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0:00Eh, bueno, muchachos, continuemos con la
0:03gravacioncita de los temas que nos
0:04faltan. Ya es muy poquito lo que nos
0:07falta.
0:08¿Qué vamos a hacer ahora? Vamos a hablar
0:12del método de rongecuta 4.
0:16A ver, en realidad el método de
0:18Ronjecuta,
0:21runch y cuta,
0:23no es en realidad un solo método.
0:26En realidad, por allá en el año de 1903,
0:29este par de señores publicaron una tesis
0:31de doctorado
0:33en donde mostraban cómo poder construir
0:38diferentes métodos
0:40dependiendo de la calidad que usted
0:44necesitara que tuviera la aproximación
0:47en cada punto calculado.
0:51Es es una cosa muy muy tenaz. es un
0:53trabajo bastante bonito. Nosotros no
0:55vamos a hacer todo el trabajo teórico de
0:57construir [resoplido] un método de
0:58rojecuta, pero nos vamos a enfocar
1:01únicamente en la versión más conocida y
1:05más utilizada de los métodos que ellos
1:08propusieron. La más conocida es la que
1:10se llama el RK4, reflecuta 4. ¿Por qué
1:14se llama así? Porque el error
1:18en cada punto
1:22calculado
1:25es proporcional
1:28a h la 4,
1:32lo que significa una mejora
1:35considerablemente importante en la
1:37calidad de resultados
1:39obtenidos al llenar una tabla de valores
1:41X Y.
1:44El problema del método es que el método
1:46requiere un poquito de trabajo.
1:49A ver, resulta que el método exige
1:53varias cosas, obviamente exige que usted
1:56conozca el valor de un punto conocido, x
1:59sub y y subi. Entonces, lo primero que
2:01el método hace es pedirte que evalúes la
2:03función fui
2:05y subi.
2:08Y a eso lo vamos a llamar K1.
2:11Después te pide que volvas a evaluar la
2:14función f, pero no en este mismo valor
2:17de x, que es el punto conocido, sino en
2:20el punto xui + h.
2:26Y en lugar de usar el valor de la y, vas
2:28a usar el valor de y sui + h*
2:33k1.
2:35¿Qué obliga esto? obliga a que es
2:38indispensable que primero calcules K1
2:42porque mira que K1 se necesita para
2:44poder calcular K2.
2:47Estos valores que vamos a calcular
2:49tienen obligatoriamente que calcularse
2:51en orden.
2:54Después se calcula un valor K3, que es
2:57el valor de la función faluado en el
2:59mismo xi + h,
3:02pero ahora en y su i + h * k2.
3:09Fíjate entonces que k2 es necesario para
3:11calcular k3.
3:13Después se calcula K4, que es el valor
3:17de la función en xui + h
3:21y en y su i + h * k3.
3:26[resoplido]
3:28Y después de tener estas 4 kes
3:30calculadas,
3:32ahí sí se llena el valor de la y en la
3:34tabla. ¿Cómo se llena el valor de la y
3:36en la tabla? El valor de la y en la
3:38tabla se llena como si estuvieras
3:40haciendo euler,
3:43el valor del y sub i + h por y aquí es
3:47donde viene el detalle, se va a hacer un
3:49promedio entre estas calles, pero no a
3:52todas se les va a poner el mismo peso.
3:55A la primera y a la última se les pone
3:57un peso de uno y a las dos del medio se
4:01les pone un peso de dos.
4:04Entonces, esto es algo como k1
4:07+ 2 veces k2 + 2 veces k3 + k4.
4:14Y como estoy sumando seis cosas porque
4:17k2 y k3 están sumando de a dos veces,
4:19entonces el promedio sería divlo por 6.
4:22Pongámoslo acá para que se vea más
4:23bonito.
4:26Todo eso es lo que se conoce como el
4:28método de Ronjecuta 4. Y este método
4:31garantiza que la aproximación que se
4:34calcula en cada punto es proporcional a
4:38h elevado a la 4.
4:41Como en el ejercicio que estamos
4:42resolviendo estamos usando h = 0.1, un
4:46eso significa que los errores en cada
4:49punto calculado van a ser de 0.001
4:56a la cuatro, perdón, aquí puse a la dos
4:58y es a la cu.
5:00Es un método que con hs no tan pequeñas
5:05producen errores bastantes pequeños.
5:11El problema es utilizar esto en una
5:14tabla de Excel.
5:17¿Cómo lo vamos a hacer? Lo vamos a hacer
5:18con el mismo ejercicio que hemos venido
5:20resolviendo con los otros métodos.
5:21Recuerde que el ejercicio que hemos
5:23venido resolviendo es este que tenemos
5:24aquí. Vamos a depurarlo un poquito que
5:26es que ya ni siquiera vemos bien cómo
5:28está escrito. Este es el ejercicio.
5:31Este es el PI que vamos a resolver. Ya
5:33lo resolvimos con Eler. Ya lo resolvimos
5:35con Eler mejorado. Ahora vamos a hacerlo
5:37con RECa. Ronjecuta 4. Ojo, también
5:42existe Rojekuta 2, existe Rojekuta 3,
5:46existe Rogecuta 5. De hecho, Rogecuta 5
5:49tiene un nombre mucho mejor. Se llama
5:50Rogecuta Werner. También existe otro
5:53rojecuta que se llama Rekuta Felber.
5:57O sea, hay muchas variaciones del método
6:00de Ronjecuta y por eso en las
6:02indicaciones del trabajo te piden que
6:06utilicés alguna variación del método de
6:08Ronjecuta,
6:11porque existen muchos, los pueden buscar
6:13en internet, son relativamente sencillos
6:15de encontrar.
6:16Recordemos que esta es la función f(x) y
6:21x² + 3y sobre x + y. No lo olvidemos
6:26para no tener que estar volviendo a este
6:28pantallazo en donde estoy escribiendo
6:32a a manualzada. Listo. Vámonos entonces
6:35para Excel.
6:37Aquí [resoplido] tenemos ya la tabla que
6:38conseguimos con el método de Euler. Aquí
6:40tenemos la tabla con el método eer
6:42mejorado. Estas las hicimos en los
6:44videos anteriores.
6:46Ahora vamos a hacerlo con el método de
6:47Rodecuta 4. Lo primero que voy a hacer
6:50es ponerlo de un tamaño suficientemente
6:52bueno para que veamos. Y vamos a llenar
6:54la tabla desde cero. No nos preocupemos
6:56si nos demoramos un poquito, eso tampoco
6:59quita tanto tiempo. Coloquemos las la
7:03los encabezados de cada columna XY.
7:08Recuerde que estamos resolviendo en el
7:10intervalo desde 0.5 hasta 1.8
7:14y lo estamos haciendo con h = 0.1.
7:18Entonces, por aquí tengo el 0.5,
7:21por aquí tengo el 0.6.
7:23Los voy a arrastrar hasta que lleguemos
7:26al 1.8.
7:28Recuerde que tenemos una condición
7:30inicial y la condición es que en el
7:31primer punto la llevale dos.
7:34La llévale dos.
7:37[resoplido] Listo.
7:38Entonces, pilas pues con todo lo que
7:40tenemos que hacer. Yo creo que si vamos
7:42a tener que volver en todo caso, no para
7:44ver el PI, sino para ver la fórmula del
7:46método de de Rojecuta 4. Primero vamos a
7:50calcular K1, que es evaluar la función f
7:53y en la Y, que conocemos.
7:57Eso lo vamos a llamar K1.
8:00Es simplemente evaluar la función f
8:04y en este valor de Y, que son los que
8:06conocemos.
8:08x²
8:11+ 3 veces la y
8:15dividido la x más la y.
8:21Si vamos al método de Euler, ya lo
8:23habíamos hecho, eso lo llamábamos fxui
8:26yi. En Euler mejorado lo llamábamos fxui
8:29yi. En el método de Ruta 4, pues no lo
8:32vamos a llamar f dexi y sui, lo vamos a
8:34llamar uno,
8:37pero un es la f de x sub i y sub i.
8:46Si quieren llamémoslo así,
8:49deberíamos venir a calcular quién es
8:51caso dos, pero les voy a dar una
8:54sugerencia.
8:55[resoplido]
8:56Como no vamos a evaluar en esta misma x,
8:58sino en una x distinta
9:01y como no vamos a evaluar en esta misma
9:03y, sino en una y distinta,
9:07yo te propongo que primero hagamos una
9:10columna en donde se calcula esta x y
9:12donde se calcule esta y
9:15para que después sea más fácil a partir
9:18de la x y la y que hay en ese par de
9:20celdas volver a evaluar la función f.
9:24Entonces, hagamos una columna que sea
9:25para Xu + h/
9:28Xi + hra
9:31columna que sea Y sub i + h multiplicado
9:37por K1.
9:39Vamos a calcular esas dos columnas.
9:42¿Quién es Xu + h/? X u es la x de
9:46la tabla y sumarle la h que estamos
9:49usando divido 2.
9:52Fíjate que este punto sería como un
9:54punto intermedio entre los dos puntos
9:56que hay en la tabla. No es usar el 0.5,
10:00pero tampoco es usar el 0.6, es usar el
10:03punto medio entre los dos.
10:06Y el y sui + h/ k1 sería, cojamos el y
10:10su que es el que está en la tabla, le
10:12sumamos 0.1/ 2 y lo multiplicamos por el
10:16valor de K1 que lo tenemos aquí en la
10:18columna D.
10:22Estos dos valores son los que van a
10:25funcionar como una nueva x y como una
10:27nueva Y para poder volver a evaluar la
10:30función f. Y eso es lo que vamos a
10:32llamar K2.
10:35K2 es vuelva y evalúe la misma función f
10:38que evalúa aquí, pero aquí lo evaluamos
10:41en los valores de la x y de la y que
10:44conocemos en la tabla. vuelva y
10:46evalúela, pero con estos dos valores x y
10:48que tenemos en estas dos columnas
10:50adicionales.
10:52Entonces, hagámoslo. La función es
10:55cojamos la x, la elevamos al cuadrado y
10:58le sumamos 3 * y
11:03eso lo dividimos por la x sumado con la
11:07y.
11:10Fíjate que el valor de K1 y el valor de
11:12K2 pueden parecerse mucho, pero no son
11:16los mismos porque están evaluados en
11:18valores x y distintos.
11:21Vuelvo y lo repito, K1 se evalúa con la
11:24X y con la Y que conocemos en la tabla.
11:28K2 se evalúa con la X y con la Y de
11:31estas dos columnas adicionales que hemos
11:34calculado.
11:36[resoplido] Ya tenemos K1, ya tenemos
11:38K2. Vamos por K3.
11:42Note lo siguiente.
11:44Para calcular T3 también deberíamos
11:47calcular algunas columnas adicionales,
11:48pero solamente una. Fíjate lo que pasa
11:51aquí. Fíjate que este valor de la x, que
11:54es x + h/ es este mismo.
11:59No necesito volver a hacer una columna
12:01que tenga x sub + h/ porque ya la tengo,
12:05pero sí necesito una columna en donde
12:08tenga y sub + h med por k2 porque este y
12:13este no son iguales.
12:17Entonces, hagamos una columna que se
12:19llame y sui
12:23+ hplicado
12:25por k2.
12:30¿Cómo calculo y subi + h/2 es
12:32multiplicado por k2? Cogemos el y su. El
12:35y subi es el que está en la tabla
12:37original. Más 0.1/
12:412 multiplicado por lo que acabamos de
12:44encontrar en K2.
12:47[resoplido]
12:49Note que cada columna que vamos
12:51agregando se vuelve dependiente de las
12:53anteriores.
12:55Cometer un error en una de las columnas
12:57significa que a partir de ahí todos los
13:00cálculos están mal hechos.
13:04Vamos a usar entonces, así como K2
13:06utilizó esta columna E como la columna
13:09de la X y esta columna F como la columna
13:12de la Y, vamos a calcular K3
13:17haciendo la misma evaluación de la
13:19función f, pero usando este valor como
13:23la la x y este valor como la y,
13:29pero con la misma función f de nuestra
13:31ecuación diferencial.
13:33Y la función f es x elevado
13:37+ 3 m y
13:43todo dividido. Aquí me faltó elevar al
13:45cuadrado el valor de la x. Tengo esto
13:49elevado al cuadrado
13:52más tres veces
13:54el valor de la y
13:58dividido el valor de la x más el valor
14:02de la y.
14:06De nuevo, K3 debe dar un valor
14:08relativamente parecido a K2 y también
14:10muy parecido a K1, porque en todo caso
14:13estamos evaluando la función f de xy,
14:16pero la primera vez lo evaluamos en la x
14:18y la y que están en la tabla original,
14:21después los evaluamos en las x y en las
14:23y que están en la columna I y F. Y ahora
14:26lo estamos evaluando en la X y en la Y,
14:28que está en la columna E, la X y en la
14:31columna H, la Y.
14:34No me falta sino K4.
14:37¿Cómo calculo K4?
14:39Fíjate que para calcular K4 necesitamos
14:42de nuevo dos columnas que no hemos
14:44calculado. Xi + h y sub + h por k3.
14:50Cuando tengamos esas dos columnas
14:52calculadas, podemos evaluar la función f
14:54en ese par xy.
14:57Entonces sería xi + h. Pongámoslo aquí.
15:01Xi + h.
15:04y sui
15:06+ h * k3.
15:11Estos que estoy poniendo aquí en
15:12amarillito son títulos. Ahí no estoy
15:14poniendo ninguna fórmula, solamente
15:15estoy poniendo un título para que sepan
15:17qué va en esa columna. El xui + h.
15:22Escoger el xui y sumarle el h que es
15:240.1. Fíjate que es demasiado obvio que
15:28el valor que te tiene que dar aquí es la
15:31siguiente x.
15:34Porque recuerda que tus puntos están
15:36espaciados con un espaciamiento h que
15:38vos definiste desde un principio.
15:41Y el y subir + h * k3 sería el y
15:44subir de la tabla, sumarle 0.1
15:48multiplicado por el k3 que ya calculamos
15:50y que lo tenemos aquí.
15:55Ahora voy a usar estos dos valores como
15:57la x y la y para volver a evaluar la
15:59función f. Y eso es lo que se llama K4.
16:06K4 es la función F. La función F es
16:10cojamos la x, elevémosla al cuadrado,
16:14elevémosla al cuadrado y sumémosle tres
16:17veces la y
16:21dividido
16:22el x más el y.
16:28Cuatro veces hemos evaluado la función
16:30f. La primera vez en la x y la y de la
16:34tabla original. La segunda vez en la x y
16:38la y de las columnas E y F. La tercera
16:40vez en la X y la Y de las columnas E y
16:44H. Y por última vez en la X y la Y de
16:48las columnas J y K.
16:51Si todos nuestros cálculos son
16:53correctos, ahora sí podemos venir a
16:56calcular el valor de la y en el
16:58siguiente punto de la tabla.
17:01Recuerde, es hacer euler,
17:04pero en lugar aquí de poner la f de xa y
17:08se hace un promedio de estas cuatro fs
17:11que hay aquí poniéndoles a las 2 del
17:14medio pesos dobles.
17:18Se suman seis cosas y entonces hacemos
17:20el promedio y por eso dividimos por
17:22seis. Venimos entonces y llenamos la
17:24tabla. La y subida es la y que ya
17:26teníamos más h di 6 que multiplica
17:32la primera K
17:35más dos veces la segunda
17:38más dos veces la tercera
17:43más la cuarta.
17:45[resoplido]
17:47K1 y K4 tienen peso 1, K2 y K3 tienen
17:53peso 2 y por eso se suman seis cosas,
17:56por eso estamos dividiendo por seis.
18:00Esta es la aproximación con el método de
18:02rejecuta 4.
18:04[resoplido] Pilas con esto.
18:07Si este valor te quedó bien calculado,
18:10toda la tabla te va a quedar bien
18:12calculada.
18:14Si este valor te quedó mal calculado,
18:17toda la tabla te va a quedar mal
18:19calculada,
18:21porque de aquí en adelante lo único que
18:23necesitamos es estirar.
18:28Obviamente todos los valores me están
18:29dando constantes porque yo necesito que
18:32para cada pareja XY se calculen de nuevo
18:36las aproximaciones K1, K2, K3 y K4.
18:39Cuando arrastro esto, mi tabla se
18:41actualiza por completo.
18:44Esta es la solución de la ecuación
18:45diferencial. Recuerden, la solución es
18:47solamente la tabla original XY. Esta es
18:50la solución con el método de rongecuta 4
18:53RK4.
18:55Miremos el valor de la función en el
18:57último punto, solamente por mirarlo. Con
18:59Eular me daba 5.3290,
19:03con Eular mejorado 5.3391.
19:08con Ronc me da 5.3388.
19:13Si yo selecciono los puntos y le digo a
19:16Excel que me inserte la gráfica de los
19:19puntos, yo veo que en todo caso la
19:22tendencia sigue siendo la misma.
19:24Pero obvio, porque estoy resolviendo la
19:27misma ecuación diferencial.
19:30Si yo resuelvo la ecuación diferencial
19:32con cualquier método,
19:35la tendencia que me deben mostrar los
19:37puntos debe ser la misma.
19:41La única diferencia es qué tan arriba o
19:44qué tan abajo están los puntos,
19:47dependiendo de qué tan buena o qué tan
19:49mala sea tu aproximación. La de rojecuta
19:514 es una aproximación mucho mejor que la
19:54que encontramos con el método de Euler y
19:56que como la que encontramos con el
19:58método de Euler mejorado.
20:00Ese es el método ejecuta cuatro.
20:02requiere un poquito más de trabajo, sí,
20:05pero la calidad que tienen los valores
20:08encontrados en la tabla amerita que se
20:11haga el trabajo.
20:13Estos datos que llenamos en esta tabla
20:16son muchísimo, muchísimo más confiables.
20:20Si no lo creen, hagamos una tablita aquí
20:22muy rápido. Pongamos aquí diferentes
20:25valores de H.
20:27Pongamos aquí el error con euler.
20:32Pongamos aquí el error con Euler
20:35mejorado. Y pongamos aquí el error con
20:39rojecuta 4. Fíjese, fíjense cómo cambia
20:42esto. Si ponemos un H de 0.1,
20:46el error con euler es proporcional a H
20:490.1.
20:51El error con euler mejorado es
20:53proporcional a 0.1²AD, 1 al cuadrado, o
20:56sea,
20:580.01
21:00con rojecuta es 0.001
21:04y estamos hablando de la misma h con una
21:08h de 0.1, el error en cada punto
21:11calculado de rojecuta es buenísimo.
21:15Pongamos un H de 0.01.
21:18Sería muy fácil hacerlo ahí en la tabla
21:20de Excel, colocar un Ho.
21:23El error con Euler sería proporcional a
21:250.01.
21:27Con euler mejorado sería 0.0001.
21:32Con ronjecuta sería 0.1 1 2 3 4 5 6 7 un
21:381
21:41Si nos ponemos a comparar el error de
21:43Ronjecuta, este y el error de Euler,
21:46sabiendo que estamos usando esta misma
21:48H, el error sería un millón de veces más
21:52pequeño.
21:56Si ponemos un H de 10 a la men4,
21:590.001,
22:011. El error conular sería 10 a la -4.
22:05El error conular mejorado sería 10 a la
22:08-8.
22:10El error con Rjecuta sería menor que 10
22:13a la -1.
22:150.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y
22:21un 1. Ese número es más pequeño que el
22:26de nuestras máquinas.
22:29O sea, que si usted resuelve una
22:31ecuación diferencial usando esta H,
22:35deberíamos esperar que los errores que
22:38se cometen sean más pequeños
22:41que lo que tu máquina puede identificar.
22:47O sea, que tu máquina estaría
22:48resolviendo
22:50de forma exacta, al menos para la
22:54calidad que tu máquina puede resolver.
22:58Eso es lo que hace que el método de
22:59Rojecuta 4 sea un método tan bueno y que
23:02sea un método que tiene más de 120 años
23:05de haber sido construido y sin embargo,
23:08las máquinas actuales lo siguen usando
23:11porque con muy poquito gasto operativo
23:16se encuentra una calidad muy pero muy
23:19buena en la respuesta de una ecuación
23:22diferencial.
23:24M.

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