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Flächenträgheitsmomente im gedrehten Koordinatensystem — Transcript

by Medien für die Lehre · 2,235 words · 435 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00[Musik]
0:04wir haben bis jetzt uns System angeguckt
0:08ein beliebiges System herausgepickt wo
0:10wir einen parallelverschub vorgenommen
0:12haben das einzige System was wir jetzt
0:14noch nicht betrachtet hatten das war das
0:16sogenannte gedrehte schwerpunktsystem
0:18das heißt wir wollen uns in einem
0:19letzten Schritt jetzt damit befassen was
0:21mit den flächenträgheitstensoren
0:23passiert wenn ich eine Drehung des
0:26Koordinatensystems vornehme das heißt
0:28wir betrachten jetzt einfach ensystem
0:31die beide im Schwerpunkt liegen des
0:33Querschnitts und wir drehen jetzt das
0:35eine System im Verhältnis zum anderen
0:38System und berechnen dort jetzt einfach
0:40mal die
0:56flächenträgismomente das heißt
1:00der Schwerpunkt unseres unserer beiden
1:03flächenträgheitstensoren erhalten bleibt
1:04und damit auch der Punkt auf den sie
1:06bezogen sind lediglich eine Drehung der
1:10Basisvektoren in unserem Fall 23 wird
1:24vorgenommen bezüglich eines
1:25schwerpunktsystems ergibt sich der
1:28flächenträgheitstensor eben als
1:30diadisches Produkt
1:32z.B unserer Strach Strich Basisvektoren
1:37multipliziert mit den entsprechenden
1:39Komponenten des
1:40flächenträgheitstensors und jetzt möchte
1:42ich in einem nächsten Schritt diese
1:44Tensoren
1:46chuldigung diese Vektoren diese
1:47Basisvektoren drehen das heißt ich
1:48möchte mich in eine gedrehte Basis
1:50bewegen und auch das haben wir schon
1:52kennengelernt wie man das macht man
1:54multipliziert die Basisvektoren mit den
1:55sogenannten drehtensoren R wir haben
1:59also den Ausdruck für unseren
2:01flächenträgheitstensor gegeben im
2:04schwerpunktkoordinatensystem und möchten
2:05jetzt eine Drehung vollführen dazu muss
2:08ich einmal ganz kurz noch unsere
2:10Ausgangssituation in Erinnerung rufen
2:12hier einmal dargestellt wir haben unsere
2:15Systeme e oberstrich das war eben jetzt
2:18unser System was wir betrachtet hatten
2:20mit der einsachse normal zur Fläche das
2:24heißt hier aus derus dem Bildschirm
2:26herausragend und wir möchten jetzt
2:28dieses System um den winkel
2:32f um die
2:35E1 oberstrichachse drehen das heißt wir
2:38bleiben in der Ebene die einachse die E1
2:42oberstrichachse wird auch unsere E1
2:44tildenachse bleiben und wir drehen
2:47einfach dieses System um diese E1 Achse
2:50in der 23
2:52Ebene und wenn wir eine solche Drehung
2:58vornehmen ergibt sich die Darstellung
3:01der Basisvektoren ganz einfach als den
3:04Produkt des basisvektors mit dem
3:07zugehögen drehtensor R etwas was wir zu
3:10Beginn schon kennengelernt
3:19hatten hierbei bezeichnet jetzt der
3:22Tensor
3:23R1 eine
3:26Drehung um die einachachse
3:32und zwar oberstrich weil wir uns eben im
3:34Schwerpunkt beseh befinden um den winkel
3:41f und damit ergibt sich eben mein neuer
3:44basisvektor ethlde zu ethile ist gleich
3:50rotationstensor multipliziert mit dem
3:53ausgangstensor nun wissen wir natürlich
3:56dass unsere drehtensoren orthogonal
3:59waren das heißt die transponierte war
4:01gleich der inversen und mit diesem
4:04Wissen weiß ich dass eben
4:07umgekehrt mein Vektor meine Basis Ei
4:11oberstrich
4:13gleich dem rotationstensor der
4:17oberstrich ist jetzt aber der
4:19transponierten welche gleich der
4:20inversen ist mal dem Vektor Ei
4:26Tilde da unsere
4:31drehtensoren orthogonale Tensoren
4:34sind konaler
4:38Tensor kann ich eben diese
4:39Rechenoperation vornehmen das heißt ich
4:42kann wirklich beliebig
4:45zwischen zwischen den
4:48Basen Tilde und Dach wechseln das heißt
4:52belieb ich zwischen den gedrehten
4:54Koordinatensystem
4:57wechseln das R me Vektor R chuldigung me
5:00Tensor R ist eben gegeben
5:09zu und die Drehachsen
5:15E1 in meinem
5:18ausgangschwerpunktsystem ist eben
5:19identisch mit der Achse E1 meines
5:23gedrehten Koordinatensystems und wird
5:26deswegen zusammenfassend einfach nur
5:29noch als die Achse E1 bezeichnet das
5:32Gleiche kann ich natürlich machen wenn
5:34ich als Ausgang eben nicht mein
5:37tildenkoordinatensystem mein mein
5:39oberstrichkoordinatensystem habe sondern
5:40mein
5:41tildenkoordinatensystem dort ergeben
5:43sich dann eben dem entsprechend meine
5:46Basisvektoren im
5:49oberstrichkoordinatensystem zu dem
5:51Produkt aus dem drehtensorum die
5:53einachse dies hier mal allerdings der
5:56ich nenne es jetzt einfach mal
5:58tildenbasis Ei natürlich und auch hier
6:02weil der Vektor orortogonal der Tensor
6:04orortogonal ist kann ich eine
6:06entsprechende Operation vornehmen das
6:09heißt ich kann beliebig zwischen den
6:11Basen hin und her
6:17wechseln diese Beziehung diese Beziehung
6:20setze ich jetzt in die Gleichung für den
6:26flächrehheitsensor ein hier oben das
6:28heißt ich mache jetzt anderes als dass
6:30ich die Basis drehe das heißt für meine
6:33Basisvektoren
6:34eij oberstrich werde ich jetzt eben dann
6:37einfach den Ausdruck des gedrehten
6:39Tensors bzw der gedrehten Basen
6:42einsetzen und ich gelange dann zu dem
6:55Ausdruck ich bin jetzt hier an dieser
6:57Stelle zu einer Darstellung des
7:00rotationstensors gelangt wo wir hier
7:02eben noch die rotationsprodukte der
7:06Basen der Basisvektoren drin stehen
7:08haben und ich möchte jetzt in einem
7:09nächsten Schritt eben genau davon
7:10wegkommen das heißt ich möchte diese
7:12diese Ausdrücke ersetzen durch andere
7:15Ausdrücke so dass wir in der Lage sind
7:16diesen
7:18flächenträgheitstensor im gedrehten
7:20schwerpunktsystem ganz einfach zu
7:22berechnen und dazu um diese
7:25Vereinfachung vorzunehmen gucke ich mir
7:27jetzt einfach mal diese diese diese
7:29Drehungen der Basisvektoren einfach mal
7:31genauer an das heißt wir haben hier als
7:34Ausgang unseren drehtensor
7:42R im System Tilde und diesen Ausdruck
7:47kann ich eben mit den Regeln der
7:50tensorrechnung wie wir sie schon
7:51kennengelernt haben wie folgt auch
7:52darstellen ich drücke als allererstes
7:54den drehtensor als Dyade als dadisches
7:58Produkt von bas Vektoren aus wobei ich
8:00hier jetzt eben beliebige Indizes n und
8:04J
8:11wähle hierbei kann ich wieder die beiden
8:14hinteren Basisvektoren miteinander
8:17verheiraten sonder sagen wir das immer
8:19und es kommt eben zu diesem Chroniker
8:27Delta und dieses chronicaer Delta kann
8:30ich jetzt wieder dafür verwenden um den
8:32Index J in meinem drehtensor durch den
8:36Index i
8:45auszutauschen und genau das Gleiche kann
8:48ich natürlich auch mit der zweiten Basis
8:50machen mit der
8:53basisj hier und ich gelange dann analog
8:57zu dem Ausdruck
9:07wo einfach der Index
9:12n durch den Index o dargestellt wird wie
9:17gesagt die Wahl der Indizes der
9:19indexbezeichnungen die ist immer
9:21beliebig und mit diesen ausdrücken gehe
9:24ich jetzt wieder in mein Ausdruck hier
9:26oben rein in mein flächenck ensor und
9:30gelange dann zu der
9:32Formulierung damit bin ich kurz vom
9:45Ziel das heißt es ist mir
9:48gelungen durch die
9:51Darstellung der Rotation mit skalaren
9:54das eben alles hier komplett aus der
9:55Dade
9:56herauszuziehen und das kann ich eben
9:58zusammenfassen zu einem neuen skalaren
10:01Ausdruck den kann ich eben
10:02dementsprechend definieren das sei jetzt
10:03mal mein J Tilde n o und was man
10:08vielleicht auch erkennt ist an dieser
10:10Stelle warum es so wichtig ist hier z.B
10:14sich bei der bei der bei der Wahl der
10:17indexbezeichnung die ist zwar beliebig
10:19aber nicht so beliebig muss schon
10:21aufpassen hier z.B habe ich die
10:24indexbezeichnung N und O genommen und
10:26warum ist das so wichtig wenn ich hier
10:28z.B be Bees mal den gleichen Index
10:30benommen hätte z.B beides mal das mit
10:32dem Index m bezeichnet hätte hätte die
10:36Gefahr bestanden dass ich hier auf
10:37einmal beides mal den window Index m
10:40auftauchen hätte lassen und damit
10:43darüber summieren hätte müssen das ist
10:45natürlich etwas worauf ich malmer
10:47aufpassen muss ne in dem Moment wo ich
10:48eben so eine Indizies einführe belieb
10:51ich erstmal einführe muss ich aufpassen
10:52dass diese Index nicht irgendwo schon
10:54auftaucht weil sonst wenn ich Ausdrücke
10:57dann eben zusammenfasse es sein kann
10:59dass ich auf einmal eine Summation
11:00durchführen muss die aber so gar nicht
11:03vorgesehen ist wie hier jetzt z.B in
11:05diesem Fall mit den indizs N und O dort
11:08soll keine Summation drüber durchgeführt
11:10werden deswegen ist es absolut korrekt
11:12dass ich einmal den Index n eingefügt
11:16habe und das zweite Mal den Index o weil
11:20diese beiden Ausdrücke eben nichts
11:22miteinander zu tun haben und damit bin
11:25ich am Ziel angelangt es ist mir jetzt
11:27eben
11:28gelungen diesen flächenträgheitssensor
11:31im gedrehten
11:32Koordinatensystem Tilde um mal zu
11:35erinnern woh wirlich hin wollten wir
11:37wollten von dem koinatensystem
11:39oberstrich zum Koordinatensystem Tilde
11:42gelangen genau das ist uns jetzt
11:43gelungen wir haben den
11:44flächenträgheitstensor in diesem
11:45tildenkoordinatensystem
11:48formuliert und die
11:50tensorkomponenten bezeichnen wir als
11:53jno und wie gesagt in unserer neuen
11:57gedrehten Basis
12:02Tilde
12:04die Komponenten des Tensors ergeben sich
12:08dann auch in bekannter Art und
12:26Weise mit dem polaren
12:29flächenträgersmoment IP den axialen
12:33flächenträgersmomenten 22 und 33 und den
12:38deviationsmomenten 2 3 bzw 32 jetzt aber
12:43alle wie gesagt im gedrehten
12:47Koordinatensystem im
12:51tildenkoordinatensystem eine letzte
12:53Frage ist noch zu beantworten und zwar
12:56die wie jetzt eigentlich die Komponenten
12:59dieser drehtensoren aussehen das kann
13:01man sich ganz einfach herleiten aus den
13:03Betrachtungen die wir zuvor durchgeführt
13:05haben und
13:08die Komponenten dieser drehtensoren
13:11ergeben sich dann wie
13:27folgt mit dem winkel f der den
13:31Drehwinkel bezeichnete den Komponenten
13:33cosinus und Sinus f die die
13:36richtungskosini zwischen den einzelnen
13:39Vektoren zwischen den einzelnen
13:41Basisvektoren darstellten und ganz
13:43besonders eben hier warum steht hier die
13:451 na gut hier steht die 1 weil ich eben
13:47beides Male um die einachse
13:50drehe und damit der Cosinus zwischen
13:53diesen beiden Winkeln der
13:54richtungskosinus zwischen diesen beiden
13:55Winkeln 0 ist und damit der Cosinus
13:59das ist je eine Besonderheit des der
14:02Drehung die ich hier gewählt habe beides
14:04mal kolinear um die
14:11einachse in einem allerletzten Schritt
14:14geht es jetzt darum die einzelnen
14:16Komponenten dieses
14:17flächenträgheitstensors im gedrehten
14:19Koordinatensystem wirklich einmal
14:21konkret auszurechnen dazu muss man jetzt
14:22einfach mal diese Rechenvorschrift die
14:24wir zuvor hatten diese Rechenvorschrift
14:28hier
14:29die muss man jetzt einfach einmal
14:31auswerten
14:33für den gegebenen Fall den wir hier
14:35haben und man gelangt dann eben zu den
14:40Ausdrücken JP im tildensystem ist gleich
14:43JP im oberstrichsystem das heißt dort
14:45ändert sich nichts und für die anderen
14:48Komponenten
15:15wie Sie sehen sind das relativ komplexe
15:17Ausdrücke relativ lange Ausdrücke und
15:20noch viel länger sind die
15:21rechenausdrücke die man benötigt um zu
15:23diesen endgültigen ausdrücken zu
15:24gelangen und spätestens an dieser
15:26Stellung an dieser Stelle wird
15:28eigentlich ein auch diese diese diese
15:29Vorteile dieser kom kompakten
15:32Darstellung durch die indexschreibweise
15:33bewusst sie können einfach einfach mal
15:35zu Hause zu
15:37Übungszwecken genau diesen Ausdruck hier
15:39unten
15:41verwenden diesen Ausdruck hier unten
15:44verwenden schreiben einfach mal einfach
15:46alle Komponenten aus für die Indizes von
15:491 bis 3 und Werten dann diesen Ausdruck
15:52aus und Sie werden bei fast einer Diner
15:54vi Seite landen und ganz am Ende ganz am
15:58Ende vereinfacht ich sich dann zu
16:01diesen wenn man darum weiß wie man
16:04dorthinkommt doch relativ kompakten
16:07ausdrücken die einzige unschöne Sache
16:09die ich jetzt in diesen in diesen
16:11Beziehungen noch habe das sind eben hier
16:13die
16:15Quadrate der transzendenten Funktion das
16:18heißt wir haben ja ein Cosinus Quadrat
16:20und Sinus Quadrat noch drin stehen und
16:22es wäre jetzt eigentlich schön wenn man
16:23diese Ausdrücke jetzt noch irgendwie
16:25ersetzen könnte und die Beziehungen die
16:28man WN man dazu verwendet eben um se so
16:30eine Ausdrücke zu ersetzen das sind die
16:32sogenannten additionstheoremen und hier
16:34in diesem speziellen Fall werden eben
16:36folgende additionstheoreme verwendet um
16:39eben von diesen quadratischen ausdrücken
16:41weg zu kommen
17:04und mit diesen
17:06additionstheorem die wie Sie sehen die
17:09quadratischen Ausdrücke und auch hier
17:10das eine Produkt jeweils durch einzelne
17:13oder durch einzeln stehende Sinus und
17:15cosinusfunktion ausdrückt die ist
17:17eingesetzt in diese oberen Beziehungen
17:20er giibt mir die sogenannten
17:23transformationsbeziehungen der
17:24flächenträghitsm das heißt das sind die
17:27Beziehungen mit denen es mir gelingt ein
17:30flächenträgheitstensor in einem
17:31gegebenen schwerpunktsystem in
17:34ein gedrehtes schwerpunktsystem zu
17:38transformieren
18:10das
18:11heißt wenn meine flächenträghz bzw im
18:16Schwerpunkt System
18:18eigenträghzmomente gegeben
18:20sind und sowoh die axialen als auch die
18:23derivationsmom gegeben sind und der
18:26Winkel zwischen den beiden
18:29Bezugssystem dann ist es mir ein
18:31leichtes mit diesen Beziehungen von dem
18:33ein Bezugssystem die
18:36flächenträgheits Momente des anderen
18:40auszurechnen wenn man sich die Formel
18:41einmal anguckt ne auch hier ist eine
18:43gewisse Regelmäßigkeit zu entdecken die
18:45einzelnen Unterschiede die man hat sind
18:47hier im Plus und Minus und auch hier im
18:49Plus und Minus das ist einem sofort klar
18:52wenn man sich einmal die den den
18:54rotationstensor ankommt woher dieses
18:56Minus kommt und ansonsten und hier auch
18:59noch einmal drauf hingewiesen auf die
19:02Symmetrie des Tensors und damit auch die
19:05Gleichheit der
19:07deviationsmomente von diesen Komponenten
19:09des flächenträghestensors wollen wir uns
19:11noch einmal das polare Flächen
19:14träghsmoment noch einmal genauer
19:15angucken und zwar ist dieses polare
19:18flächenträgismoment deswegen besonders
19:20weil es ja eben die J11 Komponente war
19:23und wir haben ja hier in diesem Fall
19:25beides mal um die einsachse gedreht das
19:27heißt die einsachse die E1 Achse war
19:29eigentlich identisch und wir wollen uns
19:31einm angucken wie sich das auf das
19:32polare flächentrregismoment
19:41auswirkt das polare flächenträgsmoment
19:44ist aufgrund der Tatsache dass wir eben
19:46die E1 aachse
19:48belassen die E1 Achse war ja kollinear
19:52in beiden Fällen eben unabhängig von der
19:54Drehung eines Bezugssystems das heißt es
19:56gilt dass mein
19:591 ich kann jetzt eben diesen oberstrich
20:01weglassen ist gleich mein polaren
20:04Flächenträgheitsmoment und das ist
20:05identisch mit dem polaren
20:07Flächenträgheitsmoment im strichsystem
20:10und identisch mit dem polaren
20:12Flächenträgheitsmoment im Tilden System
20:15außerdem folgt aus der Definition des
20:17polaren flächenträgheitsmoments
20:32dass das polare Flächenträgheitsmoment
20:34nichts anderes ist als die Summe der
20:39axial trägkeitsmom und das ist natürlich
20:43unabhängig von der Drehung ist gilt das
20:46natürlich sowohl für das
20:48oberstrichsystem als auch für das
20:54tildensystem was noch ganz interessantes
20:57ist wenn man sich diesen Bestandteil
20:59einmal anguckt und sich fragt was das
21:01eigentlich physikalisch bedeutet wir
21:03haben jetzt hier sozusagen X2 qu + X3 qu
21:08was gibt das eigentlich na da fällt am
21:10sofort der setz des Pythagoras ein das
21:12heißt dieser term beschreibt eigentlich
21:14nichts anderes als die Entfernung der
21:16Masse von der E1 aachse und damit von
21:19dem
21:21Schwerpunkt wenn man sich die
21:24transformationsbeziehungen der
21:25flächenträgers Momente die hier noch
21:27einmal da estellt habe anguckt dann
21:30stellt man fest eben dass diese
21:33Trägheitsmomente in Abhängigkeit des
21:35Winkels F sind die nächste Frage die
21:40sich dann ganz natürlich daraus stellt
21:42ist für welchen winkel f diese
21:45Trägheitsmomente eigentlich maximal oder
21:48extremal werden sie können auch minimal
21:50werden diese ganz speziellen
21:53flächenträksmomente diese Extremwerte
21:55insbesondere die axialen Extremwerte die
21:58nennt man die
22:00hauptträgheitsmomente und mit diesen
22:02hauptträgheitsmomentente wollen wir uns
22:04als nächstes beschäftigen

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