00aber diesen Ausdruck hier, den kennen
14:02wir schon. Das ist das statische Moment.
14:05Jetzt allerdings ist es das statische
14:06Moment des dünnwandigen Querschnitts,
14:10der dünnandigen oder der Teilfläche des
14:12dünnwandigen Querschnitts und es wird
14:14eben integriert über S. meine
14:17Koordinate, meine Laufkoordinate ist
14:18nicht mehr X3, sondern es ist jetzt eben
14:19das X schon das
14:28S und ich gelange dann am Ende zu
14:31der logischerweise völlig gleichen äh
14:35Formel, wie es auch für Vollquitter
14:37hatte, der sogenannten Cosinenformel.
14:39Tau ist = - Q* S durch I* Bzw. durch I
14:42mal Delta. sind jetzt ja bei den
14:44dünnwandigen Querstitten und die
14:46Besonderheit ist eben jetzt eben hier
14:48der einzige Unterschied, dass das S, das
14:51statische Moment jetzt eben in
14:53Abhängigkeit von der Laufkoordinate
14:56formuliert ist. Und an dieser Stelle
14:59kann man schon so ein bisschen erahnen,
15:01warum es für uns so wichtig war, eben
15:04die
15:05Laufkoordinate an einer Stelle zu
15:09beginnen, wo wir ein Randwert 0 haben,
15:13weil wir am Ende ja hier genau diesen
15:15Integralausdruck bilden
15:17müssen. Diesen Integralausdruck müssen
15:20wir bilden und wir brauchen, wenn wir
15:21dann das Integral starten, brauchen wir
15:23eben den Randwert und der Randwert muss
15:26bekannt sein und die einzigen Orte, über
15:29die wir eigentlich eine Aussage treffen
15:31können hinsichtlich des Randwerts, der
15:32Schubspannung, das sind eben die Ränder,
15:34an denen diese Schubspannungen null
15:36sind. Das heißt, wir müssen die
15:41Laufkoordinate an den freien Rändern
15:44beginnen, weil wir wissen, dass dort die
15:45Schubspannung null sind.
15:49und wir somit dann eben auch diese
15:51Integration durchführen können
15:54ohne oder eine Integration durchführen
15:56können und die Integrationskonstante
15:58dieses C aus der Randwert aus der
16:00Randbedingung bestimmen können und die
16:02lautet dann eben, dass meine
16:03Integrationskonstante C1 an der Stelle
16:05gleich 0 ist. Das heißt, die einzige
16:07Herausforderung, die wir jetzt wirklich
16:08haben bei der Berechnung von so von der
16:13Schubspannung, von
16:14Schubspannungsverläufen bei dünnigen
16:16Querschnitten, äh ist eben diese die das
16:19Ausführen dieser
16:21Integration. Das Ausführen dieser
16:23Integration, das ist die
16:24Herausforderung, ich muss an einem
16:25freien Rand starten, ja, damit ich einen
16:28Randwert, meinen Randwert kenne, meine
16:30Integrationskonstante C1. Äh dieses
16:32hier, das ist eigentlich ein konstanter
16:33Faktor und dann muss ich eigentlich nur
16:35diese Integration durchführen und das
16:37war es eigentlich schon an
16:39Herausforderungen, die ich habe bei dem
16:41bei der Bestimmung des
16:43Schubspannungsverlaufes, wenn es da
16:44nicht noch die sogenannten Stellen der
16:47Unstätigkeit gäbe. Eine Integration kann
16:50ich ja nur durchführen entlang stetiger
16:54Bereiche und immer an Bereichen, wo ich
16:57dann eben eine Unstätigkeit habe, das
16:58können irgendwelche Veränderungen in der
17:00Geometrie sein, äh muss ich mit dieser
17:02Integration stoppen. Dann benötige ich
17:04Übergangsbedingungen, die mir den
17:06Übergang von dem einen Bereich in den
17:08nächsten formulieren, dass ich dann am
17:10Ende zu einem kontinuierlichen Verlauf
17:11komme und kann dann mit meiner
17:13Integration weiter fortführen. Und diese
17:17Arten der Unstätigkeitsänderung, die wir
17:19haben, die die es gibt bei dünnwandigen
17:21Querschnitten, das sind zum
17:23einen dicken Änderung einmal hier
17:26dargestellt, wenn sie unstetig sind. Das
17:28heißt, es kann sein, dass ich meinen
17:29Querschnitt habe und der auf einmal
17:31einen dicken Sprung hat. Das ist so eine
17:34Unstätigkeitsstelle.
17:36Und die zweite Unstigkeit
17:38Unstätigkeitsstelle, die ich habe für
17:40mein für meine Laufkoordinate S, das
17:42ist, wenn mehrere Profilteile
17:45aufeinander stoßen. Das heißt, mein S
17:47kann nicht mehr in eine Richtung
17:48konstant durchlaufen, sondern ich habe
17:50hier zwei Möglichkeiten, in die es
17:52verlaufen kann. Und dann muss ich mir
17:55eben fragen, okay, wie verhält sich
17:57jetzt meine Größe, die ich am Ende
17:59ermitteln will über diese
18:01Unstätigkeitsstellen?
18:02Und die Größe, die ich hier ermitteln
18:04will, das ist meine Schuhspannung,
18:07respektive bei dünnigen Querstätten
18:09geeignete der sogenannte Schubfluss. Die
18:12Frage, die ich mir also stelle, ist, wie
18:14verhält sich mein Schubfluss an diesen
18:16Stellen der Unstätigkeit? Und auch dafür
18:19mache ich ganz einfache
18:21Gleichgewichtsbetrachtung. Ich fange mal
18:22an mit dem oberen Teil hier, mit dem der
18:24dicken Änderung. Ich habe einen
18:26Schubfluss, der von oben kommt von den
18:29dünneren Querschnitzteil in den dickeren
18:31Querschnitzteil verläuft und ich möchte
18:33jetzt wissen, wie sich TO zu TU verhält.
18:37Mache ich einfach folgenden folgenden äh
18:39Schritt. Ich schneide entlang des dicken
18:43Sprungs. Das ist einmal hier
18:44dargestellt. Aufgrund Schubflüsse sind
18:46ja nichts anderes als Schubspannung
18:48multipliziert mit der Dicke. Das heißt
18:50auch für die Schubflüsse gelten die gilt
18:53die Gleichheit der einander zugeordneten
18:56Schubflüsse wie bei den Spannungen. Das
18:58heißt das T0 hier ist auch das T0
19:01chuldigung T oben, was hier in der
19:03Fläche wirkt. Und genau das gleiche beim
19:05unteren Querschätzteil. Das TU, was nach
19:07unten wirkt, entspricht gleich dem TU.
19:10was in der Schnittfläche wirkt. Und nun
19:12mache ich ganz einfach eine
19:14Gleichgewichtsformulierung. Ich sage,
19:17okay, jetzt muss ja das Gleichgewicht
19:23gelten und auch hier in X1
19:26Richtung und da sehe ich sofort, dass
19:30mein T oben gleich meine T unten sein
19:34muss. Das heißt, wenn ich an eine Stelle
19:36komme, wo ich eine dicken Änderung in
19:38meinem Profil habe, ändert sich bei dem
19:41Schubfluss gar nichts. Das heißt nicht,
19:44dass ich was bei den Spannungen ändert.
19:47Für die Spannungen gilt ja Schubfluss
19:49dividiert durch die Dicke. Das heißt,
19:50wir haben
19:59oben die Spannung oben ist gleich T0
20:01durch Delta unten äh durch Delta oben
20:04und für unten haben
20:06wir das entsprechende.
20:10Und da mein Delta unten größer ist als
20:13mein Delta oben, gilt natürlich, dass
20:14die Spannung unten umgekehrt
20:17proportional kleiner ist als die
20:19Spannung oben. Das heißt, meine
20:21Spannungen erfahren sehr
20:23wohleinsprung, nicht aber die
20:26Schubflüsse. Und das ist eben der
20:29Grund, warum die Formulierung in den
20:32Schubflüssen häufig sehr viel einfacher,
20:35praktikabler ist und deswegen sehr
20:36häufig auch eben bei dünnwandigen
20:38Querschnitten Anwendung findet.
20:41Bei der zweiten Stelle der Unstätigkeit,
20:43das ist unten der Fall, wenn wir mehrere
20:46Profilteile haben, die eininander
20:47stoßen. Dort gehen wir genauso vor. Wir
20:51schneiden unseren Problemereich. Das ist
20:54in diesem
20:55Fall dieser Kreuzungspunkt, wo die drei
20:58Profilteile aneinander stoßen. Den
21:00schneiden wir frei. Das haben wir hier
21:03gemacht. Tragen die Schubspannungen bzw.
21:06Schubflüsse dort an und bilden auch hier
21:09wieder das Gleichgewicht in X1
21:14Richtung. Und
21:16hier kommen wir dann eben zu der
21:19Formulierung, dass der Schubfluss oben
21:20gleich der Summe der Schubflüsse
21:24unten links und unten rechts ist. Das
21:27heißt, TO = TL + TR.
21:31Oder anders gesagt, man kann sich das
21:33auch sehr bildlich vorstellen, das was
21:35ich oben an Schubfluss reinkippe, muss
21:39unten in den Profilteilen an Schubfluss
21:41wieder herauskommen.

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