YT YouTube2Text

YouTube2Text → Transcripts → Einführung des Spannungstensors

Einführung des Spannungstensors — Transcript

by Medien für die Lehre · 1,625 words · 327 segments · language en · Watch on YouTube

Open in transcriber Summarize with AI Download SRT/VTT

Full transcript

0:00[Musik]
0:05Wir kennen jetzt den Spannungsvektor.
0:08Der Spannungsvektor war also an einem
0:10gewissen Ort eines Tragwerks. Auf der
0:13Schnittfläche stand er und hat eben
0:15definiert, äh wie groß jetzt eben diese
0:17Spannung an diesem Ort in dieser
0:19Schnittrichtung ist. Nun kann ich mir
0:21natürlich aber vorstellen, dass ich
0:22natürlich unendlich viele Schnitte
0:25machen kann um diesen Punkt herum und
0:27jedes Mal bekomme ich einen anderen
0:29Spannungsvektor. Jetzt stellt sich also
0:31die Frage, gibt es nicht eine andere
0:33Größe, die diesen Spannungszustand in
0:36diesem Punkt unabhängig von der
0:38jeweiligen Schnittfläche beschreibt? Und
0:41ja, diese Größe gibt es und das ist der
0:42sogenannte
0:43Spannungstensor, den wir jetzt als
0:45nächstes einmal einführen
0:56möchten. Mit dem Spannungstensor möchte
0:58ich den Spannungszustand an einem Punkt
1:01am Ort X beschreiben. Und aus diesem
1:04Grund werde ich jetzt als allererstes
1:05ein Volumenelement, ein infinitesimales
1:08Volumenelement
1:16einführen. Dieses infinitiesimale
1:19Volumenelement liegt am Ort X in meinem
1:23gewählten
1:27Koordinatensystem und ich möchte es
1:29jetzt einmal so als eine Art Würfel
1:37darstellen. Da dieses Volumenelement
1:40infinities ist, hat es auch die
1:42infinitiesen Kantenlängen
1:46dx1,
1:50dx und dx3.
1:59Wir kannten schon den Spannungsvektor
2:01auf der
2:03Einschnittfläche. Die Einschnittfläche
2:05wird gekennzeichnet durch den normalen
2:08Einheitsvektor auf diese Fläche und dort
2:11stand eben der
2:13Spannungsvektor t 1. Genau das gleiche
2:18können wir natürlich jetzt auch für die
2:20anderen Flächen machen. Das heißt, wir
2:22haben
2:24hier auf der Fläche A2 den
2:28Spannungsvektor
2:30T2 und unten auf
2:33der Fläche
2:36N3 den
2:40Spannungsvektor
2:45ten. Wir werden jetzt als nächstes diese
2:48Spannungsvektoren in ihre einzelnen
2:50Komponenten zerlegen und zwar in ihre
2:52Komponenten jeweils in die einzelnen
2:55Achsrichtungen wirkend. Das heißt, wir
2:57haben jetzt hier z.B. unseren
3:00Vektor
3:02t1 und den zerlegen wir jetzt in seine
3:05Komponenten einmal in ein Richtung. Wir
3:08haben eine Komponente in 2 Richtung.
3:19wirkend und eine Komponente in drei
3:23Richtung
3:25wirkend. Das sind die drei Komponenten
3:28meines Vektors t1. Und diese drei
3:32Komponenten werden jetzt ganz speziell
3:34bezeichnet und zwar mit dem Buchstaben
3:38Sigma für Spannung.
3:41Das hier ist jetzt meine Komponente
3:43Sigma und jetzt erhalten diese einzelnen
3:46Komponenten zwei Indizs und zwar der
3:49erste Ind der erste Index, der die
3:52Richtung bezeichnet, in die diese
3:54Spannungskomponente zeigt. Das heißt
3:57hier bei dieser Spannungskomponente ist
4:00das dann die Sigma 1 Komponente und der
4:04zweite Index, der bezeichnet die
4:08Schnittfläche bzw. die Achse der
4:10Schnittfläche, zu der diese
4:12Schnittfläche senkrecht steht. Das ist
4:14in diesem Fall bei der Fläche H1 eben
4:16die Achse E1. Also ist diese Komponente
4:19die Komponente Sigma 1 1. Die zweite
4:24Komponente, diese
4:27hier, die wird jetzt bezeichnet mit
4:30Sigma. Der erste Index bezeichnet die
4:34Richtung, in die diese Komponente zeigt
4:37und das ist hier die Zweichtung.
4:38Deswegen Sma 2 und der zweite Index
4:42bezeichnet die
4:44Schnittfläche. Wir haben hier die
4:45Schnittfläche A1 senkrecht zur 1 Achse
4:48und deswegen Sigma 21. Und vollkommen
4:51analog ergibt sich jetzt eben die
4:53Komponente unten zu Sigma 31. Das heißt,
4:57ich habe jetzt meinen Spannungsvektor t
5:00durch drei Komponenten dargestellt.
5:02Sigma 1 Sma 21 und Sigma 31. Das gleiche
5:08kann ich natürlich jetzt machen für die
5:10Vektoren
5:12T2 und T3. Auch die kann ich jetzt alle
5:16in ihre einzelnen Komponenten zerlegen.
5:19Und wenn ich das mache und am Ende
5:22zusammenstelle, erhalte ich folgende
5:25Zusammenstellung dieser drei
5:34Spannungsvektoren. Einmal in die
5:37DA1 Richtung bzw. auf der DA1
5:49Fläche und sie sehen, dass der Vektor,
5:52der Spannungsvektor t jetzt ganz einfach
5:55durch seine Komponenten in die
5:57jeweiligen Achsrichtungen dargestellt
5:59wird. Genau das gleiche mache ich jetzt
6:01für die DA2 und die DA3
6:13Fläche. Und hier an dieser Stelle möchte
6:15ich noch einmal auch auf diesen Index
6:18hinweisen. Hier die Zweiachse und der
6:20zweite die zweite Komponente bezeichnete
6:23immer die Flächenorientierung.
6:26wingegen die erste
6:30Komponente jeweils die Richtung, in die
6:33diese Spannungskomponente zeigt äh
6:35bezeichnet.
6:46Und das kann ich jetzt in der Index
6:49schreibweise wieder wie folgt
6:51zusammenfassen. Meine
6:53Sigma, meine Sigmas kann ich
6:55zusammenfassen als Sigma
6:57IK über den Index I. und das ergibt
7:01gleich meinen meine einzelnen
7:04Spannungsvektoren. Und auch hier sieht
7:06man einmal, wie deutlich kompakter die
7:09Darstellung von so ein Ausdrücken in der
7:12Indexchreibweise ist.
7:14Damit habe ich jetzt die drei
7:17Spannungsvektoren auf der einen Hälfte
7:20unseres Würfels dargestellt. Aber ich
7:23habe natürlich auch noch die
7:25verbleibenden drei anderen Seiten, für
7:27die muss ich das auch machen. Und wenn
7:29ich dann am Ende diese ganzen
7:31Informationen an diesem Würfel in einer
7:34Größe zusammenfüge, gelange ich genau zu
7:37dieser Größe, die wir gesucht haben,
7:38nämlich der sogenannte
7:41Spannungstensor. Der Spannungstensor
7:43wird dargestellt als
7:47Sigma, immer noch abhängig von dem Ort,
7:50an dem ich eben dieses Volumenelement
7:52rausgeschnitten habe, aber eben jetzt
7:54nicht mehr abhängig von der
7:57normale ist gleich sigma K. Das sind
8:01jetzt eben diese einzelnen Komponente,
8:03die wir haben und die sind noch
8:05weiterhin vom Ort abhängig. Und jetzt
8:07kommt eben die Diade meiner
8:10Basisvektoren hinzu. Ei diadische K. Und
8:14so bin ich jetzt eben zu dieser Größe
8:16gelangt, die unabhängig von der von dem
8:19Schnitt in einem Punkt. Ich kann dieses
8:21Volumenelement, das war infinitesimal
8:24klein. Das heißt, ich kann es also auch
8:25wirklich auf mathematisch Punktgröße
8:27zusammenschrumpfen lassen. Diese Größe
8:30enthält jetzt wirklich alle
8:32Spannungsinformationen im Punkt X.
8:39Und der Vollständigkeit halber gebe ich
8:41noch einmal die Komponenten dieses
8:44Spannungstensors Sigma IK an.
8:57Wobei an dieser Stelle noch mal dran
8:58ändert sei, dass der erste Index eben
9:01die Richtung der
9:08Spannungskomponente und der zweite Index
9:11die Orientierung des Flächenelements
9:15angegeben hat.
9:23Und diese
9:24Größe, es ist eine ganz zentrale Größe.
9:28Diese Größe nennt man den
9:37Spannungstensor. Und der Spannungstensor
9:40enthält, wie gesagt alle Informationen
9:43eines Punktes X, die zu diesem
9:45Spannungszustand in diesem Punkt
9:49gehören. Jetzt stellt sich natürlich,
9:51wie ist jetzt der Zusammenhang zwischen
9:52dem Spannungsvektor, den wir ja schon
9:54kennengelernt haben, und jetzt eben dem
9:56neu eingeführten Spannungstensor? Nun,
9:59das ist ganz einfach. Das ist einfach
10:01eine Art lineare Abbildung, die
10:03stattfindet.
10:05Und zwar wird der
10:07Spannungstensor t erhalten, wenn man
10:11einen normalen Vektor auf die Fläche n
10:14eben mit diesem Spannungstensor linear
10:17auf den Spannungsvektor abbildet und man
10:20nennt dieses das Theorem von Koshi.
10:31Und man kann jetzt dieses
10:33Abbildungstheorie und diese
10:34Abbildungsvorschrift einmal exemplarisch
10:37z.B. auf den Spannungsvektor t auf die
10:40Fläche A1
10:43loslassen. Hab unseren Spannungsvektor
10:46mal dem normalen Vektor auf die Fläche
10:491, das ist der Vektor n1.
10:55Und wir wissen, dass dieser N1 Vektor
10:57eben, weil es der normalen
10:58Einheitsvektor ist, eben, identisch ist
11:00mit dem Basisvektor E1. Und dann
11:03anschließend wenden wir die Rechenregeln
11:06der Tensorschreibweise ein. Unser
11:08Spannungstensor Sigma IK ist das
11:10diadische Produkt von EI. Diadisch ek
11:15mal dem Vektor
11:17E1, das ist gleich sigma K. Wir
11:21verheirateten beide hinteren im Sinne
11:25einer linearen Abbildung und erhälten
11:26allen Delta K1 mal
11:32ei. Und das was übrig
11:35bleibt ist gleich Sma I1 mal EI.
11:42Und wenn Sie das auf die Gleichung
11:45loslassen, diesen Eindruck, diesen
11:47Ausdruck jetzt einmal auswerten würden
11:49und wirklich den Index von 1 bis 3
11:51hochzählen würden, würden sie genau auf
11:54diese Gleichung hier oben kommen, mit
11:57der wir vorher zuvor den Vektor T1, den
12:00Spannungsvektor T1 beschrieben hatten.
12:04Das heißt, das Theorem von Koshi besagt,
12:07dass der Spannungsvektor auf eine Fläche
12:10hervorgeht aus der linearen Abbildung
12:13des Flächenvektors, des flächennormalen
12:15Einheitsvektors mit dem zugehörigen
12:18Spannungstensor an diesem Punkt X. Ich
12:23möchte jetzt noch einmal auf die
12:25einzelnen Komponenten des
12:27Spannungstensors
12:37eingehen. Und zwar bezeichnet man das
12:40als
12:41Spannungskoeffizienten und dort ist
12:43folgendes definiert. die
12:46Spannungskoffizienten oder Komponenten
12:48meines Tensors die gleiche Indizs haben,
12:51also
12:52z.B. Sigma K oder Index I = dem Index k
12:59ist z.B.11 22 oder 33. Diese Spannungen
13:03heißen
13:10Normalspannungen. Und die Indizs oder
13:13die
13:14Spannungskoeffizienten, wo die Indizes I
13:16und K ungleich sind, die werden erstmal
13:19nicht mehr mit Sigma, sondern mit dem
13:20Buchstaben T bezeichnet.
13:24Tau IK, das sind die Komponenten meines
13:28Spannungstensors ik, wo eben diese
13:31Indiz i ungleich K sind. Und diese
13:35Spannungen bezeichnet man als
13:42Schubspannungen. Ich habe hier noch
13:43einmal diese einzelnen Koeffizienten des
13:48Spannungstensors dargestellt. Wir haben
13:50ja hier Sigma 111. Sigma 111 war also
13:53nach der eben gegebenen Bezeichnung eine
14:00Normalspannung. Und man sieht hier auch
14:02ganz gut, warum das als Normalspannung
14:04bezeichnet wird, weil das Sigma11, die
14:06Komponente Sigma
14:07111 eben
14:11normal zur
14:13Fläche wirkt, auf die dieser
14:18Spannungskomponente steht. Äh, das
14:20heißt, Sigma 111 steht eben normal zur
14:22Fläche und heißt deswegen
14:24Normalspannung.
14:26Dahingegen sind die Komponenten
14:29T21 und
14:31T31
14:37Schubspannungen. Diese beiden
14:39Komponenten wirken in der jeweiligen
14:44Ebene. Das heißt, sie wirken nicht
14:47normal dazu, sondern in der Ebene. Ich
14:49komme nachher noch mal drauf. Sie
14:50verschieben also meine Struktur und
14:52deswegen heißen sie Schubspannungen und
14:55genau das gleiche natürlich für die
14:57anderen Flächen. Die letzte Frage, die
15:00sich dann noch stellt, ist wann
15:02definieren wir so eine
15:03Spannungskomponente als positiv und wann
15:06definieren wir sie als negativ? Auch
15:09dort gibt es eine relativ einfache
15:11Definition.
15:13Eine Spannungskoff Spannungskomponente
15:16wird dann als positiv definiert, wenn
15:19sie am positiven Schnittufer in positive
15:23Koordinatenrichtung weist bzw. wenn sie
15:26am negativen Schnittufer in negative
15:29Koordinatenrichtung weist mal minus. Das
15:32ist völlig analog zu dem, was wir bei
15:35der Definition der Vorzeichen der
15:37Schnittgrößen schon kennengelernt
15:52haben. Das heißt, hier in diesem Bild
15:55sehen Sie nur positive Komponenten.
15:59Also, das heißt, alle Komponenten des
16:00Spannungstensors sind hier in diesem
16:02Bild positiv eingetragen. Wir haben hier
16:05z.B. die Komponente Sigma X3, die am
16:10positiven Schnittufer in positive
16:14Koordinatenrichtung wirkt oder hier oben
16:17an der oberen Schnittfläche Sigma X33.
16:20Auch das ist positiv, denn hier die
16:22Komponente wirkt am negativen
16:25Schnittufer in negative
16:29Koordinatenrichtung. Und ein letztes
16:31noch zu der Definition der Vorzeichen.
16:34So wie die Vorzeichen eingeführt wurden
16:36hier in dieser Art und Weise, bezeichnen
16:39positive Normalspannungen eine
16:42Zugspannung und negative
16:44Normalspannungen eine Druckspannung.
16:46Auch so kann man es sich noch einmal
16:47ganz äh anschaulich herleiten. Das
16:50heißt, eine positive
16:56Normalspannung bedeutet
17:00Zug und eine
17:02negative
17:05Normalspannung bedeutet
17:08Druck auf den jeweiligen Punkt.

About this transcript

This page contains the full transcript of Einführung des Spannungstensors by Medien für die Lehre, generated from the public captions YouTube serves with the video. The transcript has 1,625 words across 327 segments, with the original timestamps preserved so you can click any line to jump to that moment in the embedded player.

What you can do with it

Use the transcript to take notes, quote the speaker, build a study guide, generate a summary with ChatGPT or Claude via the YouTube Summary tool, or export it as a timed subtitle file with YouTube to SRT. You can also re-open it in the transcriber to choose a caption track available on the video.

Free YouTube transcript tool

YouTube2Text is a free YouTube transcript generator — no signup, no daily limit. Paste any YouTube link and get the full transcript instantly, with timestamps, click-to-jump, caption language selection, AI prompts for ChatGPT, Claude, and Gemini, and exports to TXT, SRT, VTT, or Markdown.