La paradoja del hotel infinito - Jeff Dekofsky — Transcript

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1. 0:00Traductor: Jenny Lam-Chowdhury Revisor: Sebastian Betti
2. 0:06En la década de 1920,
3. 0:07el matemático alemán David Hilbert
4. 0:10creó un famoso ejercicio mental
5. 0:12para mostrarnos lo difícil que es
6. 0:14entender el concepto de infinito.
7. 0:18Imaginen un hotel con una cantidad infinita de habitaciones
8. 0:21y un gerente nocturno muy eficiente.
9. 0:24Una noche, el Hotel Infinito está completamente lleno,
10. 0:27totalmente ocupado con una cantidad infinita de huéspedes.
11. 0:31Un hombre llega al hotel
12. 0:32y pide una habitación.
13. 0:33En vez de despacharlo,
14. 0:35el gerente nocturno decide conseguirle una habitación.
15. 0:37¿Cómo?
16. 0:38Fácil... le pide al huésped de la habitación núm. 1
17. 0:41que se pase a la habitación núm. 2,
18. 0:43al huésped de la habitación núm. 2 a la habitación núm. 3,
19. 0:46y así sucesivamente.
20. 0:47Todos los huéspedes se mueven de la habitación número "n"
21. 0:49a la habitación número "n+1".
22. 0:52Como hay una cantidad infinita de habitaciones,
23. 0:54hay una habitación para cada huésped.
24. 0:57Esto deja la habitación núm. 1 vacía para el nuevo huésped.
25. 0:59El proceso puede repetirse
26. 1:01para cualquier número infinito de nuevos huéspedes.
27. 1:03Si, digamos, llega un autobús
28. 1:05con 40 nuevos huéspedes en busca de habitaciones,
29. 1:07entonces todos los huéspedes alojados se pasan
30. 1:09de la habitación número "n"
31. 1:11a la habitación número "n+40",
32. 1:13vaciando así las 40 primeras habitaciones.
33. 1:16Pero ahora un autobús infinitamente largo
34. 1:19con un infinito numerable de pasajeros
35. 1:21llega para alquilar cuartos.
36. 1:23Infinito numerable es la clave.
37. 1:25Ahora, el bus infinito con cantidad de pasajeros infinita
38. 1:28deja inicialmente atónito al gerente nocturno,
39. 1:30pero este se da cuenta de que hay una forma
40. 1:32de darle hospedaje a todos.
41. 1:33Le pide al huésped de la habitación núm. 1
42. 1:34que se pase a la habitación núm. 2.
43. 1:36Luego le pide al huésped de la habitación núm. 2
44. 1:38que se pase a la habitación núm. 4,
45. 1:40al huésped de la habitación 3
46. 1:41que se pase a la habitación 6,
47. 1:42y así sucesivamente.
48. 1:44Todos los huéspedes se pasan de la habitación número "n"
49. 1:47a la habitación número "2n",
50. 1:50llenando únicamente las habitaciones con número infinitos pares.
51. 1:54Al hacer esto, se han vaciado
52. 1:55todas las habitaciones con números infinitos impares,
53. 1:58que son ocupados por las personas
54. 2:00que venían en el bus infinito.
55. 2:02Todo el mundo está feliz y el negocio del hotel
56. 2:05prospera más que nunca.
57. 2:06Bueno, de hecho está prosperando
58. 2:08exactamente de la misma forma que siempre,
59. 2:10cobrando una suma infinita de dólares por noche.
60. 2:13Se corre la voz sobre este hotel increíble.
61. 2:16Viene gente de todas partes.
62. 2:18Una noche ocurre lo más inesperado.
63. 2:20El gerente nocturno mira hacia afuera
64. 2:23y ve una cola infinita
65. 2:25de buses infinitamente largos,
66. 2:27todos con una cantidad numerable infinita de pasajeros.
67. 2:30¿Qué puede hacer?
68. 2:31Si no puede conseguirles habitaciones
69. 2:32el hotel perderá
70. 2:34una cantidad infinita de dinero,
71. 2:35y él ciertamente perderá el trabajo.
72. 2:37Con suerte se acuerda
73. 2:39que alrededor del año 300 a.C.
74. 2:41Euclides demostró que hay una cantidad infinita
75. 2:44de números primos.
76. 2:47Así que para lograr lo que parece una tarea imposible
77. 2:49de conseguir camas infinitas
78. 2:51para los buses infinitos
79. 2:52con una cantidad infinita de viajeros cansados,
80. 2:54el gerente nocturno le asigna a todos los huéspedes existentes
81. 2:56el primer número primo, 2,
82. 2:59elevado al número de la habitación en la que están hospedados.
83. 3:01Así que el huésped de la habitación 7
84. 3:04se pasa a la habitación 2^7,
85. 3:07que es la habitación 128.
86. 3:09El gerente nocturno toma a todas las personas
87. 3:11en el primero de los buses infinitos
88. 3:13y le asigna las habitaciones
89. 3:15del próximo número primo, 3,
90. 3:18elevado al número correspondiente a sus asientos en el bus.
91. 3:21Así que la persona del asiento 7 del primer bus,
92. 3:25se hospedará en la habitación 3^7
93. 3:28o la habitación 2187.
94. 3:31Así continúa para todos en el primer bus.
95. 3:34A los pasajeros del segundo bus
96. 3:35se les asignan según los exponentes de 5, el próximo número primo.
97. 3:39El siguiente bus, según los exponentes de 7.
98. 3:41Así continúa con los buses que siguen:
99. 3:42según los exponentes de 11,
100. 3:43los exponentes de 13,
101. 3:44los exponentes de 17, etc.
102. 3:47Como cada uno de estos números
103. 3:48solo tienen el 1 y números naturales
104. 3:50como exponentes de estos números primos que funcionan como base,
105. 3:53no hay una superposición en los números.
106. 3:55A todos los pasajeros de los buses se les asigna una habitación
107. 3:58empleando un sistema de asignación único,
108. 4:00basados en números primos únicos.
109. 4:03De esta forma, el gerente nocturno puede alojar
110. 4:05a todos los pasajeros en todos los buses.
111. 4:07Sin embargo, habrá habitaciones que quedarán vacías,
112. 4:10como la habitación 6,
113. 4:11porque el 6 no es la potencia de ningún número primo.
114. 4:15Con suerte sus jefes no eran muy buenos en matemáticas,
115. 4:17así que su trabajo está asegurado.
116. 4:19Las estrategias del gerente nocturno son solo posibles
117. 4:22porque aunque el Hotel Infinito
118. 4:23es ciertamente una pesadilla logística,
119. 4:26solo tiene que lidiar con números infinitos bajos,
120. 4:29principalmente, los infinitos contables
121. 4:31de los números naturales,
122. 4:33como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo.
123. 4:36Georg Cantor denominó este nivel de infinito álef-cero.
124. 4:40Usamos número naturales en las habitaciones,
125. 4:42así como en los asientos de los buses.
126. 4:45Si tuviésemos que lidiar con niveles de infinito más altos,
127. 4:48como el de los números reales,
128. 4:49estas estrategias estructuradas
129. 4:51no serían posible
130. 4:52porque no hay manera
131. 4:53de que podamos incluir sistemáticamente todos los números.
132. 4:56El Hotel Infinito de los Números Reales tendría
133. 4:58habitaciones con números negativos en el sótano,
134. 5:00habitaciones con fracciones,
135. 5:02de modo que el huésped de la habitación 1/2 siempre sospechará
136. 5:04que tiene menos espacio que el huésped en la habitación número 1.
137. 5:07Habitaciones a la raíz cuadrada, como la habitación radical de 2,
138. 5:10la habitación pi,
139. 5:11donde los huéspedes esperan recibir postres gratis.
140. 5:14¿Qué gerente nocturno que se respete
141. 5:15querría trabajar allí
142. 5:17así sea por un salario infinito?
143. 5:19Pero en el Hotel Infinito de Hilbert,
144. 5:20donde nunca hay una vacante,
145. 5:22y siempre hay más cuartos,
146. 5:23los escenarios que enfrenta el siempre muy diligente
147. 5:26y quizás demasiado hospitalario gerente nocturno
148. 5:28nos sirve para recordarnos
149. 5:29lo difícil que es
150. 5:31para nuestras mentes relativamente finitas
151. 5:33entender un concepto tan grande como el infinito.
152. 5:37Quizás puedan ayudar a abordar estos problemas
153. 5:38después de una buena noche de descanso.
154. 5:40Aunque honestamente, quizás tengamos
155. 5:42que cambiarlos de habitación a las 2 de la mañana.