Die Weggrößenberechnung über die Verschiebungsarbeit — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:06neben dem Nachweis einer ausreichen
3. 0:08ausreichenden Festigkeit eines einer
4. 0:11Struktur ist eine weitere Aufgabe des
5. 0:14strukturmechanikers der nachzuweisen
6. 0:17dass auch die Deformation in einem
7. 0:19zulässigen Maß nur auftreten das heißt
8. 0:22ich muss auch die weggrößen berechnen
9. 0:24das heißt die Verschiebungen und
10. 0:26Verdrehungen die in einem Tragwerk
11. 0:28infolge äußerer Belastung auf treten
12. 0:31heute wollen wir dazu ein passendes
13. 0:32Werkzeug kennenlernen wie man das machen
14. 0:34kann und wir benutzen dazu die
15. 0:36energiesätze von Betty und maxwille die
16. 0:38wir das letzte Mal kennengelernt haben
17. 0:40das heißt das Thema der heutigen
18. 0:41Vorlesung ist die weggrößenberechnung
19. 0:44über die
20. 0:52verschiebungsarbeit stellen sich
21. 0:54folgende gegebene Situation vor Sie
22. 0:56haben ein Tragwerk das ist unser
23. 0:57klassischer Balken auf zwe stützen an
24. 1:00dem kann man eigentlich fast alles von
25. 1:01der Mechanik erklären und dieser wird
26. 1:05jetzt mit einer Einzellast
27. 1:09belastet und den Ort wo diese Last
28. 1:12angreift den bezeichnen wir jetzt mal
29. 1:14als den Ort K und dementsprechend die
30. 1:16Last als PK jetzt möchte ich die
31. 1:19Deformation an einem irgend beliebigen
32. 1:21Ort i
33. 1:24ermitteln und die zugehörige Deformation
34. 1:27bezeichne ich als Delta ik das heißt die
35. 1:30Aufgabe ist es jetzt wie groß ist die
36. 1:32Deformation das heißt in diesem Fall die
37. 1:34Verschiebung im Ort i infolge der
38. 1:36Belastung in K und der Weg den wir hier
39. 1:39zu wählen das ist der Weg über die
40. 1:41verschiebungsarbeit das heißt die
41. 1:47Idee wir nehmen die verschiebungsarbeit
42. 1:53über den Arbeitssatz verknüpfen wir Sie
43. 1:55mit der verschiebungsform
44. 1:58änderungsenergie
45. 2:02und die berechnet sich als Produkt aus
46. 2:05einer Kraft hier jetzt diesem Fall mal
47. 2:07PE genannt und einer Verschiebung der
48. 2:11Verschiebung in dem zugehörigen nicht
49. 2:12Schul nicht in dem zugehörigen t das ist
50. 2:14eine zugehörige Verschiebung aber an
51. 2:15einem beliebigen anderen Ort K jetzt
52. 2:17einfach mal hier gen an diesem Beispiel
53. 2:19und über den Satz von Maxwell wussten
54. 2:21wir dass wenn wir die Last P zu ein
55. 2:25setzen dass wir dann direkt die
56. 2:26zugehörige Verformung
57. 2:28herausbekommen
58. 2:33und dieses fik das ist jetzt genau die
59. 2:36Größe die wir eigentlich gesucht haben
60. 2:38weil das F ik K das ist die Verschiebung
61. 2:42der erste Index wenn sich dran erinnern
62. 2:44bezeichnet den Ort das ist also die
63. 2:46Verschiebung im Ort i infolge der Last
64. 2:50und das bezeichnet der zweite Index K
65. 2:52und das ist genau der Wert den wir
66. 2:53gesucht haben wenn sich das hier
67. 2:54angucken wir hab eine Last in K und wir
68. 2:56wollen die Verschiebung im Ort i wissen
69. 2:59das ist genau au unser
70. 3:18fik die verschiebungsarbeit und
71. 3:21dementsprechend dann die
72. 3:22verschiebungsform änderungsenergie die
73. 3:24berechnet sich dann ganz einfach wie
74. 3:25folgt wi =
75. 3:28fik mal 1 und wir haben diese 1 in
76. 3:32Anführungszeichen gesetzt weil es eine
77. 3:34gedachte Last ist das heißt wir denken
78. 3:36uns sozusagen eine Ort eine Last dorthin
79. 3:39und sind so dann in der Lage über den
80. 3:42Arbeitssatz den Satz von Maxwell dann
81. 3:45die Verschiebung in diesem Ort zu
82. 3:48berechnen und wenn man einmal diese Idee
83. 3:51verstanden hat dann gibt sich ganz
84. 3:52automatisch eigentlich der Algorithmus
85. 3:54den man daraus ableiten kann das heißt
86. 3:55ganz einfach das Kochrezept an Schritten
87. 3:58was ich vornehmen muss wenn ich eine
88. 4:00deformationsgröße das können sein
89. 4:02Verschiebung oder Verdrehungen an einem
90. 4:04beliebigen Ort des tragwckks ermitteln
91. 4:05will als allererstes muss ich nämlich an
92. 4:09dem Ort wo mich die Deformation
93. 4:10interessiert eine entsprechende
94. 4:13arbeitskonforme kraftgröße der Größe 1
95. 4:28aufbringen
96. 4:39und arbeitskonform heißt in diesem
97. 4:41Kontext wenn ich eine Verschiebung
98. 4:43wissen will dann muss ich dann eben
99. 4:44dementsprechend eine Kraft aufbringen
100. 4:46wobei man da berücksichtigen muss dass
101. 4:48ich nur den Anteil einer Verschiebung
102. 4:51berechne in den auch die Kraft wirkt das
103. 4:53heißt wenn mein
104. 4:54gesamtverschiebungsvektor mewegen in
105. 4:56diese Richtung äh geht und die Kraft die
106. 4:58ich aufbringe all lings in diese
107. 5:00Richtung zeigt dann ermittel ich von der
108. 5:02Verschiebung auch nur den Anteil der in
109. 5:04Kraftrichtung wirkt und wenn
110. 5:07demementsprechend wenn ich dann eben
111. 5:08eine Verdrehung eine Verdrehung Suche
112. 5:11muss ich eben ein Moment aufbringen das
113. 5:13ist mit dem Begriff arbeitskonform
114. 5:15gemeint und nachdem ich das gemacht habe
115. 5:17muss ich ganz einfach nur die
116. 5:18verschiebungsarbeit ermitteln und bin
117. 5:28durch
118. 5:41und wie sich die verschiebungsarbeit
119. 5:43über die verschiebungsform
120. 5:45änderungsarbeit oder Energie berechnet
121. 5:47das haben wir letztes Mal kennengelernt
122. 5:49das heißt wir haben unsere unser W und
123. 5:54wir brauchen nur die verschiebungs
124. 5:57vänderungsarbeit das ist das Wik
125. 6:00und das ist dann gleich Integral über
126. 6:03die Länge meines
127. 6:05betrachteten Balkens und
128. 6:08dann die Multiplikation der
129. 6:20Schnittgrößen Multiplikation der
130. 6:22Schnittgröße und zwar einmal der
131. 6:23Normalkräfte und zwar der Normalkräfte
132. 6:25inolge der Einl am I und der Norm te
133. 6:29infolge der äußeren gegebenen Last P im
134. 6:33Ort K und das gleiche natürlich mit den
135. 6:36Momenten ne die Momente infolge der
136. 6:38einslast im Ort i das ist meine mi Linie
137. 6:42und die Momente infolge meiner äußeren
138. 6:44gegebenen Last K im Ort K das ist mein
139. 6:48MK das wird jeweils dividiert durch die
140. 6:51zugehörigen Steifigkeiten und man kann
141. 6:54natürlich noch es gibt da noch eineitte
142. 6:55dritte Schnittgröße die wir kennen das
143. 6:57ist die Querkraft die lässt man
144. 6:58allerdings in der Regel ja man kann sie
145. 7:01vernachlässigen weil sie von einer
146. 7:02Größenordnung her eigentlich mindestens
147. 7:04um eine Größenordnung kleinere
148. 7:05Deformation liefert als die Normalkräfte
149. 7:08und die Biegemomente wenn man sich bei
150. 7:11einem Tragwerk oder mit einem Tragwerk
151. 7:14auseinandersetzt das mit der
152. 7:16balkentheorie mit der technischen
153. 7:18Biegetheorie berechnet werden darf
154. 7:20ansonsten ne muss man auch die
155. 7:23schubdeformation gesondert
156. 7:25berücksichtigen das heißt die einzige
157. 7:27die einzige Herausforderung die man
158. 7:28jetzt ich dann noch hat die
159. 7:30Schnittgrößen die können wir ohne
160. 7:31Probleme
161. 7:32ermitteln das ist ausreichend bekannt
162. 7:36die einzige Herausforderung die man
163. 7:38jetzt noch hat ist dass man ja
164. 7:40eigentlich von den Schnittgrößen die
165. 7:44funktionsverläufe benötigt die muss man
166. 7:47dann einmal multiplizieren und dann
167. 7:49diesen Ausdruck integrieren das heißt
168. 7:51das ist eigentlich etwas relativ
169. 7:54aufwendiges was man aber deutlich
170. 7:56dadurch vereinfachen kann dass man sich
171. 7:57einmal bewusst macht dass eigentlich die
172. 7:59strukturellen Situation mit denen wir es
173. 8:00zu tun haben ich meine wir haben
174. 8:03Einzellasten wir haben linienlasten die
175. 8:05auf Balken angreifen also so viele
176. 8:07Kombination Möglichkeiten gibt es da gar
177. 8:09nicht wir haben dreieckige
178. 8:11momentenflächen wir haben konstante
179. 8:13momentenfläche wir haben parabelförmige
180. 8:17momentenflächen und im schlimmsten Fall
181. 8:20einmal kubische momentenflächen aber das
182. 8:21war es auch schon mehr gibt es
183. 8:23eigentlich gar nicht das heißt wenn man
184. 8:26sich einmal die Mühe machen würde und
185. 8:28alle möglichen Formen von
186. 8:31momentenflächen aufschreibt und die
187. 8:33miteinander multipliziert und die
188. 8:34Integration durchführt dann breuchte man
189. 8:37ja eigentlich nur in Tabellen gehen und
190. 8:40diese Tabellen die gibt es tatsächlich
191. 8:42das sind die sogenannten
192. 8:56integraltafeln und die finden Sie in
193. 8:59in jedem Lehrbuch in unserem Script oder
194. 9:03in jedem
195. 9:10Tabellenbuch