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Der allgemeine Spannungsbegriff — Transcript

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0:00[Musik]
0:05ich komme nun zu der formalen Einführung
0:09des Spannungs und
0:18verzerrungszustandes und dort möchte ich
0:20beginnen mit dem allgemeinen
0:28Spannungszustand
0:32wir definieren die Spannung als Kraft
0:35die auf eine bestimmte Fläche bezogen
0:38ist und wir sind dadurch eben in der
0:40Lage wirklich die Anstrengung die ein
0:44Material erfährt durch die Kraft
0:47zuchreiben das heißt ein spannungsvektor
0:51wir bezeichnen als T ist definiert als
0:55Kraft bezogen auf eine bestimmte
0:58bezogene Fläche
1:09wobei hier in diesem Fall mit
1:13DK die
1:15infinimale Kraft der infinitesimale
1:18kraftvektor bezeichnet wird und hier mit
1:20da eben das
1:22infinitesimale
1:24Flächenelement auf dem der
1:26spannungsvektor wirkt an dieser Stelle
1:29sei noch einmal
1:30gesagt dass ich so eine Spannung nur
1:33sichtbar machen kann wenn ich den Körper
1:36Schneide oder ich mich schon am Rand
1:38befinde das heißt ich muss irgendwie
1:41diese Fläche auf der diese Spannung
1:43wirkt sichtbar machen deswegen wirken
1:45diese spannungsvektoren entweder auf den
1:48Rändern oder auf
1:58Schnittflächen auch da spielt das
2:01Eulersche schnittprinzip die eine
2:03entscheidende Rolle wenn ich jetzt
2:05natürlich dann die Kraft wieder erhalten
2:08will muss ich genau die umgekehrte
2:10Operation durchführen das heißt ich muss
2:12die Spannungen über die komplette Rand
2:15oder Schnittfläche integrieren und
2:17erhalte so am Ende die auf den Körper
2:20wirkende Kraft das
2:26heißt die Kraft ergibt sich als integral
2:31der Spannung des spannungsvektors über
2:34die gesamte Fläche der spannungsvektor T
2:39selbst ist da nur abhängig von dem Ort
2:43an dem der Schnitt getätigt wurde oder
2:46an dem sich der freie Rand befindet und
2:49von der Orientierung der Schnittfläche
2:52das heißt es ist etwas anderes wenn ich
2:54einen Körper habe und ih senkrecht
2:56Schneide oder ihn unter einen gewissen
2:58Winkel schneide dann bekomme ich immer
3:00andere spannungsvektoren wir werden
3:02gleich noch mal drauf hinzukommen das
3:04heißt mein Spannungstensor t selbst ist
3:07allerdings nur abhängig von dem Ort und
3:11von der Orientierung der Schnittfläche
3:13ausgedrückt durch den normalen Vektor
3:16auf die Schnittfläche
3:23n hier einmal dargestellt wobei X jetzt
3:27eben den Ort des Schnittes
3:31bezeichnet und
3:34n die flächenorientierung das ist
3:37nämlich der
3:41Oberflächen
3:43normalen
3:50Einheitsvektor hier ist es einmal
3:52dargestellt wie man sich das
3:53vorzustellen hat ich habe mein Tragwerk
3:56hier einen einfachen Balken auf zwei
3:59Stützen
4:02links mit dem
4:04Auflager und diesen schneide ich jetzt
4:07beliebig entlang einer
4:12Fläche hier ist die andere Hälfte meines
4:16tragwerkses
4:19Balkens hier in dieser Schnittfläche
4:21entstehen jetzt eben die Spannungen bzw
4:24werden die Spannungen sichtbar zunächst
4:27einmal ist zu sagen dass
4:30die Schnittflächen selbst und ihre
4:32Orientierung durch den normalen
4:35Einheitsvektor der senkrecht auf diesen
4:37Schnittflächen steht charakterisiert
4:39werden und irgendwo beliebig dazu
4:42orientiert ist mein spannungsvektor t
4:47und hier entsprechend dem Prinzip aktio
4:51gleich Reaktion natürlich vom gleichen
4:54Betrag aber in der Wirkung
4:55entgegengesetzt mein spannungsvektor
4:58ebenfalls t
5:01und dieser spannungsvektor hängt jetzt
5:03eben nur
5:04ab von dem Ort wo ich den Schnitt
5:07vorgenommen habe das heißt wo befinde
5:10ich mich hier entlang meiner x-Achse das
5:13heißt mein t ist eine
5:16Funktion von
5:20X hier oben auch
5:24x
5:26und mein spannungsvektor ist Abhängig d
5:29von von der Orientierung des Schnittes
5:33und damit eben von dem normalen
5:36Einheitsvektor auf diese Schnittfläche
5:38das heißt mein t ist auch abhängig von N
5:44und hier unten das T das ist das n
5:47entgegengerechtet also - N das heißt
5:52hier t t diese beiden sind vom Betrag
5:56her gleich aber in ihrer Richtung
5:58einander entg gesetzt und das was dort
6:01dahinter steht das ist eben das Gesetz
6:04das Newtonische Aktion was wir schon in
6:05der Mechanik 1 kennengelernt haben von
6:07Aktion gleich Reaktion das kann man auch
6:11einmal darstellen oder wird auch
6:14bezeichnet als das
6:25wechselwirkungsgesetzt in diesem
6:27wechselwirkungsgesetz wird jetzt das T
6:31am Ort X und in der Schnittfläche mit
6:34der Orientierung n ist gleich dem
6:38negativen Spannungs vktor hier gehört
6:41noch ein Strich daunter am Ort X aber an
6:45einer Fläche mit negativer
6:50Orientierung hier möchte ich noch einmal
6:52ganz kurz weil das sehr häufig zu
6:53verfürrungen sorgt auf diesen Punkt
6:55eingehen man muss immer unterscheiden
6:56zwischen einem
6:57kräfteplan in den ich Vektoren eintrage
7:01und an denen die Vektoren nur mit ihren
7:04Beträgen dann bezeichnet werden das
7:06heißt wir haben hier oben in unserem
7:07Beispiel hier z.B haben wir den Vektor t
7:11der in diese Richtung wirkt und das T
7:13was hier steht das bezeichnet den Betrag
7:16des Vektors t aus diesem Grund steht
7:19hier auch das T weil dieses t bezeichnet
7:23den Betrag des Vektors die Orientierung
7:27des Vektors die wird im Kräfte Plan
7:30durch die pilrichtung
7:33dargestellt das heißt durch diese
7:34pilrichtung sage ich okay dieses t wirkt
7:37hier in diesem Fall nach unten würde ich
7:41jetzt hier ein T schreiben und das hier
7:44in diesem in dieser Zeichnung belassen
7:46und die pilorientierung nicht ändern
7:48würde das bedeuten dass das eigentliche
7:52dass die eigentliche Kraft der
7:53eigentliche Vektor hier nach oben wirken
7:57wird weil wir eben im kräfteplan eben
8:00nur die Beträge Anschreiben das ist aber
8:02hier nicht der Fall genau das gleiche
8:04sehen wir hier bei dem Vektor n hier
8:07haben wir einmal den Vektor n W nach
8:10rechts oben und hier unten haben wir den
8:12Vektor n der nach links unten wirkt
8:15beides Mal wird aber der Betrag im
8:17kräfteplan angeschrieben deswegen ohne
8:19das Vorzeichen in dem Moment aber wo ich
8:22dann wirklich die Beträge der Vektoren
8:26brauche bzw die Vektoren inklusive ihrer
8:28Orientierung wie z z.B hier unten bei
8:30der Darstellung des
8:32wechselwirkungsbetriebs muss natürlich
8:34dann das Minus aufscheinen weil ich dort
8:37eben nicht mehr die Richtung durch ein
8:39Pfeil kennzeichnen kann das nur so ein
8:42kleiner Exkurs war man eben sehr sehr
8:43häufig da Verwirrung schafft dadurch
8:45wenn man zwischen einem kräfteplan und
8:47einer formalen Darstellung hin und her
8:50wechselt dieses
8:52wechselwirkungsgesetz wird auch als das
8:55sogenannte kosische Lemmer bezeichnet
8:57oder das lämer nach
9:04Kosi als nächstes mache ich jetzt wieder
9:06ein kleinen Ausflug in die Mechanik 1
9:09dort haben wir kennengelernt dass wir
9:11beliebige Kräfte zu einer sogenannten
9:14dyname zusammenfassen konnte bzw korrekt
9:17ausgedrückt wir konnten auf eine dyname
9:20reduzieren als allererstes musste man
9:22sich dazu zu einem Punkt auf einen Punkt
9:25einigen auf dem man diese dynam oder das
9:27kräftesystem reduzieren wollte und
9:30anschließend konnte man eben die ganzen
9:32Kräfte zusammenfassen man hatte die
9:35Summe über die einzelnen Kräfte gebildet
9:37und bekam dann die resultierende Kraft
9:39heraus und dann musste man noch den
9:41Abstand der einzelnen Kräfte zu diesem
9:43gewählten Bezugspunkt äh hinzufügen und
9:46bekam dann das resultierende Moment um
9:48diesen Punkt heraus und dieses Paar aus
9:52Kraft und Moment bezeichneten wir als
9:55dyname genau das Gleiche kann man jetzt
9:57natürlich auch mit dem spannungsvektor
9:58machen machen der spannungsvektor ist
10:02definiert als eine infinitesimale Kraft
10:05bezogen auf ein infinitesimales
10:07Flächenelement wir haben das hier einmal
10:09dargestellt wir haben hier unseren
10:12Körper den wir einmal geschnitten haben
10:17s dass wir eine Schnittfläche erhalten
10:19und wir haben hier eine ganz besondere
10:22Schnittfläche wir haben die
10:23Schnittfläche A1 und der Index 1 der
10:26symbolisiert uns dass wir jetzt ein
10:28Schnitt senk Recht zur E1 Achse zur E1
10:32Basis gemacht haben und damit eine
10:35Schnittfläche parallel zur 1 2 3
10:39parallel zur 23 Ebene und wir beziehen
10:43auch nicht auf einen beliebigen Punkt
10:45sondern auf einen ganz speziellen Punkt
10:46nämlich den flächenschwerpunkt S der
10:50sich in der Mitte der Fläche befindet
10:52und wie man den bchnet berechnet haben
10:54wir auch in der Mechanik 1 kenelernt das
10:56heißt Schnittfläche ist senk Z einachse
10:59und wir reduzieren auf den
11:02flächenschwerpunkt und wenn man das dann
11:04macht dann erhält man am Ende ein
11:08Kräftepaar das ist hier einmal
11:12dargestellt die
11:14Reduktion reduziert uns die ganzen
11:16einzelnen spannungsvektoren die wir hier
11:18haben wir sehen hier den spannungsvektor
11:20ne der auf ein
11:22infinitesimales Flächenelement wirkt das
11:26heiß wir haben eigentlich unendlich
11:27viele spannungsvektoren hier auf unserer
11:29Fläche wirken und die wollen wir jetzt
11:31reduzieren sodass wir am
11:33Ende nur noch eine Größe unser K1
11:38erhalten und als wir ein kräftesystem
11:42hatten mit diskreten Kräften hatten wir
11:44dazu die Summe über alle Kräfte gebildet
11:47und hier in diesem Fall wo wir ja über
11:49infinitisimale Flächenelemente sprechen
11:51müssen wir eben eine Integration
11:53durchführen das
11:57heißt
12:03die Integration über die gesamte
12:06Schnittfläche A1 des spannungsvektors
12:09ergibt uns am Ende die Kraft K die auf
12:12der
12:13Schnittfläche senkrecht zu einachse
12:16wirkt das gleiche machen wir jetzt
12:19natürlich mit dem Moment hier mussten
12:22wir ja jedes Mal noch den Abstand zu dem
12:25des jeweiligen angriffspunkts zu dem
12:28Bezugs mit hinzunehmen und dann das
12:30Kreuzprodukt wählen das Kreuzprodukt hat
12:33uns ja genau das Moment
12:45ausgegeben das heißt wir sehen jetzt
12:47hier das
12:48Moment bezogen auf den Schwerpunkt s das
12:51wird hier durch diesen Index s
12:53dargestellt und der Schnittfläche
12:55senkrecht zur einachse deswegen die1
12:58gibt sich eben als das Integral über die
13:01gesamte Schnittfläche A1 und jetzt haben
13:03wir hier den Term x- xa X ist der
13:07Ortsvektor zu unserem jeweils aktuellen
13:11spannungsvektor und xa ist der
13:14Ortsvektor zum Schwerpunkt und x- xa
13:19ergab dann dementsprechend genau den
13:22Abstand des aktuell betrachteten Punktes
13:24vom Schwerpunkt den mussten wir im
13:26Kreuzprodukt nehmen mit dem
13:29spannungsvektor und haben so eben das
13:31Moment erhalten und das beides zusammen
13:34ergibt uns dann eben unsere
13:43dyname für die Fläche für die
13:46Schnittfläche 1 und bezogen auf den
13:51flächenschwerpunkt wir erhalten also in
13:53unserem schnittufer
13:56resultierend eine Kraft und ein Moment
14:00bezogen auf den
14:03flächenschwerpunkt jetzt haben wir
14:05natürlich in der Vergangenheit schon
14:07Kräfte kennengelernt die in schnittfern
14:09wirken und das waren unsere
14:11Schnittgrößen n Q und m und die Frage
14:15die sich jetzt natürlich stellt ist in
14:17welchem Zusammenhang
14:19diese dynam diese dyname mit diesen
14:22bekannten Schnittkräften steht nun dazu
14:25gucken wir uns als allererstes einmal
14:27den Spannungs Ensor t gesondert an und
14:31stellen fest dass wir diesen
14:32Spannungstensor t
14:34chuldigung spannungsvektor
14:35spannungsvektor t natürlich in seine
14:38drei Komponenten zerlegen können und
14:40zwar eine Komponente wirkend in die
14:43einsrichtung eine Komponente wirkend in
14:45die zwei Richtung und eine Komponente
14:48wirkend in die drei Richtung und genau
14:51das Gleiche kann man natürlich auch mit
14:53dem Moment machen auch das Moment kann
14:56man in seine drei Komponenten in 1 2 und
14:59Richtung zerlegen und wenn man das macht
15:03erht folgende
15:19Beziehung wir sehen jetzt dass wir die
15:22Kraft in ihre drei Komponenten zerlegt
15:24haben und diese dre einzelnen
15:27Komponenten wir dann direkt unseren
15:30Schnittgrößen zuordnen das heißt wir
15:33haben die Komponente der Kraft in
15:36Richtung E1 das ist in diesem Falle in
15:39Richtung der stabrichtung gewesen wir
15:41hatten ja ganz speziell geschnitten und
15:43diese Kraftkomponente in Richtung des
15:45Stabes die haben wir Normalkraft
15:48bezeichnet deswegen eben n und die
15:52Kräfte quer zu der stabrichtung die
15:55haben wir als Querkräfte bezeichnet
15:57gekennzeichnet durch das Q der Index
16:01kennzeichnete dann jeweils die Richtung
16:03in die die Kraft gezeichnet gezeigt hat
16:06das heißt unsere Kraft K besteht aus
16:16normalkräften und
16:25Querkräften das gleiche ist mit mit dem
16:29Moment auch dort sind die einzelnen
16:31Komponenten des Momentes der
16:34dyname das hier war das Moment der
16:36dyname
16:38MS das konnte ich zerlegen in drei
16:41Komponenten und die erste Komponente das
16:43ist die Drehung um die Stabachse und das
16:46haben wir als drillmoment
16:54bezeichnet oder Torsionsmoment das ist
16:57auch ein Name den man dafür für häufig
16:58hört und die beiden anderen Momente m2
17:02und M3 die biegen den Stab jeweils um
17:06die entsprechende Achse und hierbei ist
17:08es dann meistens noch so dass dieses
17:10Koordinatensystem wenn man sich in der
17:12technischen Biegetheorie befindet ganz
17:15speziell gewählt wird und da spricht man
17:17von dem Moment m2 von der
17:21Biegung und das Moment M3 bezeichnet man
17:25sehr häufig dann als sogenannte
17:27querbiegung
17:30nichtsdestotrotz sind beides eben
17:37Biegemomente

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