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Flächenträgheitsmomente 2. Grades — Transcript

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0:00[Musik]
0:05nach den flächenmomenten nullten Grades
0:07was nichts anderes als die
0:08Querschnittsfläche ist und dem
0:10flächenmomenten ersten Grades der dem
0:13statischen Moment was nichts anderes war
0:14als eben diese Fläche multipliziert mit
0:16einem Hebelarm zu dem Bezugspunkt lernen
0:19wir heute die flächenmomentente zweiten
0:21Grades kennen was nichts anderes ist als
0:23das flächenmoment ersten Grades nochmals
0:26multipliziert mit diesem
0:28Hebelarm
0:38in der differentiellen Form stellt sich
0:41dieses flächenmoment wie folgt da wieder
0:43mit dem kleinen Buchstaben M um den
0:46Ursprung o zweiten Grades deswegen der
0:49hochindex H 2 ist nichts anderes als das
0:53Kreuzprodukt aus dem Abstand x und dem
0:57flächenmoment ersten Grades und
1:00ausgeschrieben ergibt sich daraus x
1:02Kreuz x Kreuz dem
1:07infinitisimalen Flächenelement
1:09da wenn man das jetzt wieder über die
1:12gesamte Fläche integriert gelangt man zu
1:14dem
1:28Ausdruck wo wir unsere bekannte
1:31Beziehung zur Beschreibung einer Fläche
1:34wiederfinden die da lautete normalen
1:38Vektor auf die Fläche mal dem
1:40Flächeninhalt da dieses dreifache
1:44Kreuzprodukt kann man über den
1:46naplastischen entwicklungssatz auch wie
1:48folg
1:58darstellen
2:08nämlich als das
2:09Skalarprodukt aus dem
2:12Ortsvektor das ist der abstandsvektor
2:14Skalar mit dem Normalenvektor auf die
2:17Fläche mal dem abstandsvektor und hier
2:19das Skalarprodukt der beiden
2:21Abstandsflächen mal dem normalen Vektor
2:24auf diese Fläche so gelangt man eben
2:27über den entwicklungssatz von einem
2:29Ausdruck in dreimal das Kreuzprodukt
2:31auftaucht zu einem Ausdruck in dem nur
2:33noch skalarprodukte vorhanden sind die
2:35ja rechentechnisch deutlich einfacher zu
2:37händeln sind und auch hier kann man
2:39jetzt noch weiter umformen wir wissen ja
2:41aus dieser Formulierung wie wir sie hier
2:44jetzt z.B sehen dass dahahinter sich
2:47eigentlich nichts anderes steckt als
2:48eine Abbildungsvorschrift und damit
2:50eigentlich ein Tensor das heißt wir
2:52können diesen Ausdruck auch in einen
2:54Tensor überführen was ich jetzt machen
2:58werde
3:10durch diese Operation das heißt der
3:12Überführung des skalarprodukts wieder in
3:15einer Abbildungsvorschrift gelingt es
3:17mir am Ende den normalen Vektor auf die
3:21Fläche aus diesem klammerausdruck aus
3:23dem integralausdruck auszuklammern und
3:25hier einzeln zu stellen und das was dann
3:27überbleibt dieser gesamte
3:28integralausdruck
3:30den definiere ich jetzt
3:33als die Größe
3:37J und aus Gründen der praktibilität
3:41nenne ich das -j das heißt am Ende ist
3:45mein Moment zweiten Grades
3:49m02 definiert als das Produkt von min- J
3:55Tensor mal dem normalen Vektor auf die
3:59Fläche so hier schreibe ich das jetzt
4:01noch einfach mal raus also J der Tensor
4:05J der mein flächenträgheitstensor
4:09darstellt ist ganz einfach
4:13definiert
4:14als der integralausdruck den wir gerade
4:17oben hergeleitet
4:28hatten
4:31dieser Ausdruck ist erstmal noch relativ
4:33abstrakt und wir möchten ihn einfach
4:34jetzt mal für einige Flächen anwenden
4:37und das was wir in der Regel verwenden
4:40hier in der Mechanik das sind
4:41ebeneflächen das heißt ich möchte jetzt
4:43als allererstes einmal diese diesen
4:45Ausdruck diesen flächenträgheitstensor
4:47für eine ebene Fläche auswerten und zwar
4:49für eine ebene Fläche die in der 23
4:52Ebene liegt und wo der basisvektor E1
4:56normal auf diese Fläche steht das heißt
4:59gucken uns jetzt die Auswertung des
5:01flächenträghits Tensors für eine ebene
5:03Fläche
5:17an und starten dabei mit einer
5:21Auswertung in
5:22der 23
5:28Ebene in der E2 E3
5:32Ebene wo eben dann der
5:36Vektor
5:38E1 den normalen Vektor auf diese Fläche
5:42darstellt und damit ergbt sich wie
5:45folgendes als allererstes erhalten wir
5:49unseren Vektor
5:58x
6:02nur in Abhängigkeit der Basisvektoren E2
6:05und E3 weil der Vektor ja eben in dieser
6:07Ebene liegt wir wollen ja eben genau an
6:09Ebene betrachten die in der 23 Ebene
6:12liegt das Skalarprodukt dieses
6:15ortsvektors ergibt sich dann wie
6:24folgt das haben wir schon kennengelernt
6:27in der Vergangenheit wie sich das
6:28Skalarprodukt eines Vektors mit sich
6:30selbst verhält das ist auch nichts
6:32anderes als dann eben die Norm
6:34dargestellt und diese beiden Ausdrücke
6:36eingesetzt in den Ausdruck für den
6:37flächentens flächenträgheitstensor den
6:40wir hier oben gewonnen haben er gibt
6:43dann eben folgenden Ausdruck für den
6:58flächenträgheitstensor
7:03das heißt ich habe jetzt hier nichts
7:04anderes getan als diese Ausdrücke die
7:07ich hier gewonnen hatte für den
7:08Ortsvektor x und für das Skalarprodukt
7:11oben in diesen Ausdruck für den
7:13flächenträgheitstensor eingesetzt und
7:15komme dann unter Anwendung der mir
7:17bekannten Rechenregeln für Tensoren eben
7:21auf diesen Ausdruck für den
7:25flächenträgheitstensor hierbei stellt
7:27jetzt genau dieser Ausdruck in innerhalb
7:30des
7:34Integrals die sogenannten
7:37flächägheitsmomente
7:46da bei diesen flächenträgheitsmomenten
7:49ist zu bedenken dass es sich hierbei
7:51jetzt um Skalare handelt nicht me um
7:53einen Tensor der Tensor das tensorielle
7:56des
7:57flächenträgheitstensors haben wir jetzt
7:59hier in diesem Part stehen in dem
8:01dadischen Produkt der Basisvektoren in
8:03dem integralausdruck
8:05selbst taucht das nicht mehr auf das
8:08heißt unser J ij unsere
8:11flächenträghsmomente hier in diesem
8:13zusammenh Zusammenhang sind
8:15Skalare wenn man sich den Ausdruck
8:17innerhalb des Integrals anguckt wird man
8:19auch noch weitere Eigenschaften
8:20feststellen z.B dass man JJ symmetrisch
8:26ist das heißt
8:30JJ =
8:33jji zu dieser Erkenntnis kommt man
8:35sofort wenn man sich diesen
8:37integralausdruck einfach mal
8:39anguckt anguckt ich verwende jetzt mal
8:41eine etwas andere Farbe z.B hier haben
8:44wir die Summe von zwei Quadraten das
8:47deltaj ist auch symmetrisch und hier
8:50haben wir das Produkt von zwei von zwei
8:53von den unseren Vektorkomponenten das
8:55heißt diese ganzen Komponenten sind alle
8:58symmetrisch das heißt ich kann sie alle
8:59austauschen sind kommutativ und damit
9:02ist dann eben auch der Gesamtausdruck
9:04mein J ij meine Flächenträgheitsmomente
9:06eben auch symmetrisch so als nächstes
9:10möchten wir dann diesen Ausdruck für die
9:13einzelnen fläch trägz Momente das heißt
9:16die Elemente unseres
9:17flächenträgheitstensors einmal wirklich
9:19konkret für den Fall der hier
9:21betrachteten Ebene auswerten unsere
9:23Ebene liegt in der 23 Ebene und der
9:25Normalenvektor E1 steht normal zu dieser
9:29Ebene und diese Indizes setzen wir jetzt
9:32einfach in diesen Ausdruck ein und
9:33gucken was
9:36herauskommt wir fangen an mit dem
9:39Ausdruck für unseren
9:57flächenträgheitstensor das ist der
9:58Ausdruck für unseren
10:00flächenträgheitstensor in dem
10:01Basissystem i ej wobei i und J von 2 bis
10:053 gehen
10:06Entschuldigung von 1 bis 3 gehen und wir
10:09wollen jetzt einfach mal gucken was
10:11herauskommt wenn man hier für die
10:13Flächen trägheits Momente jetzt wirklich
10:17die Indizes einsetzt fangen wir an mit
10:19dem allerersten Element das wäre das
10:22Element
10:24J11 und fang an einfach i und J so wie
10:28wir es kennen aus indexschreibweise
10:30durch den Index 1 zu ersetzen wir
10:32gelangen dann zu folgendem
10:43Ausdruck wobei wir natürlich wissen dass
10:46dieses
10:47X1 bedingt durch die Tatsache dass
10:50unsere Ebene ja in der 23 Ebene liegt
10:53diese term X1 der war natürlich
10:56identisch 0 das heißt das was übrig
10:59bliebt oder das was übrig bleibt ist
11:02genau dieser Ausdruck
11:09hier und den bezeichnet man auch als
11:12sogenanntes polares
11:24flächentregheitsmoment genau das gleiche
11:27mache ich jetzt mit dem Element
11:30j22 auch da setze ich einfach für i und
11:33J den Index 2
11:40ein das mache ich jetzt mal nicht so
11:42ganz so ausführlich hier oben in dem
11:45Ausdruck hier setze ich einfach 22 ein
11:48das heißt dieser term bleibt 1 das ist
11:53das kronica Delta wenn die Indizes
11:55gleich sind ist der ein wenn die indizs
11:57verschieden sind ist dieser kronica
11:59Delta 0 das heißt dieser term bleibt
12:00vorhanden dieser erste Term und hier
12:03steht eben X2 zum Quadrat und wird eben
12:06von diesem X2 hier vorne abgezogen und
12:09das was übrig bleibt ist folgender
12:19Ausdruck ganz einfach und entsprechend
12:22analog ergibt es sich für das Element
12:28j33
12:30nur dass dort natürlich statt des
12:33Indexes 3 der Index 2 auftaucht diese
12:39beiden
12:40Flächenträgheitsmomente nennt man
12:42axiale
12:52Flächenträgheitsmomente und als drittes
12:54Element haben wir jetzt natürlich noch
12:56den Fall vorliegen dass wir eben nicht
12:57den gleichen Index haben sondern
12:59unterschiedlich das heißt hier 32 oder 2
13:033 auch diese Elemente wollen wir einfach
13:05mal
13:10ausrechnen wir wissen dass der
13:14flächenträgheitstensor symmetrisch ist
13:16deswegen ist j23 =
13:24j32 und übrig bleibt wenn man die
13:27Indizes 2 und 3 einsetzt
13:29folgender
13:38Ausdruck und bei diesem Element bei
13:41diesem flächenträgkeismoment spricht man
13:43von dem sogenannten
13:45deviations oder
13:56zentrifugalm um die Formalismen
13:58abzuschließen möchte ich jetzt in einem
13:59allerallerletzten Schritt einfach mal
14:02dieses flächenmoment zweiten Grades also
14:06den Ausdruck
14:11M20 oder m2o also für den Ursprung um
14:16dem wir das alles
14:18betrachten möchte ich diesen Tensor
14:20diesen fläch Trägheitstensor wirklich
14:22einmal konkret
14:26auswerten das flächenmoment zweiten
14:29Grades ist gegeben als Produkt des
14:31flächenträghitstensors E mal beim
14:351vektor mal dem normalen Vektor auf die
14:38betrachtete Fläche wir sind immer noch
14:39in dem Fall dass wir die Fläche in der
14:4123 Ebene betrachten und der E1 Vektor
14:44normal auf dieser Fläche steht und wir
14:46erhalten dann wenn ich jetzt die Regeln
14:49für die Tensoren und Vektorrechnung
14:58anwende
14:59als allererstes setze ich also für den
15:01flächenträgheitstensor J wirklich das
15:04den Ausdruck für diesen
15:05flächenträgheitstensor ein das heißt
15:07wirklich das dadische
15:15Produkt in einem zweiten Schritt
15:18verheirate ich jetzt diese beiden
15:21Vektoren miteinander so wie wir es
15:22kennengelernt haben bei dem bei der
15:25linearen
15:27Abbildung
15:36und formme im weiteren Verlauf einfach
15:39nur
15:45um ich gelange dann eben zu diesem
15:49Ausdruck dass das flächenmoment zweiten
15:52Grades g= -j i1 mal ei ist wobei jetzt
15:59wichtig ist dass dieses ji1 eben kein
16:01Tensor mehr ist sondern es ist sind
16:03jetzt wirklich die Flächen
16:04trägheitsmomentente das heißt die
16:05Skalare die hier drin stehen und jetzt
16:07möchte ich mal in einem nächsten Schritt
16:09auswerten diesen Ausdruck was heißt das
16:11denn jetzt wirklich und dazu muss ich
16:12eben gemäß der einsteinischen
16:14summenkonvention hier über diesen Index
16:16i eine Addition durchführen und das ist
16:20das was ich jetzt als nächstes Mal
16:27mache
16:35das heißt ich habe jetzt einfach über
16:37diesen Index
16:38i von 1 bis
16:423 eine Addition durchgeführt ich habe
16:45den Index von 1 bis 3 hochlaufen lassen
16:47und gelange dann eben zu diesem
16:49Gesamtausdruck wobei ich jetzt hier
16:51wissen muss dass meine
16:54Flächenträgheitsmomente 21 und 31 dass
16:58die
16:59identisch Null
17:02sind das kommt sofort heraus wenn sie
17:05sich den Ausdruck für die
17:08flächenträgismente einmal angucken dort
17:10hatten wir ja einmal das Delta i j das
17:13heißt wenn haben zwei unterschiedliche
17:15Indizes 1 2 das heißt dieser erste Term
17:18ist komplett Null und der zweite Term
17:21wäre dann mal X1 zum Quadrat gewesen und
17:25das X1 ist bekanntlich auch null das
17:27heißt wir wissen dass diese j21 und j31
17:31dass die eben Null sind und somit bleibt
17:33am Ende nur
17:39übrig der Ausdruck
17:43-j11 mal E1 das heißt das
17:47Flächenträgheitsmoment um eine ebene
17:50Fläche die in der 23 Ebene liegt
17:53berechnet sich nur aus dem J11 Element
17:57multipliziert mit mit dem normalen
17:59Vektor auf diese Fläche eine weitere
18:04relativ wichtige Größe für die Mechanik
18:06ist der sogenannte trägheitsradius einer
18:15Fläche und dieser trägheitsradius einer
18:18Fläche
18:21i KK der Index K ist in Klammern gesetzt
18:25das heißt in diesem Fall gilt die
18:27Einsteinsche Summen kom nicht wenn man
18:29also nicht möchte dass über ein Index
18:31summiert wird setz wir in den Klammern
18:34so wie das hier geschehen ist und dieser
18:36flächenträgheitsradius ist definiert als
18:38die
18:41Wurzel aus dem fläch
18:45Trägheitsmoment
18:46dividiert durch die
18:49Querschnittsfläche wobei K hier in
18:52diesem Fall von 2 bis 3 verläuft und die
18:56querschnitzfläche A geben ist eben als
18:59das Integral über die Fläche hier noch
19:02mal über diese Indizes wird eben nicht
19:15summiert und interessant ist jetzt an
19:17dieser Größe wenn man sich einmal vor
19:18Augen führt was diese Größe eigentlich
19:20physikalisch bedeutet dieser
19:22trigheitsradius der beschreibt nichts
19:24anderes als die Kompaktheit einer Fläche
19:27das heißt um einen betrachteten Punkt
19:30herum um seinen Schwerpunkt herum wie
19:32kompakt ist diese Fläche um diesen
19:33Schwerpunkt angeordnet man kann sich das
19:36ganz einfach vorstellen der kompakteste
19:38Fall den ich habe ist ein
19:40vollquerschnitt wo wirklich die
19:43komplette Fläche um diesen Querschnitt
19:45um diesen Schwerpunkt angeordnet
19:57ist in diesem Fall ist wirklich die
20:00komplette Fläche um den Schwerpunkt mein
20:03Flächenträgheitsmoment i hat einen
20:06bestimmten Wert der nicht ganz so groß
20:09ist und dividiert durch die
20:12Querschnittsfläche dividiert wird im
20:14Gegensatz dazu ein weniger kompakter
20:16Querschnitt das ist ein Querschnitt der
20:17die Fläche sozusagen ein größeren
20:19Abstand zu diesem Schwerpunkt setzt das
20:23kann z.B sein ein
20:27kreisringquerschnitt
20:35diese beiden Querschnitte haben die
20:37gleiche Fläche die gleiche
20:39querschitzsfläche jedoch dadurch dass in
20:42dem ersten Fall ein vollquerschnitt
20:46vorliegt und im zweiten
20:50Fall
20:51ein Kreisring Querschnitt
20:57vorliegt
21:01sind die Flächenträgheitsmomente
21:03unterschiedlich das heißt ich nenne es
21:05einfach mal
21:07J V für vollquerschnitt und J K für
21:13kreisringquerschnitt sind
21:15unterschiedlich und zwar der Gestalt das
21:16werden wir noch kennenlernen dass das
21:19flächenträgers des kreisrinquerschnitts
21:22größer ist als das des vollerschnitts
21:24umgekehrt aber die Flächen gleich sind
21:29und diese Tatsache diese
21:32unterschiedliche Kompaktheit der
21:34Querschnitte wird durch den sogenannten
21:37trägheitsradius ausgedrückt und dieser
21:39trägheitsradius wird noch einmal eine
21:41sehr große Bedeutung erlangen wenn wir
21:44uns Stabilitätsprobleme am Ende des
21:46Semesters angucken
21:51werden

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