Der Satz von Menabrea — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:04wir haben die energiemethoden
3. 0:07kennengelernt und ich hatte ja gesagt
4. 0:08dass S energiemethoden sehr mächtige
5. 0:10Methoden sind wir haben die Sätze von
6. 0:12casellano kennengelernt wo wir
7. 0:14feststellen konnten dass man kraftgrößen
8. 0:16oder auch sehr schnell
9. 0:16verschiebungsgrößen damit berechtigen
10. 0:18berechnen kann aber diese Methoden sind
11. 0:20in Wahrheit noch viel mächtiger man kann
12. 0:22z.B diese Methoden verwenden um statisch
13. 0:27unbestimmte Systeme zu berechnen und in
14. 0:30diesem Zusammenhang ist insbesondere der
15. 0:32Satz von minaba zu
16. 0:37nennen um den Satz von menaber zu
17. 0:40verstehen möchten wir uns einmal noch
18. 0:42den zweiten Satz nach castellano
19. 0:47angucken der besagte dass die
20. 0:51vänderungsabarbeit we abgeleitet nach
21. 0:55einer einzelkraftgröße F genau die die
22. 1:00verformungs Größe arbeitskonforme
23. 1:03verformungsgröße zu dieser einzelkraft F
24. 1:06ergibt so Mena Breer hat sich jetzt
25. 1:08gesagt Mensch das kann ich doch
26. 1:09eigentlich auch verwenden und zwar für
27. 1:12die Berechnung von statisch unbestimmten
28. 1:14Systemen dazu möchte ich einmal so ein
29. 1:17statisch bestimmtes System
30. 1:27aufzeichnen ne wir nehmen hier
31. 1:30ein sozusagen Balken auf zwei Stützen wo
32. 1:32wir einfach in der Mitte noch eine
33. 1:34zusätzliches Auflager aufgebracht haben
34. 1:36sie werden sofort nachvollziehen können
35. 1:37dass dieses System einfach statisch
36. 1:40unbestimmt ist so und mein der BRE hat
37. 1:43jetzt gesagt okay wenn ich mir jetzt
38. 1:45dieses eine eine dieser dieser
39. 1:48statischen unbestimmten dieser
40. 1:49überzähligigen auflagergrößen angucke
41. 1:52nehmen wir n Beispiel mal hier dies
42. 1:54Auflager hier in der Mitte dann weiß ich
43. 1:56ja dass meine Verschiebung an der Stelle
44. 1:59dass die eben Null ist also müsste ich
45. 2:02ja die vänderungsarbeit abgeleitet nach
46. 2:06dieser
47. 2:06verschiebungsgröße muss dann eben Null
48. 2:09ergeben und das ist der Satz von miner
49. 2:19Breer der Satz von minderaber besagt
50. 2:22dass die
51. 2:24formänderungsarbeit abgeleitet nach
52. 2:26einer statisch unbestimmten
53. 2:28auflagerkraft
54. 2:30x wir bezeichnen diese überzähligigen
55. 2:32auflagekräfte jetzt mal als x genau eben
56. 2:35ull ergeben muss weil eben die
57. 2:38Verformung an dieser Stelle eben Null
58. 2:40ist wenn wir uns jetzt dieses System
59. 2:42hier angucken wir gucken uns jetzt hier
60. 2:44diesen Balken an und wir belasten ih
61. 2:46jetzt
62. 2:49meinetwegen einer konstanten linienlast
63. 2:51Q wir müssen jetzt also die die Arbeit
64. 2:57die vänderungsarbeit infolge dieser Last
65. 2:59Q ermitteln und dann eben nach XI
66. 3:03ableiten um dann eben und das eben zu
67. 3:07null erhalten und das bestimmt uns eben
68. 3:09dann das XI folgendes Problem haben wir
69. 3:11jetzt eben an dieser Stelle noch dadurch
70. 3:14natürlich dass hier an dieser Stelle ein
71. 3:16Auflager
72. 3:17ist verrichtet unsere Arbeit unsere
73. 3:21statisch unbestimmte x natürlich auch
74. 3:24keine Arbeit und dadurch dass sie keine
75. 3:27Arbeit verrichtet taucht sie natürlich
76. 3:29auch nicht hier oben in der Form
77. 3:31änderungsarbeit herauf das heißt einfach
78. 3:34dieses System hernehmen die Form
79. 3:35änderungsarbeit aufstellen und nach XI
80. 3:37ableiten damit ist es nicht getan nein
81. 3:40wir müssen als allererstes dafür sorgen
82. 3:43dass dieses XI auch Arbeit verrichtet
83. 3:46und wie machen wir das wir schneiden an
84. 3:48dieser Stelle das Auflager weg und
85. 3:50ersetzen es
86. 3:51eququivalent statisch eququivalent durch
87. 3:54die Kraft XI durch die statisch
88. 3:58unbestimmte
89. 4:05das heißt ich kriege jetzt mein
90. 4:09ausgangssystem in einer statisch
91. 4:11equivalenten Form das ist ja bei all dem
92. 4:14was wir mal machen der ganze Hintergrund
93. 4:16gewesen wir wollen es statisch
94. 4:17equivalent machen und anstatt hier einem
95. 4:19Auflager kann ich natürlich auch eine
96. 4:23konforme statisch equivalente Kraft
97. 4:25ansetzen das ist jetzt hier in diesem
98. 4:26Fall meine statisch unbestimmte und so
99. 4:29wir jetzt mal ein System aus einem
100. 4:31System was nur unter einer Einzel
101. 4:33chuldigung nur unter einer Streckenlast
102. 4:34belastet war ein System was unter einer
103. 4:36Streckenlast plus eine
104. 4:39einzelkraft belastet ist diese
105. 4:41einzelkraft die kenne ich nicht das ist
106. 4:44ja genau mE eine statischon bestimmte
107. 4:45nun sieht es ganz anders aus nun sieht
108. 4:47es nämlich so aus dass diese einzelkraft
109. 4:50natürlich auch eine Arbeit verrichten
110. 4:52wird das heißt nun in dieser Art und
111. 4:54Weise taucht sie hier in diesem Ausdruck
112. 4:56für W auf dann kann ich sie den eben
113. 4:59dementsprechend
114. 5:01ableiten und nun ist die
115. 5:03bestimmungsgleichung dass in
116. 5:04Wirklichkeit hier an dieser Stelle ein
117. 5:07Auflager ist und damit die Verschiebung
118. 5:09eben an dieser Stelle null ist und so
119. 5:11gelingt es mir dann durch die Verwendung
120. 5:13des Satzes von minaber die statisch
121. 5:16unbestimmte X zu berechnen wie das
122. 5:19aussieht möchte ich jetzt hier einmal
123. 5:21zeigen das heißt wir haben jetzt hier
124. 5:23ein
125. 5:24System was zwei Lasten erfährt einmal
126. 5:27die gegebene konst Streckenlast man
127. 5:30nennt dieses System unter der gegebenen
128. 5:33Belastung auch
129. 5:41nullsystem und für dieses nullsystem
130. 5:44habe ich ein entsprechenden
131. 5:48Momentenverlauf ich bezeichne ihn jetzt
132. 5:50mal als
133. 5:55m und diesen Verlauf muss ich natürlich
134. 5:57funktional ermitteln und den setze ich
135. 6:00jetzt mal hier als gegeben voraus und
136. 6:03meine zweite Last die ich
137. 6:08habe das ist die statisch unbestimmte x
138. 6:12und das System an dem die statisch
139. 6:15unbestimmte Last angreift die bezeichnet
140. 6:18man als
141. 6:23xsystem und je nachdem wie viele man XE
142. 6:26man also das heißt wie viel statisch
143. 6:28unbestimmte man vorliegen hat als 1 2 3
144. 6:314 5 System hier in diesem Fall wo wir
145. 6:33nur eine Last haben ist es eben das
146. 6:35xsystem und auch unter
147. 6:38diesem Lastfall gibt es eine
148. 6:45Momentenverteilung und die
149. 6:46Momentenverteilung sieht so aus es ist
150. 6:48ein dreieförmiger Verlauf und vor allen
151. 6:50Dingen er ist nicht stätigt ne sie haben
152. 6:53hier an dieser Stelle wo Sie hier die
153. 6:55Mitte haben haben sie ein Knick im
154. 6:57Momenten Verlauf eine Unstetigkeit
155. 6:59Stelle das heißt wenn wir hier am Ende
156. 7:01die
157. 7:02formänderungsarbeit berechnen wollen die
158. 7:04ja aus integralausdrücken besteht müssen
159. 7:06wir mit unserer Integration hier an
160. 7:08diesem Bereich halt machen und dann neu
161. 7:11fortfahren das heißt wir haben eine
162. 7:13Integration über den linken und über den
163. 7:15rechten Bereich wir sind aber hier in
164. 7:17der glücklichen Lage dass wir ein
165. 7:19symmetrisches System haben also reicht
166. 7:21es dass wir nur den linken Bereich
167. 7:24integrieren und dann eben mal 2 nehmen
168. 7:28und genau das möchte ich jetzt tun für
169. 7:31den Momentenverlauf
170. 7:34im linken
171. 7:36Bereich bestehend aus dem Momenten aus
172. 7:40dem eins System
173. 7:44plus den Moment aus dem
174. 7:47xsystem für diesen Momentenverlauf im
175. 7:51linken Bereich ergibt sich
176. 7:57folgendes ich habe einmal
177. 8:01den Anteil des Moments infolge meiner
178. 8:06Streckenlast und noch den Anteil des
179. 8:09Moments infolge meiner statisch
180. 8:11unbestimmten
181. 8:13Einzellast diese beiden Anteile addiere
182. 8:16ich und erhalte so den Momentenverlauf
183. 8:20für den linken Bereich und wenn ich
184. 8:22jetzt die formänderungsarbeit berechnen
185. 8:25muss berechnen möchte dann muss ich
186. 8:27einmal diesen Ausdruck hier quadrieren
187. 8:30und ich habe ja den linken und den
188. 8:32rechten Bereich dafür nutze ich die
189. 8:34Symmetrie aus das heißt ich nehme es
190. 8:36einfach mal
191. 8:422 dafür steht hier diese
192. 8:51zwei ich muss dann natürlich an der
193. 8:53Stelle wenn ich hier sage okay ich nehme
194. 8:56das komplette mal 2 muss ich natürlich
195. 8:58dann auch bedenken wie weit dieses l
196. 9:00geht das L darf natürlich dann auch nur
197. 9:03bis zur Mitte gehen das möchte ich
198. 9:04einmal hier kurz einzeichnen das heißt
199. 9:07das L ist dann natürlich auch nur
200. 9:10definiert als einfacher
201. 9:15Stützenabstand ja an dieser Stelle macht
202. 9:17man sonst natürlich gerne
203. 9:28Fehler
204. 9:32und wenn ich dann eben diesen Ausdruck
205. 9:34hier quadriere gelange ich dann zu
206. 9:36diesem hier doch schon relativ komplexen
207. 9:39Ausdruck dieser Ausdruck hier bezeichnet
208. 9:41jetzt meine formänderungsarbeit W und
209. 9:44und das war der Sinn des Ganzen sie
210. 9:45sehen dass jetzt hier in dem Ausdruck
211. 9:47der formänderungsarbeit das X die
212. 9:50statisch unbestimmte
213. 9:53auftaucht dass dieses x dort auftaucht
214. 9:56ist erst dadurch zustande gekommen dass
215. 9:57wir sozusagen das auflag erstmal
216. 9:59weggenommen hatten und eben equivalent
217. 10:01eine Kraft angetragen hatten das ist
218. 10:03dieses x und er jetzt bin ich dann eben
219. 10:06auch in der Lage diesen Ausdruck
220. 10:09überhaupt nach X
221. 10:15abzuleiten und da an dieser Stelle ein
222. 10:19Auflager vorhanden
223. 10:21ist muss die Verschiebung an dieser
224. 10:24Stelle die ich ja durch die Ableitung
225. 10:25der formänderungsarbeit nach der
226. 10:27kraftgröße erhalten würde muss die eben
227. 10:30Null sein und das ist meine
228. 10:33bestimmungsgleichung die mir das X
229. 10:35liefert und das ist der Satz von Mina
230. 10:37Breer und ich führe das jetzt hier
231. 10:39einmal aus das heißt als
232. 10:41allererstes leite ich diesen Ausdruck
233. 10:43einmal nach x ab und setze ihn dann eben
234. 10:45zu
235. 10:53ull und Sie sehen dass ich dann ein
236. 10:56Ausdruck erhalte inem x nur noch einfach
237. 10:58vorkommt und den kann ich ganz einfach
238. 11:00nach X
239. 11:02freistellen und habe so meine statisch
240. 11:07unbestimmte
241. 11:10ermittelt und wenn ich jetzt dann die
242. 11:14allgemein resultierende momentenlinie
243. 11:16z.B erhalten möchte dann mache ich
244. 11:18einfach folgendes ich habe ja hier zu
245. 11:23Anfang die momentenlinie infolge Q
246. 11:26bestimmt an der ändert sich nicht nichts
247. 11:29und ich habe hier die momentenlinieen
248. 11:31Folge x bestimmt dort kannte ich diesen
249. 11:34Betrag X aber noch nicht das heißt ich
250. 11:36könnte jetzt einfach sagen okay dies
251. 11:38hier war z.B unter einer x= 1 Last und
252. 11:41wenn ich dann am Ende die gesamte
253. 11:44momentlinie dieses Systems erhalten
254. 11:46möchte mache ich nichts anderes als dass
255. 11:47ich dieses m plus diesem dieser
256. 11:53momentlinie in Folge x diese beiden
257. 11:55Anteile miteinander addiere und ich
258. 11:59erhalte dann qualitativ folgendes
259. 12:08Bild man kann sich das so
260. 12:10vorstellen dass ich hier die
261. 12:14momentenlinie infolge der statisch
262. 12:16unbestimmten habe multipliziert mit dem
263. 12:19Faktor 5ql und in diese
264. 12:27wird
265. 12:29meine andere momentenlinie einfach
266. 12:32reingehängt wird einfach drauf
267. 12:38adert