Das Stoffgesetz der linearen Elastizitätstheorie — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:07Wir haben uns in den vorangegangenen
3. 0:09Termin damit beschäftigt, sowohl den
4. 0:12Spannungszustand als auch den
5. 0:13Verzerrungszustand komplett im
6. 0:15Dreidimensionalen zu beschreiben. Und
7. 0:16das, was jetzt natürlich noch fehlt, ist
8. 0:18die Verknüpfung dieser beiden
9. 0:19Feldgrößen, der Spannungen und der
10. 0:22Verzerrungen miteinander. Diese
11. 0:24Verknüpfungsgleichung nannten wir
12. 0:25konstitutive Gleichung und das waren die
13. 0:27Materialgesetz in unserem Fall. Und das
14. 0:30ist genau das Thema des heutigen
15. 0:32Abschnitts, das Stoffgesetz der linearen
16. 0:44Elastizitätstheorie. Das heißt, wir
17. 0:46möchten uns heute damit beschäftigen,
18. 0:47wie wir den Spannungstensor
19. 0:50Sigma mit dem
20. 0:52Verzerrungstensor verknüpfen in Form
21. 0:55einer linearen Abbildung. Und das ist
22. 0:57unser
23. 0:58vierstufiger Materialtensor oder
24. 1:01Elastizitätstensor.
25. 1:04E dieser Tensor ist, weil er eine
26. 1:07lineare Abbildung darstellt, vierstufig,
27. 1:09weil er einen zweistufigen Tensor mit
28. 1:11einem zweistufigen Tensor verknüpft.
29. 1:14Dieser
30. 1:17Elastizitätstensor soll
31. 1:19dabei konstant sein. Das
32. 1:22heißt, wir haben ein konstantes
33. 1:24Materialverhalten und kein
34. 1:26verändnerliches Materialverhalten
35. 1:27vorliegen. Man sieht manchmal in der
36. 1:29Literatur, dass statt des Buchstabens E
37. 1:32auch der Buchstabe C für den
38. 1:34Elastizitätstensor verwechs verwendet
39. 1:36wird. Das meistens in dem Fall, wenn man
40. 1:38dann weniger von einem Elastizitäts als
41. 1:41von einem Materialtensor spricht. Das
42. 1:43heißt, es kann auch mal sein, dass
43. 1:46dieser Elastizitätssensor auch mit C
44. 1:51bezeichnet wird. Und diesen Tensor
45. 1:54möchten wir heute bestimmen. Gut, dieser
46. 1:58Tensor, das ist eine lineare Abbildung.
47. 2:00Wir haben neun Komponenten in unserem
48. 2:02Verzerrungszustand und wenn es dann eben
49. 2:03ein Tensor vierter Stufe ist, dann heißt
50. 2:05es eigentlich, dass wir eigentlich 81
51. 2:07Einträge in unserem Materialtensor
52. 2:09haben. Äh, das heißt, wir müssen im
53. 2:11schlimmsten Fall sozusagen 81
54. 2:13Materialparameter bestimmen. Ganz so
55. 2:15schlimm ist es allerdings nicht. Es ist
56. 2:17deutlich einfacher, wenn wir nämlich die
57. 2:19Annahmen der linearen
58. 2:20Elastizitätstheorie voraussetzen. Dort
59. 2:23sa allererstes mal die Annahme genannt,
60. 2:25dass wir natürlich homogenes
61. 2:28Materialverhalten vorliegen
62. 2:33haben. Das heißt, dass unser
63. 2:36Materialverhatsvektor X ist.
64. 2:38Wir haben Isotropis
65. 2:41Material
66. 2:43vorliegen und unser Spannungstensor und
67. 2:47unser Verzerrungstensor und Ergo auch
68. 2:49unser Verknüpfungstensor der
69. 2:51Elastizitätstensor sind symmetrisch.
70. 2:56Und wenn wir das diese Annahmen zur
71. 2:58Hilfe nehmen, dann reduziert sich die
72. 3:00Anzahl der Materialkonstanten von 81 auf
73. 3:042. Das heißt, in der linearen
74. 3:06Elastizitätstheorie haben wir nur zwei
75. 3:08unabhängige Materialparameter
76. 3:20vorliegen. Und mit diesen zwei
77. 3:22unabhängigen Materialparametern kann man
78. 3:25den Elastizitätstensor dann mit Hilfe
79. 3:27der sogenannten Fundamentaltensoren, die
80. 3:29sie schon zuvor in den mathematischen
81. 3:31Grundlagen kennengelernt haben,
82. 3:32darstellen und zwar wie
83. 3:41folgt, wobei dieser erste dieser erste
84. 3:45Tensor, die Diade der Fundamentaltensor
85. 3:47des Identitätstensor waren und dieses
86. 3:50T23 3 darstellte, dass es eben der
87. 3:52transponierte äh Tensor ist und der
88. 3:55zweite und die dritte Basis vertauscht
89. 3:57sind. Und hier im zweiten Teil haben wir
90. 4:00die Diade des Identitätstensors
91. 4:02vorliegen und die unabhängigen
92. 4:03Materialparameter, die wir jetzt haben,
93. 4:05das sind die Parameter my und Lambda.
94. 4:08Und diese Parameter nennt man
95. 4:10Lamekonstanten. Und mit diesen beiden
96. 4:12Lamekonstanten stellt sich dann das
97. 4:14Stoffgesetz der linearen
98. 4:16Elastizitätstheorie, wie folgt da.
99. 4:27So, das eingekreiste hier ist das
100. 4:30Stoffgesetz der linearen
101. 4:32Elastizitätstheorie und my und Lambda,
102. 4:34das sind die sogenannten Lamekonstanten.
103. 4:37Und wenn man das jetzt in diesen
104. 4:39Ausdruck Sigma e mal einsetzt, kann man
105. 4:41das entsprechend dann umformen und man
106. 4:43erhält
107. 4:53dann man erhält dann die Spannung Sigma
108. 4:56eben in Abhängigkeit von dem
109. 4:58Verzerrungstensor und den Lamekonstanten
110. 5:01M und Lambda. Und äh man kann dann eben
111. 5:05aufgrund der
112. 5:06Eigenschaften der Diaden der
113. 5:08Fundamentaltensoren das eben
114. 5:09folgendermaßen darstellen. Wir wissen
115. 5:12aus vorherangegangenen Betrachtungen,
116. 5:13dass das hier eigentlich die
117. 5:15Identitätsabbildung ist. Das heißt,
118. 5:17dieser Ausdruck mal y ergibt eben unser
119. 5:19YP. Deswegen haben wir hier stehen 2 mal
120. 5:21x + und die Diade des Identitätstensor
121. 5:25ergab die Spur und die Spur kann man
122. 5:27eben auch darstellen als Skalarprodukt
123. 5:29des Tensors mit dem Identitätstensor.
124. 5:31Das ist dieser Ausdruck hier und wir
125. 5:33erhalten dann sozusagen jetzt den
126. 5:36Verknüpfungstensor, den
127. 5:37Elastizitätstensor ausgedrückt als 2 M
128. 5:39und eben diesen Ausdruck hier und dieses
129. 5:42Skalarprodukt EP Skalar mit dem
130. 5:45Identitätstensor. Das haben wir schon
131. 5:46einmal kennengelernt, nämlich im
132. 5:48Zusammenhang mit der linearen
133. 5:54Volumendehnung. Dieses Skalarprodukt war
134. 5:56die lineare Volumendehnung. Und wenn man
135. 5:59das weiß, dann kann man das Material
136. 6:01gesetz sich folgendermaßen vorstellen.
137. 6:03Ich habe also sozusagen ein
138. 6:04Materialparameter, der die
139. 6:06Volumenänderung meines Körpers
140. 6:08bezeichnet. Das ist eben hier mit dem
141. 6:11Lambda gegeben und ich habe eben ein Tag
142. 6:13meines Materialgesetzes dieses Müh, dass
143. 6:15die Gestaltsänderung meines Parameters,
144. 6:18meines meines Volumenkörpers beschreibt.
145. 6:21Und das ergibt eben das Stoffgesetz der
146. 6:23linearen Elastizitätstheorie.