Die gespeicherte elastische Energie — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:04hatten wir uns letztes Mal mit der
3. 0:06herführung der Arbeits und energiesätze
4. 0:09beschäftigt die die Arbeit verursacht
5. 0:12durch die inneren und die Arbeit der
6. 0:14äußeren Kräfte miteinander verknüpft so
7. 0:16möchte ich heute bei den inneren Kräften
8. 0:19verhaaren und möchte mich mit der
9. 0:22gespeicherten elastischen Energie
10. 0:28beschäftigen
11. 0:30das heißt wir möchten heute die Frage
12. 0:32beantworten wie berechne ich eigentlich
13. 0:34diese innere gespeicherte elastische
14. 0:36Energie als allererstes möchte ich noch
15. 0:38einmal dazu in Erinnerung rufen dass wir
16. 0:40uns hier jetzt bei der Betrachtung von
17. 0:43konservativen
18. 0:45Systemen aufhalten das heißt wir
19. 0:47betrachten Systeme deren Lasten aus
20. 0:50Potenzialen ableitbar sind und für so
21. 0:54ein konservatives System kann man ein
22. 0:58sogenanntes Formänderung poential
23. 1:01definieren das sieht dann wie folgt
24. 1:09aus wir haben hier wieder den bekannten
25. 1:13arbeitsausdruck die
26. 1:14formänderungsenergie der inneren Kräfte
27. 1:17Spannungen mal Verzerrungen Arbeit ist
28. 1:19immer gleich Kraft mal weg und diesen
29. 1:21Ausdruck hier dieses Skalarprodukt der
30. 1:24spannungstensors multipliziert mit dem
31. 1:27verzerrungstensor dies bezeichnet man
32. 1:29als spezifisches
33. 1:40vänderungspential das ist der erste
34. 1:43Ausdruck den ich heute einführen möchte
35. 1:45und als zweites möchte ich ein ein den
36. 1:49Ausdruck des komplementärpotentials
37. 1:51einführen und um diesen Ausdruck
38. 1:53einzuführen müssen wir uns einmal die
39. 1:55spannungsdehnungskurve eines ganz
40. 1:56normalen linearelastischen Versuchs
41. 1:59idealerweise und am anschaulichsten zu
42. 2:01zeigen einem ein D versuch einmal
43. 2:03anschauen das heißt ich habe
44. 2:08hier ein spannungsdehnungsdiagramm und
45. 2:11innerhalb dieses
46. 2:13spannungsdehnungsdiagramms wird jetzt
47. 2:14meine verformungskurve
48. 2:16aufgezeichnet das heißt ich habe jetzt
49. 2:18eine Feder z.B die ich jetzt ziehe oder
50. 2:22ein noch besser ein Zugstab den ich
51. 2:24jetzt ziehe und wir nehmen die ganze
52. 2:26Zeit die Dehnung auf die wir aufbringen
53. 2:28und wessen die Zugehör Spannung und das
54. 2:30ist das was ich dann eben erhalte wir
55. 2:33wissen dass der E-Modul sich in diesem
56. 2:35Diagramm wiederfindet und zwar in Form
57. 2:37der Steigung der
58. 2:43gerade und wenn wir jetzt z.B
59. 2:46irgendeinen bestimmten Punkt uns
60. 2:47herausnehmen diesen hier jetzt
61. 2:53z.B ist hier der Dehnung eine bestimmte
62. 2:57Spannung zugeordnet und wir wollen jetzt
63. 3:00einmal die gespeicherte elastische
64. 3:01Energie dazu zu bestimmen dazu bestimmen
65. 3:04dazu nehmen wir als allererstes uns mal
66. 3:06das stoffgesetz her dass ja die
67. 3:10Verzerrungen und die Spannungen
68. 3:12miteinander verknüpft hier im ein Fall
69. 3:15gemäß des hugchen Gesetzes und die
70. 3:17gespeicherte verzerrungsenergie das ist
71. 3:20nichts anderes als hier das
72. 3:23formänderungspotential dieser
73. 3:25inkrementelle Ausdruck eben jetzt
74. 3:27integriert über das verzerrungs das
75. 3:30heißt entlang der
76. 3:35dehnungszustände ja wir haben hier
77. 3:37erstmal die inkrementelle Formulierung
78. 3:38das heißt unser dui unser Inkrement der
79. 3:41des spezifischen
80. 3:43vänderungspotentials das ist genau
81. 3:45dieses hier ist σ Skalar D und weil wir
82. 3:47im 1 Fall sind das schreibe ich mal hier
83. 3:49hin bewegen uns im 1
84. 3:53Fall ist das eben nichts anderes als
85. 3:57dui= sig mal d
86. 4:00und weil wir hier das jetzt in
87. 4:03sogenannter
88. 4:05verschiebungsgesteuert er fahren das
89. 4:07heißt wir erhöhen unser
90. 4:09verzerrungsinkrement sagt man eben okay
91. 4:11das Epson wird mit dem inkrementellen D
92. 4:15versehen das ist das was ich
93. 4:16inkrementell steigere und in Funktion
94. 4:19und funktionale Abhängigkeit davon
95. 4:20ergibt sich dann eben die Spannung σma
96. 4:22als Funktion von
97. 4:25EP hier eingesetzt das
98. 4:28werkstoffgesetz hte ich halte ich einen
99. 4:31Ausdruck allein in Epsilon und den muss
100. 4:33ich jetzt einmal integrieren über die
101. 4:36EPS um dann eben das UI zu erhalten die
102. 4:40spezifische das spezifische
103. 4:46formänderungspotential und das ist jetzt
104. 4:48nichts anderes als dieser Ausdruck
105. 4:49einmal integriert über EPS was heißt ich
106. 4:54habe einen anfangsdehnungszustand und
107. 4:56integriere auf dem Weg zum
108. 4:58enddehnungszust Zustand hin
109. 5:00konsequenterweise ergibt sich hier jetzt
110. 5:03die
111. 5:08Spannung die Spannung hier ergibt sich
112. 5:11jetzt konsequenterweise als Ableitung
113. 5:14des spezifischen
114. 5:16vänderungspotentials das kommt ganz
115. 5:18einfach draus wenn ich diesen Ausdruck
116. 5:20einfach umforme und nach Sigma
117. 5:25freistelle und diesen Ausdruck den
118. 5:28wollen wir uns einmal merken das heißt
119. 5:30die Spannung ergibt sich als Ableitung
120. 5:33des spezifischen
121. 5:35formänderungspotentials nach den
122. 5:37Dehnungen und was ist jetzt die
123. 5:39gespeicherte elastische Energie das wird
124. 5:41uns sofort klar wenn wir uns diesen
125. 5:43Ausdruck hier
126. 5:45angucken bzw sagen dass das UI am Ende
127. 5:49ein Integral über diesen Ausdruck hier
128. 5:52ist das ist eigentlich nichts anderes
129. 5:53als dass wir uns
130. 5:54angucken welche Fläche befindet sich
131. 5:57eigentlich unter unserer grade
132. 6:00und das ist genau das was Sie hier sehen
133. 6:02das ist nichts anderes als die
134. 6:04flächenbeschreibung ein halb e mal
135. 6:06quadr bzw e mal
136. 6:09g sig 1/ sig mal
137. 6:11nichts anderes als 1/b
138. 6:17mal breite EP mal Höhe Sigma und ein
139. 6:22halb eben weil wir ein Dreieck vorliegen
140. 6:26haben das ist also die gespeicher
141. 6:30elastische Energie im eindimensionalen
142. 6:32Fall in unserem Körper wir haben jetzt
143. 6:35hier bei dieser Darstellung uns dazu
144. 6:37entschieden an dieser Stelle
145. 6:41hier die Verschiebung langsam zu erhöhen
146. 6:45das heißt wir bringen einen
147. 6:46verschiebungs respektive wenn man den
148. 6:48längenfaktor rausnehmen will ein
149. 6:50verzerrungsinkrement auf und halt
150. 6:51ermitteln dann sozusagen die zugehörige
151. 6:53Spannung man kann aber genauso gut
152. 6:55anders vorgehen und sagen nein ich
153. 6:58möchte nicht die Verzerrung inkrementell
154. 7:00erhöhen sondern ich möchte die Spannung
155. 7:02inkrementell erhöhen was heißt denn das
156. 7:04in unserem Diagramm würde das nichts
157. 7:06anderes heißen als dass wir jetzt eben
158. 7:08nicht mehr auf der
159. 7:10ep-achse inkrementell vorgehen sondern
160. 7:12wir gehen jetzt auf der
161. 7:15ma-achse inkrementell nach oben heißt
162. 7:17wir machen eigentlich nichts anderes als
163. 7:19dass wir unser Diagramm anders
164. 7:21darstellen wir haben jetzt hier als
165. 7:25Abszisse unser σma und unser EP als
166. 7:28ordinat
167. 7:31wir haben hier immer noch unsere
168. 7:34linearelastische gerade drin der Winkel
169. 7:37den wir jetzt hier aber beschreiben das
170. 7:38ist jetzt nicht mehr der E-Modul sondern
171. 7:40der inverse E-Modul das
172. 7:46heißt
173. 7:48hostangens 1 durch E dementsprechend
174. 7:51müssen wir eben auch ein Inverses
175. 7:54stoffgesetz
176. 7:56anwenden heiß es ist alles genau das
177. 7:58gleiche nur dass wir jetzt sozusagen
178. 8:00unsere variable austauschen anstatt σma
179. 8:03Entschuldigung anstatt ys jetzt als
180. 8:05Variable zu verwenden verwenden wir
181. 8:06jetzt das σma als Variable
182. 8:08dementsprechend müssen wir natürlich
183. 8:09jetzt unser hugsches werkstoffgesetz
184. 8:12freistellen und wir haben jetzt auch
185. 8:16unsere gespeicherte Energie dort drin
186. 8:19die wir jetzt
187. 8:20aber zur Unterscheidung von dem was wir
188. 8:23vorher hatten komplementärenergie nennen
189. 8:28wollen warum komplementärenergie darauf
190. 8:30komme ich gleich noch zu
191. 8:32sprechen lassen sie uns erstmal aber
192. 8:34einfach bei diesem Ausdruck bleiben das
193. 8:36heißt wir nennen es jetzt die
194. 8:37komplementärenergie und diese
195. 8:39komplementärenergie ist eben jetzt
196. 8:41nichts anderes als dass wir sagen
197. 8:44okay wir haben jetzt
198. 8:48[Musik]
199. 8:49eben ein dui komplementär ist jetzt
200. 8:53gleich ein EP in Abhängigkeit von
201. 8:57σma mal d EP und dort setzen wir
202. 9:01Entschuldigung mal D
203. 9:03Sigma und dort setzen wir jetzt eben
204. 9:05unser Inverses werkstoffgesetz
205. 9:11ein und völlig analog zu dem was wir
206. 9:14vorher gemacht haben bei der Herleitung
207. 9:16des
208. 9:17vänderungspotenzials müssen wir jetzt
209. 9:19auch hier diesen Ausdruck Energien
210. 9:21integrieren um zu unserem
211. 9:24komplementärptenzial zu
212. 9:27kommen das ist dieser Ausdruck hier und
213. 9:30das ist eigentlich nichts anderes als
214. 9:32wenn wir uns jetzt wieder hier unser
215. 9:33Diagramm angucken wir haben hier nichts
216. 9:36anderes wieder als ein Flächeninhalt
217. 9:38diesmal
218. 9:40allerdings ist unsere breite das Sigma
219. 9:43und die Höhe ist das
220. 9:48Epson und auch hier ist die gespeicherte
221. 9:52Energie wier der Flächeninhalt unter der
222. 9:56gerade jetzt kann ich aber dieses was
223. 9:59was ich hier jetzt extra gezeigt habe
224. 10:00auch genauso gut in unserem
225. 10:02ausgangsdiagramm
226. 10:04darstellen ind dem H was wir zu Anfang
227. 10:08hatten und eigentlich ist das nichts
228. 10:10anderes als das was wir uns eben
229. 10:11angeguckt haben nichts anderes als
230. 10:13dieses Diagramm einmal um 90° gedreht
231. 10:15und dann haben wir als
232. 10:20Flächeninhalt das was wir hier berechnet
233. 10:23haben das was wir hier berechnet haben
234. 10:271/b durch E malσ Quadrat ist ja nichts
235. 10:30anderes als ein/b e mal EP wieder das
236. 10:34ist genau das gleiche wie hier 1/2b e
237. 10:36mal EP und dieser dieser dieser dieser
238. 10:40Energieanteil der ergibt sich sozusagen
239. 10:42komplementär zu dem spezifischen
240. 10:45formänderungspotenzial was wir zuvor
241. 10:47ergeben haben und beide Energien
242. 10:49zusammengesetzt ergeben dann den
243. 10:52Flächeninhalt sozusagen dieses dieses
244. 10:55dieses Rechtecks das heißt sie
245. 10:57komplementieren dieses dieses sie
246. 11:00komplettieren dieses Rechteck und
247. 11:01deswegen spricht man davon auch von
248. 11:04komplementär
249. 11:06Potential und auch bei diesem
250. 11:08Potenzial bei dem komplementären
251. 11:11Potenzial ergibt sich ein ähnlicher
252. 11:14Zusammenhang nämlich der dass wenn ich
253. 11:19dieses Potential ableite ich nenne es
254. 11:21jetzt mal
255. 11:22dui in Abhängigkeit von EP das ist jetzt
256. 11:26mal ein komplementärptential die ich
257. 11:29jetzt eben
258. 11:31abchuldigung das ist genau der Kasus
259. 11:33knaktus natürlich jetzt nicht in
260. 11:34Abhängigkeit von S Abhängigkeit von MA
261. 11:37das heißt das dui in Abhängigkeit von
262. 11:40was wir zuvor hatten das ist mein
263. 11:42formänderungspotenzial und das dui in
264. 11:43Abhängigkeit von Sigma das ist mein
265. 11:51komplementärpotential das ist nichts
266. 11:52anderes als dui nach D mal D Sig und
267. 11:58hierus ergt sich dass wenn ich die
268. 12:02Verzerrungen erhalten möchte dass ich
269. 12:04das
270. 12:06vänderungspenal dui welches nun Inma
271. 12:09formuliert ist nachma aiten muss und
272. 12:13dann erhalte ich eben meine Verzerrung
273. 12:17wenn man sich dieses Diagramm jetzt hier
274. 12:20anguckt dann kann man also
275. 12:22schlussendlich sagen dass die
276. 12:26gespeicherte elastische Energie jeweils
277. 12:29der Hälfte dieses Rechtecks bestehend
278. 12:33aus dem Produkt von σma mal
279. 12:35besteht und diese beiden Hälften sind
280. 12:37natürlich dann auch gleich groß das
281. 12:39heißt man darf den Schluss tun dass das
282. 12:49komplementärpotential gleich meiner
283. 12:52Verzerrung gleich me
284. 12:54vomänderungspotential formulierten
285. 12:55sigσma
286. 12:56ist welches identisch ist ist mit dem
287. 12:59vom
288. 13:01änderungspotential formuliert in den
289. 13:03Verzerrungen und daraus folgt dann eben
290. 13:07dass mein komplementärpential UI Stern
291. 13:10g=ich mein UI von σma ist und das gleich
292. 13:14mein UI von
293. 13:16das heißt es ist es für das
294. 13:18vänderungspotential völlig belanglos ob
295. 13:20ich dieses vänderungspotential in den
296. 13:22Spannungen oder in den Verzerrungen
297. 13:24definiere ich bekomme beides mal den
298. 13:27gleichen Wert heraus und kann daher
299. 13:30beide Formulierungen völlig Äquivalent
300. 13:32zueinander verwenden wir haben jetzt die
301. 13:35Begriffe vom
302. 13:38änderungsenergie elastisches Potential
303. 13:40und komplementärpential eingeführt
304. 13:43hatten das aber bis jetzt nur fürs
305. 13:44eindimensionale Problem formuliert und
306. 13:47möchten das jetzt natürlich wieder
307. 13:48erweitern auf unsere allgemeine
308. 13:51dreidimensionale
309. 13:53Betrachtungsweise das heißt ich starte
310. 13:55als allererstes
311. 13:57damit das elastische
312. 14:03Potential zu
313. 14:09formulieren und beim elastischen
314. 14:11Potenzial hatten wir die Spannungen in
315. 14:14Abhängigkeit in als Funktion von den
316. 14:16Verzerrungen definiert und genau das
317. 14:18gleiche machen wir jetzt hier auch das
318. 14:20heißt wir schreiben erstmal hin unsere
319. 14:21Spannung als Funktion der Verzerrungen
320. 14:24das kennen wir schon aus den anfäng der
321. 14:26Mechanik 2 dort haben wir schon den
322. 14:28allgemeinen den allgemeinen
323. 14:30Spannungszustand heringeleitet und auch
324. 14:32den die Abhängigkeit der Spannung in
325. 14:34Form von von den
326. 14:41Verzerrungen und genau das war der
327. 14:43Ausdruck den wir damals erhalten hatten
328. 14:45das war das
329. 14:46stoffgesetz für das allgemeine System
330. 14:49dreidimensional
331. 14:51formuliert das was vor eben unser Sig
332. 14:53ist GLE eben immer war das ist jetzt
333. 14:55eben hier für den allgemeinen
334. 14:56dreidimensionalen Spannungszustand und
335. 14:59daraus können wir eben ganz einfach
336. 15:00jetzt eben die gespeicherte Energie
337. 15:02berechnen und zwar war das ja nichts
338. 15:04anderes als die V Änderungs das
339. 15:08vänderungspotenzial erstmal
340. 15:14hergeleitet das war das Skalarprodukt
341. 15:17zwischen der Spannung Skalar
342. 15:18multipliziert mit den Verzerrungen und
343. 15:20wenn wir die gesamte vänderungsenergie
344. 15:23das heißt die gesamte gespeicherte
345. 15:25Energie erhalten wollten mussten wir
346. 15:26eben
347. 15:27integrieren
348. 15:30und zwar beginnt von unserem
349. 15:31Ausgangszustand y = 0 bis zu unserem
350. 15:34mzustand
351. 15:35das heißt unserem vorliegenden
352. 15:40verzerrungszustand und in diesen
353. 15:41Ausdruck müssen wir jetzt
354. 15:43einfach in dieses σma müssen wir jetzt
355. 15:46einfach dieses hier einsetzen setzen
356. 15:49also einfach diese Formulierung für
357. 15:50Sigma hier ein unser dreidimensionales
358. 15:52werkstoffgesetz setzen wir ein und
359. 15:54müssen dann über
360. 15:57integrieren und gelangen so am Ende zu
361. 16:00unserer
362. 16:14vänderungsenergie das ist nichts anderes
363. 16:16als dieser Ausdruck hier jetzt eben nach
364. 16:18EP integriert deswegen kommt hier ein
365. 16:20halb y Quadrat vor und hier dieser
366. 16:24Ausdruck ebenfalls zum
367. 16:27Quadrat und umgekehrt wenn Sie diesen
368. 16:30das kann man als Probe jetzt verwenden
369. 16:31wenn Sie diesen Ausdruck jetzt hier
370. 16:34wieder nach EPS
371. 16:44ableiten wenn Sie diesen Ausdruck wieder
372. 16:47nach Epson ableiten müssen sie am Ende
373. 16:50wieder bei der Spannung angelangen und
374. 16:54zwar in der Art und Weise wie es hier
375. 16:56oben im dreidimensional werkstoffgesetz
376. 16:59angegeben ist das kann man einfach noch
377. 17:02mal machen um dann ebeno eine interne
378. 17:03Kontrolle zu haben ob man die
379. 17:04Integration wirklich durchgeführt hat
380. 17:08man kann an dieser Stelle auch sagen
381. 17:10dass in dem Moment wo ich ein
382. 17:12undformierten Zustand vorliegen habe das
383. 17:15heißt wo mein
384. 17:16wo mein y 0
385. 17:19ist dass dort die
386. 17:21gespeicherte
387. 17:23vänderungsenergie das die gespeicherte
388. 17:25elastische Energie in meinem Körper dass
389. 17:27die dann eben auch ull ist ganz einfach
390. 17:30dran ich habe zwei summanten hier der
391. 17:32erste Term wird dann eben Null und hier
392. 17:33der zweite wird auch null hier das ist
393. 17:37kein Minus sondern ein durchgehender
394. 17:39Bruchstrich auch der zweite Term wird
395. 17:42dann Null und damit heißt es für ein
396. 17:43undef undformierten Zustand wo man = 0
397. 17:47ist wird auch meine formänderungsenergie
398. 17:49g= 0 und genauso wie ich hier für das
399. 17:53elastische Potential die
400. 17:56Formulierung von der V vom
401. 18:00änderungspotential in EP vorgenommen
402. 18:02habe kann ich natürlich auch das
403. 18:04komplementärpential Heranziehen und die
404. 18:06Form die Formulierung hier in
405. 18:08Abhängigkeit von sigσma vor durchführen
406. 18:11dazu muss ich als allererstes hier
407. 18:14dieses werkstoffgesetz was für den
408. 18:16Ausgang bildete in der inversen Art
409. 18:27darstellen
410. 18:29das habe ich hier jetzt an dieser Stelle
411. 18:31getan das heißt es ist nichts anderes
412. 18:33als der Ausdruck hier oben invertiert
413. 18:34und ansonsten führe ich jetzt genau die
414. 18:36gleichen Operationen durch das heißt um
415. 18:38am Ende zu
416. 18:40meiner gespeicherten Energie zu kommen
417. 18:43muss ich dann eben hier das vom
418. 18:45änderungspotential inkrementell
419. 18:47formulieren und einmal integrieren und
420. 18:49ich gelange dann am Ende zu dem
421. 18:57Ausdruck
422. 19:02was völlig eququivalent zu dem oben
423. 19:05eingekreisten Ausdruck für
424. 19:07das
425. 19:09vomänderungspotential ist nur dass hier
426. 19:11eben die Formulierung des
427. 19:14vomänderungspotentials in Abhängigkeit
428. 19:15von σma und nicht in Abhängigkeit von
429. 19:17EPS vorgenommen wurde und natürlich kann
430. 19:20ich auch hier die gleichen Schritte
431. 19:21verführen das möchte ich mir hier an
432. 19:22dieser Stelle ersparen das heißt wenn
433. 19:24Sie diesen Ausdruck dann eben nach sig
434. 19:28ableiten erhalten Sie dann eben auch
435. 19:29wieder das EP so wie sie eben hier oben
436. 19:33wenn Sie den Ausdruck die formänderungs
437. 19:35das formänderungspotenzial nach
438. 19:37abgeleitet haben σma erhielten so halten
439. 19:39Sie hier wenn Sie das
440. 19:40vomänderungspotenzial in sigσ nach σma
441. 19:43ableiten eben die Verzerrung
442. 19:46EP und auch hier gilt an dieser Stelle
443. 19:50dass wenn Sie einen spannungslosen
444. 19:52Zustand haben das heißt wenn ihr σma = 0
445. 19:54ist dass auch dann ihre elastische
446. 19:57vänderungs Energie dass die dann auch
447. 19:59eben null ist und das heißt dass für den
448. 20:02linearelastischen Körper im
449. 20:05undeformierten Zustand der Spannungs und
450. 20:08der verzerrungszustand identisch sind
451. 20:10das ist wie gesagt bei den
452. 20:12linearelastischen
453. 20:13el Problem nimmt man das vielleicht als
454. 20:16Selbstverständlichkeit hin aber es gibt
455. 20:18eben nicht nur elastisch sich
456. 20:20verhaltende Materialien und da ist diese
457. 20:23Unterscheidung ganz entscheidend aber
458. 20:24hier bei den linearelastischen System
459. 20:26heißt es im undeformierten Zustand sind
460. 20:28der verformungs und der
461. 20:29verzerrungszustand
462. 20:36identisch