Hauptträgheitsmomente — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:04wir sehen hier dargestellt noch einmal
3. 0:06unsere
4. 0:07Ausgangssituation wir haben ein System
5. 0:10ein beliebiges System o Dach das uns
6. 0:13erstmal nicht weiter interessiert
7. 0:16stattdessen interessieren uns hier die
8. 0:18Systeme oberstrich ich neh eine andere
9. 0:22Farbe oberstrich und Tilde die Frage die
10. 0:27sich jetzt stellt ist ich will jetzt
11. 0:28dieses ausgangssystem ob Strich um den
12. 0:31winkel f seit drehen dass
13. 0:35dieses Haupt äh dass die fläch
14. 0:38Trägheitsmomente in dem System Tilde die
15. 0:40eben sich daraus ergeben dass die
16. 0:43extremal werden und diesen Winkel den
17. 0:46ich dann finde den nenne ich
18. 0:49F0 das heißt wir haben jetzt eine
19. 0:53Extremwertaufgabe vorliegen und dort
20. 0:55geht man eben wie folgt vor wir haben
21. 0:57eben unsere transformationsbeziehungen
22. 1:00für die flächenträgismomente im
23. 1:03tildensystem und die muss ich eben nach
24. 1:05dem winkel f ableiten um zu den Extrema
25. 1:09zu
26. 1:15gelangen hier die flächenträgersmomente
27. 1:18in Abhängigkeit von F im Tilden
28. 1:21Koordinatensystem die sollen extremal
29. 1:27werden und wenn das vor
30. 1:32liegt das ist bei dem Winkel F0 der Fall
31. 1:35den definieren wir jetzt so auch F33 zum
32. 1:40Winkel
33. 1:41F0 und wenn die extremal sind dann
34. 1:45definieren wir das als sogenannte
35. 1:49hauptträgheitsmomente und die werden mit
36. 1:52einfachen Zahlen mit einfachen
37. 1:54arabischen Ziffern 1 und 2
38. 1:57gekennzeichnet das sind die sogen
39. 2:01Haupt
40. 2:10Trägheitsmomente und wie berechne ich
41. 2:12nun diese hauptrträgheitsmomente nun
42. 2:14ganz einfach ich muss die
43. 2:16transformationsbeziehungen zu Anfang die
44. 2:18eben in Abhängigkeit von dem winkel f
45. 2:20gegeben waren eben nach diesem F Winkel
46. 2:24ableiten und dann entsprechend die
47. 2:26Nullstellen bestimmen
48. 2:40hier an dieser Stelle möchte ich das
49. 2:42einmal exemplarisch für das axiale
50. 2:45flächenträgs Moment 2 2
51. 2:55machen das heißt ich leite diese
52. 2:58transformationsbeziehung
53. 3:00einmal nach dem winkel f ab und versuche
54. 3:04dann daraus eben den Winkel zu bestimmen
55. 3:07für den diese Beziehung GLE 0
56. 3:21wird das was ich jetzt hier stehen habe
57. 3:25das ist die
58. 3:27bestimmungsgleichungter der mein Winkel
59. 3:30F0 maximal wird weil es eben hier gleich
60. 3:340 ist das heißt ich muss jetzt diesen
61. 3:36Ausdruck nur noch nach F0 freistellen
62. 3:41und erhalte im Endeffekt den Winkel und
63. 3:44ich mein ausgangssystem oberstrich
64. 3:47drehen muss damit das resultierende
65. 3:50flächenträghitsmoment maximal wird das
66. 3:53heißt ich stelle den Ausdruck oben
67. 3:55einfach nach V0 frei und erhalte dann
68. 4:07wobei oben im Zähler die
69. 4:09deviationsmomente stehen auf die ich im
70. 4:13Anschluss noch einmal gesondert eingehen
71. 4:19werde an dieser Gleichung haben wir
72. 4:22jetzt noch die Herausforderung dass
73. 4:24diese Lösung Tangens 2 F0 nicht ganz
74. 4:28eindeutig ist der Winkel
75. 4:30oder die tangensfunktion ist eben
76. 4:32wiederholt sich eben im Abstand von PI
77. 4:34halbe das heißt im Abstand von 90° das
78. 4:37heißt wir erhalten hier nicht eine
79. 4:38eindeutigen Winkel nicht eine eindeutige
80. 4:40Zuordnung und aus diesem Grund werden
81. 4:42wir jetzt einmal wieder die
82. 4:44additionstheoreme Bemühen um eben zu
83. 4:47einer eindeutigen
84. 4:48winkelbeziehung zu gelangen und zwar
85. 4:51werden wir dabei folgende
86. 4:53additionstheoreme
87. 4:54[Musik]
88. 4:58verwenden einmal das additionstheorem
89. 5:01für den
90. 5:12Sinus und genau entsprechend das
91. 5:14additionstheorem für den Cosinus von 2 f
92. 5:17weil das ist ja der Winkel den wir als
93. 5:19Argument äh auftauchen hatten
94. 5:30und diese beiden additionstheoreme setze
95. 5:32ich ganz einfach in die für den Tangens
96. 5:342 f gefundenen Ausdruck von eben ein und
97. 5:37ich erhalte dann im Endeffekt für die
98. 5:40Bestimmung unseres Winkels der
99. 5:42Hauptrichtung folgende Ausdrücke
100. 6:00und für den Cosinus ein völlig
101. 6:03equivalenter Ausdruck den wir denn eben
102. 6:04alternativ dazu verwenden können um
103. 6:06diesen Winkel zu
104. 6:07[Musik]
105. 6:23bestimmen und aus diesen Gleichungen
106. 6:26können wir dann direkt wie gesagt den
107. 6:28Winkel bestimmt dieses V0 der dann eben
108. 6:31die Hauptrichtung darstellt und wenn wir
109. 6:34diesen Winkel dann kennen können wir den
110. 6:36dann anschließend in die Bestimmung der
111. 6:39hauptrträgheitsmomente einsteigen indem
112. 6:41wir ganz einfach diesen Winkel in die
113. 6:44zuvorgewonnenen
114. 6:45transformationsbeziehungen für die
115. 6:47Drehung eines Koordinatensystems
116. 6:48einsetzen