EJERCICIOS DE MATRIZ DE TRANSICIÓN - ÁLGEBRA LINEAL — Transcript

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1. 0:00Hola En este vídeo vamos a hacer
2. 0:02ejercicios sobre matriz de transición o
3. 0:05matriz de cambio de base ya en un vídeo
4. 0:07previo te expliqué que la matriz de
5. 0:09cambio de base es aquella que dado un
6. 0:11espacio vectorial V definido sobre un
7. 0:14campo K donde se tienen dos bases
8. 0:16diferentes nos va a llevar de una base a
9. 0:18otra por ejemplo una matriz que nos
10. 0:21lleve de la base a a la base B se
11. 0:23escribiría de la siguiente forma donde
12. 0:24el origen es la base a y el destino es
13. 0:27la base b De igual forma podemos
14. 0:29plantear una matriz que nos lleve de la
15. 0:31base B a la base a la cual se escribiría
16. 0:34de la siguiente forma teniendo en cuenta
17. 0:36que el origen sería la base b y el
18. 0:38destino sería la base a en este vídeo te
19. 0:42expliqué Cómo se obtiene paso por paso
20. 0:43la matriz de transición de una base a
21. 0:46otra ahora vamos a ver ejercicios donde
22. 0:49a través del siguiente teorema pasemos
23. 0:51del vector de coordenadas en una base a
24. 0:53otra es simplemente multiplicar por
25. 0:56ejemplo la matriz de transición de la
26. 0:58base a a la base B
27. 1:00director de coordenadas en base a y el
28. 1:02resultado de esta multiplicación
29. 1:03matricial nos va a dar el vector de
30. 1:06coordenadas de V en base B si no
31. 1:08recuerdas que es un vector de
32. 1:10coordenadas te recomiendo que vayas a
33. 1:11ver primero el siguiente vídeo ahora
34. 1:14bien si planteamos el teorema con la
35. 1:15matriz de baa quedaría de la siguiente
36. 1:18forma la matriz de baa multiplicado por
37. 1:21el vector de coordenadas en base B nos
38. 1:24dará como resultado el vector de
39. 1:26coordenadas en base a También es
40. 1:28importante recordar que la matriz de a a
41. 1:31b inversa nos da como resultado la
42. 1:33matriz de baa Así que es conveniente
43. 1:36también que recuerdes Cómo se obtienen
44. 1:38inversas de matrices
45. 1:40realicemos el siguiente ejercicio donde
46. 1:42se nos da como dato la matriz de
47. 1:44transición de la base a la base b y Se
48. 1:48nos pide obtener al vector V en base B
49. 1:50si tenemos las coordenadas de ese vector
50. 1:53V en base a en este caso va a ser
51. 1:56simplemente multiplicar la matriz de ave
52. 1:58por el vector que nos dan como dato en
53. 2:00base a y el resultado ya va a ser el
54. 2:03vector V en base B que estamos buscando
55. 2:07realicemos la multiplicación de la
56. 2:09matriz de transición de la base a a la
57. 2:12base B por el vector V en base a
58. 2:15Recuerda que la multiplicación de
59. 2:17matrices se hace renglones por columnas
60. 2:20por ejemplo vamos a multiplicar a este
61. 2:23primer renglón por esta columna de tal
62. 2:26forma que nos queda uno por cero más
63. 2:29menos uno por menos dos más cinco por
64. 2:33cuatro posteriormente multiplicamos el
65. 2:36segundo renglón por la columna de la
66. 2:38otra matriz
67. 2:41Y por último el tercer renglón por la
68. 2:44columna de la otra matriz
69. 2:49Ya solo resta hacer las operaciones
70. 2:52quedando como resultado la columna 22 16
71. 2:56y menos 4
72. 2:59este sería ya el vector V en base B que
73. 3:02estábamos buscando
74. 3:04de esta forma es como la matriz de
75. 3:07transición que también se conoce como
76. 3:08matriz de cambio de base nos convierte
77. 3:11un vector de coordenadas en base a a
78. 3:14otro vector de coordenadas en base B
79. 3:18realizamos ahora el siguiente ejemplo se
80. 3:21nos da la misma matriz de transición de
81. 3:23la base a a la base B en el espacio
82. 3:26vectorial de r3 pero ahora Se nos pide
83. 3:28obtener un vector de coordenadas V en
84. 3:31base a si tenemos como dato que V en
85. 3:35base B es igual a 1 0 y -2 hay que tener
86. 3:39cuidado a la hora de aplicar la
87. 3:41expresión de matriz por vector de
88. 3:43coordenadas Ya que en este caso no
89. 3:45podemos hacer la multiplicación
90. 3:47directamente de la matriz de ave por el
91. 3:50vector V en base B
92. 3:52necesitamos obtener la matriz de
93. 3:54transición de la base B a la base a para
94. 3:57entonces si multiplicar por el vector V
95. 3:59en base b y obtener como resultado el
96. 4:02vector V en base a
97. 4:04de un vídeo anterior recordemos que la
98. 4:07inversa de la matriz de a a b es igual a
99. 4:10la matriz de b a
100. 4:13Así que si obtenemos la inversa de la
101. 4:16matriz de a a b vamos a obtener esta
102. 4:18matriz que te muestro aquí para obtener
103. 4:20la matriz inversa puedes apoyarte en el
104. 4:22método que más se te facilite
105. 4:26y ya podemos multiplicarlo por el vector
106. 4:28V en base B que tenemos como dato
107. 4:33procedemos a hacer la multiplicación
108. 4:35siguiendo el mismo procedimiento de
109. 4:38renglón por columna el primer renglón
110. 4:40por la columna de la otra matriz nos
111. 4:42quedaría 0 por 1 más un sexto por cero
112. 4:46más dos tercios por menos dos
113. 4:50tomando ahora el segundo renglón
114. 4:53tendríamos como resultado menos uno por
115. 4:56uno más uno por cero más menos 1 por -2
116. 5:02y considerando el último renglón por la
117. 5:05columna de la otra matriz tendríamos 0
118. 5:08por 1 más un sexto por cero más menos un
119. 5:12tercio por -2
120. 5:14si realizamos las operaciones obtenemos
121. 5:18como resultado menos cuatro tercios uno
122. 5:21y dos tercios que es el vector V en base
123. 5:25a que se nos había pedido en el
124. 5:27enunciado
125. 5:30por último realicemos Este ejemplo un
126. 5:33poquito más complejo que los dos
127. 5:35anteriores donde como datos se nos da
128. 5:37una de las bases del espacio vectorial V
129. 5:40así como la matriz de transición de la
130. 5:43base B a la base a que ya tenemos como
131. 5:45dato
132. 5:46el inciso a nos pide obtener los
133. 5:49vectores de la base B que son tres w1 w2
134. 5:53y w3 en el inciso B vamos a obtener el
135. 5:57vector de coordenadas de V en base a si
136. 6:00el dato es sube en base B igual a
137. 6:044,5,7 Y por último el inciso c nos pide
138. 6:08obtener al vector V dados los datos en
139. 6:11el inciso B
140. 6:12para obtener los vectores de la base B
141. 6:15tenemos que recordar el procedimiento
142. 6:18para obtener la matriz de transición de
143. 6:20la base B a la base a en un vídeo
144. 6:22anterior te expliqué que las columnas de
145. 6:25esta matriz se obtienen escribiendo a
146. 6:28los vectores de la base B como
147. 6:30combinación lineal de los vectores de la
148. 6:33base a y los escalares de dichas
149. 6:35combinaciones lineales van a ser cada
150. 6:37una de las columnas de la matriz de baa
151. 6:41eso significa que cada una de las
152. 6:43columnas de la matriz de baa son los
153. 6:46vectores de coordenadas w12 y 3 en base
154. 6:50a
155. 6:53de esta forma para obtener w1 por
156. 6:56ejemplo Tendremos que hacer una
157. 6:57combinación lineal con los vectores de
158. 7:00la base a pero en este caso ya no
159. 7:02tenemos que buscar los escalares tales
160. 7:05que se cumpla la combinación lineal sino
161. 7:07que los escalares son los números de la
162. 7:10primera columna de la matriz de ba
163. 7:15finalmente w1 es igual al vector 1,1,1
164. 7:21hacemos lo mismo para el vector w2 ahora
165. 7:24los escalares van a ser los números de
166. 7:27la segunda columna de la matriz de
167. 7:29transición es decir menos 1 1 y 0 pero
168. 7:33seguimos haciendo la combinación lineal
169. 7:35con los vectores de la base a si
170. 7:39realizamos las operaciones nos queda que
171. 7:40el vector w2 es
172. 7:430,0,1 Y por último para obtener al
173. 7:46vector w3 hacemos una combinación lineal
174. 7:49con los vectores de la base a
175. 7:54pero en este caso los escalares son la
176. 7:57tercera columna es decir 0 - 1 y 1
177. 8:06de esta forma nos queda que el vector w3
178. 8:09es igual a
179. 8:10-1,0,0 por lo tanto los vectores de la
180. 8:14base B que estábamos buscando son los
181. 8:17vectores w12 y 3 que acabamos de obtener
182. 8:24para el inciso B tenemos que hacer algo
183. 8:26similar a lo que hicimos en los primeros
184. 8:28dos ejemplos como ya tenemos tanto la
185. 8:31base a como la base B este inciso
186. 8:34también se podría resolver haciendo
187. 8:36combinaciones lineales y obteniendo los
188. 8:38escalares tal como te lo expliqué en el
189. 8:41vídeo de vector de coordenadas sin
190. 8:44embargo también es muy fácil obtenerlo
191. 8:46haciendo la multiplicación de la matriz
192. 8:49de ba por el vector V en base B
193. 8:53siguiendo este método vamos a
194. 8:54multiplicar las dos matrices
195. 9:08así el vector V en base a es 9 - 12 y 7
196. 9:19por último en el inciso c Se nos pide
197. 9:22obtener el vector V conociendo el vector
198. 9:24de coordenadas simplemente Tendremos que
199. 9:27escribir el vector V como una
200. 9:30combinación lineal de los vectores de la
201. 9:33base B que obtuvimos en el inciso a sin
202. 9:36embargo en este caso no conozco al
203. 9:38vector V pero si conozco a Los escalares
204. 9:40alfa beta y gamas tales que se cumple la
205. 9:43combinación lineal Estos escalares son
206. 9:45las coordenadas del vector en base B Es
207. 9:49decir 4 - 5 y 7 por lo que solo hace
208. 9:54falta realizar las operaciones
209. 9:57Finalmente nos queda que el vector V es
210. 10:01-3,4,9
211. 10:03debido a que también conocemos el vector
212. 10:05V en base a que obtuvimos en el inciso B
213. 10:08así como la base a que nos dieron en el
214. 10:11enunciado también podríamos realizar
215. 10:13este inciso c utilizando dicha
216. 10:16información es decir escribiendo el
217. 10:18vector V como una combinación lineal con
218. 10:21los vectores de la base a y con los
219. 10:24escalares 9 - 12 y 7
220. 10:29al hacer las operaciones llegamos al
221. 10:32mismo vector V ya que Recuerda que
222. 10:34independientemente de sus coordenadas en
223. 10:37base a o en base B el vector V es el
224. 10:40mismo
225. 10:43Y eso es todo por el vídeo de hoy Espero
226. 10:45que te haya sido muy útil si quieres
227. 10:47ayudarme a Seguir generando contenido de
228. 10:49este tipo No olvides dejarme un like y
229. 10:52tus comentarios también recuerda
230. 10:53compartir este canal con la gente que
231. 10:55también le interesa en estos temas de
232. 10:57matemáticas e ingeniería tan
233. 10:59interesantes y yo te veo por aquí muy
234. 11:00pronto Bye
235. 11:04[Música]