Dünnwandige, geschlossene Profile — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:06eine der wesentlichen Voraussetzungen
3. 0:09die wir bis jetzt hatten um die
4. 0:11Schubspannung in dünnwandigen
5. 0:12Querschnitten ermitteln zu können war
6. 0:13die dass wir einen spannungsfreien Rand
7. 0:16benötigten an dem wir unsere
8. 0:19laufkoordinate starten lassen konnten
9. 0:21jetzt haben wir allerdings die
10. 0:22Herausforderung dass eigentlich sehr
11. 0:24sehr viele Profile mit denen wir zu tun
12. 0:26haben gar keinen freien Rand haben das
13. 0:28sind z.B die sogenannten kastenprofile
14. 0:31die kastenförmigen Profile die sind
15. 0:33geschlossen haben insofern keinen freien
16. 0:35Rand und insofern auch keinen Punkt
17. 0:39ähm an dem wir unsere Integration
18. 0:41starten lassen können weil wenn keinen
19. 0:43kein Randwerte haben ne wir kennen
20. 0:44einfach keinen Ort an dem diese Spannung
21. 0:47Null
22. 0:48ist das gilt allerdings nicht für alle
23. 0:52querschnittstypen die geschlossen sind
24. 0:55helfen tun uns dabei Symmetrien bei der
25. 0:58Lösung dieses Problems das heißt wenn
26. 1:00wir uns Profile angucken die dünnwandig
27. 1:03sind und geschlossen sind und die eine
28. 1:05Symmetrie besitzen können wir auch mit
29. 1:08unseren bisherigen Mitteln dort die
30. 1:10Schubspannung ermitteln und das zeige
31. 1:12ich ihn im Folgenden das heißt wir haben
32. 1:14jetzt die Berechnung von Schubspannungen
33. 1:17von dünnwanigen geschlossenen
34. 1:27Profilen hier ist einmal so ein
35. 1:29dünnwiniger kastenquerschnitt gegeben
36. 1:31und das Besondere dieses
37. 1:32kastenquerschnitts ist eben dass der
38. 1:35symmetrisch
39. 1:38ist dieser quastenquerschnitt ist einer
40. 1:41äußeren Kraft Q3 unterworfen ne das ist
41. 1:45ja das was wir die ganze Zeit machen
42. 1:46wollen wir wollen ja die Schubspannungen
43. 1:49infolge der Querkraft ermitteln und wie
44. 1:52gesagt hier hilft uns jetzt das
45. 1:54Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften ich
46. 1:57mache einfach mal folgendes ich trage
47. 1:59jetzt einfach mal von diesem Querschnitt
48. 2:01nur die linke Hälfte
49. 2:09auf und lasse jetzt einfach mal tue
50. 2:12jetzt einfach mal so als wenn jetzt
51. 2:13dieser Querschnitt eben ein offener
52. 2:15Querschnitt wäre und trage dort jetzt
53. 2:17einfach mal meine laufkoordinate s ein
54. 2:20wie gesagt das mache ich jetzt einfach
55. 2:22mal wenn das wie gesagt ein offener
56. 2:25Querschitt wäre würde ich so das S
57. 2:27antragen und wenn ich das S so trage
58. 2:30dann würde ich dann eben dementsprechend
59. 2:32schubflüsse bekommen klein TS und diese
60. 2:35schubflüsse die kann ich jetzt
61. 2:38zu
62. 2:40schubkräften aufintegrieren das heißt
63. 2:43wenn ich sage okay ich füge jetzt
64. 2:47sogenannte Schubkräfte ein ich habe ja
65. 2:49hier jetzt ein ein Verlauf würde ich
66. 2:52jetzt
67. 2:53ermitteln meine schubfluss ne das was
68. 2:58ich jetzt hier Antrage das ist rein
69. 2:59fiktiv
70. 3:01der den Verlauf müsste ich ja erst noch
71. 3:05ermitteln und wie gesagt ne um noch mal
72. 3:08die die Herausforderung darzustellen ne
73. 3:10das Problem ist ich kenne jetzt diesen
74. 3:11randwert nicht ne ich weiß jetzt eben
75. 3:13nicht ob das tchuldig ob das T und damit
76. 3:16auch das Tau hier Null ist an dieser
77. 3:18Stelle das weiß ich nicht das kann
78. 3:19irgendein Wert haben aber ich tue jetzt
79. 3:22einfach mal so als wenn das ein offener
80. 3:23Querschitt ist und trage dann würde dann
81. 3:25dementsprechend schubflüsse erhalten und
82. 3:28diese schubflüsse die kann ich zu
83. 3:30schubkräften
84. 3:33zusammenfassen indem ich das Integral
85. 3:36entlang der
86. 3:37Querschnittsfläche bilden würde hätte
87. 3:40ich Schubkräfte ich nenne sie einfach
88. 3:43mal T1
89. 3:45T2 und
90. 3:48T3 und diese Schubkräfte wären nichts
91. 3:51anderes als
92. 4:00W jetzt nichts anderes als
93. 4:02die als der schubfluss integriert über
94. 4:06den jeweiligen querschnittsteil gut wenn
95. 4:09ich jetzt also diese
96. 4:11Querschnitts teile diese diese
97. 4:13integraation über alle querschnittsteile
98. 4:14durchführe bekomme ich für jeden
99. 4:16querschnittsteil eine Schubkraft eine
100. 4:19sogenannte teilschubkraft deswegen auch
101. 4:21das T und mit diesen teilschubkräften
102. 4:23die ich jetzt hier ermittelt habe die
103. 4:25kann ich jetzt mal wieder an meinem
104. 4:26Gesamtquerschnitt antragen
105. 4:31T1 T2 und
106. 4:35T3 und da ist ja Kräfte sind da ja
107. 4:39Kräfte sind muss ja die equivalenz
108. 4:42zwischen meinen teilschubkräften t
109. 4:44undter äußeren angreifenden Kraft
110. 4:47Querkraft Q3 gegeben sein das heißt die
111. 4:51teilschubkräfte und müssen equivalent
112. 4:53sein zu meiner äußeren Kraft Q3 und wenn
113. 4:56mir dann das angucke das System hier
114. 4:58dann kann es eigentlich nur ermaßen sein
115. 5:01ich habe keine Kraft in zwei Richtung
116. 5:03Wirken von außen das heißt diese Kräfte
117. 5:07hier T1 und T3 die müssen sich
118. 5:11gegenseitig
119. 5:12aufheben genau das gleiche ist
120. 5:16eigentlich mit der Kraft T2 aus
121. 5:17Symmetriegründen gibt es überhaupt gar
122. 5:19keinen Grund warum auf der linken Hälfte
123. 5:22sozusagen eine geringere Kraft wirken
124. 5:24sollte als auf der rechten Hälfte das
125. 5:27heißt ich habe da eigentlich das T2
126. 5:30die Kräfte T1 und T3 die müssen sich
127. 5:32aufheben wenn sie sich aber Unterseite
128. 5:34untereinander aufheben das heißt oben
129. 5:36unten dann hätte ich immer noch ein
130. 5:38Moment verbleiben das heißt die
131. 5:40Aufhebung kann nicht erfolgen durch
132. 5:42oberer und unterer Flansch sondern sie
133. 5:43muss
134. 5:44erfolgen
135. 5:46durch linke und rechte
136. 5:56Hälfte in diesem Moment können Sie jetzt
137. 6:00gucken okay T1 und T1 Strich die beiden
138. 6:03heben sich auf genau das gleiche unten
139. 6:06und ich habe T2 das nach unten wirkt
140. 6:08genau wie das Q3 das heißt in diesem
141. 6:10Moment wäre mein kräftesystem bestehend
142. 6:12aus den teilschirmkräften
143. 6:14Äquivalent mit der von außen wirkenden
144. 6:17Querkraft
145. 6:19Q3 und aus diesen Betrachtungen folgt
146. 6:22auch
147. 6:25sofort das heißt ich kann aus diesen
148. 6:27Betrachtung sofort meine halschubkräfte
149. 6:30zumindest die Verhältnisse untereinander
150. 6:31bestimmen und was auch wichtig ist ist
151. 6:34wenn ich hier das T1 oben in diesem
152. 6:37Punkt zum be in diesem Punkt das T1
153. 6:39einmal nach links wirken habe und einmal
154. 6:40das T1 nach rechts wirken habe aber hier
155. 6:43in diesem Punkt wo die querkreif
156. 6:45angreift trotzdem Gleichheit gefordert
157. 6:46ist das kann nur dann erfüllt sein wenn
158. 6:50in diesem Punkt das heißt in den Punkten
159. 6:53der
160. 6:54Symmetrieachse wo sozusagen die
161. 6:56teilschubkräfte oder die teilschubflüsse
162. 6:58voneinander wegfließen bzw aufeinander
163. 7:00zukommen wenn in diesen Punkten die Teil
164. 7:04der teilschubfluss der schubfluss null
165. 7:16ist und das ist das
166. 7:18wissen was ich benötige um mein
167. 7:22schuhfluss zu bestimmen es ist nämlich
168. 7:24so dass ich wenn ich geschlossene
169. 7:26Profile vorliegen habe es doch einen Ort
170. 7:29gibt an dem ich die randspannung kenne
171. 7:32oder BZ ja doch die randspannung kenne
172. 7:35und zwar ist das die Symmetrieachse in
173. 7:38der Symmetrieachse muss mein schubfluss
174. 7:41Null sein und das ist dann eben der Wert
175. 7:43V dem ich man meine laufkoordinate
176. 7:46losstarten lassen kann losstarten lassen
177. 7:50kann und dann gehe ich genauso vor wie
178. 7:52ich das bei offenen dünnwandigen
179. 7:54Querschnitten kennengelernt hatte die
180. 7:57einzige Besonderheit die ich vielleicht
181. 7:59da noch wissen muss ist eben die dass
182. 8:02ich eben
183. 8:03hier nur die Hälfte die Hälfte
184. 8:09meiner Querkraft eben in einer Hälfte
185. 8:12meines Profils befindet und genau das
186. 8:15möchte ich jetzt einfach mal an diesem
187. 8:17einfachen Beispiel des kastenquerschnits
188. 8:19auch bis zum Ende
189. 8:26durchexerzieren das heißt wir haben hier
190. 8:28auch den Querschnitt ein
191. 8:30kastenquerschnitt Vorliegen der mit
192. 8:31einer Last Q3 beaufschlagt wird die
193. 8:36querschnittsdicke sei Delta und konstant
194. 8:40über den kompletten
195. 8:47Querschnitt und gemäß des Schemas muss
196. 8:50ich jetzt starten mit der Festlegung der
197. 8:52laufkoordinate beginnen von Rändern an
198. 8:55denen ich den randwert der gleich n0 ist
199. 8:57weiß und das ist wie gesagt bei
200. 9:00geschlossenen Profilen wenn sie
201. 9:02symmetrisch sind
202. 9:04eben die Symmetrieachse das heißt ich
203. 9:06starte hier mit meinem s einmal nach
204. 9:09links gehend einmal nach rechts gehend
205. 9:11und dann wie das Wasser
206. 9:18fließt und habe damit mein s ermittelt
207. 9:21und jetzt kommt ganz einfach das
208. 9:23Abarbeiten des bereits zuvor
209. 9:25kennengelernten Schemas das heißt als
210. 9:27allererstes berechne ich jetzt die X3
211. 9:37deltalinie die X3 deltalinie ist nichts
212. 9:40anderes als die Multiplikation des
213. 9:43Abstands vom
214. 9:45Schwerpunkt multipliziert mit der Dicke
215. 9:48dazu muss ich einmal noch ganz kurz hier
216. 9:50oben mein Koordinatensystem einzeichnen
217. 9:53wir haben X3 nach unten und x2 nach
218. 9:56links rechts und die Breite des
219. 9:58krärchnits wird mit B
220. 10:00bezeichnet und die Höhe mit
221. 10:06H und erfolgt jetzt eben für den oberen
222. 10:10Flansch ganz einfach das Produkt der
223. 10:12Abstand ist 1/b H und multipliziert mit
224. 10:16der Dicke erhalte ich für
225. 10:20oben ein konstante eine konstante
226. 10:26Fläche mit dem randwert
227. 10:29Delta mal h
228. 10:32halbe dieser Wert geht um die Ecke rum
229. 10:37allerdings vom Betrag her aufgrund der
230. 10:42koordinatendefinition ne mein S ist nach
231. 10:44unten definiert und damit wäre mein
232. 10:46positive Seite auf der linken Seite Muso
233. 10:49sieht das jetzt aber hier weil es ein
234. 10:50negativer Wert ist ne ich habe minus ich
235. 10:53bin oberhalb des Schwerpunkts minus
236. 10:55Delta ma halbe deswegen muss ich das
237. 10:57eben hier
238. 10:58antragen und dann habe ich ganz einfach
239. 11:00einen linear veränderlichen
240. 11:02Verlauf die Dicke ist konstant aber die
241. 11:05Höhe das deltachuld das X3 verändert
242. 11:09sich ganz normal linear und unten kann
243. 11:12ich auch mal wieder zur Kontrolle machen
244. 11:14habe ich jetzt eben den Wert X3 jetzt
245. 11:16allerdings positiv ist jetzt h halbe mal
246. 11:22Delta auch hier geht der Wert um die
247. 11:25Ecke rum verbleibt dann allerdings
248. 11:28konstant beim Wert Delta mal h das ist
249. 11:32dann die Ermittlung der X3 deltalinie
250. 11:35danach geht es an die Ermittlung der S2
251. 11:39Linie das heißt die Ermittlung der
252. 11:41statischen
253. 11:45Moments und das statische Moment ist ja
254. 11:48nichts anderes als das
255. 11:49Integral dieses Verlaufs und damit weiß
256. 11:54ich sofort auch wie sich das
257. 11:57kann ich das direkt antragen und zwar
258. 11:59weiß ich ja an dieser Stelle in der
259. 12:01Symmetrieachse muss der Wert Null sein
260. 12:03und hier unten muss der Wert Null sein
261. 12:05na das war die Bedingung infolge der
262. 12:07Symmetrie was wir eben zuvor hergelattet
263. 12:10hatten dann habe ich anschließend eine
264. 12:12konstante Funktion die ich integrieren
265. 12:14muss das heißt diese Funktion die wird
266. 12:16sich linear
267. 12:19verändern und zwar wird sie linear auf
268. 12:22ein gewissen Wert anwachsen und dieser
269. 12:24randwert entspricht dem Flächeninhalt
270. 12:27eben dieser
271. 12:30eingeschlossenen Fläche das heißt ich
272. 12:31habe also einen linearen
273. 12:35Verlauf zwar negativ und der Wert den
274. 12:39ich hier am Ende habe der entspricht
275. 12:41nichts anderes als dem Flächeninhalt das
276. 12:43ist d mal he
277. 12:47halbe
278. 12:49mal die Breite des Querschnitts und die
279. 12:52Breite des querschitz ist eben
280. 12:57Bass ich hier randwert habe Delta mal h
281. 13:01mal B Viertel das ist eben der randwert
282. 13:04an der
283. 13:09Stelle dieser randwert geht sozusagen um
284. 13:12die Ecke rum das jetzt allerdings hier
285. 13:14alles auf der negativen Seite ist ist
286. 13:16das jetzt eben hier hier ist genau der
287. 13:18gleiche Startwert auch dieser Wert ist
288. 13:20Delta mal h mal B
289. 13:24vichuldigung die muss ich hier oben
290. 13:25antragen delte mal h mal b4erel so und
291. 13:29jetzt habe ich eben eine
292. 13:31linearveränderlichen Verlauf den ich
293. 13:33integrieren muss und zwar steigt meine
294. 13:36Funktion erstchuldig sie
295. 13:38fälltentschuldigung meine Funktion fällt
296. 13:40erst hat hier dann ein Nulldurchgang das
297. 13:42heißt hier habe ich ein
298. 13:44Maximum kann ich hier chuldigung ein
299. 13:47Extremum ich habe ein Extremum an dieser
300. 13:50Stelle
301. 13:54vorliegen meine Funktion fällt erst
302. 13:59Extremo vorliegen und
303. 14:02anschließend steigt sie wieder und zwar
304. 14:06auf den
305. 14:07randwert auch
306. 14:09wieder Delta mal h mal B vi dieser
307. 14:14randwert geht jetzt sozusagen wieder um
308. 14:17die Ecke rum das heißt ich starte auch
309. 14:18für den unteren Querschnitt mit dem
310. 14:20gleichen
311. 14:23randwert und habe jetzt sozusagen auch
312. 14:25wieder einen konstanten Verlauf den ich
313. 14:27integrieren muss dieser konstante
314. 14:29Verlauf integriert ergt ein linearen
315. 14:31Verlauf auf den randwert Null und ich
316. 14:34kann jetzt hier als Kontrolle einfach
317. 14:35mal noch mal gucken D Delta mal h Hal
318. 14:39mal B Hal ergt genau diesen randwert
319. 14:41hier das heißt das
320. 14:45passt und schon habe ich den Verlauf
321. 14:47meines statischen Momentes
322. 14:50ermittelt wie gesagt die gesamten
323. 14:53Bereiche hier sind
324. 14:55alle negativ wenn ich hier eben diese
325. 14:59Werte als
326. 15:01randordinaten
327. 15:03auffasse und nicht als Beträge muss ich
328. 15:07auch hier diese Werte dementsprechend
329. 15:10mit einem Minus
330. 15:12versehen und damit bin ich eigentlich
331. 15:15fertig jetzt muss ich nur noch aus
332. 15:17dieser Linie den schubspannungsverlauf
333. 15:22ermitteln und das ist ja nichts anderes
334. 15:25als eine letzte
335. 15:29mit einem
336. 15:38konstantenfaktor und dieser konstante
337. 15:40Faktor t von S ist ja nichts anderes als
338. 15:45Q3 durch
339. 15:47i22 mal B mal meim
340. 15:52s2shig von laufkoordinate das heißt mit
341. 15:55diesem Faktor hier muss ich dies Faktor
342. 15:59hier muss ich meine S-Linie diese
343. 16:01S-Linie hier multiplizieren und gelange
344. 16:04so zu meinem
345. 16:05schubspannungsverlauf da ich eben hier
346. 16:07ein Minus habe heißt das nichts anderes
347. 16:09als dass ich hier dieser Verlauf
348. 16:11sozusagen nur auf die jeweils andere
349. 16:13Seite des Profils gibt das Vorzeichen
350. 16:17wechselt und ich erhalte
351. 16:26dann den hier dargestellten Verlauf
352. 16:29wobei jetzt eben hier vorher war das S2
353. 16:32die ganze Zeit negativ jetzt ist es dann
354. 16:34eben die daraus resultierende
355. 16:36Schubspannung die ganze Zeit positiv und
356. 16:40was heißt das an dieser Stelle dass die
357. 16:42Schubspannung positiv ist das heißt dass
358. 16:44die Schubspannung in Richtung der
359. 16:46laufkoordinate
360. 16:56wirkt und der Vollständigkeit
361. 16:59kann ich jetzt eben hier die Linie auch
362. 17:01für den
363. 17:02Gesamtquerschnitt
364. 17:04vervollständigen und das ist eben wie
365. 17:07gesagt aufgrund der Symmetrie einfach
366. 17:10der gleiche Verlauf nur
367. 17:17gespiegelt und so habe ich den
368. 17:20schubspannungsverlauf für ein
369. 17:23geschlossenes dünnwaniges allerdings
370. 17:26symmetrisches Profil ermittelt