Kräfte zerlegen mit Sinus & Cosinus - Trigonometrie-Crashkurs für die Physik — Transcript

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1. 0:01Ein Schlitten wird an einem schrägen
2. 0:03Seil gezogen. Ein Teil der Kraft zieht
3. 0:06ihn nach vorne, ein anderer Teil hebt
4. 0:08ihn an, aber wie viel ist es genau? Um
5. 0:11schräge Kräfte in ihre Teile zu
6. 0:13zerlegen, brauchen wir ein Werkzeug aus
7. 0:16der Mathematik, die Trigonometrie. Heute
8. 0:19gibt es den Crashkurs dazu mit Sinus,
9. 0:23Cosinus und Tangens. Am Ende zerlegst du
10. 0:26jede schräge Kraft selbst. Los geht es.
11. 0:30Zu Risiken und Nebenwirkungen dieses
12. 0:31Videos gilt: Vollständig durch KI
13. 0:32erstellt. Auch diese Stimme ist geklont.
14. 0:34Wörter können deshalb falsch betont und
15. 0:35Abbildungen nicht ganz korrekt sein. Die
16. 0:37Physik ist von Hand geprüft. Beiträge
17. 0:38Lehrperson oder Physikbuch konsultieren.
18. 0:40Viel Spaß beim Lernen.
19. 0:41Alles beginnt mit dem rechtwinkligen
20. 0:44Dreieck. Das ist ein Dreieck mit einem
21. 0:46Winkel von genau 90°. Wir schauen immer
22. 0:50von einem bestimmten Winkel aus, den wir
23. 0:52Alpha nennen. Von Alpha aus bekommen die
24. 0:55drei Seiten ihre Namen. Die längste
25. 0:57Seite liegt dem rechten Winkel
26. 1:00gegenüber. Sie heißt Hypotenuse. Die
27. 1:03Seite, die direkt an Alpha anliegt,
28. 1:05heißt Ankathete.
29. 1:07Eselsbrücke: Ankathete liegt am Winkel
30. 1:09an und die Seite, die Alpha gegenüber
31. 1:12liegt, heißt Gegenkathete. Sie liegt dem
32. 1:15Winkel gegenüber. Diese drei Namen sind
33. 1:17die ganze Grundlage.
34. 1:20Jetzt kommt der Kern. Sinus, Cosinus und
35. 1:22Tangens sind nichts anderes wie
36. 1:24Verhältnisse von zwei Seiten. Der Sinus
37. 1:28von Alpha ist die Gegenkathete geteilt
38. 1:32durch die Hypotenuse.
39. 1:34Der Cosinus von Alpha ist die Ankathete
40. 1:36geteilt durch die Hypotenuse und der
41. 1:39Tangens von Alpha ist die Gegenkathete
42. 1:42geteilt durch die Ankathete. Bitte merkt
43. 1:45euch diese drei Brüche gut. Sie sind das
44. 1:47Herzstück der ganzen Trigonometrie und
45. 1:50gleich nutzen wir sie zum Rechnen.
46. 1:53Eine Warnung gleich vorweg, denn hier
47. 1:56passieren die meisten Fehler. Welche
48. 1:58Seite die Ankathete ist, hängt davon ab,
49. 2:01von welchem Winkel aus du schaust. Schau
50. 2:04auf denselben Winkel Alpha unten links.
51. 2:06Von hier aus ist diese Seite die
52. 2:08Ankathete und jene die Gegenkathete.
53. 2:12Wechselst du zum anderen Winkel oben,
54. 2:14dann tauschen Ankathete und Gegenkathete
55. 2:17ihre Rollen. Nur die Hypotenuse bleibt
56. 2:21immer dieselbe. Die Hypotenuse erkennst
57. 2:25Sie liegt immer dem rechten Winkel
58. 2:27gegenüber und ist die längste Seite.
59. 2:30Also überlege bei jeder Aufgabe zuerst,
60. 2:33von welchem Winkel aus schaue ich, dann
61. 2:35sind Ankathete und Gegenkathete sofort
62. 2:39klar.
63. 2:41Machen wir ein erstes Beispiel. Eine
64. 2:43Leiter ist 4 m lang und lehnt an einer
65. 2:46Wand. Sie bildet mit dem Boden einen
66. 2:48Winkel von 60°. Wir wollen zwei Dinge
67. 2:51wissen: Wie hoch reicht die Leiter an
68. 2:53der Wand und wie weit unten steht ihr
69. 2:55Fuß von der Wand entfernt? Die Leiter
70. 2:57selbst ist die Hypotenuse, 4 m lang. Die
71. 3:01Höhe an der Wand liegt dem Winkel
72. 3:03gegenüber, ist also die Gegenkathete.
73. 3:06Für die Gegenkathete nehmen wir den
74. 3:09Sinus. Höhe gleich 4 m mal Sinus von
75. 3:1260°. Das ergibt rund 3,5 m.
76. 3:16Der Abstand am Boden liegt am Winkel an,
77. 3:19ist also die Ankathete. Dafür nehmen wir
78. 3:21den Cosinus. Abstand gleich 4 m mal
79. 3:25Cosinus von 60°, also genau 2 m.
80. 3:29Und schau, die ganze Kunst war nur, die
81. 3:32richtige Seite erkennen und den
82. 3:34passenden Bruch wählen.
83. 3:37Halten wir das als Faustregel fest, denn
84. 3:39das ist die häufigste Frage: Wann nehme
85. 3:41ich den Sinus, wann den Cosinus? Du hast
86. 3:44die Hypotenuse gegeben und suchst eine
87. 3:46der kurzen Seiten. Suchst du die
88. 3:49Gegenkathete, also die Seite gegenüber
89. 3:51dem Winkel, nimm den Sinus. Suchst du
90. 3:54die Ankathete, also die Seite am Winkel,
91. 3:57nimm den Kosinus. Eine kleine Merkhilfe:
92. 4:00Kosinus und Co hören beide mit O auf,
93. 4:03wie das Wort Ankathete am Anfang klingt.
94. 4:07Kosinus gehört zur Ankathete. Mit diesen
95. 4:10zwei Sätzen löst du fast jede Aufgabe,
96. 4:12bei der die schräge Seite gegeben ist.
97. 4:16Es gibt noch einen dritten Fall.
98. 4:17Manchmal hast du die Hypotenuse gar
99. 4:19nicht, sondern nur die beiden kurzen
100. 4:22Seiten. Dann kommt der Tangens ins
101. 4:25Spiel. Ein schönes Alltagsbeispiel ist
102. 4:27die Steigung einer Straße. Ein Schild
103. 4:30sagt 12 %. Das heißt, auf 100 m Länge
104. 4:33geht es 12 m in die Höhe. Der Tangens
105. 4:36des Steigungswinkels
106. 4:38ist genau dieses Verhältnis, Höhe
107. 4:41geteilt durch Länge, also 12 durch 100,
108. 4:43das ist 0,12.
109. 4:45Wenn wir den Winkel selbst wissen
110. 4:47wollen, drehen wir die Sache um. Wir
111. 4:49fragen den Taschenrechner, zu welchem
112. 4:52Winkel der Tangens 0,12 gehört. Das
113. 4:56Ergebnis sind rund 7°. Eine 12-%-Straße
114. 5:00ist also überraschend flach, nur etwa 7°
115. 5:03geneigt.
116. 5:05Diese Umkehrung brauchen wir öfter.
117. 5:07Bisher kannten wir den Winkel und
118. 5:09suchten eine Seite. Jetzt kennen wir
119. 5:11zwei Seiten und suchen den Winkel. Dafür
120. 5:14gibt es auf dem Taschenrechner die
121. 5:16Umkehrtasten. Sie heißen Sinus hoch -1,
122. 5:20Kosinus hoch -1 und Tangens hoch -1.
123. 5:24Kennst du z.B.
124. 5:25Gegenkathete und Hypotenuse, bildest du
125. 5:28ihren Bruch und drückst Sinus hoch -1.
126. 5:32Heraus kommt der Winkel. Ein ganz
127. 5:34wichtiger Hinweis zum Taschenrechner: Er
128. 5:37muss im Grad-Modus stehen, nicht im
129. 5:39Bogenmaß. Achte auf das kleine DEG im
130. 5:42Display. Steht dort versehentlich RAD
131. 5:46oder GRAD mit dem Buchstaben G bekommst
132. 5:50du völlig falsche Winkel. Das ist der
133. 5:52häufigste Fehler überhaupt.
134. 5:55Und jetzt die Brücke zur Physik, der
135. 5:58eigentliche Grund für diesen Crashkurs.
136. 6:00Wir zerlegen eine schräge Kraft in zwei
137. 6:02Teile. Hier ist unsere Zugkraft F schräg
138. 6:06nach oben im Winkel Alpha zur
139. 6:08Waagerechten. Wir wollen wissen, wie
140. 6:10viel davon waagerecht wirkt und wie viel
141. 6:12senkrecht. Und jetzt kommt der schöne
142. 6:15Trick. Die Kraft und ihre beiden Teile
143. 6:17bilden genau ein rechtwinkliges Dreieck.
144. 6:20Die Kraft selbst ist die Hypotenuse. Der
145. 6:24waagerechte Teil liegt am Winkel an, ist
146. 6:26also die Ankathete. Mit dem Kosinus gilt
147. 6:30waagerechter Teil gleich Kraft mal
148. 6:32Kosinus von Alpha. Der senkrechte Teil
149. 6:37liegt dem Winkel gegenüber, ist die
150. 6:39Gegenkathete. Mit dem Sinus gilt
151. 6:42senkrechter Teil gleich Kraft mal Sinus
152. 6:46von Alpha. Und diese zwei Formeln sind
153. 6:49das Werkzeug für alle schrägen Kräfte.
154. 6:51Den waagerechten Teil mit Kosinus, den
155. 6:54senkrechten Teil mit Sinus.
156. 6:57Kehren wir zum Schlitten vom Anfang
157. 6:59zurück. Wir ziehen mit einer Kraft von
158. 7:0280 Newton und das Seil steht in einem
159. 7:04Winkel von 40° zur Waagerechten. Zuerst
160. 7:07der waagerechte Teil, der den Schlitten
161. 7:09nach vorne zieht. Er ist gleich 80
162. 7:12Newton mal Kosinus von 40°. Kosinus von
163. 7:1740° ist rund 0,77,
164. 7:20also ergibt das rund 61 Newton, die nach
165. 7:24vorne ziehen. Jetzt der senkrechte Teil,
166. 7:27der den Schlitten anhebt. Er ist gleich
167. 7:2980 Newton mal Sinus von 40°. Sinus von
168. 7:3440° ist rund 0,64.
169. 7:38Das ergibt rund 51 Newton, die nach oben
170. 7:41ziehen. Aus einer schrägen Kraft sind
171. 7:43zwei klare Teile geworden. Genau das
172. 7:46brauchen wir, sobald Kräfte schräg
173. 7:48angreifen.
174. 7:50Bevor wir zusammenfassen, noch die drei
175. 7:53häufigsten Stolpersteine, damit dir das
176. 7:55nicht passiert. Erstens, der
177. 7:58Taschenrechner im falschen Modus, immer
178. 8:00auf das DEG im Display achten, sonst
179. 8:02stimmt gar nichts. Zweitens, Ankathete
180. 8:06und Gegenkathete verwechseln. Frag dich
181. 8:08immer zuerst, von welchem Winkel aus du
182. 8:11schaust. Drittens, beim Zerlegen einer
183. 8:14Kraft den falschen Bruch nehmen. Der
184. 8:16Teil am Winkel geht mit Cosinus, der
185. 8:19Teil gegenüber mit Sinus. Wenn du auf
186. 8:21diese drei Dinge achtest, kann fast
187. 8:23nichts mehr schiefgehen.
188. 8:26Fassen wir den Crashkurs zusammen. Im
189. 8:28rechtwinkligen Dreieck gibt es drei
190. 8:31Seiten, Hypotenuse, Ankathete und
191. 8:34Gegenkathete. Benannt von einem Winkel
192. 8:36Alpha aus. Sinus ist Gegenkathete durch
193. 8:39Hypotenuse,
194. 8:41Cosinus ist Ankathete durch Hypotenuse
195. 8:45und Tangens ist Gegenkathete durch
196. 8:48Ankathete. Und das Wichtigste für die
197. 8:51Physik, eine schräge Kraft zerlegst du
198. 8:53in einen waagrechten Teil mit Cosinus
199. 8:56und einen senkrechten Teil mit Sinus.
200. 9:00Damit hast du das Werkzeug, das wir
201. 9:02jetzt brauchen.
202. 9:04Im nächsten Video setzen wir dieses
203. 9:06Werkzeug ein. Wir schauen uns schräge
204. 9:09Kräfte an einem Körper an und wir
205. 9:12entdecken etwas Überraschendes. Wenn du
206. 9:14schräg nach oben ziehst, ändert sich die
207. 9:16Normalkraft und wenn sich die
208. 9:18Normalkraft ändert, dann ändert sich
209. 9:20auch die Reibung. Plötzlich hängt alles
210. 9:22zusammen. Mit Sinus und Cosinus im
211. 9:25Werkzeugkasten bist du dafür bereit. Bis
212. 9:29zum nächsten Mal.