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¿Qué es una TRANSFORMACIÓN LINEAL en Álgebra Lineal? Explicación Fácil con Ejemplos | Mateguapo — Transcript

by Mateguapo · 3,073 words · 449 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00Y empezamos con una sección, una parte
0:03que es simplemente mágica de todo este
0:06curso, las transformaciones lineales.
0:09Digo que eh es mágico o es una parte
0:11mágica porque la definición de una
0:14transformación lineal es de lo más
0:15sencillo sencillo del mundo y nos va a
0:19traer resultados, pero que dirás, ¿cómo
0:22es que se acoplaron así las cosas?
0:24Fantástico. Vamos a ver. Ya empezamos
0:27por la definición, qué es una
0:28transformación lineal. Entonces, si
0:30tenemos v y w dos espacios vectoriales
0:33sobre el cuerpo f, pues una
0:35transformación lineal de v a w no es más
0:38que una función tal cual una función t
0:41dv en w tal que pues tenemos esta única
0:46y preciosa propiedad de aquí y esta
0:48propiedad es válida para todos los
0:50vectores alfa y beta de v y todos los
0:53escalares c de f que es el campo de
0:55estos dos espacios vectoriales.
0:57Entonces, eso, una transformación lineal
1:00no es más que una función de un espacio
1:02vectorial a otro tal cual. Eso sí,
1:05tenemos que pedir que ambos estos
1:06espacios vectoriales, pues estén
1:08asociados al mismo campo f, pero lo que
1:11de verdad hace una transformación lineal
1:14es esta propiedad de aquí. Eh, me han
1:16preguntado mucho por qué las
1:18transformaciones lineales se llaman así,
1:20o sea, ¿por qué por qué lineales? ¿De
1:22dónde viene eso? y sencillamente viene
1:25pues de esta propiedad de aquí de la
1:27definición. Eso es lo que en matemáticas
1:29llamamos linealidad, o sea, lo que hace
1:32una función pues que sea lineal. A mí me
1:35recuerda muchísimo al sentido geométrico
1:38en cálculo, como de la manera más
1:39sencilla e intuitiva. O sea, si tenemos
1:42una función así que va de r a r, ¿sí?
1:44pensando en los números reales, pues
1:47esto en el plano es una recta, es una
1:49línea. A mí me recuerda mucho a esto,
1:51esta expresión, no sé, yo lo relaciono
1:52con eso, pero estos son mis propios
1:55divagues. Eh, la linealidad de una
1:57manera más formal, pues es esta
1:59propiedad en matemáticas en general, no
2:01solo en álgebra lineal, sino pues en
2:04otras ramas también. Bien, entonces
2:05concluyendo, pues una transformación
2:07lineal, eso es una función que va de un
2:10espacio vectorial a otro, ambos sobre el
2:12mismo campo y que envía pues vectores de
2:14V. a su vector respectivo en W. Así de
2:17sencillo. Pueden estar definidas de
2:19muchas maneras, pero sí tiene que
2:20cumplir pues esta propiedad de aquí. Y
2:23aquí mismo, ¿qué les parece? Vamos a ver
2:24unos ejemplitos. Antes que nada, de lo
2:27más sencillo del mundo, podemos definir
2:29la transformación lineal identidad.
2:31Claramente esto es una transformación
2:33lineal de cualquier espacio vectorial a
2:35el mismo, porque para cualquier c del
2:38campo asociado a este espacio vectorial
2:40y para cualesquiera par de vectores alfa
2:42y beta, pues efectivamente esto de aquí
2:46se va a convertir en esto, ¿verdad? por
2:48la definición de identidad, pero esto de
2:50aquí es como escribir C multiplicado por
2:54la identidad evaluada en A más la
2:56identidad evaluada en B, porque da cada
2:59uno de estos da el mismo vector,
3:00¿verdad? Entonces, acabamos de comprobar
3:03que se cumple la propiedad de la
3:05linealidad para la la transformación
3:08lineal identidad. O sea, esto es como de
3:10lo más sencillo. Otra transformación
3:12lineal es la transformación lineal cero.
3:14Vamos a denotarlo de esta manera porque
3:16se ve cool. Y como su nombre lo dice,
3:19envía todo eh vector al cero, ¿verdad?
3:23Esta o evaluada en cualquier alfa, pues
3:25da cero. ¿Sí? Y por supuesto, si
3:28evaluamos esta transformación en
3:30cualquier vector de esta forma, pues
3:33esto nos va a dar cero por la definición
3:35de esta transformación lineal. Pero 0 es
3:37como escribir c * 0 + 0. Y cada uno de
3:41estos ceros lo podemos escribir como
3:43nuestra transformación lineal evaluada
3:45en alfa más nuestra transformación
3:47lineal evaluada en beta. Entonces, se
3:49cumple perfectamente la propiedad lineal
3:52para la transformación lineal cero
3:54también, que de hecho antes de llamar la
3:56transformación lineal es simplemente una
3:58función entre espacios vectoriales.
4:00Ahora que vemos que efectivamente cumple
4:02esta propiedad de la linealidad, ahora
4:05sí por la definición es una
4:06transformación lineal, tal cual. Bueno,
4:09pero estos ejemplos fueron regalados, o
4:11sea, son de lo más sencillo. Vamos a ver
4:13algo no tan intuitivo ahora. ¿Qué tal si
4:17tenemos esta función por ahora, una
4:19simple función que va de R2 a R de esta
4:22manera? Ya hemos visto que ambas estas
4:24estructuras tienen la estructura de
4:26espacio vectorial. Y bueno, un detalle,
4:28si tienen duda de la de acá, que ya
4:31sabemos que r es un campo, pero no lo
4:33hemos mencionado tal cual, que es un
4:34espacio vectorial, pero por supuesto que
4:36lo es también, porque r es no vacío y
4:40también cualquier elemento de esta forma
4:42con C un real y R1 y R2 elementos de
4:46este espacio vectorial también reales,
4:48pues esto claramente también es un real,
4:50¿sí? Esto está contenido dentro de
4:53nuestro espacio vectorial R por nuestro
4:56teorema favorito de la sección anterior.
4:58No me acuerdo si era el uno o el tres.
4:59Bueno, en cualquier caso, habíamos visto
5:01que si un conjunto es no vacío y
5:04cualquier cosa de esta forma está
5:06contenida en este conjunto, cone un
5:08elemento de su campo asociado que
5:10resulta ser el mismo R y R1 y R2
5:12elementos de este conjunto, ¿verdad? Si
5:15esta cosa está en nuestro conjunto, pues
5:17es entonces un espacio vectorial. Y en
5:19este caso rumple. Además pues que r
5:22tiene la forma de nuestro campo a la n =
5:251 en este caso, ¿verdad? Que también
5:27hemos visto que es un espacio vectorial
5:29por si tenían la duda, pero lo es.
5:31¿Vale? Entonces tenemos dos espacios
5:33vectoriales R2 y R, ambos sobre el mismo
5:36campo que es R también. Y tenemos esta
5:39regla de correspondencia. Vamos a ver si
5:41t es o no una transformación lineal.
5:44¿Cómo hacemos eso? Pues tomamos C en
5:47nuestro campo. Esto es un número real
5:49que multiplica algún vector de R2. Vamos
5:52a poner X1 X2. Esto claro está en R2,
5:56¿verdad? A esto le sumamos algún otro
5:58vector, digamos, Y1 Y2, que también está
6:02en R2, ¿vale? Y aquí tenemos esta forma
6:04de C por alfa + beta, ¿verdad? Este es
6:06alfa, este es beta. ¿Sí? Antes de
6:08verificar que esta cosa cumple la
6:10linealidad de la definición, vamos a
6:12reescribirlo un poco diferente y darnos
6:14cuenta que esto
6:17es como tener c * x + 1 + y1 en una
6:20entrada y la segunda va a ser x 2 * c +
6:26y2 en la segunda entrada. Eso, ¿verdad?
6:29Esto es lo mismo considerando eh la suma
6:32de vectores y la multiplicación de un
6:34escalar por un vector de la manera usual
6:37en un conjunto como vimos de un campo a
6:40la n. ¿Sí? Bien, ya vimos que esto es
6:42esto, ¿verdad? Entonces, tomar toda esta
6:44cosa de acá arriba y aplicársela a t,
6:48pues sería lo mismo que tomar toda este
6:49cosa de abajo y aplicárselo a t. es lo
6:52mismo. Entonces, tenemos esta igualdad.
6:54Pero la cosa de abajo por la regla
6:56correspondencia de t, pues es como tener
6:59c eh x + 1 + y1. Todo esto en es la
7:05primera entrada y le sumamos cx2 + y2
7:09como la segunda entrada, ¿verdad? Esto
7:11es lo que es la regla de correspondencia
7:12de t. Pero esta cosa, eh, pues esto es
7:15un número real, es una multiplicación y
7:18suma de números reales. Los podemos
7:20reordenar por la propiedad de nuestro
7:21campo y obtenemos esta cosa de aquí,
7:24¿verdad? Y esto de aquí no es más que
7:25Cultiplicado por Taluado en X1, X2
7:31+ Taluado en Y1 y2,
7:36¿verdad? O sea, aquí tenemos esta cosa
7:38más esta cosa, ¿verdad que sí? Y si se
7:40fijan, acabamos de llegar que esta
7:42expresión es igual a esta y me voy
7:45haciendo como pequeño, pero bueno,
7:46acabamos de llegar que esta función t
7:49cumple la propiedad lineal de las
7:51transformaciones lineales. Evaluamos en
7:53t un vector de esta forma y llegamos a
7:56justo la otra forma aquí de la propiedad
7:58de la definición. Entonces, t
8:00efectivamente es eh transformación
8:03lineal. Veamos ahora otro ejemplito, no
8:06tan intuitivo, no sé si sea intuitivo,
8:08pero bueno. Dice lo siguiente, que si
8:10tenemos f un cuerpo, ¿vale?, y sea v, el
8:14espacio vectorial de polinomios que van
8:16de este f a f y también sea de esta
8:21función, por el momento es una función
8:23que va de este espacio vectorial a él
8:25mismo, va del espacio de polinomios al
8:27mismo espacio de polinomios. ¿Y qué hace
8:30esta función d? pues lo que hace es que
8:33si tenemos f minúscula, que es este
8:35polinomio de aquí, que por supuesto pues
8:37es un elemento de nuestro espacio
8:39vectorial, ¿verdad? Pues entonces de
8:42evaluado en esta función f minúscula
8:45pues nos da este otro polinomio de aquí.
8:48Y si se fijan con mucho cuidado, la
8:50regla que sigue término a término para
8:52obtener df a partir de f, pues es
8:56derivando el polinomio f. Entonces, este
9:00ejemplo nos dice que D mayúscula será la
9:02transformación lineal que representa la
9:05derivada de los polinomios. Y esto de
9:08aquí, pues efectivamente es una
9:09transformación lineal, porque ya sabemos
9:12por las propiedades de polinomios, lo
9:15podemos ver en el curso de cálculo si
9:17quieren. O sea, si tomamos dos
9:18polinomios, los sumamos y luego los
9:21derivamos, pues esto es lo mismo que
9:23tomar el primer polinomio, derivarlo y
9:26sumarle la derivada del otro polinomio.
9:29Y si durante este proceso multiplicamos
9:31el primero por alguna constante C, pues
9:33no va a afectar absolutamente nada a la
9:36derivada, ¿verdad que no? O sea,
9:38respecto a las derivadas de polinomios,
9:40tenemos esta propiedad de aquí, la cual
9:43si la ponemos en términos de esta
9:44función, pues es como si tuviéramos la
9:46derivada de una constante C multiplicada
9:49por un polinomio f de nuestro espacio
9:51vectorial. Y si le sumamos otro
9:53polinomio, como ya sabemos, por las
9:56propiedades de la derivada, pues esto va
9:58a ser la constante C por la derivada de
10:00F más la derivada de G, ¿verdad? Es
10:04exactamente lo mismo. Entonces, ¿cómo se
10:06cumple esta igualdad de aquí? Pues se
10:08cumple la propiedad de la linealidad
10:10para esta función de aquí. Y pues por
10:14eso esta función d es una transformación
10:17lineal. ¿Se acuerdan que mencionamos que
10:20los espacios vectoriales pues pueden
10:22tener cualquier cosa en sus elementos
10:24mientras formen una estructura de
10:27espacio vectorial? Pues aquí está el
10:29caso para este V. Y hablando ahora de
10:31funciones entre espacios vectoriales,
10:33pues podemos tener funciones pues tan
10:35variadas como de este tipo. Bien,
10:39mencionemos un par de ejemplitos más
10:40rápidamente. Si tenemos a, que es una
10:43matriz de m* n con entradas en algún
10:46campo f, pues vamos a tener luego que la
10:49función t definida por esta expresión de
10:51aquí, pues es una transformación lineal.
10:55Es decir, esta función t va de un
10:57espacio de matrices que se pueden
10:59multiplicar por a, ¿vale? Básicamente va
11:03del espacio de matrices que tienen n
11:06filas, ¿sí?, y este la cantidad que sea
11:09de columnas con entradas en el cuerpo f,
11:12¿verdad? Necesitamos que este sea el
11:14dominio de esta función t porque
11:16necesitamos poder tomar matrices que se
11:18puedan multiplicar por a por la derecha.
11:21Como a es de m * n, pues esta x tiene
11:24que ser de n por alguna otra cantidad de
11:27columnas, digamos k. Y la matriz
11:29resultante, es decir, el conjunto
11:31codominio de esta función, pues va a ser
11:33el conjunto de matrices de n, ¿no? De m
11:36por k, ¿verdad? Porque necesitamos poder
11:39multiplicar esta matriz a que está aquí
11:42por eh esta matriz X que estará acá,
11:45¿verdad? Entonces, ¿qué pasa si nos
11:46tomamos dos matrices x y en eh el
11:50espacio dominio de esta función y nos
11:52tomamos también un c en nuestro campo? Y
11:55luego tomamos esta expresión de aquí que
11:57es eh c * x + y. ¿Qué pasa con esto? Por
12:02la definición de t, pues tenemos que
12:04multiplicarle a por la izquierda a esta
12:06cosa y tendríamos esto de aquí, ¿verdad?
12:09Esto de aquí es una multiplicación de
12:11matrices tal cual, que sí las podemos
12:13multiplicar porque aquí tenemos a una
12:15matriz de m * n y aquí una matriz de n *
12:18k y como resultado nos da una matriz de
12:21m por k, ¿verdad que sí? Luego esta cosa
12:25pues por la las propiedades de matrices
12:27pues nos da entonces esta matriz de
12:29aquí. Pero esto si se fijan es como
12:31tener c por eh t de x + t de y.
12:37Pues sí, ¿no? Aquí tenemos a X y aquí
12:39tenemos a Y. Entonces, por la definición
12:41de Temos esta expresión de aquí. Y como
12:44esta cosa resulta ser igual a esto, pues
12:46se cumple la propiedad de la linealidad
12:48y t es una transformación lineal. Y el
12:51último ejemplito que veremos eh por el
12:53momento es este de aquí. Si tenemos b,
12:55que es el espacio vectorial de las
12:57funciones continuas de R en R, eh, no me
13:00acuerdo si mencionamos si esto es un
13:01espacio vectorial, según yo, sí, pero
13:03igual si queda alguna duda, escriban al
13:05grupo estudio o ustedes mismos pueden
13:07checar si es o no es un espacio
13:09vectorial. Yo digo que sí es, pero no me
13:12crean, ustedes chéquenlo. Pero bueno,
13:14una vez comprobado esto, definimos una
13:16función t de esta manera. Como la
13:18función t la vamos a evaluar siempre en
13:21una función continua, pues esta integral
13:23siempre estará definida porque las
13:25funciones continuas son todas acotadas
13:28en todo su dominio, ¿verdad? Son
13:29acotadas en todo r. Por eso la integral
13:32existe, tiene sentido. Entonces, para
13:34verificar pues que t es una
13:35transformación lineal, pues tomamos dos
13:37funciones, ¿verdad? Y eh las evaluamos
13:40su suma. Bueno, evaluamos esta expresión
13:43básicamente recordando que, bueno, esto
13:45es una función que está evaluada en x y
13:46necesitamos la x para escribir esta
13:48expresión, ¿verdad? Entonces esto pues
13:51es esta cosa de aquí por las propiedades
13:54de integrales, pues esto es la integral
13:55de 0 a x de f de t más la integral de 0
14:00a x de g, ¿verdad que sí? porque esto es
14:03una suma de funciones. Y pues
14:05inmediatamente aquí vemos pues que estas
14:08esta suma de integrales pues es la suma
14:10de las dos ts evaluadas en f y en
14:12givamente
14:14y la primera t se multiplica por la
14:16constante c de acá. Entonces claro, esta
14:18es una transformación lineal, es decir,
14:21el integrar de 0 a x una función
14:24continua es una transformación lineal,
14:26¿verdad? Y antes de continuar con
14:28nuestro primer teorema de
14:30transformaciones lineales, que nos va a
14:32decir muchísimo, eh vamos a hablar de
14:34unos detallitos más sobre las
14:36transformaciones, porque como les
14:38mencioné al mero inicio de este video,
14:40una definición tan sencilla trae
14:42muchísimos resultados superútiles y
14:46geniales, a veces poco intuitivos. Por
14:48eso vamos a verificar un par de cosas.
14:50Entonces, esta propiedad que les quiero
14:53eh traer ahorita es de lo más sencillo,
14:56pero no es tan intuitivo. Eso es que las
14:59transformaciones lineales todas mandan
15:02el neutro aditivo al neutro aditivo de
15:05sus respectivos espacios vectoriales. O
15:08sea, ya vimos que una transformación
15:09lineal va de un espacio vectorial
15:11dominio a un espacio vectorial
15:13codominio, ¿verdad? Es una función.
15:15Entonces, si nos tomamos el neutro
15:17aditivo del espacio vectorial V y a este
15:21vector le aplicamos T, pues esto es un
15:24vector en W, en el codominio, ¿verdad? Y
15:27va a ser el cer0, pero de w. ¿Sí? Y
15:31ahora sí, ¿cómo se demuestra esta
15:33propiedad? Pues de manera sers sencilla.
15:35Si nos tomamos t evaluado en cer, pues
15:37por la propiedad del cer0, esto es como
15:390 + 0, ¿verdad? Pero como t es
15:43transformación lineal, pues esta suma de
15:45aquí se convierte en t0 + t de0. Y ahora
15:50t de 0, pues es un vector en nuestro
15:52espacio vectorial codominio. Entonces
15:54existe el vector menos t de 0, ¿verdad?
15:59Esto en nuestro espacio vectorial
16:01codominio por las propiedades de espacio
16:03vectorial. Entonces, si sumamos este
16:05vector a ambos lados de esta igualdad,
16:07pues lo que nos resulta pues es que t de
16:090 tiene que ser el cer0 de acá. ¿Sí? Así
16:13de sers sencillo y regalado se demuestra
16:16esto. Pero si se fijan es una propiedad
16:18muy muy poderosa. Es por eso que esta
16:21propiedad de aquí siempre se va a
16:23cumplir para cualquier transformación
16:25lineal. ¿Va? Y ahora sí, ya un último
16:28comentario antes de seguir con nuestro
16:30primer teorema de esta eh parte. Es que
16:33es que me gustaría platicar por qué
16:36hablamos de este tipo de funciones en
16:38álgebra lineal. Porque si se acuerdan,
16:40un concepto fundamental también que
16:42vimos antes es el de combinación lineal.
16:45O sea, si tenemos aquí una base de
16:48cualquier espacio vectorial, si digamos
16:50esto es una base, pues entonces
16:52cualquier vector del espacio vectorial,
16:54pues lo podemos escribir como una
16:57combinación lineal de elementos de esta
17:00base, como vimos antes, ¿verdad? Pero
17:02ahora chéquense qué pasa si nos tomamos
17:05cualquier transformación lineal evaluada
17:07en alfa. Pues esto es como tomarnos la
17:10misma transformación t evaluada en toda
17:14esta suma, ¿verdad? Porque todo esto es
17:17alfa. Pero esto de aquí, por las
17:19propiedades de nuestra transformación
17:21lineal, precisamente se convierte en
17:23este precioso numerito que es
17:27superintuitivo, superfácil de manejar.
17:30este de aquí que igual es una
17:32combinación lineal, pero de los t
17:35evaluado en cada uno de estos vectores.
17:38¿Sí? Por esto, por esta mera propiedad
17:41de linealidad es que nos encantan las
17:43transformaciones lineales en el álgebra
17:45lineal, porque es el match perfecto de
17:49tipo de función que podemos usar para
17:52que preserve las combinaciones lineales,
17:55justo como vemos aquí. Por eso es que
17:58este tipo de función es superútil cuando
18:00hablamos de espacios vectoriales, los
18:02cuales incluyen su base y pues por la
18:05cual se utiliza muchísimo la combinación
18:07lineal para expresar cualquier vector
18:09del espacio vectorial. O sea,
18:11simplemente esta propiedad es muy útil
18:14al trabajar en álgebra lineal. Ya lo
18:16irán viendo con todo lo que veamos más
18:17adelante. Bien, entonces este fue el
18:19divague de la sección, ¿vale? Ahora sí
18:22vamos a entrar más en materia. Vamos a
18:24empezar a a demostrar cosas, a ver
18:26teoremas. y poco a poco descubrir más
18:28cosas sobre las transformaciones.
18:30Vámonos para allá.

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