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Nombres réels - partie 2 : propriétés des réels — Transcript

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0:00[Musique]
0:14dans cette leçon nous commençons par
0:15rappeler les principales propriétés de
0:17l'ensemble des nombres
0:20réels puis nous énonçons la propriété
0:23d'Archimède qui affirme que tout réel
0:25admet un entier qui lui est
0:27supérieur et enfin nous nous
0:29inéresseront à la valeur
0:37absolue l'ensemble grand TER des nombres
0:40réels munis des lois d'addition et de
0:42multiplication est un corps
0:45commutatif cela signifie que ces lois
0:47vérifient les propriétaires appelés
0:49ci-dessous par exemple l'addition est
0:51commutative A + B é= à B + a l'addition
0:55est associative A + B + c est é= à a + B
1:00+ C donc lorsqu'il n'y a que des
1:02additions on peut omettre les
1:04parenthèses de même la multiplication
1:07est commutative a x B est é= à B X a et
1:11elle est associative chaque élément non
1:13nul admet un inverse pour l'addition
1:17tout élément admet un
1:20opposé ces deux lois sont de plus
1:22compatibles entre ell au sens que la
1:25multiplication est distributive par
1:26rapport à
1:28l'addition enfin une propriété qui sert
1:30souvent sans qu'onon se rende compte un
1:33produit est nul si et seulement si un
1:36des facteurs est
1:45nul l'ensemble grand R est muni d'une
1:48structure supplémentaire c'est un
1:50ensemble ordonné la définition abstraite
1:52est la suivante mais vous pouvez garder
1:55à l'esprit l'exemple où grand E est
1:57l'ensemble des réels et la relation R et
2:00la relation être inférieur ou égale une
2:03relation grand R sur un ensemble E est
2:06une partie de E c e l'ensemble des
2:08couples d'éléments de
2:11e si un couple x y est dans R on note x
2:16est en relation avec
2:19y une relation r sur un ensemble grand E
2:23est une relation d'ordre si elle vérifie
2:25les trois points
2:27suivants tout d'abord elle est réfle
2:30tout élément est en relation avec
2:34lui-même ensuite elle est
2:37antisymétrique c'està-dire que X est en
2:40relation avec Y et y est en relation
2:42avec X implique que X et Y sont
2:47égau enfin elle est transitive
2:50c'est-àdire que si x est en relation
2:53avec Y et y est en relation avec Z alors
2:56X est en relation avec Z
3:01une relation r sur un ensemble grand E
3:04est une relation d'ordre total si pour
3:07toute XY dans grand E on a X en relation
3:10avec Y ou Y en relation avec X cela
3:14signifie que l'on peut toujours comparer
3:16deux
3:25éléments l'ensemble grand TER possède
3:28cette propriété d'être d'une relation
3:30d'ordre naturelle inférieure ou égale et
3:33cette relation d'ordre est même totale
3:35on rappelle que ceci signifie en
3:37particulier que cette relation
3:40est réflexive et pour tout X X est
3:43inférieur ou égale à X elle est
3:46antisymétrique si x est inférieur ou
3:48égal à y et y inférieur ou égal à X
3:51alors on a bien X qui est égal à y et
3:55elle est transitive si x est inférieur
3:58ou égal à Y et y inférieur ou égal à Z
4:02alors X est bien inférieur ou égal à
4:06Z cette relation d'ordre inférieure ou
4:09égal possède en outre les propriétés
4:11bien connues par rapport à l'addition et
4:13à la
4:15multiplication on peut additionner deux
4:17inégalités ou multiplier une inégalité
4:20par un réel positif faites bien
4:23attention si on multiplie une inégalité
4:26par un réel négatif alors il faut
4:28changer le sens de
4:38égalité nous abordons à présent la
4:40principale propriété de cette section
4:42l'ensemble grand TER et archimédien
4:46c'est-à-dire que pour chaque réel x on
4:48peut toujours lui trouver un entier n
4:51strictement plus grand cette propriété
4:53peut paraître comme évidente mais elle
4:55est
4:56fondamentale c'est en effet cette
4:58propriété qui permet de définir la
5:00partie
5:02entière pour tout réel x il existe un
5:05unique entier e de X tel que X soit
5:08compris entre e de X au sens large et E
5:13de X + 1 au sens
5:15strict retenez bien que E de X est un
5:18entier et qu'il vérifie cette double
5:20inégalité large à gauche et stricte à
5:26droite par exemple la partie enti ti de
5:302,853 est 2 celle de Pi est
5:353 la partie entierre est l'entier le
5:39plus proche en dessous du réel x donc
5:41faites bien attention pour les nombres
5:43négatifs la partie entière de - 3,5 et -
5:484 autre exemple la partie entière d'un
5:51nombre x est 3 si et seulement si x est
5:55compris entre 3 au sens large et 4 au
5:58sens strict
6:08voici le graphe de la fonction partie
6:09entière à X on associe partie entière de
6:15X on peut grâce à une lecture graphique
6:19retrouver que la partie entière de
6:222,853
6:24et
6:282
6:39voici comment on peut calculer la partie
6:40entière de
6:42r√1 3 au Carr qui vaut 9 est strictement
6:46plus petit que 10 la fonction racine
6:49carrée est une fonction strictement
6:51croissante donc en prenant les racines
6:53on obtient que 3 qui est la r√ 3 au
6:56carré est strictement plus petit que r√
6:5810
7:004 au carré vaut 16 qui est strictement
7:03plus grand que 10 donc de même en
7:05prenant les racines on trouve que 4 est
7:08strictement plus grand que
7:12√10 en conclusion √10 est strictement
7:17compris entre 3 et 4 donc la partie
7:20entière de √10 vaut
7:283
7:32revenons sur la démonstration de
7:33l'existence et de l'unicité de la partie
7:35entière d'un nombre réel x commençons
7:39par l'existence on fixe un réel x
7:42positif ou nul on cherche un entier e de
7:45X tel que E x soit inférieur ou ég à X
7:48qui soit strict inférieur à E x +
7:511 par la propriété d'Archimède il existe
7:55un entier n strictement plus grand que
7:58X
8:01notons grand cas l'ensemble des entiers
8:05petit cas qui sont plus petits que X cet
8:08ensemble est donc
8:11fini notons k max son plus grand
8:17élément on a d'une part k Max qui est
8:22inférieur ou égale à X car k max est un
8:25élément de grand
8:26K et d'autre part
8:30k max + 1 est strictement plus grand que
8:33X car k max + 1 n'appartient pas à grand
8:36K c'est k max le plus grand élément de
8:38grand
8:39k on vient de
8:44prouver que K Max est inférieur ou égal
8:47à X qui est strictement plus petit que K
8:50max + 1 on peut prendre E x é= k Max qui
8:58convient
9:07montrons à présent l'unicité soit K et L
9:10deux entiers vérifiant la propriété de
9:12la partie entière c'est-à-dire X est
9:15compris entre K et K + 1 et aussi X est
9:18compris entre l et l +
9:201 on en déduit tout d'abord que K est
9:25inférieur ou égal à X qui est
9:27strictement plus petit que L +
9:301 en particulier K est strictement plus
9:33petit que l + 1 on a aussi par symétrie
9:37l qui est strictement plus petit que K +
9:401 et donc en conclusion K est
9:43strictement compris entre L-1 et l + 1
9:48mais il n'y a qu'un seul entier compris
9:50strictement entre L-1 et l + 1 c'est l
9:54ainsi K =
9:58L
10:03venons-en à présent à la définition de
10:05la valeur absolue d'un nombre réel x la
10:09valeur absolue de X est lui-même si x
10:12est positif ou nul par contre si x est
10:15négatif alors la valeur absolue de X est
10:18- x comme X est négatif alors - X est
10:21positif donc quel que soit le signe de X
10:25la valeur absolue de X est positive ou
10:28nulle voici le graphe de la fonction
10:31valeur absolue c'est une fonction paire
10:34son graphe est symétrique par rapport à
10:36l'axe des
10:44ordonnées voici quelques propriétés de
10:46la valeur absolue on l'a déjà remarqué
10:50la valeur absolue d'un nombre x est
10:52toujours positive ou nul et elle est
10:54même strictement positive si x est non
10:56nul la valeur absolue du ré X est ég à
11:00celle de son opposé
11:03x la valeur absolue de X peut s'exprimer
11:07aussi comme la racine carrée du carré de
11:11X la valeur absolue d'un produit est le
11:14produit des valeurs
11:16absolues l'inégalité triangulaire est
11:19très
11:20importante la valeur absolue de X + y
11:23est toujours inférieur ou égal à la
11:25valeur absolue de X plus la valeur
11:27absolue de Y en d'autres termes la
11:30valeur absolue d'une somme est toujours
11:32inférieure ou égale à la somme des
11:34valeurs
11:36absolues on en déduit la formule
11:38suivante sur la valeur absolue d'une
11:39différence qui est appelée seconde
11:42inégalité
11:43triangulaire la valeur absolue de la
11:47différence valeur absolue de X moins
11:50valeur absolue de y est toujours
11:52inférieure au égale à la valeur absolue
11:54de X -
11:57Y
11:59enfin sur la droite numérique la valeur
12:02absolue de X - Y représente la distance
12:07entre les réels X et
12:09Y en particulier la valeur absolue de X
12:13représente la distance entre les réel x
12:15et
12:240 nous allons montrer l'inégalité
12:26triangulaire pour deux réels x et y
12:30par définition on a les encadrements X
12:34qui est compris entre moins valeur
12:36absolue de X et plus valeur absolue de X
12:38et Y qui est compris entre moins valeur
12:41absolue de Y et plus valeur absolue de
12:44Y en additionnant on en déduit que d'une
12:48part x + y est bien inférieur ou égal à
12:52valeur absolue de X plus valeur absolue
12:54de Y et d'autre part x + y est plus
12:57grand que moins valeur absolue de X plus
13:00valeur absolue de
13:02Y et ceci montre que la valeur absolue
13:07de X + y est inférieure ou égale à la
13:10valeur absolue de X plus la valeur
13:12absolue de
13:14y voici une caractérisation importante
13:17de la valeur
13:18absolue la valeur absolue de X - A est
13:22strictement plus petit que R si et
13:24seulement si x est compris strictement
13:27entre A- R et a +
13:30R autrement dit x - A est strictement
13:35inférieur en valeur absolue à petit r si
13:37et seulement si X appartient à
13:40l'intervalle A- R a +
13:44R graphiquement sur la droite numérique
13:48cette condition signifie que la distance
13:50de X à a est strictement plus petite que
13:57R
14:01entraînez-vous avec ces exercices pour
14:03vérifier que vous avez bien compris le
14:22cours

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