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Ebener und einachsiger Spannungszustand — Transcript

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0:00[Musik]
0:07wir haben uns jetzt die ganze Zeit mit
0:09dem Spannungstensor im 3D im Raum
0:13befasst jetzt ist es aber so dass wir ja
0:16hauptsächlich mit Strukturen zu tun
0:17haben wo man gewisse Vereinfachungen
0:19vornehmen kann und diese Vereinfachungen
0:21sind meistens der Gestalt dass man
0:22Dimensionen vernachlässigt wenn sich z.B
0:25hier so eine Tischplatte vorstellen da
0:26weiß man okay ich kann die dicke
0:28vernachlässigen und eigentlich ist das
0:30eine Struktur die nur in zwei dre
0:32Richtungen hauptsächlich existent ist
0:35und dann eben auch dementsprechend
0:36belastet wird und wir haben z.B aber
0:39auch Strukturen wo sie zwei Dimensionen
0:41vernachläsigen können und W wir dann zu
0:43einer
0:441D Struktur kommen das heißt es ist
0:47vielleicht durchaus von Interesse sich
0:49mal den Spannungstensor anzugucken nicht
0:52nur für den dreidimensionalen Fall
0:54sondern vielleicht auch für die Fälle wo
0:56wir eben eine geringere Dimensionalität
0:59vorliegen haben und das führt mich zum
1:01ersten zum sogenannten Ebenen
1:04Spannungszustand ein ebener
1:06Spannungszustand ist wie folgt definiert
1:08stellen Sie sich eine Ebene vor beliebig
1:12auf diese jetzt ein Koordinatensystem
1:14das ist jetzt ihr ihr Koordinatensystem
1:17was eben sinnvollerweise in diese Ebenen
1:19legen diese betrachten hineinlegen und
1:21jetzt sind alle Spannungen in
1:24Schnittflächen senkrecht zu einer Achse
1:28idealerweise der Ache die normal auf
1:30meiner Fläche steht senkrecht dazu
1:34spannungsfrei das heißt ich habe hier
1:36mein mein meine Ebene meine Struktur und
1:41alle Schnitte senkrecht dazu sind
1:43spannungsfrei das heißt wenn ich mir
1:45hier z.B angucke senkrecht zu E3 die
1:48Fläche die ich dann erhalte das ist
1:49jetzt hier die Oberfläche und ich habe
1:51darauf keine Spannungen wirken das heißt
1:54ich habe keine Normalspannungen in drei
1:56Richtungen wirken und auch keine
1:58entsprechenden Schubspannungen diese
2:01Ebene ist spannungsfrei meine Spannungen
2:04selbst finden nur in dieser Ebene statt
2:09und deswegen spricht man von einem
2:11sogenannten Ebenen Spannungszustand weil
2:13die Spannungen nur in einer Ebene
2:16vorliegen und das ist z.B eine
2:18Vereinfachung die man bei der
2:20sogenannten Theorie der Scheiben die wir
2:22später noch kennenlernen werden vornimmt
2:24ich betrachte dort dann nur
2:26zweidimensionale Körper und sage dass in
2:29dies Körpern eben auch nur
2:31zweidimensionale
2:32Spannungszustände vorliegen und wie
2:35vereinfacht sich unser Spannungstensor
2:37wenn wir sozusagen diese dritte
2:38Dimension vernachlässigen weil die
2:41Spannungen eben in dieser dritten
2:42Dimension Null sind gut der
2:44Spannungstensor verhält sich dann wie
2:58folgt ich fange mal an mit dem Beispiel
3:02hier konkret dass eben alle Flächen
3:04senkrecht wie eben gezeigt zur E3 aachse
3:07spannungsfrei
3:19sind das heißt wenn ich einen Schnitt
3:24senkrecht zur E3 eine Fläche senkrecht
3:27zur E3 aachse
3:28betrachte wirken darauf keine Spannungen
3:31und sie erinnern sich ja dass der zweite
3:34Index die Orientierung der Fläche der
3:39Schnittfläche angegeben hat das heißt
3:41alle spannungskomponente die als zweite
3:45als zweiten Index hier in diesem
3:46speziellen Fall die drei aufscheinen
3:49haben die sind eben jetzt per Definition
3:52des Ebenen spannungszustandes
3:55ull und mein Spannungstensor vereinfacht
3:58sich dann konkret wie folgt
4:10all diese Komponenten die hier hinten
4:12die drei aufscheinen hatten sind Null
4:16und aufgrund der Symmetrie des
4:18spannungstensors natürlich auch die
4:20Komponenten die zu Anfang die drei
4:23aufschein haben und das entspricht
4:25eigentlich nichts anderem als dass
4:28ich bei meinem
4:30Spannungstensor die dritte Zeile und die
4:33dritte Spalte einfach wegstreiche und
4:36ihr haltet dann einen reduzierten ein
4:39auf den zweidimensionalen Fall
4:41reduzierten Spannungstensor der wie
4:43folgt
4:50aussieht und diese Komponenten sind
4:54jetzt eben nur Alpha und Beta die laufen
4:58jetzt eben nur von 1 bis 2 das heißt
5:01anstatt der im Raum gegebenen sechs
5:05unabhängigen Größen habe ich im zwei
5:07diimensionalen Fall nur noch drei
5:10vorliegen die vierte ergibt sich eben
5:12aus der Symmetrie das ist eben die
5:15gleich dem anderen nebiagonalelement ist
5:18für diesen reduzierten zweidimensionalen
5:22Spannungstensor möchte ich jetzt genau
5:23die
5:24gleichen Aktion durchen wie wir vorher
5:26für den dreidimensionalen
5:27Spannungstensor gemacht haben das heißt
5:28als allererst gucken wir uns einmal an
5:30wie sich dieser Spannungstensor verhält
5:32wenn man das Basissystem dreht und der
5:35Vorteil der der Tatsache dass wir jetzt
5:37eben im 2D sind ist eben der dass wir es
5:40jetzt wirklich auch anschaulich mal
5:41zeichnerisch darstellen können was
5:43denind eigentlich ein Wechsel und eine
5:46Drehung der Basis eigentlich bedeutet
5:48dazu haben wir einmal hier ein Element
5:53ausgeschnitten sehen hier sozusagen
5:55unser
5:57ausgangselement und wir wir würden jetzt
6:00normalerweise bei der gegebenen Basis E1
6:02z.B uns diesen Schnitt hier
6:05angucken und für diesen Schnitt
6:08entsprechend die Spannungen ermitteln
6:09und nun wollen wir aber drehen und zwar
6:12um den winkel
6:15f in das
6:17System Tilde und was heißt das
6:20eigentlich das heißt dass wir unsere
6:22Schnittfläche drehen wir drehen nicht
6:24mehr so wie eben angezeichnet eben im
6:28senkrechten sondern wir drehen
6:30jetzt unsere Schnittfläche das heißt wir
6:33schneiden unseren Körper jetzt eben
6:34genau um diesen winkel f gedreht auf und
6:38betrachten eben die darauf stehenden
6:41Spannungen Tilde das ist das was wir
6:44machen wenn wir sagen okay wir nehmen
6:46eine Drehung eine Drehung der Basis
6:51vor und all die Beziehungen die wir
6:54jetzt brauchen um eben dann eben
6:56dementsprechend diese
6:58transformationsbeziehungen von den
7:00Spannungen 1 in die Spannungen σ 11
7:05Tilde zu kommen die kennen wir alle
7:07schon die haben wir schon alle
7:08hergeleitet für den dreidimensionalen
7:10Fall und jetzt haben wir einfach nur
7:11eine eben dementsprechend
7:15reduzierte Problematik vorliegen ne das
7:18heißt wir streichen einfach die dritte
7:20Zeile und die dritte Spalte all unserer
7:22Tensoren und kommen dann eigentlich
7:23genau zu den Beziehungen die wir
7:24brauchen ich werde das jetzt einfach mal
7:28vorführen
7:32als allererstes haben wir die
7:34drehbeziehung in der wir von unserem
7:36ausgangskoordinatensystem E1 in unser
7:38aus Ei in unser Ausgangs unser
7:40zielkoordinatensystem Ei Tilde kommen
7:43und wir drehen um die dreiachse deswegen
7:45rotationstensor R3 und wir erhalten
7:54dann eben um genau umgekehrt von dem
7:58tildensystem in das ausgangssystem zu
8:00kommen verwenden wir wieder die
8:02Orthogonalität des drehensors das heißt
8:03mal R hoch t und haben dann so die
8:06Wechselbeziehung um dann bliebig
8:07zwischen den Basen hin und her switchen
8:09zu können und wir setzen das jetzt eben
8:11für die konkret für die drehtensoren ein
8:13wieo ein drehtensor aussieht das wissen
8:15wir
8:28schon und da der drehtensor eben
8:30orthogonal ist waren beim Tilde Tensor
8:33eben einfach nur die
8:38nebendiagonalelemente vertauscht die
8:41setze ich jetzt ein in die Beziehung für
8:44den
8:45Spannungstensor diese Drehung der Basen
8:48setzt sich jetzt ein in die Beziehung
8:49für den Spannungstensor jetzt allerdings
8:51für den 2D
8:58Spannungstensor
9:02mit eben den oben gewonnenen Beziehung
9:05und die Komponenten meines drehtensors
9:08auch das können sie sich wieder
9:10hervorholen aus der Betrachtung der
9:12Drehung in dem Kapitel der
9:14mathematischen Grundlagen ähm dort
9:16ergeben sich die Komponenten des
9:18drehtensors wie
9:28folgt
9:30sie gelangten ganz einfach zu diesen
9:31Beziehung wenn sie jetzt wirklich diese
9:34Gleichung hier einfach konkret für unser
9:37Beispiel wo wir eben um die e3achse
9:39drehen auswerten und sie gelangen dann
9:41eben zu den
9:44Vektoren ne e Delta und hier eben einmal
9:48dann eben die Komponenten der Drehung
9:51das sind dann eben dann die gedrehten
9:53basistensoren basistensor genau und das
9:55setze ich jetzt eben genau in diese
9:57Beziehung hier oben für den
9:59Spannungstensor
10:09ein und diesen Ausdruck der Skalare kann
10:13ich
10:14zusammenfassen zu den Komponenten meines
10:18spannungstensors im gedrehten
10:21Koordinatensystem kann man Delta
10:24Tilde und erhalte dann für meinen
10:27Spannungstensor im drehten
10:29Koordinatensystem Tilde die Darstellung
10:32σ GMA Delta mal der
10:34tensobasis im gedrehten
10:37Koordinatensystem im Tilden
10:42Koordinatensystem das heißt das ist
10:44eigentlich relativ analog zu dem was wir
10:46eben für den dreidimensionalen Fall
10:47hatten nur dass jetzt eben
10:49unsere Komponenten unsere Indizes nicht
10:51mehr von 1 bis 3 sondern eben nur von 1
10:54bis 2
10:55laufen und wenn man dieses jetzt
10:58wirklich einmal wirklich konkret
11:01auswertet und für die rkomponenten auch
11:04wirklich die
11:05richtungs cousiniie und die sinusse die
11:08sinusausdrücke einsetzt erhalten wir
11:10dann eben am Ende wieder die bekannten
11:13transformationsbeziehungen die wir auch
11:14schon für den dreidimensional gefall
11:16fallall gewonnen hatten jetzt eben nur
11:18für den zweidimensionalen
11:27fallall
11:39das heißt wenn Sie ein gegebenen
11:42Spannungszustand haben sie haben einen
11:44Spannungstensor mit den Komponenten σ1
11:471σ 22 und σ2 12 und sie wollen jetzt
11:53diesen Spannungstensor oder das
11:56Basissystem einfach um einen gewissen
11:58Winkel drehen nämlich um den winkel f
12:00können Sie mit diesen drei Gleichungen
12:02hier
12:03direkt die Spannungen im gedrehten
12:07Koordinatensystem berechnen und das
12:09heißt eigentlich nichts anderes als dass
12:11sie jetzt die Spannungen eben in diesem
12:15gedrehten Schnitt
12:20berechnen alternativ hätte man bei der
12:23Herleitung dieser
12:25transformationsbeziehung die ich Ihnen
12:26gerade gezeigt hatte da sind wir ja von
12:28der Formel haben wir die formale
12:29Herleitung vorgenommen aus der
12:31Definition des drehtensors alternativ
12:34hätte man auch diese Beziehung gewinnen
12:37können indem man
12:38gleichgewichtsbetrachtungen hier an
12:40diesem Element vorgenommen hätte das
12:43heißt alternativ das können sie mals
12:45Übung machen stellen Sie einfach mal das
12:47Gleichgewicht auf mit den hier
12:50angezeigten Spannungen vergessen Sie
12:52dabei nicht dass ein Gleichgewicht nur
12:53mit Kräften und nicht mit
12:56ähm Spannungen gemacht werden kann das
12:59heißt Sie müssen in diesem Fall eben
13:01über die Fläche auch integrieren
13:03sozusagen das heißt auch die Fläche muss
13:05dort reinspielen und so gelange sie
13:08genau auf die gleichen
13:10transformationsbeziehungen vielleicht
13:11auf eine etwas anschau anschaulichen Art
13:14und Weise im dreidimensionalen hatten
13:16wir uns als nächstes gefragt ob es
13:18ausgezeichnete Richtungen gibt in denen
13:21die Schubspannungen schwinden und nur
13:24Normalspannungen übrig blieben und diese
13:26Normalspannungen dann auch extremal
13:29wurden das nannten wir die
13:30Hauptrichtungen und die hauptspannungen
13:33und genau diese gleiche Fragestellung
13:34die ist natürlich noch vorhanden wenn
13:36wir uns auf den reduzierten
13:37zweidimensionalen Raum beziehen das
13:39heißt auch hier stellen wir uns jetzt
13:40die Frage wie bestimme ich die
13:42hauptspannungen und die zugehörigen
13:45Hauptrichtungen um diese Hauptspannung
13:47zu bestimmen haben wir eigentlich alle
13:48Methoden schon kennengelernt konkret
13:50haben wir genau zwei Methoden
13:51kennengelernt einmal als wir die
13:54hauptträgheitsmomente bestimmt hatten
13:55haben wir einen Weg kennengelernt und wo
13:58wir über die Extremwertaufgabe der
14:01transformationsbeziehungen gegangen sind
14:03wo wir die transformationsbeziehungen
14:06abgeleitet haben und dann eben nach
14:08Extrempunkten gesucht haben das war der
14:09eine weg und der zweite Weg den haben
14:11wir bei den hauptspannungen im
14:143D vollzogen das war die Formulierung
14:18dieses Problems als
14:19Eigenwertproblem ich möchte jetzt hier
14:21einmal genau den gleichen Weg verfolgen
14:23wir das bei der Ermittlung der
14:26hauptträgheitsmomente gemacht haben das
14:27heißt auch hier möch ich die
14:30transformationsbeziehungen in eine
14:32extremwertaaufgabe überführen und wenn
14:34wir das gemacht hatten dann gelangten
14:36wir am Ende zu dieser Beziehung mit dem
14:38Tangens 2 f und diese Beziehung war ja
14:41nicht eindeutig weil der Winkel die
14:43tangensbeziehung natürlich immer in 90°
14:45Abständen in PI halben Abständen
14:47sozusagen sich wiederholt und wir haben
14:50daraufhin dann eben additionstheoreme
14:53verwendet und sind dann zu eindeutigen
14:55Winkelbeziehungen gekommen Sinus und
14:57Cosinus Beziehung mit den wir eindeutig
14:59diesen Winkel um den wir drehen mussten
15:01bestimmen konnten und wenn wir das hier
15:04bei den hauptspannungen machen würden
15:05wir die Beziehungen wie folgt
15:15lauten das heißt das ist eigentlich
15:17genau die gleiche Beziehung die wir
15:19vorhin schon für die
15:23hauptträgheitmomente hatten dort war der
15:25Winkel F0 bezeichnet dann eben den kel
15:28die man drehen muss um in das
15:30haupttrekatsystem des Querschnitts zu
15:31kommen hier ist es jetzt der Winkel in
15:34den ich drehen muss um dann in die
15:36hauptspannungsrichtung zu kommen und
15:38statt der Flächenträgheitsmomente der JS
15:40tauchen hier in diesem Ausdruck jetzt
15:42eben die Komponenten des
15:44spannungstensors auf und analog ergibt
15:47sich das natürlich für die zweite
15:49Beziehung die
15:57cosinusbeziehung
16:00und mit diesen beiden Beziehungen kann
16:02ich dann eben direkt meine
16:05Winkel meine me diesen Winkel bestimmen
16:09der hauptspannungsrichtung und wenn ich
16:10diesen Winkel vull diese Beziehungen
16:12dann in die transformationsbeziehungen
16:14oben einsetze erhalte ich dann direkt
16:15meine hauptspannungen wie
16:26folgt und das ist die Beziehung bzw die
16:30zwei Beziehung weil ich ja ein und Z
16:32habe mit den ich dann direkt die
16:36Beträge meiner hauptspannungen
16:39ausrechnen kann bei einem gegebenen
16:43beliebigen
16:46Spannungszustand bei der Ermittlung der
16:48hauptnormalspannungen war die Frage die
16:50ob es einen Winkel gibt den ich schneide
16:52wo dann eben diese Normalspannungen
16:55maximal bzw extremal wurden es gibt auch
16:58eine minimale Spannung und äh die
17:02Schubspannungen verschwanden
17:04gleichzeitig in diesem Schnitt diese
17:07Frage des extremwertes kann ich
17:08natürlich auch für die Schubspannungen
17:10stellen das heißt ich kann auch nach
17:12einem Winkel suchen nach einem
17:14Schnittwinkel undter demem die
17:16Schubspannungen extremal werden das
17:19einzige was ich dabei wissen muss ist
17:21dass im gegensat zu den
17:23hauptnormalspannungen zu dem Schnitt zu
17:25den
17:25hauptnormalspannungen beim Schnitt zu
17:27den Haupt Schubspannungen die
17:30Normalspannungen nicht verschwinden das
17:33heißt anders als bei den
17:34hauptnmalspannung wo mein σ12 dann eben
17:370 war wird das hier im Falle der
17:40hauptschubspannungen nicht der Fall sein
17:41das heißt σ11 und σ22 werden nicht
17:44unbedingt Null sein und auch hier werden
17:47wir diese Richtung mit der man unter der
17:51der Schub maximal wird über eine
17:54extremwertaaufgabe
17:56bestimmen die extremwertafgabe bekommen
17:59wir aus der
18:00transformationsbeziehung der
18:02Schubspannungen das heißt wir
18:06haben die Beziehung mit der wir eben
18:10unsere Schubspannung im gedrehten System
18:16ermitteln und diese Bedingung diese
18:19transformationsbedingung muss gleich
18:20null se das muss extremal sein und wenn
18:22ich also diese
18:23transformationsbeziehung zur
18:25Schubspannung ableite erhalte ich
18:26folgenden Ausdruck
18:35und auch das konnte ich jetzt wieder
18:36freistellen und ich halte die eigentlich
18:38schon bekannte
18:49tangensbeziehung nur dass in dieser
18:51Beziehung jetzt natürlich nicht mehr der
18:52Winkel F0 auftauchte das war ja unsere
18:56Hauptrichtung sondern der Winkel viel
18:59Stern das ist der Winkel der uns die
19:01Schubspannungen maximal werden lässt und
19:05auch hier haben wir wieder die
19:06Problematik dass diese tangensbeziehung
19:08natürlich nicht eindeutig ist und ich
19:10kann eben entsprechend über die schon
19:12bekannten
19:13additionstheoreme auch hier zu
19:15eindeutigen Beziehung gelangen die dann
19:18wie folgt
19:27aussehen
19:33und mit diesen beiden Beziehungen
19:34gelingt es mir
19:36eeutig mein Winkel vi Stern zu
19:44bestimmen hier ist noch interessant ein
19:47Zusammenhang zwischen diesen beiden
19:48Richtungen herzustellen das heißt
19:50einerseits der Richtung die meine
19:52Normalspannungen normal maximal extremal
19:55werden ließ und die Schubspannungen
19:58verschwinden ließ das war der Winkel F0
20:01und dem winkel f Stern der meine
20:05hauptchubspannungen ergibt wo die
20:06Schubspannungen also extremal
20:11werden wenn man sich die beiden
20:13beziehungsgleichungen oder die beiden
20:14bestimmungsleichungen anguckt erkennt
20:17man dabei folgenden
20:25Zusammenhang es folgt aus einem
20:27einfachen enten
20:32Vergleich und das kann ich dann wie
20:34folgt zusammenfassen ich bekomme also
20:35die Beziehung zwischen dem winkel f
20:37Stern der meine Schubspannung extremal
20:39werden lässt und dem Winkel F0 wie folgt
20:41das stelle ich jetzt nach F Stern frei
20:44und
20:47sehe der Schnitt der meine
20:49Schubspannungen extremal werden lässt
20:52dass der einfach
20:54um pi4 das sind
20:5745° verschoben gegenüber dem Winkel ist
21:02der meine hauptnormalspannungen erliebt
21:05das was jetzt noch übrig bleibt ist wir
21:07kennen jetzt also den Winkel unterdem
21:09die Schubspannungen extremal werden
21:11jetzt geht es natürlich noch darum diese
21:13Schubspannung auch zu
21:16berechnen und dazu setze ich jetzt ganz
21:18einfach die für vi Stern gewonnene
21:21Beziehung in die
21:22transformationsgleichung ein und erhalte
21:27dann
21:33bzw wenn ich
21:35eben nicht die Komponenten des gegebenen
21:38spannungszustandes des gebenen
21:40spannungstensors verwenden werde sondern
21:42ich zufällig z.B die hauptpannungen
21:44schon kenne kann ich auch alternativ die
21:47Schubspannungen erhalten
21:53zu und das was ich jetzt als
21:55allerletztes noch bestimmen muss ich
21:57habe zu gesagt zu dieser Problematik
21:59dass die Normalspannungen nicht
22:01verschwinden in diesem Schritt das
22:03gucken wir uns jetzt einfach auch noch
22:04mal an das heißt wir setzen jetzt den
22:06Winkel V Stern auch noch in die
22:08transformationsbeziehung für die
22:10Normalspannungen ein und erhalten dann
22:12folgenden
22:14Ausdruck das sind jetzt die σ11 und 22
22:19Spannungen im Schnitt
22:25Stern und die gehen eben aus ein Drehung
22:29der des des spannungstensors des
22:31gegebenen spannungszustandes um diesen
22:33Winkel vi Stern
22:39hervor und Sie sehen dass eben dann die
22:43Normalspannungen in diesem Schnitt eben
22:46nicht
22:48verschwinden wir haben uns den Ebenen
22:51Spannungszustand angeguckt wo wir gesagt
22:54hatten okay wir
22:56haben eine Situation vorliegen wo wir
22:59sagen dass alle Flächen die senkrecht zu
23:03einer Achse liegen die auf einer Ebene
23:08steht dass die spannungsfrei sind und
23:10wir gelangten so zu dem sogenannten
23:12ebenenspannungszustand das heißt ich
23:13hätte Spannungen die nur noch in dieser
23:1512 Ebene wirkten und genau das Gleiche
23:19kann ich jetzt natürlich auch machen
23:20dass wenn ich sage okay es soll nicht
23:23nur alle Spannungen senkrecht zur
23:25dreiachse sondern z.B auch alle
23:27Spannungen senkrecht zur
23:30zweiachse verschwinden das heißt
23:33eigentlich verbleiben dann nur noch
23:36Spannungen in Richtung meiner
23:40einsachse und dann spreche ich vom
23:42sogenannten einachsigen
23:45Spannungszustand vom dreidimensionalen
23:48Spannungstensor sind wir auf den Ebenen
23:50Spannungszustand und jetzt auf den
23:52einachsigen Spannungszustand
23:55heruntergekommen hier in unserem
23:57Beispiel wollen wir jetzt mal definieren
24:00dass alle Flächen die senkrcht zu E3 und
24:03zuur E2 Achse stehen dass die
24:05spannungsfrei sein das ergt dann eben
24:07für unsere
24:08spannungskomponente
24:13folgendes und das gibt uns den
24:16einachsigen
24:19Spannungszustand und wenn wir das wieder
24:22uns im Spannungstensor in den
24:24Komponenten des spannungstensors
24:25angucken sehen wir folgendes
24:36dass alle Komponenten die hinten die
24:40Z oder die D stehen haben und natürlich
24:43aufgrund der Symmetrie auch vorne stehen
24:45haben dass die eben Null sind und das
24:49kommt einem Streichen der dritten Spalte
24:53und der dritten Zeile und der zwe te und
24:58der zweiten Zeile gleich und das was
25:01dann übrig bleibt das ist
25:07dann unser
25:10eindimensionaler
25:12Spannungszustand und der
25:14Spannungstensor vereinfacht sich in
25:16diesem Fall wie
25:21folgt es verbleibt nur noch die ein
25:26Basis und die Komponente
25:34σ1

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This page contains the full transcript of Ebener und einachsiger Spannungszustand by Medien für die Lehre, generated from the public captions YouTube serves with the video. The transcript has 2,817 words across 553 segments, with the original timestamps preserved so you can click any line to jump to that moment in the embedded player.

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