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DGL der geraden Biegelinie — Transcript

by Medien für die Lehre · 2,539 words · 488 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00[Musik]
0:07wir haben uns bis jetzt mit den ganzen
0:09Zusammenhängen zwischen den
0:11Schnittgrößen den
0:13Spannungen den Verzerrungen und dem
0:15Werkstoff gesetzt und all und den
0:17Ableitungen der Biegelinie beschäftigt
0:21was wir bis jetzt noch nicht hergeleitet
0:22haben war die Biegelinie selbst und das
0:24soll man Thema des heutigen des heutigen
0:26videoschnitts sein die
0:27Differentialgleichung der Geraden
0:29Biegung
0:37was ist die biegellinie die Biegelinie
0:39ist einfach die Verformung eines Balkens
0:42wobei die gesamten Voraussetzungen die
0:44wir im Vorfeld kennengelernt haben
0:46weiterhin gültig sind das heißt es
0:48gelten die bernulli Hypothesen und es
0:51gelten die Annahmen bezüglich des
0:53Querschnitts dass der Querschnitt
0:55symmetrisch ist dass der Querschnitt
0:58entlang der x-Achse verändert ich sein
1:00kann dass es begelten die Annahmen
1:03bezüglich der Belastung dass die Lasten
1:06und die verformungseben die lastasseben
1:08und die verformungsege übereinstimmen
1:10und natürlich gilt auch dass das quersch
1:15das Bezugssystem inem auch die Belastung
1:16stattfindet ein
1:17hauptachsensystem ist all diese ganzen
1:19Voraussetzungen die gelten weiterhin und
1:22unter diesen Voraussetzung wird sich
1:24unser Tragwerk einer Last verformen das
1:27sieht dann z.B so
1:28aus
1:40wir haben hier die ein Balken auf zwei
1:44Stützen repräsentiert durch die
1:46Stabachse und die gestrichelte Linie die
1:48dann das Koordinatensystem vorgeht und
1:51dieses System sei jetzt nun einer
1:53beliebigen Belastung in drei Richtung
1:57unterworfen und unter dieser belast
2:00wird es sich verformen es wird sich
2:05durchbiegen und diese Durchbiegung die
2:09bezeichnet man als Biegelinie
2:15W und die möchten wir heute ermitteln
2:19wir fangen wieder an all die bekannten
2:22Zusammenhänge die wir bis jetzt
2:24kennengelernt haben zusammenzutragen da
2:26ist auf einer einen Seite einmal das
2:28sogenannte statische Problem das heißt
2:30wir haben gewisse Zusammenhänge zwischen
2:32den Lasten und den Schnittgrößen
2:34kennengelernt das waren die
2:35differentialbeziehungen das SE mal als
2:37erstes
2:47niedergeschrieben das sind die bekannten
2:50differentialbeziehungen die wir schon in
2:52der Mechanik 1 gelernt haben das heißt
2:54dass die Ableitung des Moments gleich
2:55der Querkraft war und die zweifache
2:57Ableitung des Moments gleich der
2:59Ableitung der Querkraft gleich der
3:01negativen linienlast diese Beziehungen
3:05kann ich jetzt lösen mittels Integration
3:07und dann Bestimmung der Randbedingungen
3:09das kennen sie aus der Mechanik 1 wie
3:12man da
3:13vorgeht das weiteren ist ein haben wir
3:17ein geometrisches Problem vorliegen das
3:20heißt wir haben auf der einen Seite das
3:22stoffgesetz Vorliegen das kennen wir und
3:24wir kennen auch den Zusammenhang
3:27zwischen
3:28den
3:30en und damit einhergehend mit der
3:33Geometrie und den Schnittgrößen das
3:35waren die konstituiven Beziehungen für
3:37die
3:49Schnittgrößen das war die konstitutive
3:51Beziehung für die Schnittgrößen ne wo
3:53wir gesagt hatten okay wir konnten die
3:55Spannungen mit den Schnittgrößen über
3:59die querschitzgrößen miteinander
4:01verknüpfen hier steckt unser
4:03materialgesetz drin was die Spannungen
4:05mit den Verzerrungen verknüpft und hier
4:07unten dort steckten dann die
4:09bernullischen Hypothesen drin wo wir
4:11dann eben sagen konnten okay unsere
4:12Verzerrungen sind eigentlich nichts
4:14anderes als die zweifache ablitung und
4:16zwar negativ meiner Biegelinie
4:18multipliziert mit dem Abstand zur
4:22schwerachse das alles ineinander
4:25eingesetzt ergibt folgende
4:28Beziehung
4:37und diese Beziehung haben wir
4:40als konstitutive
4:42Beziehung der Schnittgrößen bezeichnen
4:45das heißt wir haben hier wieder zwei
4:47Felder die Ver die wir verknüpfen
4:48nämlich einmal die Schnittgrößen und
4:51einmal die zweifache Ableitung der
4:54Biegelinie was die Krümmung ist das heiß
4:56wir verknüpfen hier wieder kraftgröße
4:58mit verformungsgrößen und diese
4:59Beziehung nennt man eben konstitutive
5:02Beziehung und das hier ist die
5:03konstitutive Beziehung der
5:11Schnittgrößen und dieses diese
5:15Gleichungen können wir jetzt nehmen um
5:16unser Ziel zu erreichen das war um an
5:19dieser Stelle noch mal dran zu Erinn die
5:20Ermittlung der Biegelinie das heißt das
5:23einzige was ich jetzt an dieser Stelle
5:24eigentlich machen muss ist ich muss
5:25diese Beziehung hier nehmen das heißt
5:28ich habe mein ich muss mein
5:29grrößenverlauf mein biegemomentenverlauf
5:31ermitteln und muss den einfach zweimal
5:33integrieren anschließend dann die
5:35Randbedingungen einarbeiten und dann
5:37erhalte ich das was ich gesucht habe
5:40nämlich meine eine
5:42eine Gleichung für meine Biegelinie und
5:46wir nennen das dieses Problem das ist
5:49die Integration des geometrischen
5:51Problems durch die Integration des
5:53geometrischen Problems bekomme ich dann
5:55eben meine
5:58bigelinie
6:17das heißt wir haben hier unsere
6:19Ausgangsgleichung das ist die
6:20konstitutive Beziehung für die
6:22Schnittgrößen jetzt nach
6:24der Krümmung das ist die zweifache
6:27Ableitung der Biegelinie freigestellt
6:30und jetzt muss ich einfach diesen diesen
6:31Ausdruck integrieren und zwar muss ich
6:34die Integration natürlich über die Länge
6:38des Balkens durchführen das heißt ich
6:40starte am linken Ende X10 und habe dann
6:43eben meine Laufvariable X1 und halte so
6:47dann immer den aktuellen durchbiegepunkt
6:49und um die gesamte Formulierung zu
6:50bekommen muss ich natürlich dann bis an
6:53Ende laufen lassen und dann muss ich
6:55anschließend einfach diesen Ausdruck
6:57hier integrieren und da ich eben und
6:59ichhalte dann eben zusätzlich zusätzlich
7:02erhalte ich dazu dann eben eine
7:05integrationskonstante C1 damit habe ich
7:08dann das W Strich das ist die Verdrehung
7:10des
7:11Querschnitts wir wollten ja aber die
7:13begelinie haben das heißt diesen
7:15Ausdruck hier den muss ich ein zweites
7:17Mal integrieren auch wieder über die
7:19Länge bis
7:21zur aktuellen Lauf Koordinate
7:25X1 das ist aber hier dargestellt ich
7:27habe jetzt eben hier meine ache
7:30Integration stehen das ist dieser
7:31Ausdruck hier die C1
7:34integrationskonstante muss natürlich
7:36auch noch mal einmal mit X1
7:38multipliziert werden und ich bekomme
7:40durch die zweite Integration eine zweite
7:42integrationskonstante und damit bin ich
7:44eigentlich fertig das einzige was ich
7:46jetzt noch machen muss ich muss die
7:47Unbekannten C1 und C2 bestimmen und das
7:50mache ich wie bekannt durch den Einbau
7:53der Randbedingungen die mir zu Verfügung
7:56stehen jetzt kann man dieses Problem was
7:58wir eben hatten aber noch ein bisschen
8:00allgemeiner fassen das Problem oder die
8:03Herausforderung die wir an dieser Stelle
8:05hier haben ist wenn wir das statische
8:09chuldigung wenn wir das geometrische
8:12Problem integrieren wollen dann müssen
8:16wir das M2 bereits
8:19kennen in der Regel haben wir das M2
8:22aber noch nicht zu Verfügung das einzige
8:24was wir zur Verfügung haben wenn wir uns
8:26so ein System angucken ist die Belastung
8:30des Systems die Belastung klein Q in 3
8:33Richtung klein Q3 nun bestand aber
8:36dieses Q3 ja auch in Beziehung mit der
8:40mit dem mit der Schnittgröße begoment
8:42und zwar war das das statische Problem
8:44das heißt das Biegemoment zweifach
8:46abgeleitet
8:50ergibt das Biegemoment zweifach
8:52abgeleitet ergibt die negative
8:57linienlast das das heißt ich kann das
9:00Problem das geometrische Problem noch
9:02etwas allgemeiner fassen und zwar indem
9:05ich hier an dieser Stelle nicht in die
9:07konstitutive Beziehung der Schnittgrößen
9:09einsteige sondern sozusagen noch zwei
9:12Ebenen darunter gehe nämlich dort
9:16wo die linienlast
9:19Auftritt das heißt ich muss eigentlich
9:22meine
9:24Biegelinie noch zweimal ableiten und
9:26dann habe ich direkte Beziehung die
9:28direk Beziehung der biegellinie mit
9:33der mit der äußeren linienbelastung das
9:37hab ich einmal
9:46gezeigt das ist unser Ausgangsproblem
9:49gewesen wir haben die zweifache
9:50Ableitung der Biegelinie die können wir
9:52jetzt direkt mit dem Moment in Beziehung
9:55setzen wir können aber auch das nicht
9:58mit dem Moment mit der äußeren Belastung
10:00in Beziehung setzen dazu müssen wir eben
10:01diesen Ausdruck noch zweimal ableiten
10:03weil wir eben aus den
10:04differentialbeziehungen wissen dass die
10:06äußere linienlass die zweifache
10:08Ableitung des Momentes
10:11ist und so haben wir die allgemeinste
10:15Form der
10:16Differentialgleichung für das Problem
10:19der Geraden Biegung erhalten und wir
10:22lösen wir jetzt dieses Problem auch ganz
10:23einfach indem wir integrieren das heißt
10:27um hier aus dieser Differential zehung
10:29die debiegelinie zu erhalten müssen wir
10:31auch ganz einfach wieder integrieren
10:33jetzt allerdings viermal weil wir auch
10:34viermal ableiten und dann im Anschluss
10:36dann eben die ganzen Randbedingungen
10:38einarbeiten um die dann am Ende vier
10:41Unbekannten Integrationskonstanten zu
10:43ermitteln und diese Integration die
10:45möchte ich jetzt hier einmal an dieser
10:46Stelle einmal
10:58durchführen
11:30so das war jetzt eine ganze Menge an
11:31Umformungen die wir hatten aber im
11:33Endeffekt ist es ganz einfach nur eine
11:35Integration die hier durchgeführt wird
11:37ne viermal also an dieser Stelle jetzt
11:40dreimal und jedes Mal kommt eben eine
11:42weitere integrationskonstante hinzu und
11:45worauf ich hier an an dieser Stelle
11:46einmal ganz kurz hinweisen möchte ist
11:48sind eben diese Zusammenhänge diese
11:49differentialzusammenhänge die wir die
11:51ganze Zeit schon kennen das heißt hier
11:53das Moment ist gleich der zweifachen
11:55Ableitung die Querkraft ist gleich der
11:58achen Ableitung und vierfache Ableitung
12:01ist gleich die linienlast die zweifache
12:03Ableitung das ist die Krümmung und die
12:06einfache Ableitung der Biegelinie das
12:08ist die Verdrehung des Querschnittes
12:11allerdings darauf an dieser Stelle noch
12:13mal hingewiesen das hatten wir in der
12:15Vorlesung hier mit einem Minus versehen
12:19jetzt muss ich ein letztes Mal
12:20integrieren und dann habe ich die
12:23endgültige Biegelinie W
12:27erhalten
12:39das ist die endgültige Biegelinie und
12:43das was mir jetzt nur noch zu tun bleibt
12:45ist die Bestimmung der vier
12:48Unbekannten
12:50Integrationskonstanten das ist jetzt die
12:52allgemeinste Form die wir
12:54haben jetzt ist es allerdings so dass
12:57wir in der Regel eigentlich Querschnitte
12:59vorliegen haben die über die Länge des
13:01Stabes nicht veränderlich sind und wenn
13:05wir dort einen konstanten Querschnitt
13:06haben dann vereinfacht sich der Ausdruck
13:08dahingehend dass ich dann diesen
13:11Ausdruck für die Querschnitte dass ich
13:13den dann ebenfalls vor die integrale
13:16ziehen kann ich verzichte mal daruf das
13:19alles jetzt hier noch zu bringen das ist
13:20etwas was ich leicht nachvollziehen kann
13:22die querschitte sind dann eben dann über
13:24die Länge unabhängig und können dann
13:26eben aus dem integranten herausgezogen
13:28werden
13:32kommen wir jetzt zu dem letzten Schritt
13:33die Bestimmung der
13:36Integrationskonstanten wie gesagt dazu
13:37müssen wir die Randbedingungen
13:40einarbeiten aber auch
13:42übergangsbedingungen
13:43übergangsbedingungen
13:44wozwischen an dieser Stelle muss man
13:46sich dann fragen oder an dieser Stelle
13:48kommt die Frage eigentlich
13:51auf wie weit sind eigentlich diese
13:54integrationsbereiche zu
13:56fassen ich wenn ich eine Funktion
13:59integriere dann unterstelle ich dieser
14:01Funktion ja immer eine gewisse
14:03Stetigkeit ja nur dann der Integration
14:06innerhalb des integranten die muss eine
14:08Stetigkeit meine Anforderung an die
14:10stetigkeiten erfüllen damit ich sie dann
14:11anschließend integrieren kann im
14:13Umkehrschluss heißt das wenn ich in
14:15meinem System an
14:17unstätigkeitsstellen komme
14:20unstätigkeitsstellen können z.B sein
14:22Sprünge in der Belastung das können sein
14:25Knicke in meinem in meiner Struktur das
14:28können sein irgendwelche Gelenke und
14:30natürlich die Auflager irgendwelche
14:32Auflager die auftauchen irgendwelche
14:34unstätigkeiten in dieser
14:36Art an diesen Stellen endet dann mein
14:40Integrationsbereich und
14:43ich muss dann sozusagen wenn ich jetzt
14:45z.B so so ein Tragwerk habe wo in der
14:47Mitte jetzt z.B die meine meine
14:49Belastung einfach aufhört ne dann kann
14:51ich die Integration bis zu dem Ende der
14:53Belastung
14:55durchführen und dann muss ich sozusagen
14:57mit einer neuen integr ation statt
15:00starten weil die Funktion innerhalb
15:02meines integranten geändert ist das Q3
15:04ist
15:05verändert
15:07und auf der anderen Seite muss ich
15:09natürlich aber bleibt das Tragwerk
15:11natürlich zusammen es verändert sich
15:13nicht es hat die gleiche es hat die
15:15gleiche
15:16Verdrehung es hat die gleiche Krümmung
15:18an der Stelle und es hat die gleiche
15:19Durchbiegung an der Stelle und dieses
15:23diesen Übergang diesen glatten Übergang
15:25von links nach rechts über die
15:26unstätigkeitsstelle z.B meiner Belastung
15:28hin
15:29hinweg die muss ich sicherstellen das
15:31tue ich durch die das Einhalten
15:33sogenannter
15:35übergangsbedingungen das heißt ich habe
15:37zum Bestimmen meiner
15:39Integrationskonstanten Randbedingung
15:40wenn ich mich bei meiner Integration an
15:42den Rennern finde und
15:44übergangsbedingungen zur Verfügung und
15:46die sehen wie folgt
15:52aus hier einmal in der Tabelle
15:54dargestellt Randbedingung ganz klar sind
15:57an den Rändern meines Tragwerks wo ich
15:59z.B ein gelenkiges Auflager habe was
16:02sind die Randbedingungen die wir dort
16:03zur Verfügung haben gefragt sind jetzt
16:05hier sowohl die kraftrandbedingungen die
16:09da z.B lautet ich habe hier eine
16:10gelenkige Lagerung das heißt mein Moment
16:13an dieser Stelle muss gleich 0 sein es
16:15kann dort kein Moment aufgenommen werden
16:17aber ich habe auch einen geometrischen
16:19Anteil meiner brandbedingung nämlich den
16:22dass die Durchbiegung an dieser Stelle
16:24Null ist umgekehrt wenn ich ein freies
16:28Ende habe
16:29in freies habe dann müssen meine beiden
16:31Kräfte Q3 und M2 0 sein aber was die
16:36Geometrie angeht habe ich keinerlei
16:38Einschränkung me Ende kann sich frei
16:41verformen das genaue gegenteavon ist die
16:44Einspannung es können sich beliebige
16:46Kräfte einstellen aber ich habe keine
16:49Durchbiegung an der Stelle und auch
16:52keine Verdrehung an der Stelle und
16:55natürlich so kann man jetzt mit allen
16:57Lagern durchgehen hier die parallel
16:58Führung die sagt eben dass meine
16:59Querkraft an der Stelle null ist und die
17:02Verdrehung an der Stelle Null aber
17:04verschieben durchbiegen kann sich mein
17:07Tragwerk an der Stelle
17:10weiterhin in der Tabelle sind jetzt
17:12dementsprechend übergangsbedingungen
17:13angegeben das heißt wir haben jetzt hier
17:16z.B ein
17:19momentengelenk und dieses momentengelenk
17:21bedeutet eben okay ich habe in diesem
17:25Punkt ein nullmoment mein m2 ist gleich
17:280 aber die Durchbiegungen müssen an
17:31dieser Stelle identisch sein was
17:34natürlich klar ist ne wenn ich zwei
17:35Punkte habe die sich uminander drehen
17:36können die bleiben aber trotzdem
17:38natürlich zusammenhängt das heißt die
17:41Durchbiegung die dieser Punkt erfährt
17:42der muss
17:44muss vom linken und vom rechten Ende her
17:45gleich sein das gleiche gilt fürs
17:48querkraftgelenk auch da habe ich eine
17:50kraftrandbedingung diesmal ist es
17:51allerdings die Querkraft die an dieser
17:53Stelle neu sein muss und es ist nicht
17:54die Durchbiegung sondern die Verdrehung
17:57die Verdrehung muss an an dieser Stelle
17:58gleich sein das heißt mein Querschnitt
18:01kann sich an dieser oder mein Tragwerk
18:02kann sich an dieser Stelle so
18:04verschieben
18:06aber die Verdrehung die bleibt immer
18:09gleich eine andere unstätigkeit ist ein
18:12sogenannter
18:13querschnitzsprung auch hier ist die
18:16Randbedingung eben die ich kann dann
18:18keine ich bin sozusagen mit noch im
18:20tragweg ich kann keine Aussage über
18:22meine Kräfte treffen aber ich kann eine
18:24Aussage über die Geometrie treffen
18:26aufgrund des querschitzsprungs natürlich
18:28trotzdem das tragwerg an der Stelle noch
18:30zusammenhängt und somit muss die
18:32Durchbiegung und auch die Verdrehung an
18:34dieser Stelle vom linken und vom rechten
18:36Ende herkommend gleich sein das sind die
18:39Randbedingungen und übergangsbedingungen
18:41die ich jetzt im Folgenden dazu
18:42verwenden kann um
18:44eben meine
18:47Biegelinie zu
18:49bestimmen jetzt ist natürlich die Frage
18:52ich habe jetzt einmal die
18:55Biegelinie des aus dem geometrischen pro
18:58gewonnen das war Ei W2 gestrichen ist -
19:05m dort muss ich nur zweimal integrieren
19:08und braucht ihm entsprechend nur zwei
19:11Integrationskonstanten zu bestimmen ist
19:13also etwas was ich eigentlich in der
19:14Regel bevorzugen würde dort habe ich
19:18allerdings das Problem wie vorhin schon
19:19gesagt ich muss die muss
19:23die Schnittgrößen schnittgrößenverlauf
19:25von m2
19:27kennen und den Schnittgrößen von m2 den
19:30Schnittgrößen Verlauf den konnten wir
19:33bis jetzt nur für statisch bestimmte
19:35Tragwerke bestimmen das heißt ich kann
19:38diesen Weg nur dann gehen wenn ich ein
19:40statisch bestimmtes Tragwerk vorliegen
19:42habe weil nur dann kann ich oder können
19:44wir mit unserem derzeitigen Wissensstand
19:47die
19:48Schnittgrößen Verläufe bestimmen
19:50insbesondere den schnittgrößenverlauf
19:51des biegemoments und den dann
19:53anschließend zweimal integrieren wenn
19:55wir jetzt allerdings ein unatisch
19:57unbestimmtes trag zur Verfügung haben
20:00dann können wir mit unserem derzeitigen
20:01Wissensstand das genau nämlich nicht tun
20:03den biegemomentenverlauf allein aus den
20:07Gleichgewichtsbedingungen ermitteln so
20:09haben wir ja bis jetzt immer die
20:10Schnittgrößen
20:11ermittelt nichtsdestotrotz ist die
20:15differentialbeziehung des allgemeinen
20:17Problems das heißt Ei W4 gestrichen ist
20:20gleich meiner linienlast klein Q3 die
20:24ist immer noch
20:25gültig das heißt ich kann jetzt dieses
20:28allgemeine Problem
20:29integrieren und bekomme dann so unter
20:32anderem meine Schnittgrößen eines
20:35statisch unbestimmten Tragwerkes was wir
20:37bisher noch nicht berechnen konnten und
20:39auch meine Biegelinie das heißt dieser
20:41Weg die Integration des allgemeinen
20:44Problems das ist ein allgemeingültiger
20:47Weg der immer funktioniert und aus
20:50diesem Grund möchte ich diesen Weg jetzt
20:53einmal ausführlich an einem einfachen
20:56Beispiel demonstrieren
21:02ه

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