Flächenträgheitsmomente 1. Grades — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:04Tensoren sind ein relativ abstraktes
3. 0:07Produkt die uns aber helfen gewisse
4. 0:10Sachen sehr kompakt und einfach
5. 0:12darzustellen und eine dieser Dinge das
6. 0:15sind die sogenannten fläch
7. 0:17Trägheitsmomente oder auch die
8. 0:20statischen Momente mit denen wir die
9. 0:22Eigenschaften eines Querschnitts
10. 0:24beschreiben und das wollen wir uns im
11. 0:26Folgenden einmal angucken das heißt wir
12. 0:28kommen jetzt als allererstes zu den fen
13. 0:30Anwendungen der tensorrechnung als
14. 0:32allererstes beschäftigen wir uns dabei
15. 0:34mit den flächenmomenten ersten und
16. 0:36zweiten Grades wobei sie die
17. 0:38flächenmomente des nullten und des
18. 0:40ersten Grades eigentlich schon aus der
19. 0:43Mechanik 1 kennengelernt haben und zwar
20. 0:46bei der Berechnung des
21. 0:49Schwerpunktes dort hatten wir bei der
22. 0:51Berechnung des Schwerpunktes ja die
23. 0:53einzelen Koordinaten bestimmt in der Art
24. 0:56dass wir über den gesamten Körper bzw
25. 1:00über die gesamte Fläche immer den
26. 1:02Hebelarm genommen hatten und über die
27. 1:04gesamte Fläche integriert haben und
28. 1:06anschließend durch die Gesamtfläche
29. 1:08dividiert hatten und sind so zu den
30. 1:10Koordinaten unseres Schwerpunktes
31. 1:12bekommen das haben wir einmal für die
32. 1:14zweirichtung gemacht und einmal auch für
33. 1:17die
34. 1:21dreirichtung lief genau gleich
35. 1:25ab und diesen ersten diesen integralterm
36. 1:30den wir da
37. 1:31haben dieses Integral über die Fläche
38. 1:35mal
39. 1:37der dem Abstand zu unserem Bezugspunkt
40. 1:40den wir uns wählen das war in diesem
41. 1:41Fall der Schwerpunkt oder bzwchuldung es
42. 1:44war nicht der Schwerpunkt es war
43. 1:45irgendein Bezugspunkt bezüglich dem wir
44. 1:47dann den Schwerpunkt bestimmen wollten
45. 1:49diesen integralteil den nennt man das
46. 1:53sogenannte statische Moment
47. 2:00und der statische Moment ist dabei
48. 2:02definiert eben als
49. 2:07Abstand integriert über die Fläche und
50. 2:11das einzige was man sich wissen muss ist
51. 2:12dass der Index des statischen Momentes
52. 2:15eben genau mit dem Index der Koordinate
53. 2:18nicht übereinstimmt das heißt wir haben
54. 2:19in diesem Fall also das statische Moment
55. 2:213 das ist aus dem Abstand der Z
56. 2:25Koordinate zu dem jeweiligen Bezugspunkt
57. 2:27berechnet und genau das gleiche haben
58. 2:28wir hier unten
59. 2:39auch da haben wir ein Integral und
60. 2:42jeweils der Abstand in drei Richtung zu
61. 2:45unserem Bezugspunkt das ist dieses x3a
62. 2:47und das integriert über die gesamte
63. 2:49betrachtete Fläche ergibt unser
64. 2:52statisches Moment 2 und das sind die
65. 2:55sogenannten statischen Momente oder die
66. 2:58flächenmomente ersten
67. 3:11Grades und es gibt natürlich auch ein
68. 3:13flächenmoment nulleng Grades und das ist
69. 3:16nichts anderes als die
70. 3:18Querschnittsfläche
71. 3:30dieses flächenmoment ersten Grades bzw
72. 3:34statisches Moment das kann man sich wie
73. 3:37folgt vorstellen sie wissen ja dass das
74. 3:39Moment einer Kraft nichts anderes ist
75. 3:40als die Kraft multipliziert mit dem
76. 3:42Hebelarm zu einem bestimmten Punkt wenn
77. 3:45das jetzt hier Malin Bezugspunkt ist
78. 3:46dann messen wir eben den Abstand
79. 3:48senkrecht dazu zu der Kraft und das ist
80. 3:49das Moment und wenn Sie jetzt ganz
81. 3:52einfach die Kraft sich vorgestellt
82. 3:55ersetzt vorgestellt Denken durch eine
83. 3:58Fläche sie hat hab jetzt eben eine
84. 4:00Fläche und sie multiplizieren jetzt eben
85. 4:02nicht eine Kraft mal dem Abstand sondern
86. 4:04diese Fläche mal dem Abstand des
87. 4:06Schwerpunkts zu unserem bezugpunkt und
88. 4:09genau dieses Produkt was man sich
89. 4:11eigentlich als eine Art flächenmoment
90. 4:12vorstellen kann das ist das
91. 4:14flächenmoment ersten Grades
92. 4:34und genau diese flächenmomente ersten
93. 4:36Grades und die statischen Momente wollen
94. 4:39wir jetzt im Folgenden
95. 4:42berechnen wie gesagt man kann sich
96. 4:44dieses statisch Moment als das Moment
97. 4:47einer Fläche vorstellen deswegen führe
98. 4:49ich als allererstes eine Fläche ein
99. 4:52diese Fläche die ist infiniityal klein
100. 4:56und hat eben den Flächeninhalt da das D
101. 4:58steht dabei für das infini kleine und
102. 5:01diese Flächen muss ich natürlich als
103. 5:03allererstes einmal in meiner
104. 5:05betrachteten Ebene verordnen dazu füge
105. 5:08ich ein Koordinatensystem ein das jetzt
106. 5:12so aussieht dass die E1 ASE herausschaut
107. 5:15dann haben wir hier die E2 und die E3
108. 5:19ASE das
109. 5:21heißt
110. 5:22mein flächeninkrement liegt in der 23
111. 5:26Ebene und diesen Eckpunkt hier den
112. 5:30bezeichnet man oder den die Lage dieses
113. 5:33eckpunktes bezeichnet man mit dem
114. 5:34sogenannten Ortsvektor x das heißt ich
115. 5:38komme zu der Lage zu diesem zu der Ecke
116. 5:41dieses inkrementellen flächenelements
117. 5:42über den ortzvektor X und habe dann eben
118. 5:45hier meine eine Seitenlänge die ich mit
119. 5:48D X2 bezeichne und hier meine zweite
120. 5:51Seitenlänge die ich mit D X3 bezeichne
121. 5:55das heißt DX2 und dx3 bilden die Seiten
122. 5:59meines inkrementellen Flächenelement
123. 6:03ist wenn ich jetzt dieses inkrementelle
124. 6:05Flächenelement darstellen möchte ganz
125. 6:08kompakt in der Form eines Vektors das
126. 6:11heißt
127. 6:14da komme ich das dadurch dass ich das
128. 6:16Kreuzprodukt der beiden Seiten vktoren
129. 6:20DX2 und dx3 bilde wir haben unser
130. 6:24inkrementelles flächeninkrement das wir
131. 6:27jetzt eben beschreiben wollen wir tun
132. 6:29das über ein Vektor
133. 6:32da der aus als das Kreuzprodukt der
134. 6:37beiden seitenvektoren DX2 und dx3
135. 6:41definiert ist und wie wir bereits wissen
136. 6:42ist das Kreuzprodukt von der Größe her
137. 6:46gleich der Fläche des von den beiden
138. 6:48Vektoren eingeschlossenen Quadrats bzw
139. 6:52bzw Parallelogramms und hat die
140. 6:55Orientierung senkrecht da drauf
141. 7:07Heß wir
142. 7:08haben mit den Beträgen der beiden
143. 7:12inkrementellen seitentoren die Fläche
144. 7:15beschrieben den
145. 7:17fläinhaltcheben
146. 7:19da jetzt eben als Skalar deswegen ohne
147. 7:22unstrich und die Orientierung der Fläche
148. 7:25imum beschreiben wir durch den Vektor E1
149. 7:31und der Vektor E1 ist wenn wir uns das
150. 7:33hier angucken der Vektor E1 ist genau
151. 7:35senkrecht zu der Fläche E2 E3 in der
152. 7:39unser flächeninkrement liegt und das
153. 7:41heißt dieses
154. 7:43E1 steht somit normal auf unserem
155. 7:47flächeninkrement das heißt wir
156. 7:50beschreiben ein inkrementelles
157. 7:51Flächenelement dadurch dass wir einmal
158. 7:53den Flächeninhalt haben als Skalar und
159. 7:56die Lage im Raum beschreiben wir eben
160. 7:58dadurch dass wir den normalen Vektor auf
161. 8:00diese Fläche
162. 8:02hinzunehmen so beschreiben wir unser
163. 8:04inkrementelles Flächenelement und da
164. 8:06wollen wir jetzt ja das statische Moment
165. 8:09berechnen das heißt wir müssen jetzt ein
166. 8:11Hebelarm
167. 8:13hinzufügen das ist unser statisches
168. 8:16Moment m01 das wird am Ende ein Vektor
169. 8:19sein und der ist eben jetzt definiert
170. 8:23als x das ist der Ortsvektor von meinem
171. 8:26Ursprung zu der ein Ecke zu der
172. 8:29ausgangseckte meines
173. 8:32inkrements Kreuzprodukt mit
174. 8:35dem flächenvektor der eben ein
175. 8:39inkrementelles Flächenelement
176. 8:52beschreibt der Ortsvektor x ergibt sich
177. 8:55dabei ganz wie bekannt als Summe der
178. 8:58beiden Koordinatenrichtung dieser
179. 9:01Ausdruck ist nur für ein inkrementelles
180. 9:04Flächenelement definiert wenn wir jetzt
181. 9:06aber das Moment der Gesamtfläche
182. 9:10ermitteln wollen das Moment ersten
183. 9:12Grades der Fläche der gesamten Fläche
184. 9:14müssen wir eine Integration durchführen
185. 9:16und zwar über die gesamte Fläche wir
186. 9:19gelangen dann zu dem Ausdruck diesmal
187. 9:22groß M0 für die gesamte Fläche ersten
188. 9:25Grades ist g Integral über die gesamte
189. 9:29Fläche und jetzt eben genau dieser
190. 9:32Ausdruck den wir hatten das Kreuzprodukt
191. 9:34aus dem Ortsvektor der das
192. 9:35Flächenelement
193. 9:38positioniert Skalar mit dem
194. 9:41flächenvektor der die Fläche
195. 9:45beschreibt und das kann ich eben wie
196. 9:48folgt darstellen ich habe mein
197. 9:49ortzvektor hier und das den
198. 9:50flächenvektor kann ich ja darstellen aus
199. 9:53dem normalen Vektor da
200. 9:55drauf und dem Flächeninhalt als Skalar
201. 9:59und das bezeichnet man als das
202. 10:01sogenannte
203. 10:04Moment ersten
204. 10:10Grades hier stellt sich jetzt als
205. 10:13allererstes die Frage wie ich diesen
206. 10:15Ausdruck hier bestimme das
207. 10:18Kreuzprodukt dazu wissen wir aus der
208. 10:20Mechanik 1 wie man das Kreuzprodukt
209. 10:22berechnet nämlich über die Determinante
210. 10:24wir haben also
211. 10:46wir gelangen ganz einfach zu diesem
212. 10:48Ausdruck indem wir die Vektoren in der
213. 10:50bekannten Art und Weise in diesem
214. 10:52determinantenschema aufschreiben und
215. 10:54dann eben ganz normal die Determinante
216. 10:56bilden und gelangen dann so im Endeffekt
217. 10:58genau zu diesem Ausdruck der uns dieses
218. 11:01Kreuzprodukt berechnen
219. 11:05lässt wenn wir diesen Ausdruck hier am
220. 11:07Ende haben unser x3* E2 - X2 x E3 das
221. 11:11kann man dann eben aufteilen das heißt
222. 11:13wir erhalten unser Moment ersten Grades
223. 11:18als
224. 11:21Summe momentersten Grades als Summe von
225. 11:25zwei teilintegralen und zwar
226. 11:28einmal x3* da mal E2 das war der erste
227. 11:33summant
228. 11:35Integral über die gesamte Fläche mal
229. 11:38X2 da mal
230. 11:41E3 das war der zweite summant und diese
231. 11:45einzelnen Summanden hier die sind jetzt
232. 11:48eben definiert als die sogenannten
233. 11:51statischen Momente und zwar ist das
234. 11:53einmal hier unser statisches Moment
235. 12:01und unser statisches Moment
236. 12:10S3 und jetzt wird auch verständlich
237. 12:12warum wir diese Zuordnung diese viel zu
238. 12:16Anfang vielleicht etwas ungewöhnliche
239. 12:17Zuordnung der Indizes haben die Indizes
240. 12:20des statischen Momentes richten sich
241. 12:23nach dem Index des zugehörigen
242. 12:25basisvektors das heißt wir haben hier
243. 12:27xs3 und hier eben unser E3 und nicht
244. 12:32nach dem Index der laufkoordinate X