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Die Formänderungsarbeit bei geraden Stäben — Transcript

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0:00[Musik]
0:05wir haben uns das letzte Mal mit der
0:08elastischen Energie die in einem Körper
0:11gespeichert wird befasst
0:13und das war eben für ganz allgemeine
0:16Körper gegeben wir behandeln aber
0:19eigentlich in unseren Vorlesung immer
0:20Strukturen das heißt wir haben
0:22eigentlich uns immer mit Stäben
0:23auseinander gesetzt und die Frage die
0:25ich heute beantworten möchte ist wie
0:27kann ich diese allgemein dreiimension
0:30Formulierung die wir für das
0:31vänderungspotenzial letztes Mal gefunden
0:33haben für Stäbe anwenden bzw welche Art
0:37des vänderungspotenzials ergibt sich bei
0:40den Stäben diese Frage möchte ich heute
0:49beantworten dazu muss ich noch einmal
0:52ganz kurz rekapotieren was wir
0:53eingeführt hatten wir hatten das
0:55spezifische vänderungspotential
0:58eingeführt
1:05wobei sich das Inkrement des
1:08vänderungspotentials eben als
1:09Skalarprodukt zwischen dem der Spannung
1:12und der Inkrement der Verzerrung ergeben
1:14hatte bzw wir waren ja auch in der Lage
1:16es komplementär zu
1:20formulieren das Inkrement der Arbeit
1:23hingegen ergab sich nun wie
1:27folgt wir hatten das der
1:31formänderungsarbeit und das war
1:33definiert als Integral über das
1:37Volumen des inkrements des
1:41formänderungspotentials wenn ich jetzt
1:43sage dass ich das Volumen jetzt erstmal
1:45nicht betrachten
1:47möchte das Volumen soll jetzt erstmal
1:49außen vorlassen und ich integriere
1:51sozusagen nur diesen Ausdruck di dann
1:54spricht man vom sogenannten Volumen
1:56spezifischen vom
1:58änderungspotential bzw wenn ich das
2:02dui als Funktion von sigσma formuliere
2:05dann ist es das Volumen spezifische
2:09komplementärpential und das ist das
2:11Potential was ich brauche um die
2:13formänderungsarbeit bei geraden Stäben
2:28herzuleiten so und
2:30dieses komplementärpotential auszuwerten
2:33wechsel ich von der allgemeinen
2:35Darstellung die wir letztes Mal hatten
2:37von der tensordarstellung in die
2:39indexschreibweise und so wird aus
2:41unserem skalaren Produkt des
2:44spannungstensors σma Skalar mit sigσma
2:47in in indexschreibweise σ Index KL malσ
2:51Index KL und das gleichen
2:54unser unser quadratausdruck mit dem
2:57identitätstensor wird gleichσ KK zum
3:00Quadrat das heißt ich werde jetzt das
3:03vom änderungspotential formuliert in
3:05sigσma was das komplementärpotential ist
3:08einfach mal in tensorschreibweise aus
3:11und gelange so wirklich ganz konkret zu
3:14dem Wert dieser gespeicherten Energie
3:16für ein Körper wir wollen uns jetzt aber
3:19nicht mit Körpern beschäftigen sondern
3:21mit Stäben und bei den Stäben hatten wir
3:24Vereinfachungen getroffen diese
3:26vereinfachen Vereinfachungen
3:28resultierten daraus dass eben ein Stab
3:30sehr viel länger ist als breit und hoch
3:33und wir waren im Zuge dessen eben in der
3:36Lage gewisse Vereinfachungen zu treffen
3:38und haben auch nachgewiesen dass diese
3:40Vereinfachungen durchaus sinnvoll sind
3:42und diese Vereinfachungen betrafen unter
3:45anderem die Spannungen und so haben wir
3:48z.B gesagt dass für gerade
3:55Stäbe sowohl die
3:58Normalspannungen in zwei als auch in
4:00drei Richtung das sind die
4:02Normalspannungen sozusagen
4:04senkrecht zur Stabachse wenn das Maline
4:07Stabachse ist die Normalspannungen
4:09senkrecht zur Stabachse die sind Null
4:11das heißt auf Schritten auf Schnitten
4:13deren normale senkrecht zur Stabachse
4:17zeigt dort wirken keine Spannungen das
4:19war eine Annahme bei den Stäben die wir
4:22getroffen haben und die zweite ist die
4:23dass auch die Schubspannungen die aus
4:26den Ebenen
4:27herauszeigen dass die auch gleich n0
4:31sind das sind wie gesagt Annahmen die
4:33aus der Betrachtung der balkentheorie
4:42kamen und natürlich sollen auch alle
4:44weiteren Annahmen die wir getroffen
4:46haben bei der technischen bgthorie z.B
4:48die Annahmen nach benulli weiterhin
4:50Bestand haben mit diesem Wissen und im
4:54Wissen dass diese Spannungen Null sind
4:56und das hier oben in diesen Ausdruck
4:58eingesetzt
5:00vereinfacht s unser
5:11vänderungspotential und zwar in dieser
5:13Art und Weise von den Spannungen von den
5:17Normalspannungen bleiben dementsprechend
5:20nur die 1 Spannungen übrig das heißt wir
5:23haben hier ein Term mit den
5:25Normalspannungen in stabachsenrichtung
5:26zum Quadrat und hier von den
5:30termenchuldig von den gemischten Termen
5:32hier
5:34bleiben auch nur auch nur die
5:38Schubspannungen in 21 und in 31 Richtung
5:41übrig und die jeweils zum Quadrat diesen
5:44Term kann man jetzt noch weiter
5:47vereinfachen die erste Vereinfachung die
5:49fällt ein vielleicht
5:50auf wenn man sich diesen termuckt diesen
5:54klammerausdruck hier wo wir die beiden
5:57Schubspannungen zum Quadrat haben wenn
5:59man sich das nämlich einmal aufzeichnet
6:01dann haben wir als allererstes die
6:03Schubspannungen 21 das heißt in Z
6:06Richtung und die Schubspannungen in eins
6:10richtungchuldigung in drei Richtung und
6:13die ergeben eigentlich nichts anderes
6:15als als
6:17die resultierende das ist also nichts
6:20anderes als ein versteckter Pythagoras
6:21den wir dort stehen haben und
6:23dementsprechend kann man auch herangehen
6:25und sagen
6:27okay diese Druck hier der ergibt nämlich
6:31meine
6:33gesamtschubspannungen und wieso
6:35gesamtschubspannungen welche zwei Teile
6:36gibt es überhaupt die Schubspannungen
6:38verursachen nun das könn natürlich
6:40einmal die Schubspannung infolge der
6:42Querkraft in drei Richtung sein aber
6:44auch schubin Folge Torsion das heißt wir
6:48haben hier also die Summe aus Schub inf
6:51Folge der Querkraft in drei Richtung und
6:53Schub infolge eines angreifenden
6:57torsionsmomentes und das ergibt meine
6:58gesamt Schubspannungen
7:01Tau jetzt habe ich hier noch zwei thme
7:05stehen jeweils meine Spannungen sind
7:08jeweils multipliziert mit den
7:10Materialeigenschaften und hier habe ich
7:11noch eine Durchmischung das heißt sowohl
7:13die Normalspannungen sind jetzt hier in
7:15Abhängigkeit von E formuliert als auch
7:17hier meine Schubspannung in Abhängigkeit
7:20von E und das möchte ich jetzt einfach
7:21mal sauber gliedern und zwar wissen wir
7:23ja dass ein elastisches Material nur
7:26zwei unabhängige werkstoffkenngrößen hat
7:30entweder E und G oder E und N oder n und
7:34G und ich möchte einfach dieses Wissen
7:37nutzen um hier diesen Ausdruck in
7:39Abhängigkeit des schubmoduls G zu
7:42formulieren dazu brauche ich eben die
7:44Form formalen
7:51Zusammenhänge und wenn ich das oben
7:54einsetze in mein Ausdruck und auch die
7:57Schubspannungen zum Tau zu einer Gesam
7:59tchubspannung
8:00zusammenfasse dann vereinfacht sich mein
8:03Ausdruck für die für das
8:13formänderungspotential und das ist ein
8:16Ausdruck der do schon ziemlich schön ist
8:19ich habe nämlich hier die
8:20Normalspannungen in Abhängigkeit des vom
8:22E-Modul und hier die Schubspannung in
8:25Abhängigkeit allein vom Schubmodul jetzt
8:28gegeben wie gesagt noch mal zur
8:30eränderung ne wir bewegen uns jetzt bei
8:32den Stäben das heißt das ist der
8:34allgemeine Ausdruck für das vom
8:37änderungspotential Volumen spezifisch
8:39gewesen das heißt das Volumen wird jetzt
8:40nicht
8:42betrachtet wir haben den allgemeinen
8:44Ausdruck jetzt für Stäbe angewandt und
8:47das geschah eben dadurch dass wir die
8:48Annahmen für Stäbe eingearbeitet hatten
8:51das heißt eben das gewisse Spannungen
8:54eben Null waren jetzt haben wir aber das
8:57volumenpezifische und jetzt müssen wir
8:59jetzt eben am Ende wieder die
9:02Integration über das Volumen durchführen
9:04und das Integration die Integration über
9:06das Volumen ist jetzt in diesem Fall
9:08über das stabvolumen und er dann
9:10gelangen wir eben am Ende zu unserer
9:22Arbeit das heißt das was wir vorher noch
9:24ausgelassen hatten die Integration über
9:26das Volumen die führen wir hier jetzt an
9:28dieser Stelle ein jetzt müssen wir noch
9:31wissen dass wir unsere Spannungen bei
9:34Stäben schon berechnen konnten und zwar
9:37aus den Schnittgrößen für den ganz
9:39allgemeinen Fall der schiefen Biegung
9:42ergab sich z.B für die Normalspannung
9:44folgende
9:50Ausdruck das heißt hier haben wir jetzt
9:53wirklich die Verknüpfung der
9:54Normalspannungen mit den drei
9:57Schnittgrößen normal Kraft Biegemoment
10:00um die zwechse und Biegemoment um die
10:02drechse und diesen Ausdruck hier den ich
10:05hier jetzt gewonnen habe den muss ich
10:07jetzt einfach hier
10:09einsetzen und dann erhalte ich den
10:13Anteil der Biegespannungen bzw der
10:17Normalspannungen an meiner
10:20Gesamtarbeit das heißt ich setze jetzt
10:23diesen Ausdruck hier
10:27ein setze diesen Ausruck hier ein und
10:29benutze dazu auch einige Abkürzungen die
10:32uns schon bekannt sind wenn ich diesen
10:34Ausdruck hier da oben einsetze dann wird
10:37mir unter anderem ein Integral über die
10:40Fläche
10:49begegnen und das ist nichts anderes als
10:51die
10:52Fläche ich werde des Weiteren andere
10:56Terme
10:58enthalten
11:16so z.B werde ich Ausdrücke erhalten die
11:19wir schon als Flächenträgheitsmoment
11:21kennengelernt haben ich werde statische
11:25Momente als Ausdruck erhalten wobei wir
11:28aber wissen dass das statische Moment
11:29integriert über den gesamten Querschnitt
11:31eben Null ergibt und wir werden das
11:37deviationsmoment berechnen aber auch
11:39dort ist es so dass in dem Moment wo wir
11:41uns in einem schwerpunktsystem und das
11:44ist ja eine der Annahmen in der
11:45balkentheorie die wir hatten in einem
11:47Schwerpunkt hauptachsensystem befinden
11:49auch da ist dieses deviationsmoment eben
11:52noch zu null das sind alles Ausdrücke
11:54die sie erhalten wenn sie diesen
11:55Ausdruck hier hier oben einsetzen die
11:59Quadrierung Durchführen von diesen
12:01ganzen Sachen und natürlich auch das DV
12:05jetzt darstellen
12:10als als Produkt des Querschnitts mal der
12:13Länge ja sind jetzt ja bei den Stäben
12:16das heißt wir führen diese ganze
12:17Integration immer nur über die
12:19querschnits Höhen durch und das hängen
12:21wir alles hintereinander und integrieren
12:24das dann eben entsprechend über die
12:25Länge das heißt wir ersetzen unser DV
12:27aus DA1 mal DL
12:29und dann erhalten sie eben genau diese
12:31ganzen vereinfachten Ausdrücke die in
12:33Summe dann zu folgendem Ausdruck
12:44führen das heißt sie sehen dass ich alle
12:48integrale die sich aus Integration über
12:51die Fläche ergeben haben hier in den
12:53querschnittswerten geändet sind und am
12:56Ende bleibt eben nur noch die
12:57Integration über die Länge übrig so
12:59erhalten wir eben unser Volumen und das
13:01ist eben der Ausdruck den wir erhalten
13:04für die
13:06formänderungsarbeit
13:08infolge der biege
13:13Normalspannungen das war hier an dieser
13:18Stelle der erste Term bzw hier an dieser
13:23Stelle hier der erste Therm jetzt
13:25ausgewertet jetzt haben wir natürlich
13:27nicht nur bege Normalspannung vorliegen
13:29sondern wir haben auch Schubspannungen
13:30vorliegen und zwar haben wir
13:32Schubspannung infolge von Querkraft
13:34querkraftschub und infolge von Torsion
13:36torsionsschub vorliegen auch dort gehen
13:39wir jetzt
13:40ähnlich vor und versuchen diesen
13:41Ausdruck auszuwerten als allererstes
13:44nehmen wir mal die Schubspannungen her
13:46infolge der
13:56Querkraft und auch da kennen wir schon
13:59den Zusammenhang zwischen der
14:00Schnittgröße und den Schubspannungen das
14:02war unsere sogenannte cousinenformel
14:04hier einmal
14:05gegeben und auch hier müssen wir jetzt
14:08diesen Ausdruck dieses Tau bzw hier die
14:10cousinformel quadrieren und in den
14:13Ausdruck einsetzen und wenn man das
14:14macht dann bekommt man relativ komplexe
14:17Ausdrücke in den
14:20querschnittsgrößen wieder nun ist es
14:22aber so ne dass es immer sehr aufwendig
14:24ist das alles zusammen zu jedes Mal
14:26wieder neu zu berechnen also hat man
14:27sich Gedanken gemacht wie man das eben
14:29zusammenfassen kann und das sieht dann
14:31wie folgt
14:38aus das heißt ich habe hier auch wieder
14:41die Integration über die Schubspannungen
14:43über das
14:44Volumen Schubspannung zum
14:51Quadrat und ich halteet dann als
14:55integral einmal
14:57die Querkraft zum Quadrat dividiert
15:00durch die Querschnittsfläche
15:02multipliziert mit einem gewissen Faktor
15:04ka 3 und dieser Faktor Kapp
15:093 das ist der sogenannte formbarwert des
15:13Querschnitts da hat man sich einfach mal
15:14die Mühe gemacht für sämtliche Typen von
15:16Querschnitten diese gesamten
15:18querschnittswerte bestehend aus S
15:20dividiert durch i22 divier durch B
15:24einmal
15:25auszumultiplizieren und eine Abschätzung
15:28einfache Abschätzung dafür zu treffen
15:30und so ist man eben zu diesem
15:31formbeiwerert Kappa 3
15:37gelangt wenn sich mal die Formel
15:39angucken die ist jetzt völlig analog zu
15:41dem was wir hier oben bei den bei der
15:44Arbeit inolge der begenormalspannung
15:45hatten wir haben die Schnittgröße zum
15:47Quadrat dividiert durch ein
15:49querschnittswert und hier ist es eben
15:50jetzt auch die Schnittgröße zum Quadrat
15:52dividiert durch ein querschitswert
15:53dieser querschitswert besteht einerseits
15:55aus der Querschnittsfläche allerdings
15:57auch noch einem formballwert des
15:59Querschnitts und dieser formballwert des
16:01Querschnitts ist
16:03tabeliert dort sehen sie in Handbüchern
16:06z.B in tabellenhandbüchern sieht man
16:09solche Tabellen und dort sieht man z.B
16:11dass ich für einen quadratischen
16:13Querschnitt dieser formalwert immer zu
16:151,2 ergibt und gegen sie beim
16:18kreisgerschnitt 1,33 haben und hier bei
16:22den üblichen Profilen die wir vorliegen
16:25haben gibt es natürlich dann je nachdem
16:28echend Bereiche innerhalb derer dieser
16:31formbauwert Kappa liegt und als grobe
16:34Abschätzung kann man immer
16:40sagen dass das Kapp 3 ungefähr dem
16:43Verhältnis von gesamtquerschnitzfläche
16:45zu stegfläche
16:48entspricht genau das gleiche gilt
16:50natürlich dann auch für die
16:51Schubspannungen infolge einer Querkraft
16:53Q2 dort kriegen Sie genau die gleichen
16:55Zusammenhänge nur dass sie aus der 3
16:57jeweils eine z machen
17:03müssen das ist genau die Arbeit infolge
17:08der Schubspannung infolge einer Q2
17:09Querkraft und das ka Kappa 2 bezeichnet
17:14auch hier ein
17:17formbeiwert dann natürlich aber
17:19dementsprechend um 90° gekippt das was
17:22wir jetzt noch vergessen haben bzw was
17:24noch vor außen vor steht das ist die der
17:27Arbeitsanteil infolge der Schubspannung
17:29in Folge
17:37Torsion dort konnte man z.B ja ein Folge
17:40bei einem kreiskchnitt konnte man ja z.B
17:43diesen Zusammenhang aufstellen dass die
17:45Schubspannung Folge Torsion gleich dem
17:48Torsionsmoment dividiert durch das
17:50torsionsträgeistmoment multipliziert mit
17:52dem Abstand zum Schwerpunkt entspricht
17:55dies kann ich auch wieder in mein
17:56arbeitsausdruck einsetzen
18:01und über das Volumen
18:08integrieren wenn ich das mache sehe ich
18:11dass ich hier einen Ausdruck erhalte den
18:13wir auch schon kennen den haben wir
18:15nämlich auch schon als
18:18Flächenträgheitsmoment
18:19torsionsflächenträgheitsmoment
18:20kennengelernt und das gibt in Summe
18:27eben
18:29und das ist eben der Arbeitsanteil
18:30infolge der Schubspannung infolge
18:32Torsion und nun kann ich all diese
18:34gesamten arbeitsanteile die ich
18:36ermittelt habe bis jetzt zusammenpacken
18:38in einen großen summenausdruck und
18:40erhalte so in Summe die gesamte
18:42formänderungsarbeit bei einem geraden
18:45Stab gemäß der technischen
18:57Biegetheorie
19:10und das ergibt die gesamte
19:15formänderungsarbeit bei geraden Stäben
19:18sie sehen hier die Anteile infolge der
19:21biegenormalspannungen die Anteile
19:23infolge des querkraftschubs und die
19:25Anteile infolge des torsionsschubs
19:31ه

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