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PAPMEM - Julho de 2016 - Vetores I — Transcript

by Instituto de Matemática Pura e Aplicada · 4,667 words · 891 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00Bom dia meus
0:02alunos professores não só do rio mas do
0:06Brasil todo estamos aqui mais uma vez
0:08para falar de matemática discutir
0:11matemática O que é sempre muito
0:15bom
0:16e na no papm de
0:21hoje eu
0:24tive antes planejado fazer mais uma uma
0:27aula sobre história da matemática mas
0:30resolvi adiar um pouco
0:32porque uma coisa importante aconteceu
0:38o o MEC no plano nacional de
0:44educação
0:462014
0:482024 deixou
0:50obrigatório
0:51a implantação de um currículo mínimo
0:55paraas
0:57escolas coisa que nós nunca tivemos
1:01e vamos
1:02ter e se chama então a base Nacional
1:06comum
1:07curricular esse programa
1:10eh foi muito discutido em particular no
1:15no ano passado ganhou colaborações de
1:20dos centros acadêmicos n sociedade de
1:23matemática professores
1:26avulsos e mais ou menos já está
1:28praticamente pronto
1:31e a partir de Janeiro do ano que vem ela
1:34começará a ser implementada naturalmente
1:37que isso vai demandar um certo tempo né
1:41Eh
1:43assuntos que eram tradicionais nas
1:46escolas foram completamente eliminados
1:49como números complexos e teoria das
1:54equações relações de girard produto de
1:57matrizes determin antes tudo isso sai né
2:03Ah entra entram coisas mais modernas eh
2:07matemática discreta
2:10eh incluindo grafos e mais estatística
2:15mais coisas ligada à tecnologia né então
2:20é claro que os pessoas vão ter que
2:23aprender também esse currículo é um
2:26currículo mínimo e se bem que já é um
2:29bastante extenso mas é considerado o
2:32mínimo de tal maneira que em cada região
2:35você possa complementar com aspectos eh
2:39diversos de acordo com a região e com a
2:42vontade né dos dos
2:45professores eu quero mostrar
2:58aqui
3:28Essa é a
3:31entrada do do site vocês podem
3:35eh acessar a partir do do back base
3:39Nacional comum
3:41curricular e a é a proposta é bastante
3:45moderna no sentido que antigamente por
3:47exemplo na primeira série do Ensino
3:50Médio a gente ensinava tudo de função né
3:54Depois vinha a segunda série tinha
3:57trigonometria PA PG não sei mas tal eram
4:01assim coisas estanques
4:03né Agora a coisa foi modernizada foi
4:08arejada
4:09eh muitas sugestões vieram até de
4:13currículos de outros países como
4:15Austrália Finlândia e a coisa é feita em
4:18espiral e o ensino então no ensino médio
4:22fundamental também mas eu tô mais ligado
4:24no ensino médio
4:26eh é feito em cinco eixos
4:31geometria que
4:33percorre as três séries eh números e
4:39operações grandezas e medidas
4:42e matemática discreta aí inclui
4:48combinatória probabilidade diversas
4:51estatística e álgebra e funções esses
4:55cinco eixos estão presentes nas três
4:58séries então no capítulo álgebra e
5:01funções por exemplo na primeira série
5:04você tem um conceito de função você tem
5:06eh função afim
5:10e não me lembro se se tem função
5:13quadrática é tem função quadrática sim
5:16na segunda série que vai aparecer vai
5:19aparecer o logaritmo exponencial na
5:22terceira série de funções
5:23trigonométricas então cada um desses
5:26eixos né caminha nas três séries e
5:30quando a gente abre a base Nacional
5:32comum curricular o primeiro assunto da
5:37primeira
5:47série
5:49ó primeiro ano do ensino médio no no
5:53eixo
5:54geometria compreender o conceito de
5:57Vetor isso aqui e no Rio de Janeiro eu
6:00tenho que explicar não é grande novidade
6:03porque no Rio de Janeiro nós
6:04habitualmente já falávamos em vetor no
6:08restante do do nosso país não São Paulo
6:12por exemplo vetor era coisa de física
6:15né tanto que a geometria analítica que
6:18se vê nos livros didáticos é ainda
6:21completamente tradicional não é então
6:24começa com o conceito de Vetor operar
6:27com os vetores
6:30isso vai continuar no segundo ano
6:33utilizar o conceito de Vetor para
6:35associar figuras congruentes à
6:37composição de transformações e tal
6:40enfim esse conceito vai fazer parte da
6:43vida escolar então foi por isso que a
6:46gente nesse papm e no próximo de Janeiro
6:51Vamos tentar falar um pouco sobre esses
6:54essas coisas novas que obviamente os
6:57professores têm que se preparar né
7:00para saber como ensinar e como
7:02introduzir isso da melhor maneira
7:04possível
7:28ok
7:42bem mais uma vez lembro que eu estou
7:46falando para professores então pela
7:50primeira vez aqui no papm a gente vai
7:52falar de um assunto que nunca falamos
7:54antes
7:55eh não é absolutamente para ano que vem
7:59você querer transpor diretamente para os
8:02seus alunos tudo que eu falar aqui né
8:04tudo que eu falar aqui tem que passar
8:06por um filtro dentro da sua cabeça e
8:09quando você tiver que dar esse assunto
8:11você já tendo pensado bastante saberá
8:14fazê-lo da melhor forma possível
8:18eh como o vetor é um objeto eh da
8:24álgebra linear essencialmente do curso
8:26superior em todos os textos Que nós
8:29conhecemos há uma grande
8:32formalidade e nós então temos aqui o
8:36desafio de tornar esse assunto um pouco
8:40mais palatável ao aluno adolescente né
8:44então já vou avisando que não vou ser
8:47excessivamente formal mas vou ser
8:51preciso tá então notações simples
8:55conceitos simples mas não deixando nada
8:58para trás
9:06portanto imagine um
9:10segmento
9:14A então um vetor nada mais é do que um
9:19segmento no qual eu atribuo um sentido
9:24de
9:26percurso pode ser de a para B ou de B
9:28para a então se eu combinar que eu vou
9:34percorrer de a para B eu criei um objeto
9:38vai ser representado por vetor AB ou se
9:42eu colocar uma letrinha
9:46minúscula vetor V é o vetor de origem a
9:51e extremidade
9:53B Ah então não é obrigatório a falar em
9:56equipolência não é obrigatório
9:59vetor é um segmento orientado e mais
10:01simplesmente ainda vetor é uma seta uma
10:05seta é aquele que você vê ali bom uma
10:10vez que eu introduzi um objeto novo
10:15chamado
10:16seta eu tenho que combinar com vocês
10:19algumas coisas primeiro quando é que
10:23duas setas são
10:25iguais a palavra igual é u
10:29na nossa linguagem comum e também
10:31matemática com sentidos muito
10:36diferentes uma criança por exemplo Vê um
10:39carro um carrinho na loja de brinquedos
10:42e diz é igual do
10:44papai ele usou igual da maneira que ele
10:48imaginou Talvez ele esteja pensando na
10:51cor ou talvez ele esteja se ele conhece
10:54o modelo ele tá pensando em
10:57semelhança mas usou a palavra
11:01igual na famosa obra de Euclides né a
11:05palavra igual ele usa em vários
11:08sentidos triângulos congruentes ele
11:11chama de igual e quando ele tá falando
11:14de área triângulos de mesma área ele
11:17também fala
11:18igual então igual depende do sentido a
11:21que nós estamos conversando não
11:27é eu tenho aqui pedaços de G esses dois
11:32pedaços de G aqui são
11:35iguais Pois é depende o igual tem que
11:38ser definido
11:44né E esses dois são
11:47iguais também depende né se você não
11:51disser o que que é igual a vira um
11:53achismo
11:55correto quando se trata de
11:57segmentos
11:59igual significa
12:01congruente então eu digo dois segmentos
12:03são iguais quando tem o mesmo tamanho
12:07então igual significa
12:08congruente para setas Então nós vamos
12:12combinar
12:14é a
12:23igualdade igualdade de duas setas
12:27significa mesmo comprimento
12:46estão na mesma
12:52reta ou em retas
12:57paralelas
13:07e mesmo
13:15sentido Então a primeira coisa
13:18importante quando a gente fala em
13:22setas é o critério obrigatório para
13:25dizer quando duas delas são iguais ou
13:28não
13:35é aqui nessa casa a gente não inclui
13:37Esse é uma opção a pergunta do do colega
13:41foi se eu falei mesma reta ou retas
13:45paralelas e a pergunta foi que muitos
13:48consideram retas
13:50coincidentes também como paralelas e iso
13:54é uma possibilidade de você definir
13:57assim aqui não fazemos porque nós
14:00associamos
14:02eh uma reta no plano com uma como uma
14:05equação do tipo a x + byy =
14:09c uma outra
14:18reta e associamos o fato das retas serem
14:22coincidentes com um sistema
14:24indeterminado e retas paralelas o que os
14:27outros falam paralelas distintas mas
14:30aqui a gente só fala paralela né com o
14:32sistema impossível então a questão de eh
14:38paralelo Não se preocupe você define
14:42como você achar
14:44tá então para mim retas do plano são
14:47paralelas quando não tem ponto
14:49comum muito bem Além disso
14:54e não vou escrever tudo
14:56mas é preciso
15:00combinar que exista um cara chamado
15:02vetor
15:07nulo qualquer ponto do
15:10plano é um vetor
15:15nulo ou seja vetor de origem p e
15:18extremidade p é um ponto então eu chamo
15:23isso de Vetor
15:26nulo uso esse símbolo
15:33e um
15:40simétrico que
15:46significa que cada
15:50vetor
15:57V
16:02possui um
16:08outro em que apenas o sentido é
16:11diferente então vai ser
16:13representado daquela forma bom então eu
16:17já tenho os meus
16:19objetos chamados
16:24vetores O interessante é que nós podemos
16:28fazer contas operar com os vetores não é
16:31então as operações que todos vocês
16:34conhecem vou passar rapidamente por
16:45elas Imagine
16:49que você tenha dois vetores
16:56u e v
17:00duas setas portanto não
17:02é então somar duas setas
17:06significa a partir de um ponto
17:11Qualquer do plano
17:15né tirar uma
17:21cópia de U portanto Esse é o mesmo
17:27u
17:29a partir do mesmo Ponto uma cópia de
17:45v completar o
17:54paralelogramo e definir na diagonal
17:57desse paralelogramo
18:11o
18:25mais uma outra
18:27possibilidade
18:34é você a partir de um ponto Qualquer do
18:38plano desenhar uma cópia de u e a partir
18:43da extremidade de
18:45U traçar uma cópia de
18:57V
19:00essa segunda maneira de ver as coisas se
19:03chama regra do polígono e permite você
19:07então somar vetores qualquer quantidade
19:10de vetores n
19:14é vai desenhando cada
19:17um a partir da extremidade do
19:27anterior
19:42é claro
19:47que pela regra do polígono não
19:51é cada vetor sado com seu simétrico dá o
19:55vetor nulo
19:57né
20:05tá o vetor V vai o menos V
20:10volta pro lugar onde você estava então
20:13você não saiu do
20:23lugar
20:27faltou
20:28a
20:36subtração Aí sim a
20:38subtração só envolve dois
20:43vetores Imagine que eu queira fazer U -
20:52V Então a partir de um ponto Qualquer do
20:57plano
21:00eu faço uma cópia do vetor u eu
21:19dei a partir do mesmo Ponto faço uma
21:23cópia da seta
21:27V
21:36e o vetor
21:43diferença é obtido fechando seu
21:47triângulo apontando o sentido para o
21:50primeiro vetor Este é o u -
21:54v né são orientação ao contrário seria v
21:58- u Claro não
22:00é você pode ver perfeitamente que essa
22:03figura satisfaz o critério da soma não é
22:07V somado com o - v né como V cancela com
22:11- v dá como resultado
22:18u e ainda
22:21a
22:26multiplicação
22:32por número
22:54real dado um vetor
23:08V se Alfa é um número
23:15real al V é um vetor que
23:20tem está na mesma reta que V ou é
23:23paralelo a ele isso nem vou repetir
23:27muitas vezes porque isso tanto faz né
23:29desenhar em cima ou numa reta
23:35paralela cujo comprimento se Alfa for
23:39positivo é Alfa vezes o comprimento de v
23:43né então você tem o v vetor 2v
23:463v
23:494,7v √3 x v
23:54n e
23:56caso
23:59Alfa seja negativo
24:10né um
24:14sentido
24:26oposto que a Alfa
24:30positivo aqui Alfa
24:49negativo Então essas são as primeiras
24:51operações não é
24:53adição regra do paralelogramo regra do
24:56polígono
24:58subtração completando o
25:01triângulo e multiplicação por número
25:04real não é então quando se multiplica um
25:07vetor por um número eu estou criando um
25:11outro vetor na mesma reta ou numa reta
25:13paralela como quiserem n é quando esse
25:16número for Positivo eu estou no mesmo
25:19sentido quando negativo sentido oposto
25:22ao vetor
25:25dado bem o
25:30passo
25:31é estamos falando de vetores no plano
25:42hein então ainda não tá na hora de falar
25:45naquelas coisas
25:47de aqueles produtos doidos l no
25:56plano
26:08então
26:10novidade o meu plano inicialmente estava
26:15vazio aí eu coloquei nele
26:19setas zilhões de setas de todos os
26:23tamanhos
26:24possíveis todas as posições possíveis
26:29agora nesse plano eu vou adotar um ponto
26:34que eu vou representar por
26:37o chamado origem do
26:41plano é claro que vocês conhecem o plano
26:44cartesiano plano cartesiano tem origem
26:47zer zer só que no momento eu ainda não
26:50tenho os eixos eu só tenho a
26:54origem Então nós vamos fazer uma
26:56identificação
27:09para cada ponto
27:11P do plano cada ponto P do plano eu vou
27:17associar vou colocar uma uma etiqueta
27:20nele eu vou associar o vetor
27:24op e vou escrever assim
27:28p é a mesma coisa que
27:35op com isso cada ponto ele fica mais
27:38rico porque ele é um ponto mas também é
27:42quando eu quero a seta que vai dar
27:45origem a ele
27:52combinado evidentemente
27:56que
28:06se eu fizer um
28:21paralelogramo
28:23paralelogramo Desenhei um outro vetor
28:26que tem o mesmo
28:30tamanho
28:32paralelo se eu chamar esse vetor de v
28:35esse aqui também é
28:41V vetor portanto não tem um lugar certo
28:44para ele ficar um lugar fixo vetor é uma
28:49seta então para cada ponto P eu defini
28:53um vetor e esse Vetor pode habitar
28:55qualquer lugar do meu plano e é o mesmo
28:59vetor não mudou não é velinha não é o
29:02mesmo vetor Tá
29:04certo
29:08bem isso que vai evoluir
29:11bastante me permite calcular por
29:15exemplo onde fica o ponto médio de um
29:26segmento
29:36antes
29:39apaga
29:42vetor
29:48determinado por dois
29:56pontos
30:07então meu plano tem uma
30:10origem e eu tenho dois pontos
30:15A e
30:26B
30:31tem os pontos A e B e a seta que vai de
30:34a para
30:36b
30:45d vou fazer o seguinte
30:52truque vou criar um vetor que vai da
30:54origem até
30:56a outro vetor que vai da origem até
31:06B pela regra do
31:10polígono o vetor
31:13oa mais o vetor
31:15AB dá como resultado o vetor
31:26ob
31:35mas eu acabo de combinar com vocês que
31:38se o meu plano tem uma origem dada
31:40escrever oa é a mesma coisa que escrever
31:44simplesmente
31:48a escrever OB é escrever simplesmente
31:56B
32:02se eu imagino dar uma uma letrinha
32:04simples pro vetor eu fico com algo assim
32:08que é muito
32:13bonito um ponto mais um vetor dá outro
32:23ponto Vocês conseguem imaginar a
32:27alguma algum lugar em que se usa a
32:30palavra vetor sem sem em
32:34matemática biologia
32:38exemplo doenças
32:40é como é o nome do Mosquito que
32:43transmite a dengue
32:45eds egipte Como é que os biólogos falam
32:48sobre esse mosquito ele é o vetor da
32:54dengue O que que tem essa palavra
32:58mágica vetor vem de uma
33:05palavra Latina
33:09per
33:10significa aquilo que
33:13transporta então vetor tem essa ideia
33:18vetor é um elemento que
33:20transporta transporta dengue transporta
33:23zica transporta né Qualquer elemento
33:26transp
33:27é um
33:28vetor Essa é ideia aqui não é vetor é um
33:33elemento que transporta a em b então
33:37você tem
33:38a acrescentando a esse ponto um vetor
33:42você é transportado para
33:48B também se
33:51pode A partir dessa relação escrever
33:55que a é a diferença entre as suas
33:59extremidades
34:01né somando - a dos dois
34:06lados Lembrando que isso daqui
34:09significa não só não são simplesmente
34:12letras né são vetores B significa o
34:15vetor OB a significa o vetor oa mas é
34:19muito prático a gente pensar e na nossa
34:23cabeça imaginar esse fato um vetor uma
34:27seta é a diferença entre as suas
34:35extremidades para você ter isso você não
34:39precisa ainda ter
34:41eixos você só precisa ter um plano com
34:45uma origem
34:51determinada
34:53já vou
34:55subir
35:12bem todos vocês a essa
35:16altura vocês já usam geogebra né que é
35:19uma uma das das maravilhas do mundo da
35:23computação e que veio nos ajudar assim a
35:30no nosso
35:33ensino na minha tela eu botei uma origem
35:37tá ali o ponto
35:39o eu vou aqui também com toda a
35:43liberdade assinalar um ponto a e um
35:47ponto
35:51b e vou escrever aqui embaixo aqui
35:55embaixo vou escrever vê que o ponto
35:59P é igual a a +
36:05b Caramba tô somando
36:08pontos ó
36:13lá olha o que ele fez ele compreende o
36:17programa compreende essa nossa linguagem
36:20que quando eu escrevo
36:21a isso é um ponto mas também é o vetor
36:25que vai dar origem a até esse ponto essa
36:28dualidade é que nos dá uma riqueza
36:31enorme então o que que o programa
36:34fez sem que a gente
36:38percebesse o programa entendeu que
36:41existe um vetor que vai daqui até aqui
36:43existe um vetor que vai daqui até aqui
36:47ele completou o
36:55paralelogramo
37:02e desenhou o vetor
37:06soma vai daqui até
37:10aqui então nesse desenho não é o vetor w
37:14que é o vetor op é a soma u +
37:17v mais u é o ponto a e V é o ponto b
37:23então nós podemos trabalhar com essas
37:25letras somar subtrair fazer o o que a
37:27gente
37:28quiser se eu fizer a diferença a - Bin O
37:32que será que ele vai
37:35fazer a diferença a - b é a seta que vai
37:39de B até a não é isso
37:42é será que ele vai desenhar essa seta
37:45então eu vou digitar aqui a - b então
37:50vou chamar de chamar de D por exemplo D
37:54Opa D
37:57é igual a a - b vou dar Olha onde ele
38:03botou o d que que ele
38:07fez é o que ele fez foi isso ó ele pegou
38:11essa essa seta que vai de B até
38:14a e desenhou a partir da origem
38:20ó é a mesma é o mesmo
38:25vetor Ô
38:51perdão essas duas setas vermelhas são
38:56iguais
38:57Tem gente que fala inclusive que no
39:00lugar de usar vetores iguais diz que
39:02eles são representações do mesmo vetor
39:05trata vetor assim como uma coisa mais
39:06abstrata né e cada seta que eu vejo eu
39:10tô vendo uma representação
39:12dele então essa história de você
39:15considerar o plano com origem e associar
39:17cada ponto ao vetor correspondente é uma
39:21atitude simples e é uma atitude moderna
39:25e é assim que os programas trabalham né
39:29eles entendem exatamente
39:31essa essa
39:55ideia
40:05Então o que eu tava falando quando eu
40:08quero achar o ponto
40:25médio
40:52então vetorialmente se eu quiser achar
40:55onde tá esse ponto
40:56a gente
40:58constrói um vetor de A até
41:02m e um outro de m até
41:11B ao fazer isso né eu criei vetores
41:16iguais porque eles estão na mesma reta
41:20eles têm mesmo tamanho porque o ponto m
41:23é ponto médio e eu orientei no mesmo
41:27sentido então a gente escreve que o
41:30vetor
41:31am é igual ao vetor
41:42MB porém a m se escreve m -
41:47a e MB b-
41:52m por aqui não
41:55é
42:00podemos operar
42:06normalmente e o resultado é exatamente o
42:09que se
42:11espera é a média das suas
42:25extremidades
43:22rapidamente origem a e b e eu aqui
43:26escrevi
43:28M igual parênteses A
43:33mais
43:36B dividido por 2 o programa entende isso
43:40Ó ali
43:46ele você lembra onde é que estava o o a
43:49+ b não é
43:55isso
43:57o a + b tava lá né então o que que ele
44:01disse dizer que m = a + b so 2 significa
44:07dizer
44:12perdão significa
44:18dizer que o vetor
44:25om
44:42significa dizer que o vetor V vermelho
44:45né que é o vetor m é a metade do vetor
44:52C então todos esses algebris que nós
44:55fazemos com os pontos né E a máquina
45:00entende por exemplo se eu multiplicar o
45:03ponto a por 2 que que você acha que vai
45:07acontecer eu vou
45:09criar o ponto P que se chama duas vezes
45:17a Pronto Olha o ponto P = 2 A que que
45:20ISO significa que o vetor
45:23op é o dobro do vetor o
45:28A tá então essa é a
45:34atitude digamos moderna
45:37nãoé de
45:41tratar os
45:54vetores
46:24bom
46:36é claro então que agora além da origem a
46:39gente vai colocar eixos então cada ponto
46:43consequentemente cada vetor vai ser
46:46representado por um par
46:48ordenado assim como eu posso somar
46:50subtrair vetores eu tenho que combinar
46:53as operações correspondentes com os
46:56pares
47:18ordenados
47:24diferença
47:39e multiplicação por número
47:54real
48:17bom então eu já tenho os vetores soltos
48:20eu já tenho os vetores no plano com
48:23origem e agora nós vamos colocar
48:27eixos
48:54perpendiculares
49:15então agora não é cada origem continua
49:21aqui cada
49:23ponto tem a sua localização dada por
49:27duas coordenadas abscissa ordenada e nós
49:30vamos combinar que o vetor associado a
49:34ele seja escrito exatamente da mesma
49:37forma então o ponto P que é a mesma
49:41coisa que o vetor
49:46op é o par
49:50ordenado x
49:54y
50:38então se eu tiver uma outra seta em
50:40qualquer outro lugar do plano né mas que
50:43seja igual a
50:46v as coordenadas desse vetor são
50:50exatamente os números X e
50:54Y
50:55Isso significa
50:58que para você se deslocar de A até
51:08B você precisa andar x unidades na
51:13direção
51:14horizontal é esse e y
51:18unidades na
51:20direção
51:22vertical essa figura pode estar em
51:24qualquer lugar do plano né então
51:27qualquer lugar que essa seta esteja esse
51:30vetor é representado por esse mesmo par
51:33ordenado é claro que se você fizer esse
51:36desenho a partir da origem o esse par
51:39ordenado agora mostra a localização da
51:41sua extremidade que é o ponto
51:48XY portanto na agora que começa digamos
51:54a geometria analítica
51:58antes você escrevia assim que o ponto a
52:00tem coordenadas 3 e
52:032
52:05tá isso é uma coisa
52:08estática agora você passa a escrever
52:12a igual ao par ordenado
52:1632 sentiu a diferença
52:19né
52:22dinâmico então com isso você pode
52:26operar coisa que aqui o a era só um nome
52:30agora não agora é um objeto que você
52:32pode operar você pode somar a com B
52:34subtrair multiplicar Ou seja a face a
52:39interface algébrica é feita dessa
52:45forma então por
52:47exemplo o comprimento do vetor é o seu
52:54módulo
52:59seu comprimento que eu vou representar
53:01assim nada mais é do que a aplicação do
53:04teorema de Pitágoras né vai dar ra qu x
53:08qu + Y
53:17qu você consegue calcular
53:24distâncias
53:51então se eu tenho dois pontos a
53:53distância entre eles na minha cabeça
53:56agora eu faço um um vetor que vai de A
53:59até
54:16B explicando melhor né o vetor que vai
54:19de A até B é a diferença b -
54:24a
54:27Então essa diferença né de pares
54:39ordenados e a distância entre A e
54:43B é o módulo desse
54:52vetor portanto raiz quadrada de
54:55x linha men X qu Y linha Men Y
55:24qu
55:56uma ferramenta muito
56:18útil é o que que acontece quando eu
56:22giro no plano cartesiano um vetor
56:26desenhado a partir da origem de 90º no
56:30sentido
56:32positivo você vê aqui o vetor u na
56:36diagonal desse
56:38retângulo de Base a e altura B né
56:43então mantendo fixa a origem
56:48e girando este retângulo em torno da
56:53origem você vai obter um retângulo
56:57congruente nessa
57:06posição e se esse retângulo girou de
57:1190º a sua
57:13diagonal também girou de
57:2390º
57:26e agora você tem o vetor
57:30V perpendicular a
57:37u ora Quais são as coordenadas de
57:41v abscissa a né veio aqui para cima né
57:45então agora essa ordenada é
57:49a e essa ordenada B veio para cá mas
57:53aqui ela é negativa né então ela é -
57:57b então as coordenadas de v
58:01são - B
58:12A então é bem legal isso quando você
58:15pega um vetor de coordenadas A e B e
58:19aplica uma rotação de 90º a ele você
58:22transforma esse
58:23cara simplesmente assim troca de
58:26posições coordenadas e troca o sinal da
58:38primeira é claro que se você quiser
58:41girar no sentido horário né você vai
58:45obter o simétrico
58:53desse então se você aplicar uma rotação
58:56de - 90º quer dizer 90º no sentido
58:59horário você vai obter o vetor que é o
59:01simétrico daquele que é o b -
59:23a
59:53e
1:00:15imagine minha gente que você tem o
1:00:17quadrado
1:00:20abcd do
1:00:23qual eu te
1:00:27digo que o ponto A é
1:00:3231 e que o ponto
1:00:36b é
1:00:4383 vamos achar os outros vértices C e D
1:00:47onde
1:00:53estão
1:00:58eh na geometria analítica clássica isso
1:01:01dá um pouco de
1:01:07trabalho coeficiente
1:01:10angular coeficiente angular da reta
1:01:15perpendicular lembra né equação da reta
1:01:19equação da reta
1:01:22paralela aqui é assim
1:01:28os pontos A e B são
1:01:36Dados então eu conheço o vetor AB que é
1:01:39dado pela diferença entre as suas
1:01:41extremidades de b - a
1:01:43certo
1:01:46concretamente 8 - 3
1:01:515 3 - 1 2
1:01:56enfatizando as coordenadas do vetor são
1:01:59aqueles números que você deve somar as
1:02:02coordenadas de a para obter as
1:02:04coordenadas de B esse c quer dizer o
1:02:07seguinte se você tem abscissa de a e
1:02:10soma 5 você vai ter a abscissa de B se
1:02:14você tem ordenada de a e soma 2 você vai
1:02:17ter ordenada de B isso é que são as
1:02:19coordenadas do vetor
1:02:23tá agora você vai rodar esse
1:02:44vetor como é então para girar um vetor
1:02:48de 90º no sentido positivo troque de
1:02:52posição as coordenadas e o sinal da
1:02:54primeira então 52 girado dá o vetor - 2
1:03:065 como é que eu obtenho o ponto D eu
1:03:09pego
1:03:10a somo esse vetor para obter a sua
1:03:14extremidade lembra aquela coisa que tava
1:03:17escrito aí né um ponto mais um vetor dá
1:03:19a sua
1:03:20extremidade então o ponto
1:03:23D é o ponto a que é o
1:03:2831 mais o vetor que faz a ir para D é o
1:03:34vetor
1:03:40-25 3 - 2
1:03:451 1 + 5
1:03:516 para chegar em C
1:03:55eu posso
1:03:57usar por exemplo o mesmo vetor que eu já
1:04:03conheço se aqui o vetor é 52 esse também
1:04:06é
1:04:1152 ou poderia sair de B né com esse
1:04:15vetor Então quem é c é d mais esse vetor
1:04:19chega
1:04:23lá então c é o d que é
1:04:291
1:04:31mais
1:04:3452 que é
1:04:386
1:04:478 é de uma simplicidade enorme não
1:04:51é é muito eficiente
1:05:09é claro que a rotação de 90º ela é um
1:05:13caso particular
1:05:15né de vetores
1:05:19perpendiculares esses vetores
1:05:21perpendiculares o AB e - B a eles têm
1:05:25mesmo comprimento é mesmo módulo né raiz
1:05:28quadrada de a2 + B2 pros
1:05:30dois então para
1:05:34terminar Desculpem a correria
1:05:39eh a gente vai
1:05:43deduzir uma coisa
1:05:46bem legal e
1:05:53útil
1:06:03que é Como
1:06:08reconhecer vetores
1:06:11perpendiculares mesmo que eles tenham
1:06:14tamanhos
1:06:23quaisquer
1:06:51então meu desenho mostra dois vetores
1:06:56perpendiculares um de coordenadas x e y
1:07:00outro de coordenadas x linha Y
1:07:06linha e eu
1:07:14espertamente vou fechar esse
1:07:21Triângulo com esse vetor que é a
1:07:23diferença né esse vetor aqui é a
1:07:26diferença x - x
1:07:45linha tá o vetor que vai desse ponto até
1:07:49lá é a diferença lá Men k Ok tá certo
1:07:55agora eu vou aqui vou fazer o teorema de
1:07:58Pitágoras
1:08:00que me diz então que o módulo desse
1:08:12vetor ao
1:08:15quadrado é o módulo de
1:08:211 mais o módulo do
1:08:37outro é
1:08:48rápido lembra né O que que é módulo de
1:08:51um vetor
1:08:52mesmo é raiz quadrada de 1 qu + out Quad
1:09:00certo bom como aqui eu tenho módulos ao
1:09:03quadrado Então não preciso escrever esse
1:09:06radical pode
1:09:07ser
1:09:10então vamos ficar assim módulo desse
1:09:13vetor ao quadrado é o x - x linha ao qu
1:09:19+ y - y linha ao qu
1:09:30igual módulo desse vetor ao
1:09:34quadrado x qu + Y qu
1:09:40mais módulo daquele vetor ao
1:09:43quadrado x linha a quadrado mais Y linha
1:09:47ao
1:09:50quadrado
1:09:52pronto
1:09:55agora você desenvolva mentalmente não
1:09:58escreva não precisa
1:10:00gastar mentalmente
1:10:03e
1:10:07simplifique aqui vai ter um x quadrado
1:10:10não é verdade acordou acabou vai ter um
1:10:13X linha quadrado também sobrou aqui o
1:10:16duplo produto Men 2x x
1:10:21linha Y qu foi
1:10:24Y linha ao quadrado também foi que que
1:10:26sobrou aqui - 2Y Y
1:10:31linha simplifica por
1:10:39-2 é
1:10:47isso se dois vetores são perpendiculares
1:10:50Essa é a relação belíssima não é que o
1:10:53ocorre entre entre eles produto das
1:10:57abscissas mais o produto das ordenadas
1:10:59dá
1:11:01zero se os vetores são não nulos é é si
1:11:05somente
1:11:06si então tratando de se nenhum dos dois
1:11:09vetores for nulo e se isso acontece
1:11:11então isso acontece isso acontece isso
1:11:13acontece pela recíproca do teorema de
1:11:16Pitágoras né o ângulo entre eles é
1:11:22reto e Então eu acho que a gente já tem
1:11:26material para fazer os exercícios da
1:11:28lista de hoje tá tem distância tem
1:11:33perpendicularismo e tem outras coisas
1:11:36também amanhã então a gente vai ver
1:11:39outras coisas sobre vetores para ficar
1:11:42com um material bastante consistente nos
1:11:45vemos então hoje à tarde
1:11:46combinado obrigado então um abraço para
1:11:52vocês
1:11:54l

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