Ebener und einachsiger Verzerrungszustand — Transcript

Full transcript

1. 0:00[Musik]
2. 0:07als uns mit den Spannungen beschäftigt
3. 0:09hatten und dann soweit waren dass wir
4. 0:10den dreidimensionalen Spannungszustand
5. 0:13beschreiben konnten mit Hilfe des
6. 0:15spannungstensors sind wir dann
7. 0:17anschließend daran gegangen und haben
8. 0:19sozusagen die Dimension reduziert das
9. 0:21Problem vereinfacht dass wir haben also
10. 0:23erstmal aus dem dreidimensionalen
11. 0:25Spannungszustand einen ebenen
12. 0:26Spannungszustand und zum Schluss einen
13. 0:28einachsigen Spannungszustand gemacht
14. 0:30genau das gleiche können wir natürlich
15. 0:32jetzt auch bei den Verzerrungen machen
16. 0:33das heißt wir werden jetzt als
17. 0:34allererstes uns mit dem von dem
18. 0:36dreidimensionalen verzerrungszustand auf
19. 0:38den
20. 0:40ebenenverzerrungszustand zurückziehen
21. 0:42und ganz am Ende dann eben den
22. 0:43einachsigen verzerrungszustand
23. 0:56betrachten wie bei der Definition des
24. 0:58ebenenpannungs Zustand ist es auch beim
25. 1:01Ebenen verzerrungszustand so dass alle
26. 1:04Verschiebungen die in die dritte
27. 1:06Richtung hier in diesem Fall jetzt z.B
28. 1:08in die drei Richtung zeigen dass all
29. 1:10diese Verschiebungen identisch Null
30. 1:17sind das ist jetzt das was wir uns hier
31. 1:20betrachten wollen hier in diesem
32. 1:21Beispiel diese drei
33. 1:24verzerrungsoeffizienten diese
34. 1:25Komponenten des verzerrungstensors sind
35. 1:26Null und damit vereinfacht sich meine
36. 1:28Koeffizientenmatrix wie
37. 1:36folgt nhme ich so dass ich
38. 1:40die letzte Spalte und die letzte Zeile
39. 1:45eben all die Zahlen in denen diese
40. 1:47Komponenten die identisch Null sind drin
41. 1:48vorkommen streichen kann und ich erhalte
42. 1:51dann am Ende die
43. 1:53verbleibende Matrix oder den
44. 1:55verbleibenden verzerrungstensor
45. 2:03der mir mein Ebenen Spann
46. 2:05verzerrungszustand beschreibt und dem
47. 2:07entsprechend ergibt sich dann natürlich
48. 2:09der lineare verzerrungstensor wie
49. 2:21folgt wobei hier jetzt natürlich nur die
50. 2:24Indiz ist nicht mehr von 1 bis 3 sondern
51. 2:26nur von 1 bis 2 verlaufen wenn ich jetzt
52. 2:30die einzelnen Komponenten diese
53. 2:33verzerrungs Koeffizienten wirklich
54. 2:35einmal konkret
55. 2:37ausrechne erhalte ich
56. 2:45folgendes z.B für das erste
57. 2:48hauptdiagonalelement
58. 2:50y11 dort setze ich eben in den zuvor
59. 2:52gewwonnenen Ausdruck für die
60. 2:54Koeffizienten des linearen
61. 2:56verzahungstensors eben hier einfach
62. 2:58jetzt Indizes 1 und 2 ein das kommt dann
63. 3:00eben raus U11 + U11 und daraus folgt
64. 3:03eben dass y11 = U11 ist das heißt die
65. 3:09Dehnung auf der
66. 3:101 die Dehnung in eins Richtung ne die
67. 3:14Diagonalelemente oder die Element auf
68. 3:16der Hauptdiagonalen haben wir als
69. 3:17Dehnungen bezeichnet die Dehnung in
70. 3:19einsrichtung ist es u1,1
71. 3:28entsprechendes ergibt sich natürlich für
72. 3:30die Dehnung in zwei Richtung interessant
73. 3:32sind jetzt die gleitungen das sind die
74. 3:35Koeffizienten auf der
75. 3:47nebendiagonalen und hier ist es so dass
76. 3:49man die Summe
77. 3:53dieser nebendiagonalelemente also das
78. 3:55y12 + das
79. 3:57y21 dass man die ale Winkeländerung dass
80. 4:01man die als ingenieurgleitung
81. 4:10definiert wegen die tensorielle
82. 4:13Komponente z.B
83. 4:14das12 oder das21 nur gemittelte gröen
84. 4:19darstellen ichöchte nun noch einmal etas
85. 4:22ver auf diese inieurgleitung eingehen
86. 4:25und dazu betrachte ich den sogenannten
87. 4:27Sonderfall der einfachen Scherung
88. 4:34was ist darunter zu verstehen gucken wir
89. 4:36uns zunächst einmal die
90. 4:37Ausgangssituation an wir haben ein
91. 4:39rechteckige eine rechteckige Fläche
92. 4:50vorliegen diese rechteckige Fläche
93. 4:52befindet sich in einer Ebene wir wollen
94. 4:55ja den Ebenen verzerrungszustand uns
95. 4:56angucken und diese rechteckige Fläche
96. 4:59hat jetzt die Seite
97. 5:00dx1 und
98. 5:06DX2 der eine obere
99. 5:09Eckpunkt meines meines rech meiner
100. 5:12rechckigen Fläche den verorte ich indem
101. 5:15ich den Ortsvektor dahin zu zeichnen das
102. 5:17ist der Ortsvektor
103. 5:23DX das ist jetzt meine
104. 5:25Ausgangssituation und jetzt möchte ich
105. 5:27diese rechteckige Fläche einer einfachen
106. 5:30Scherung unterwerfen was ist eine
107. 5:32einfache Scherung eine einfache Scherung
108. 5:33ist nichts anderes als dass sie einen
109. 5:35Körper haben und ih unten festhalten und
110. 5:38die Oberseite auch festhalten und dann
111. 5:41diese beiden Seiten gegeneinander
112. 5:43parallel
113. 5:45verschieben das wird als einfache
114. 5:48Scherung bezeichnet und genau das mache
115. 5:51ich jetzt hier mit meinem Körper ich
116. 5:53halte die Unterseite fest und die
117. 5:55Oberseite fest und verschiebe jetzt nur
118. 5:57die Oberseite in eine Richtung die
119. 6:00verformungsfigur die ich dann erhalte
120. 6:01sieht wie folgt
121. 6:05aus die Seiten bleiben jeweils parallel
122. 6:09das heißt wir erhalten ein
123. 6:11Parallelogramm und wir haben einen
124. 6:14Winkel aufgebracht einen Winkel Gamma
125. 6:18und dieser Winkel ist ein Maß für die
126. 6:20Scherung die ich vorgenommen habe und
127. 6:22wird deswegen auch als scherwinkel
128. 6:24bezeichnet
129. 6:30und diesen Winkel habe ich vorgegeben
130. 6:32ich habe wirklich solange die Teile die
131. 6:34beiden Kanten gegeneinander verschoben
132. 6:37bis ich eben diesen Winkel Gamma
133. 6:39erreicht hatte wenn ich mir jetzt meine
134. 6:42verformte Struktur angucke sehe ich
135. 6:45folgendes der Punkt hier oben der früher
136. 6:49mein Eckpunkt war hat sich jetzt an
137. 6:52einen neuen Ort
138. 6:54verschoben und dieser neue Ort wird
139. 6:58gekennzeich durch den Ortsvektor
140. 7:02DX + du W ich mir nämlich angucke wie
141. 7:07sich dieser Punkt im Einzelnen
142. 7:08verschoben hat dann stelle ich
143. 7:14fest dass er
144. 7:16sich nur verschoben
145. 7:20hat und zwar in Richtung der einachse
146. 7:25und damit erhalte ich für genau diesen
147. 7:28verschubvektor
148. 7:29u den Ausdruck du1 das ist der Betrag um
149. 7:33den mein Punkt verschoben wurde mal E1
150. 7:37ist fand nur ein verschubstatt in die E1
151. 7:39Richtung und das kann ich jetzt über
152. 7:41diesen sharewinkel Gamma ausdrücken wie
153. 7:43folgt Gamma mal DX2 mal E1 an dieser
154. 7:47Stelle sei noch mal daran erinnert dass
155. 7:48wir uns hier in der
156. 7:50infinitisimalen Welt bewegen und damit
157. 7:52auch die Rechenregeln der
158. 7:54infinitisimalen Geometrie gelten z.B
159. 7:56stangenten statt Kreisbögen und damit
160. 7:58gilt auch eben hier die Beziehung des
161. 8:00du1= Gamma mal
162. 8:03DX2 damit habe ich meinen Vektor du
163. 8:07ausgedrückt und jetzt leite ich eben das
164. 8:09ist mein mein Verschiebungsvektor und
165. 8:11den muss ich ja um das verzerrungsmaß zu
166. 8:14erhalten eben jetzt nach den einzelnen
167. 8:16Komponenten
168. 8:21ableiten ich erhalte dann z.B für die
169. 8:24Verschiebung in ein Richtung abgeleitet
170. 8:26nach der einkoordinate die einoordinate
171. 8:29mein Gamma hängt nicht von der
172. 8:30einkoordinate AB ist also
173. 8:350 meine Verschiebung in eins Richtung
174. 8:40hängt jedoch von dem gleitungswinkel und
175. 8:43von der zweikoordinate von der Höhe ab
176. 8:47und diesen Ausdruck hier oben abgeleitet
177. 8:49Gamma mal DX2 abgeleitet nach der
178. 8:52zweiten Komponent 2 ergibt eben Gamma
179. 8:56das heißt das Gamma bleibt übrig
180. 9:03und für die Komponente
181. 9:07u2,1 in zwei Richtung findet keine
182. 9:09Verschiebung statt das heißt diese
183. 9:11Komponente ist 0 auch die Komponente
184. 9:14U22 ist 0
185. 9:172,2chuldigung ist 0 das heißt die
186. 9:21einzige die einzige Komponente die ich
187. 9:24eigentlich hier in meinem verzahrungsmaß
188. 9:25übrig habe ist eigentlich die Komponente
189. 9:27u1,2 und die entspricht eben meinem
190. 9:30scherwinkel und das setze ich jetzt in
191. 9:32den linearen verzerrungstensor
192. 9:38ein und sehe dann dass meine
193. 9:41hauptdiagonalelemente dass die beide
194. 9:43Null sind wohegen meine
195. 9:48gleitungen gleich dem scherwinkel den
196. 9:52ich aufgebracht habe sind und auch an
197. 9:55dieser Stelle jetzt noch mal der Hinweis
198. 9:56da drauf dieses Gammer hier diese
199. 9:59ingenieurgleitung die bezeichnet die
200. 10:02totale
201. 10:07schubverzerrung das heißt sie ist ein
202. 10:10totales Maß dafür wie sich mein Winkel
203. 10:15meines meiner Fläche meiner
204. 10:16Ausgangsfläche ändert wohingegen die
205. 10:19tensoriellen Komponenten das
206. 10:2112 ein gemitteltes Maß darstellen
207. 10:30das ist ein Unterschied der einfach aus
208. 10:32der
209. 10:34Definition der
210. 10:36ingenieurgleitungen dieses Gammas eben
211. 10:39entsteht und den man aber kennen muss
212. 10:41wenn man sich gleitungen anguckt man
213. 10:43muss immer wissen befindet man sich im
214. 10:45in der tensionellen Schreibweise spricht
215. 10:47man von diesen tensoriellen
216. 10:48schubverzerrungen oder spreche ich von
217. 10:50den ingenieurmäßigen
218. 10:52gleitungen das was ich für den
219. 10:54zweiachsigen für den Ebenen
220. 10:56verzerrungszustand gemacht habe kann ich
221. 10:58natürlich jetzt noch me Dimension
222. 11:00weitertreiben und gelange dann zum
223. 11:02einachsigen
224. 11:03verzerrungszustand zusätzlich zu allen
225. 11:06Verzerrungen die aus Verschiebungen in
226. 11:08drei Richtung resultieren und die gleich
227. 11:11null waren sage ich jetzt auch dass alle
228. 11:12Verzerrungen die aus Verschiebungen in
229. 11:14zwei Richtung resultieren auch null sein
230. 11:19sollen und wenn ich das in die
231. 11:21Koeffizienten meines verzerrungstensors
232. 11:23einsetze erhalte ich folgende
233. 11:25Vereinfachung
234. 11:33es werden die letzten beiden Zahlen und
235. 11:38die letzten beiden Spalten gestrichen
236. 11:40und es verbleibt einzig die y11
237. 11:46Komponente und der verzerrungstensor
238. 11:49vereinfacht sich für diesen
239. 11:50eindimensionalen
240. 11:54Fall und somit verbleibt von den
241. 11:57ursprünglich im Raum sechs unabhängigen
242. 12:01verzerrungsgrößen nur noch eine nämlich
243. 12:04meine Verzerrung meine Dehnung in
244. 12:08einsrichtung