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Sätze von Betty und Maxwell — Transcript

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0:00[Musik]
0:05nachdem wir bis jetzt die
0:07formänderungsenergie kennengelernt haben
0:09und den Arbeitsbegriff eingeführt haben
0:11und auch schon die ersten Werkzeuge mit
0:13den Sätzen von men Breer und cellano
0:15kennengelernt haben möchte ich heute
0:17zwei weitere Werkzeuge präsentieren und
0:20zwar einmal den Satz von Betty und den
0:22Satz von
0:25Maxwell bei der
0:27vänderungsenergie die wir ja bis jetzt
0:29aufgestellt hatten
0:30stellt sich immer die Frage
0:33wenn wir beliebigen Belastungs
0:35Belastungen uns angucken wie verhält
0:37sich eigentlich diese
0:38formänderungsenergie wenn ich die
0:39belasten in unterschiedlichen
0:40Reihenfolgen aufbringe sie wissen ja wir
0:42befinden uns in dem Bereich wo die
0:45Superposition gültig ist das heißt wir
0:47können eigentlich wenn wir verschiedene
0:49Belastungen haben diese Belastungen in
0:51beliebiger Reihenfolge aufbringen können
0:54wenn wir z.B zwei Einzellasten haben
0:55erstmal die eine Einzellast aufbringen
0:57und dann die zweite Einzellast
0:58aufbringen und die gesamtlös lös dadurch
1:00erhalten dass wir dann die beiden im
1:01Nachhinein addieren wir können auch die
1:04erst die rechte aufbringen dann die
1:05andere Last und dann addieren oder von
1:06vorne rein beiden
1:08lassen von vorne rein angreifend rechnen
1:12die Frage ist immer die wann ist das
1:13gültig und wir hatten gesagt dass es
1:15dann gültig wenn wir uns in der linearen
1:17elastrostatik bewegen das heißt wir
1:19haben kleine Verformungen wir haben nur
1:23elastische Spannungen und Verzerrungen
1:25und dann war es eben gültig dieses
1:27Prinzip der Superposition die Frage die
1:30sich jetzt stellt ist dieses Prinzip der
1:31Superposition auch gültig wenn wir uns
1:34die formänderungsarbeit angucken das
1:36heißt und diese Frage hat sich Betty
1:39gestellt ne wie verhält sich die
1:41formänderungsenergie wenn wir Lasten in
1:44unterschiedlichen Reihenfolgen
1:47aufbringen das heißt wir kommen heute
1:49zum Satz von Betti die Ausgangssituation
1:53sei folgende gegeben ist ein Balken auf
1:55zwei Stützen mit zwei wirkenden
1:58Einzellasten die eine bezeichne ich
2:00jetzt mal als PI und die zweite
2:03bezeichne ich als
2:05PK undter dieser Belastung wird sich der
2:09Balken
2:10durchbiegen die Biegelinie sieht nicht
2:12ganz symmetrisch aus wir haben hier
2:15einmal die Stelle unter der Last FK er
2:19der Last PK das sei die Durchbiegung FK
2:22und unter der Last PI die Durchbiegung
2:25die bezeichnen wir als FI und die Frage
2:29die sich jetzt stellt ist ich kann ja
2:32die Last in zwei unterschiedlichen Arten
2:35aufbringen erstens indem ich als
2:38allererstes die Last PI aufbringe und
2:41dann erst die Last PK die Last PI wirkt
2:47zu dem Zeitpunkt dann weiterhin und so
2:50die Gesamtlösung errechnen wie wird sich
2:52mein System dann verhalten gut das wird
2:54sich als allererstes durchbiegen und
2:57zwar nur infolge der Last
3:01PI und diese Durchbiegung die bezeichne
3:04ich jetzt als F i i wobei das erste i
3:10der erste Index für den Ort an dem die
3:14Durchbiegung gemessen wird steht das
3:16heißt hier habe ich unter der Last PI
3:18den Ort i und die Durchbiegung am Ort i
3:22infolge der last I und das bezeichnet
3:25der zweite Index die Ursache diese
3:27Durchbiegung die nenne ich FI die
3:31Durchbiegung am Ort i infolge der Last
3:33in i das ist die Durchbiegung
3:36FI wenn ich jetzt die zweite Last
3:39aufbringe die Last PK dann hat man
3:41System erstmal ja die erste Biegelinie
3:44die Verformung hat es und es wird sich
3:47in dem Moment wo ich jetzt die zweite
3:48Last aufbringe weiter deformieren na und
3:51die Last PK die ich dann aufbringen
3:54infolge dieser Last wird sich das System
3:55weiter deformieren und die Last PI wird
3:57dabei natürlich mitgenommen das heißt es
4:00kommt jetzt eine
4:01zusatzdeformation
4:02rauf das ist jetzt hier die rote Linie
4:06diese Deformation ist jetzt zusätzlich
4:09drauf also zusätzlich zu der ersten nur
4:13infolge der Last PI und die
4:17durchbiegungsanteile die wir dort
4:18erhalten das ist einmal die Durchbiegung
4:22FKK das ist die Durchbiegung am Ort K
4:25infolge der Last in K und dann habe ich
4:29noch die Durchbiegung
4:31FI das ist die Durchbiegung am Ort i
4:35jetzt aber infolge der Lasten K F K die
4:39Biegelinie die ich am Ende erhalte diese
4:42hier das ist ja die Summe aus beiden
4:45Belastung die entspricht der Biegelinie
4:49wie ich sie erhalte wenn ich von vorne
4:51rein beide Lasten aufbringen das heißt
4:52in Summe ist das Ergebnis gleich der
4:54einzige Unterschied ist jetzt hier in
4:55dieser Betrachtung dass ich erst die
4:57Last PI
4:58aufbringe und dann im zweiten Anschluss
5:01die Last
5:03PK wie gesagt es ergeben sich dann eben
5:06diese unterschiedlichen
5:07durchbiegungsanteile wobei der erste
5:09Index bei diesen durchbiegungsanteilen
5:11immer den Ort und der zweite immer die
5:12Ursache beschreibt ne eine kleine
5:15Eselsbrücke ne man kann sich das
5:18Alphabet heranziehen das O kommt vor dem
5:21U das heißt erste Ort und dann die
5:22Ursache das ist eine Konvention ne
5:25innerhalb derer wir uns bewegen wie jede
5:28Konvention kann die natürlich belieb
5:29sein aber hier innerhalb dessen was ich
5:31ihn hier präsentiere ist das die
5:34Konvention der erste InEx bezeichnet den
5:37Ort der Durchbiegung die wir betrachten
5:38und der zweite betrachtet die Ursache
5:41das heißt infolge welcher Last diese
5:45belastungsreihenfolge erst PI und dann
5:47PK zusätzlich aufgebracht die ist
5:49natürlich beliebig ich hätte genauso gut
5:52und das ist die lastreihenfolge 2 als
5:55allererstes meine Last PK aufbringen
5:58können dann erhalte ich eine
6:01Durchbiegung F KK jetzt ganz zu Anfang
6:06und erst in am zweiten Schritt bringe
6:09ich die Last PI zusätzlich zu PK auf und
6:13dann kommt zu der ersten Durchbiegung
6:16noch der zweite Teil der Durchbiegung
6:18infolge der jetzt zusätzlich
6:21aufgebrachten Belastung und auch hier
6:25ist es jetzt so dass ich zwei
6:26zusätzliche durchbiegungsanteile erhalte
6:28einmal den durchbiegungsanteil FI
6:31i und dann den durchbiegungsanteil F
6:37KK das ist erstmal ganz normal
6:40festgehalten ne wenn ich die Belastungen
6:43eben nicht zeitgleich aufbringe sondern
6:45nacheinander und dann auch noch in
6:46unterschiedlichen Reihenfolgen und die
6:48Frage die sich jetzt stellt ist wie
6:50verhalten sich diese einzelnen
6:53durchbiegungsterme ne das fii infolge
6:56der einbastung oder der
6:58ein lastreihenfolge im Verhältnis zum FI
7:02infolge der zwei
7:04lastreihenfolge diese Frage wollen wir
7:06jetzt nachgehen und dazu betrachten wir
7:09jetzt die äußere Arbeit das heißt wir
7:12gucken uns jetzt genau diese
7:13lastreihenfolgen an und Schreiben Jews
7:16die dabei entstehenden äußeren Arbeiten
7:19auf als erstes betrachten wir dazu die
7:21Reihenfolge 1 das heißt wir bringen als
7:24allererstes die Last PI auf und in dem
7:28Moment wo ich eine Struktur habe und
7:30dann eine Last aufbringe wird diese
7:33Struktur
7:34nachgeben sie wird aber nicht
7:37schlagartig wir bringen die Last nicht
7:38schlagartig auf in dem Moment wo das
7:40System schlagartig belasten würden
7:42würden wir eine Schwingung in unserem
7:43System erhalten das heißt können sich
7:45sofort vorstellen wenn ich jetzt z.B
7:47dieses Gewicht auf den Tisch fallen
7:48lassen würden sie würden ein sie würden
7:51ein Geräusch hören ne und sie würden
7:52spüren dass der Tisch in Schwingung
7:53versetzt ist diesen Fallen wollen wir
7:55ausschließen wir bewegen uns ja in der
7:57elastostatik das heißt wir Trachten
7:59eigentlich langsame respektive nicht
8:02bewegte Zustände das heißt wir bringen
8:05unsere Last langsam auf in dem Moment wo
8:08wir eine Last langsam aufbringen wird
8:10mit zunehmender Last sich auch die
8:14Durchbiegung verändern sie wird auch
8:17zunehmen und diese Art der einenarbeit
8:20dass eine Last aufgebracht wird und
8:22entlang des Weges den sie verursacht
8:25Arbeit verrichtet diesen Teil der Arbeit
8:27nennt man eigen
8:30Arbeit das heißt das Aufbringen der Last
8:34PI führt auf die
8:39Eigenarbeit und die Eigenarbeit
8:41berechnet sich wie folgt als A II und
8:45das war ja nichts anderes die Arbeit war
8:47nichts anderes als Kraft mal weg da sich
8:51jetzt aber mein Weg eben differentiell
8:55ändert in dem Moment wo ich die Last
8:56aufbringe bis zu ihrer Endgröße ist das
8:59eben integral zu betrachten als integral
9:02von 0 bis FI bis zum
9:04endverformungszustand das ist der
9:05Zustand hier oben bis zu diesem Zustand
9:08hier ne und dann am Ende habe ich meine
9:12Arbeit
9:14aufgetragen es gilt ungefähr das wissen
9:16wir schon dass die Last proportional zum
9:21Weg ist das heißt es gilt dass wenn ich
9:24ein weginkrement habe
9:27dfii dass das tional zu meinem
9:30lastinkrement ist das folgt einfach aus
9:33der Annahmen der linearen
9:35Elastizitätstheorie die wir die ganze
9:37Zeit angenommen haben das heißt mein Weg
9:39ist proportional zur Belastung und
9:43dieser Proportionalitätsfaktor der wird
9:45als
9:47einflusszahl Alpha II definiert das ist
9:51einfach eine eine eine eine Abkürzung
9:54die man hier an dieser Stelle einführt
9:56die die Formulierung ein bisschen
9:57eleganter macht an einigen Punkten
10:00diese Eigenarbeit die möchte ich jetzt
10:02berechnen und dazu gucke ich mir ganz
10:04einfach mal das Last
10:07verschiebungsdiagramm ein ich habe auf
10:10der Abszisse meine Durchbiegung
10:14fii und auf der Ordinate meine
10:17aufgebrachte Last PI und nun ist es ja
10:20so gewesen dass
10:22ich mit zunehmender
10:25Belastung eben auch eine mit zunehmender
10:28Belastung eine zunehmende Durchbiegung
10:30habe und weil wir uns in der linearen
10:32e-theorie befinden in der linearen
10:34Elastizitätstheorie das heißt kleine
10:36Verformungen und meine Spannungen
10:38bleiben linearelastisch aus diesem Grund
10:41ist der Zusammenhang zwischen Verformung
10:46und Last linear ergibt sich also eine
10:51gerade und diese einflusszahl Alpha die
10:56stellt in diesem Zusammenhang den
10:59Neigungswinkel der Geraden da der
11:02Proportionalitätsfaktor zwischen der
11:04Durchbiegung und der zugehörigen Last
11:08und wenn ich mir jetzt angucke bei
11:10diesem kraftwegverlauf wenn ich hier
11:12jetzt die Eigenarbeit ermitteln wollen
11:14würde das ist ja eigentlich nichts
11:16anderes als die Fläche
11:19unterhalb der lastverschiebungskurve bis
11:21zu dem gesuchten Zeitpunkt
11:24PI das heißt wenn ich meine Last voll
11:27aufgebracht habe
11:29dann ergibt sich folgender Ausdruck
11:32Alpha II meine Eigenarbeit ist gleich
11:36den Einflussfaktor den kann ich
11:38vorziehen weil der Zusammenhang zwischen
11:41Last und Verformung der ist die ganze
11:43Zeit konstant dann das Integral von 0
11:46bis
11:47P PI
11:51entlass und jetzt habe ich ein Inkrement
11:54der Last und sie sehen durch die
11:55Einführung der einflusszahl ist es mir
11:57jetzt gelungen in diesem Arbeit Ausdruck
11:59wirklich nur die lastgrößen stehen zu
12:02haben und das ist gleich W ich das jetzt
12:06einmal ausrechne
12:071/b mal Alpha II mal Pi qur und das ist
12:13gleich 1/b mal Pi wenn ich jetzt wieder
12:17aus der Last mal Einflussfaktor eine
12:19Durchbiegung mache mal
12:22FI und das ist die Eigenarbeit der Kraft
12:26PI bringe ich jetzt im Anschluss
12:29also ich bin jetzt soweit durch ich habe
12:33jetzt in diesem ersten Zusammenhang habe
12:36ich jetzt hier diesen Zustand jetzt
12:38berechnet ich habe meine PI
12:40aufgebracht das System bog sich infolge
12:43der Zunahme von PI auf FI durch und ich
12:47habe die zugehörige Arbeit die dabei
12:50verrichtet wurde von der Last PI
12:52berechnet im zweiten Schritt bringe ich
12:55jetzt die Last PK auf und dort wird als
12:59allererstes natürlich auch vollkommen
13:01analog die Last PK eine Eigenarbeit
13:05verrichten das heißt die Last PI wirkt
13:08schon jetzt bringe ich es ist schon eine
13:09Durchbiegung dort jetzt bringe ich die
13:12Last PK auf und infolge dieser
13:13lastaufbringung wird sich das System
13:15weiter
13:16durchbiegen das heißt auch die Last PK
13:19wird eine Eigenarbeit
13:25verrichten und Sie sehen dass wir dann
13:29ein vollkommen analogen Ausdruck zur
13:32ersten Eigenarbeit der Last PI erhalten
13:35und das ist natürlich ganz
13:36selbstverständlich wie hätte es auch
13:38anders sein sollen so das war die
13:40Eigenarbeit ne wir hatten die
13:42durchbügung L PI wirkt wir bringen l PK
13:44auf das System biegt sich weiter
13:47durch jetzt ist da natürlich aber auch
13:50die Last PI die die ganze Zeit weiter
13:52wirkte ne ich habe ja die lastp
13:55aufgebracht und dann biegt sich das
13:56System noch weiter durch das he heißt
13:59hier habe ich jetzt eine etwas andere
14:00Situation vorliegen hier ist es jetzt so
14:02dass sich das System nicht infolge der
14:04lastaufbiegung durchbringt durchbiegt
14:06sondern die Last wirkt schon voll jetzt
14:08wird an anderer Stelle eine Last
14:09aufgebracht und das System biegt sich
14:11weiter durch das heißt hier habe ich
14:13jetzt auf einmal den Fall dass eine
14:15schon vollwirkende Last in diesem ersten
14:18Fall die Last
14:20PI durch das Aufbringen der Last in PK
14:23verschoben wird das heißt hier
14:26verursacht die Kraft nicht mehr eine
14:27Arbeit entlang ihres eigenverursachten
14:30Weges sondern sie wird entlang eines
14:33Weges verschoben und deswegen nennt man
14:34diesen Teil der Arbeit die
14:38verschiebungsarbeit oder um es hier noch
14:40mal in diesem Diagramm zu
14:41zeigen wir haben im ersten Schritt PI
14:45aufgebracht infolge des langsam
14:48aufbrings von PI bog sich das System um
14:50fii durch das war die
14:53Eigenarbeit hier im zweiten Schritt
14:56bringen wir dann PK auf inf Folge PK
14:59biegt sich das System weiter
15:02durch unterhalb von PK die Durchbiegung
15:06FKK das ist die zweite Eigenarbeit
15:08gewesen aber zusätzlich und bei diesem
15:10term sind wir jetzt wirkt PI voll
15:14und wird verschoben entlang eines Weges
15:17der durch die Last in K aufgebracht wird
15:21und diesen Teil der Arbeit PI entlang
15:23dieser Verschiebung fik die nennt man
15:26jetzt
15:27verschiebungsarbeit weil die Kraft schon
15:29vollwirkend verschoben wird und das ist
15:33der in Summe dritte Arbeitsanteil den
15:36ich berücksichtigen
15:40muss so und im Unterschied zu der
15:43Eigenarbeit die wir vorhin betrachtet
15:45haben ist es jetzt ja so dass die Last
15:48PI schon voll wirkt sie ist also nicht
15:51mehr veränderlich entlang der
15:52Verschiebung deswegen können wir diesen
15:55Teil vor das Integral
15:57ziehen
16:00in dem Moment wo wir das vor das
16:01Integral ziehen vereinfacht sich der
16:03Ausdruck
16:08entsprechend so sie sehen wir haben hier
16:10an dieser Stelle wieder die einflusszahl
16:13eingeführt im Unterschied dazu ist jetzt
16:16aber hier zu bemerken dass das die
16:19Durchbiegung in i ist das sehen Sie am
16:21ersten all Index FI infolge der Last in
16:25K das heißt F K das heißt wir kriegen
16:28hier jetzt ein gemischten Index zuvor
16:31hatten wir nur den Index II oder nur KK
16:34und
16:35entsprechend der arbeitsausdruck ne wir
16:38haben die Last PI die schon die ganze
16:40Zeit voll wirkt und die wir nach vorne
16:41ziehen das gleichen haben wir den
16:44Proportionalitätsfaktor die
16:45einflusszahlen Alpha ik K und das was
16:48verbleibt ist dann allein das Integral
16:51der laststeigerung von PK und das
16:56Integral der laststeigerung von PK das
16:58er gibt dann am Ende die Kraft PK PI war
17:00schon außen vor aus diesem Ausdruck
17:04einflusszahl mal Last machen wir wieder
17:06unsere Verschiebung fik und sie sehen
17:09sie halten wieder einen arbeitsausdruck
17:12Arbeit ist gleich Kraft mal weg diesmal
17:15allerdings ohne den Faktor einhb den wir
17:18bei der Eigenarbeit noch gesehen hatten
17:21und das liegt einfach daher weil jetzt
17:23eben die Kraft PI schon die ganze Zeit
17:26voll wirkt das heißt der einzige
17:29Unterschied der
17:33verschiebungsarbeit zur
17:34Eigenarbeit ne ganz formal gesprochen
17:38ganz einfach gesprochen das ist dieser
17:39Faktor
17:41einhb wie ergibt sich jetzt die
17:44Gesamtarbeit die Gesamtarbeit meines
17:46Systems die verrichtet wird wenn ich von
17:50nullbelastung auf
17:51Vollbelastung gehe das heißt ich bringe
17:54erst PI auf und dann PK ergibt sich aus
17:56Summation dieser drei
17:59arbeitsanteile und genau das gleiche
18:01vollkommen analog kann ich machen wenn
18:04ich jetzt die belastungsreihenfolge
18:06umkehre das heißt ich bringe jetzt nicht
18:10als
18:11erstes die last I auf und dann die Last
18:14PK sondern ich bringe jetzt als
18:16allererstes die Last PK auf und dann die
18:19Last PI und ich kann vollkommen analog
18:23die arbeitsausdrücke aufschreiben und
18:26wenn ich das mache komme ich zu
18:29folgendem Ergebnis für die
18:34Gesamtarbeit und wenn ich diese beiden
18:36Ausdrücke die Arbeit infolge der
18:40lastreihenfolge
18:411 mit der Arbeit infolge der
18:44lastreihenfolge
18:46gemäß Z vergleiche dann stelle ich als
18:49allererstes fest dass die Koeffizienten
18:53diese hier und diese hier gleich sind
18:57das heißt die Arbeiten sind die
18:59Eigenarbeiten sind gleich je nachdem ist
19:01es völlig egal ob ich erst ein und dann
19:02zwei aufbringe oder umgekehrt ist auch
19:05logisch weil wir uns ja das Prinzip der
19:07Superposition gültig ist und auch dieser
19:12Koeffizient die Eigenarbeit der Last PK
19:16der ist jeweils gleich egal ob ich
19:18Reihenfolge 1 oder 2
19:20wähle so da wir uns aber in der linearen
19:25Statik befinden in der linearen l Statik
19:27und damit
19:29auch das Prinzip der Superposition
19:31gültig ist müssen auch die
19:35Gesamtarbeiten gleich sein wenn ich das
19:39weiß diese vier Terme die ich hier
19:41umkreist
19:43habe diesem gleich und die
19:45Gesamtarbeiten müssen gleich sein dann
19:48folgt ganz automatisch aus diesem
19:50Koeffizientenvergleich der Satz von
19:52Betti der dann nämlich sagt dass auch
19:56die verschiebungs Arbeiten gleich sein
20:03müssen das heißt der Satz von Betty sagt
20:06dass die
20:07verschiebungsarbeit der Kraft im Ort i
20:11infolge der Belastung in K gleich der
20:17verschiebungsarbeit der Kraft in K
20:20infolge der Zusatzbelastung in i ist und
20:24das ist der Satz von
20:27Betty

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