Der Satz von Castigliano — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:04wir hatten letztes Mal die
3. 0:07formänderungsarbeit bei geraden Stäben
4. 0:09hergeleitet was war das Besondere an
5. 0:11diesem Ausdruck wenn sich diesen
6. 0:13Ausdruck noch mal in Änderung rufen dann
7. 0:14stellen sie fest dass in diesem Ausdruck
8. 0:17nur Schnittgrößen auftraten das heißt um
9. 0:19die formänderungsarbeit bei geraden
10. 0:22Stäben zu bestimmen brauchen Sie nur die
11. 0:25schnittgrößenverläufe zu kennen und die
12. 0:27können wir ja schon berechnen richtig
13. 0:30spannend wird es wenn man dann noch den
14. 0:31Arbeitssatz zu Hilfe nimmt denn der
15. 0:33Arbeitssatz der verknüpft mir meine
16. 0:36formänderungsarbeit mit den Arbeiten der
17. 0:38äußeren
18. 0:45Kräfte in dieser Form galt der
19. 0:47Arbeitssatz wenn wir als Ausgangszustand
20. 0:49den undefinierten spannungsfreien
21. 0:52Zustand gewählt hatten dann war die
22. 0:54Arbeit der äußeren Kräfte gleich der im
23. 0:57Körper gespeicherten
24. 0:58formänderungs Energie bzw der
25. 1:01formänderungsarbeit
26. 1:04m und dies konnte also dieses Wissen
27. 1:08dass ich die
28. 1:09vänderungsarbeit komplett bestimmen kann
29. 1:11wenn ich die schnittgrößenreff kenne
30. 1:13plus dass das eben über den Arbeitssatz
31. 1:15mit den äußeren Arbeiten verknüpft wird
32. 1:17dies ermöglicht relativ mächtige
33. 1:20Methoden und eine dieser Methoden das
34. 1:23ist der Satz von castellano bzw die zwei
35. 1:26Sätze von castellano die wir heute
36. 1:28kennenlernen möchten
37. 1:34nach unseren Kenntnissen aus der
38. 1:36Mechanik 1 ergab sich das Inkrement der
39. 1:38Arbeit der äußeren Kräfte als Summe der
40. 1:42Kräfte multipliziert mit den jeweiligen
41. 1:49verschiebungsinkrementen das heißt wir
42. 1:51hten unsere
43. 1:53einzelkräfte und die
44. 1:54verschiebungsinkremente und das
45. 1:56Skalarprodukt ist eben dann als Arbeit
46. 1:59definiert gewesen so wir konnten dieses
47. 2:02natürlich das haben wir kennengelernt
48. 2:04bei den Potentialen einmal natürlich die
49. 2:06Verschiebung ins inkrementell vorstellen
50. 2:08wir können uns aber auch die Kräfte
51. 2:10inkrementell vorstellen das ist völlig
52. 2:15equivalent hier verwenden wir jetzt das
53. 2:18die Kraft beschreiben wir jetzt als
54. 2:20inkrementelle Größe und das waren auch
55. 2:24eben Kenntnisse aus der Mechanik 1 wir
56. 2:25wussten dass totale Differential der
57. 2:29Arbeit äußeren Kräfte konnten wir eben
58. 2:31auch ableiten nach
59. 2:34den
60. 2:42Verschiebungen das heißt wenn wir den
61. 2:45äußere Arbeit partiell ableiten nach
62. 2:47einer Verschiebung entspricht das eben
63. 2:50der zugehörigen
64. 2:58Kraft bzw eququivalent die Arbeiten
65. 3:02abgeleitet partiell abgeleitet nach
66. 3:05einer einzelkraft ergaben dann
67. 3:07eben die zugehörige Verschiebung hier
68. 3:10oben diese beiden Formulierungen
69. 3:13inkrementell in den Verschiebung
70. 3:16inkrementell in den Kräften sind völlig
71. 3:19eququivalent und an dieser Stelle sei
72. 3:22auch noch mal her darauf hingewiesen
73. 3:24dass es sich bei diesen ausdrücken
74. 3:28hier um
75. 3:30arbeitskonforme Größen handelt das heißt
76. 3:33unter Verschiebungen verstehen wir nicht
77. 3:34unbedingt nur Verschiebungen sondern es
78. 3:36können auch Verdrehungen sein genauso
79. 3:39gut können es natürlich nicht nur Kräfte
80. 3:40sein die angreifen sondern auch Momente
81. 3:43wichtig ist dass es dann arbeitskonform
82. 3:45ist das heißt Kräfte und Verschiebungen
83. 3:47sind einander zugeordnet und Momente und
84. 3:49Verdrehungen sind einander Zugeordnet
85. 3:51das ist unter u und F zu verstehen u
86. 3:54können sowohl Verschiebung als auch
87. 3:55Verdrehungen sein und F können sowohl
88. 3:58einzelkräfte als auch Momente sein das
89. 4:01heißt wenn ich jetzt diesen Zusammenhang
90. 4:03hier
91. 4:05nehme diesen Zusammenhang hier nehme und
92. 4:08den eben mit
93. 4:10demusdrcken
94. 4:12gleichsze dann erhalte ich den
95. 4:14Zusammenhang dass meine
96. 4:16Kraft
97. 4:19FI der Arbeit der äßeren Kräfte
98. 4:23abgeleitet nach der Verschiebung nach
99. 4:27dem verschiebungsrement ist
100. 4:31und jetzt kommt der Arbeitssatz zum
101. 4:32Tragen die Arbeit der äußeren Kräfte ist
102. 4:35ja aber auch gleich meiner
103. 4:40vänderungsarbeit das heißt die
104. 4:42formänderungsarbeit abgeleitet nach
105. 4:45einer verschiebungsgröße ergibt die
106. 4:48zugehörige
107. 4:49arbeitskonforme kraftgröße und das ist
108. 4:52der erste Satz von
109. 4:58castellano
110. 5:01die
111. 5:02vwenderungsarbeit abgeleitet partiell
112. 5:05abgeleitet nach einer weggröße ergibt
113. 5:09die zugehörige arbeitskonforme
114. 5:12kraftgröße und genau das gleiche was ich
115. 5:14hier für die Kräfte gemacht habe kann
116. 5:18ich natürlich eququivalent hier an
117. 5:20diesem Teil
118. 5:28machen das heißt ich bekomme eine
119. 5:32verschiebungsgröße indem ich die
120. 5:35formänderungsarbeit partiell nach einer
121. 5:39kraftgröße ableite dann erhalte ich die
122. 5:41arbeitskonforme verschiebungsgröße das
123. 5:44heißt die Verschiebung die die Kraft
124. 5:46entlang ihrer Wegrichtung macht und das
125. 5:50bezeichnet den zweiten Satz von
126. 5:58castellano das heißt dass für eine
127. 6:04beliebige kraftgröße F z.B der Satz von
128. 6:07castellano die zugehörige
129. 6:10verschiebungsgröße ergibt das heißt die
130. 6:13Verschiebung die diese Kraft in ihre
131. 6:15Richtung erfährt und genau dafür wendet
132. 6:18verwendet man auch den Satz von
133. 6:20castellano insbesondere den zweiten Satz
134. 6:22von castellano für die Ermittlung von
135. 6:25Verschiebungen infolge von angreifenden
136. 6:27Kräften die
137. 6:30des Satzes von castellanus ist an dieser
138. 6:32Stelle eben dass ich sozusagen nur die
139. 6:34Verschiebung des Punktes ermitteln kann
140. 6:36an dem die Kraft angreift aber wie das
141. 6:39aussieht das möchte ich an dieser Stelle
142. 6:41einmal
143. 6:48zeigen wir starten mit dem ganz normalen
144. 6:50krakarm der an seiner Spitze mit einer
145. 6:53Einzellast beaufschlagt ist und wir
146. 6:55wollen wissen wie sehr sich dieser
147. 6:57krakarm und unter dieser Einzellast
148. 7:00durchbiegt und diese Durchbiegung
149. 7:02bezeichnen wir mit
150. 7:04F die Länge des Balkens sei mit L
151. 7:08gegeben der Balken besitzt eine
152. 7:11definierte Biegesteifigkeit das war ja
153. 7:14das Produkt aus E-Modul und
154. 7:16Flächenträgheitsmoment das haben wir ja
155. 7:17als Biegesteifigkeit bezeichnet im
156. 7:20Gegensatz dazu das Produkt
157. 7:22aus E-Modul und Fläche e mal a das war
158. 7:26die
159. 7:26dnsteifigkeit hier sagen wir aber unser
160. 7:29i unsere bigelsteifigkeit ist konstant
161. 7:31über den gesamten
162. 7:33Balken und die
163. 7:35schubsteifigkeit das Produkt aus
164. 7:38Schubmodul und Fläche das sei unendlich
165. 7:41das heißt unser Balken ist
166. 7:45schubstar das ist eine Annahme die sehr
167. 7:48häufig getroffen wird bei dieser Art von
168. 7:50Aufgaben hier ein kleiner Exkurs
169. 7:53und deren Gültigkeit man natürlich immer
170. 7:55überprüfen muss aber in der Regel für
171. 7:57Systeme die wir uns angucken und die
172. 7:58wirklich die Bedingungen für stabsysteme
173. 8:01erfüllen ist es eigentlich in der Regel
174. 8:03der Fall dass die Deformation infolge
175. 8:05Schub um eine Größen Ordnung kleiner ist
176. 8:08als die Verformung in Folge der Biegung
177. 8:11und man deswegen dann diesen schubanteil
178. 8:13vernachlässigt und dann sagt man eben
179. 8:15gleich okay unser Balken ist schubstar
180. 8:18wie gesagt das ist aber eine Annahme die
181. 8:19man eigentlich in der Regel immer noch
182. 8:21mal überprüfen müsste für reguläre
183. 8:23Systeme wie sie wie wir sie eben aber
184. 8:25betrachten
185. 8:27sie eigentlich aber in der Regel ihre
186. 8:28Gültigkeit sitzt und gesucht ist wie
187. 8:30gesagt das F und wie gehe ich jetzt vor
188. 8:33ich möchte den zweiten Satz von
189. 8:35castellano verwenden und dazu brauchte
190. 8:38ich die formänderungsarbeit und in
191. 8:40dieser formänderungsarbeit tauchten die
192. 8:42Schnittgrößen auf das heißt als
193. 8:45allererstes muss ich den
194. 8:47schnittgrößenverlauf ich muss am Ende
195. 8:49integrieren ich muss also den
196. 8:50schnittgrößenverlauf
197. 8:55ermitteln die einzige relevante
198. 8:57Schnittgröße die wir hier haben ist das
199. 9:02Biegemoment jetzt habe ich den Verlauf
200. 9:05der Schnittgröße m und den muss ich
201. 9:07jetzt in den arbeitsausdruck
202. 9:17einsetzen da das P von der läe
203. 9:19unabhängig ist konnte ich es rausziehen
204. 9:21genauso mein Ei aus dem Integral
205. 9:23rausziehen und es verbleibt einzig
206. 9:25allein dieser Ausdruck hier den wir eben
207. 9:27auch schon kennen
208. 9:33ist nämlich nichts anderes als die Länge
209. 9:35hoch 3 mit dem Vorfaktor entsprechend
210. 9:38und das ist eben der Ausdruck den ich
211. 9:40hier erhalte für die formänderungsarbeit
212. 9:42in meinem
213. 9:44Stab wie gesagt wir haben nur das M
214. 9:47betrachtet normalerweise hätte ich auch
215. 9:48noch die Querkraft betrachten müssen
216. 9:51weil hier natürlich auch eine Querkraft
217. 9:53auftritt weil aber mein G gegen
218. 9:55Unendlich gewählt wurde würde auch der
219. 9:58Arbeit Anteil zu null werden und
220. 10:01deswegen konnte ich das eben hier in der
221. 10:03Formulierung der
222. 10:04formänderungsarbeit weglassen so und der
223. 10:07zweite Satz von castellano hat jetzt
224. 10:08gesagt okay wenn du die
225. 10:10vänderungsarbeit hast und du möchtest
226. 10:13die Durchbiegung an der Stelle der Last
227. 10:18ermitteln dann musst du eben diesen
228. 10:19Ausdruck nach der Last partiell ableiten
229. 10:22und genau das werden wir jetzt
230. 10:28tun
231. 10:33und das was sie jetzt hier haben das ist
232. 10:35jetzt
233. 10:36genau die Durchbiegung F infolge der
234. 10:40Last in P hier noch mal auf die
235. 10:42Besonderheit von casellliano hingewiesen
236. 10:44sie können nur das wird an dieser Stelle
237. 10:46deutlich Durchbiegung wirklich direkt
238. 10:49unter der Last ermitteln und zwar auch
239. 10:51nur den Anteil der Durchbiegung der in
240. 10:53Richtung der Last wirkt das sind die
241. 10:56Einschränkungen von casellano
242. 10:58andererseits
243. 10:59ist das aber eine sehr sehr schnelle
244. 11:01Methode um eben diese Durchbiegung zu
245. 11:07ermitteln