Nombres réels - partie 1 : nombres rationnels — Transcript

Full transcript

1. 0:00[Musique]
2. 0:13nous commençons ce chapitre sur les
3. 0:15nombres réels par une première leçon
4. 0:17consacrée aux propriétés des nombres
5. 0:20rationnels nous allons rappeler ce qu
6. 0:22l'écriture décimale des nombres puis
7. 0:24nous allons voir qu'il existe des
8. 0:25nombres irrationnels comme √2
9. 0:35voici une introduction non seulement à
10. 0:37ce chapitre sur les nombre réel mais
11. 0:38aussi au premier chapitre de ce cours
12. 0:40d'analyse au temps des Babyloniens le
13. 0:43système de numération était en base 60
14. 0:45c'est-à-dire que tous les nombres
15. 0:47étaient exprimés sous la forme a + b/ 60
16. 0:50+ c/ 60 au Carr et cetera on peut
17. 0:53imaginer que pour les applications
18. 0:55pratiques c'était largement suffisant
19. 0:57par exemple diviser un champ en deux
20. 0:59parties égales
21. 1:00estimer la surface d'un champ et cetera
22. 1:03en langage moderne cela correspond à
23. 1:05compter uniquement avec des nombres
24. 1:07rationnels plus tard les pythagoréiens
25. 1:10montrre que √2 n'entre pas dans ce cadre
26. 1:13là c'est-à-dire que RAC 2 ne peut pas
27. 1:17s'écrire sous la forme p/ Q avec P et Q
28. 1:21de entiers c'est un double saut
29. 1:23conceptuel d'une part concevoir que √2
30. 1:27est de nature différente mais surtout en
31. 1:29donner une
32. 1:31démonstration le fil rouge de ce cours
33. 1:33va être un exemple très simple le nombre
34. 1:37√1 dans ce chapitre sur les nombres
35. 1:40réels vous allez apprendre à montrer que
36. 1:43√10 n'est pas un nombre
37. 1:45rationnel et ensuite à encadrer √10
38. 1:49entre deux entiers
39. 1:51consécutifs à la fin de ce cours
40. 1:53d'analyse vous saurez calculer les
41. 1:54premières décimales de r√1 et même des
42. 1:57centaines de décimales et certif
43. 2:00qu'elles sont
44. 2:02exactes pour cela nous aurons besoin
45. 2:04d'outils beaucoup plus sophistiqués que
46. 2:06nous étudierons tout au long de ce cours
47. 2:08nous commencerons par les propriétés des
48. 2:10nombres réels et cela nous permettra
49. 2:12d'étudier les suites et leurs limites
50. 2:14nous terminerons avec deux chapitres les
51. 2:17fonctions continues et les fonctions
52. 2:19dérivables
53. 2:30par définition l'ensemble des nombres
54. 2:32rationnels est l'ensemble grand Q des
55. 2:35nombres qui s'écrivent sous la forme P
56. 2:38sur Q où P est un entier relatif et Q
57. 2:41est un entier naturel non nul ici on a
58. 2:44noté n étoile pour l'ensemble des
59. 2:46entiers naturels non Nules par exemple
60. 2:492/5
61. 2:527/10 36e qui s'écrit aussi 1
62. 2:55demi les nombres décimaux c'est-à-dire
63. 2:59les nombres de de la forme a sur 10^iss
64. 3:01N où a est un entier relatif et n un
65. 3:04entier naturel fournissent d'autres
66. 3:07exemples tout d'abord
67. 3:101,234 qui s'écrit aussi 1234 x 10^ - 3
68. 3:16ou encore
69. 3:190,00345 qui s'écrit 345/ 100000
70. 3:32cette proposition caractérise les
71. 3:34nombres rationnels par leur écriture
72. 3:35décimale un nombre est rationnel si et
73. 3:39seulement si il admet une écriture
74. 3:41décimale périodique ou
75. 3:45finie expliquons les termes avoir une
76. 3:48écriture décimale finie c'est avoir une
77. 3:50écriture décimale qui se termine à un
78. 3:53certain rang après la virgule comme 35e
79. 3:56qui s'écrit
80. 3:580,6 1/ers a lui aussi une écriture à lui
81. 4:02une écriture infinie et périodique le 3
82. 4:06se répète
83. 4:08indéfiniment on autorise aussi à avoir
84. 4:11une écriture périodique à partir d'un
85. 4:13certain rang ici 325 se répète
86. 4:17indéfiniment par la proposition c'est un
87. 4:19nombre
88. 4:28rationnel nous n'allons pas donner la
89. 4:30démonstration mais le sens direct repose
90. 4:32sur la division euclidienne pour la
91. 4:35réciproque voyons comment cela marche
92. 4:37sur un exemple montrons que X qui est
93. 4:40égal à
94. 4:4112,34 2021 2021 et cet est un
95. 4:46rationnel l'idée est de d'abord faire
96. 4:49apparaître la partie périodique juste
97. 4:51après la virgule ici la période commence
98. 4:53de chiffres après la virgule donc on
99. 4:55multiplie par 100
100. 4:58100x qui vaut 1234 vir 2021 2021 et
101. 5:05cetera maintenant on va décaler tout
102. 5:08vers la gauche de la longueur d'une
103. 5:09période donc ici on va multiplier encore
104. 5:12par 10000 pour décaler de quatre
105. 5:14chiffres 10000 x 100x qui vaut 1234
106. 5:212021, 2021 et
107. 5:24cetera les parties après la virgule de
108. 5:27ces deux lignes sont les mêmes donc si
109. 5:30on les soustrait la deuxè moins la
110. 5:33première alors les parties décimales
111. 5:36s'annulent 10000 x 100x
112. 5:40100x qui vaut 1234 2021
113. 5:461234 cela donne donc
114. 5:52999900x qui est égal à cet
115. 5:56entier et on a bien écrit notre nombre
116. 5:59sous sous la forme d'un quotient p/ Q
117. 6:01c'est donc un nombre
118. 6:09rationnel il existe des nombres qui ne
119. 6:11sont pas rationnels les irrationnels les
120. 6:14nombres irrationnels apparaissent
121. 6:16naturellement dans certaines figures
122. 6:17géométriques par exemple la diagonale
123. 6:20d'un carré de côté 1 et le nombre
124. 6:22irrationnel racine 2 la circonférence
125. 6:25d'un cercle de rayon 1/2i est pi qui est
126. 6:28également un nombre
127. 6:36irrationnel nous allons prouver la
128. 6:38proposition suivante
129. 6:40√2 n'est pas un nombre
130. 6:43rationnel il est important de comprendre
131. 6:46et de savoir refaire cette démonstration
132. 6:48le raisonnement se fait par
133. 6:51l'absurde c'est-à-dire que l'on suppose
134. 6:53que √2 est un nombre rationnel et nous
135. 6:57devons trouver une contradiction
136. 7:01comme on a supposé que √2 est
137. 7:03rationnelle alors il s'écrit p/ Q où P
138. 7:06et Q sont deux
139. 7:08entiers de plus et ce sera important
140. 7:11dans la suite on suppose que P et Q sont
141. 7:14premier entre eux c'est-à-dire que la
142. 7:16fraction p/ Q est sous une forme
143. 7:21irréductible en élevant au carré
144. 7:24l'égalité √2 = p/ Q devient 2q²
145. 7:29ég P au Carr cette dernière égalité est
146. 7:33une égalité entre entier l'entier de
147. 7:35gauche est paire donc on en déduit que
148. 7:38p² est
149. 7:39paire en terme de
150. 7:42divisibilité ça signifie que 2 divise P
151. 7:46car mais si 2 divise P Carr alors 2
152. 7:50divise P cela se prouve facilement par
153. 7:54l'absurde donc il existe un entier P
154. 7:58prime tel que P soit égal à 2
155. 8:11p'e repartons de l'égalité 2q² = p² et
156. 8:16remplaçons P par 2 2 p
157. 8:19prime cela donne 2q² est ég à 4P prime
158. 8:26au² donc q² vaut 2 p prime
159. 8:32car maintenant cela entraîne que 2 div
160. 8:35q² et comme avant alors 2 divise
161. 8:40Q nous avons prouvé que 2 divise à la
162. 8:43fois p et
163. 8:46q cela entre en contradiction avec le
164. 8:49fait que P et Q sont premierers entre
165. 8:51eux notre hypothèse de départ est donc
166. 8:54fausse nous avons bien prouvé que √2
167. 8:58n'est pas un un nombre
168. 9:08rationnel on représente souvent les
169. 9:10nombres réels sur une droite numérique
170. 9:13comme sur la figure
171. 9:14suivante il est bon de connaître les
172. 9:17premières décimales de certains réels
173. 9:20comme √2 qui vaut 1,41 42 et cetera pi
174. 9:26qui est égal à 3,14 15 92 65 et cetera
175. 9:31et petit e qui vaut
176. 9:332,718 et
177. 9:36cetera il est souvent pratique d'ajouter
178. 9:39les deux extrémités à la droite
179. 9:40numérique on définit ainsi r bar qui est
180. 9:44r union moins l'infini plus l'infini
181. 9:56entraînez-vous avec ces exercices pour
182. 9:58vérifier que vous vous avez bien compris
183. 10:00le cours