Das Eigenwertproblem des Spannungstensors — Transcript

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1. 0:05so wir haben jetzt den spannungssensor
2. 0:07kennengelernt der den Spannungszustand
3. 0:09in einem Punkt beschreibt und wir haben
4. 0:11eben auch kennengelernt dass ich jetzt
5. 0:12wenn ich ein Körper habe und den
6. 0:15entsprechend beliebig schneidet dass ich
7. 0:17dann eben ein
8. 0:18spannungsvektor darauf habe der sich
9. 0:20eben aus dem Produkt der Flächen der
10. 0:24Flächen normale n eben mit diesem
11. 0:26spannungssensor ergibt so jetzt ist
12. 0:28natürlich die Frage okay diesen
13. 0:31spannungssensor kann ich jetzt wieder
14. 0:32Schulungen den spannungsvektor kann ich
15. 0:34jetzt wieder in drei Komponenten
16. 0:35zerlegen die Normalspannung
17. 0:38und ich kann jetzt natürlich beliebig
18. 0:40viele Schnitte machen
19. 0:43und jetzt ist die Frage gibt es Schnitte
20. 0:48gibt es Schnitte die mir meine
21. 0:50Schubspannungen zu null werden lassen
22. 0:52sodass ich in meinem Schnitt nur
23. 0:55hauptnormal Spannungen nur
24. 0:58Normalspannungen wirken habe
25. 1:00und diesen Schnitt
26. 1:03den nennt man sogenannte Hauptrichtung
27. 1:05und die Spannungen die sich darauf
28. 1:07ergeben das sind nur Normalspannungen
29. 1:09das sind die sogenannten
30. 1:11hauptnormal Spannungen das heißt unser
31. 1:14Ziel wird es jetzt sein die Richtung zu
32. 1:16finden bei der die Schubspannungen des
33. 1:18spannungs-
34. 1:21und nur hauptnormal Spannungen
35. 1:23überbleiben und wir lösen dieses Problem
36. 1:27dadurch dass wir ein sogenanntes
37. 1:30Eigenwertproblem formulieren was sind
38. 1:32Eigenwertproblem ist das haben sie schon
39. 1:33kennengelernt das heißt wir werden jetzt
40. 1:35eine Formulierung dieses Problems als
41. 1:37Eigenwertproblem vornehmen und dann
42. 1:40entsprechend eben somit die
43. 1:42hauptspannungen und die Hauptrichtungen
44. 1:44bestimmen das heißt wir kommen jetzt als
45. 1:46nächstes
46. 1:55zum Eigenwert Problem des allgemeinen
47. 1:58Spannungszustand der Ausgangszustand den
48. 2:00wir haben ist das ein beliebiger
49. 2:02spannungssensor gegeben ist
50. 2:13mit einer voll besetzten Matrix das
51. 2:16heißt alle neuen Komponenten oder bzw
52. 2:19alle sechs unabhängigen Komponenten
53. 2:21meines spannungssensors sind belegt und
54. 2:24die Frage ist jetzt die finde ich einen
55. 2:26Schnitt und damit verbunden eigentlich
56. 2:29eine Basis die mir diese
57. 2:32nebendiagonale Elemente was hat die
58. 2:34Schubspannungen sind zu null werden
59. 2:36lässt und am Ende mein
60. 2:40spannungssensor wie folgt darstellen
61. 2:42lässt
62. 2:53der spannungssensor ergibt sich jetzt
63. 2:55einfach nur als Summe von 3
64. 2:59Sensoren und jeder dieser Zensoren ist
65. 3:01einmal mit einem Skalar nämlich Sigma J
66. 3:05multipliziert und diese drei Skalare
67. 3:09hier vorne das sind die sogenannten
68. 3:10hauptspannungen
69. 3:13und die Richtung hier
70. 3:17die man spannungstens ergeben die
71. 3:19tensorbasen das sind die zugehörigen
72. 3:21Hauptrichtungen
73. 3:32das heißt das für den spannungsvektor
74. 3:35der aus der Abbildung der Flächen
75. 3:38normale über den spannungssensor
76. 3:40hervorgeht dass der spannungsvektor sich
77. 3:43darstellen lässt ganz einfach als ein
78. 3:45Vielfaches des Flächen normalen Vektors
79. 3:48einmal hier dargestellt
80. 3:58wobei an dieser Stelle und das ist eben
81. 4:00hier durch dargestellt nicht über den
82. 4:02Index J summiert werden soll das ist
83. 4:04auch hier dargestellt dadurch dass
84. 4:06dieser Index in Klammern gesetzt wird
85. 4:08dieser Index bezeichnet jetzt nur die
86. 4:09Flächen normale und das ist eben die
87. 4:12zugehörige Hauptspannung das heißt der
88. 4:16spannungsvektor
89. 4:19auf der Fläche J ergibt sich jetzt ganz
90. 4:22einfach als ein skalaris Vielfaches des
91. 4:25zugehörigen Oberflächen einheitsvektors
92. 4:29und das haben wir schon einmal
93. 4:31kennengelernt und zwar haben wir so
94. 4:33Eigenwerte definiert Eigenwerte bilden
95. 4:37ein Vektor auf ein Vielfaches seiner
96. 4:41selbst ab das heißt Sensoren besaßen
97. 4:43sogenannte Eigenwerte und
98. 4:45eigenrichtungen und wenn man in dieser
99. 4:48Richtung sich befand dann wurde ein
100. 4:50Vektor auf ein Vielfaches seiner selbst
101. 4:52abgebildet und genau das haben wir jetzt
102. 4:53hier vorliegen der spannungsvektor wird
103. 4:56auf ein Vielfaches des
104. 4:59oberflächeneinheitsvektors abgebildet
105. 5:00und wenn er eben auf diesem
106. 5:03oberflächeneinheitsvektor abgebildet ist
107. 5:05die also in seine Richtung zeigt dann
108. 5:07hat er eben keine Komponenten quer dazu
109. 5:09mehr und das wäre eine genau diese
110. 5:11Schubspannungen
111. 5:12das heißt wir haben am Ende wenn wir uns
112. 5:14das gelingt dieses Eigenwertproblem zu
113. 5:17lösen und dementsprechend diesen
114. 5:19spannungsvektor der nur in 1 Richtung
115. 5:22zeigt zu finden dass wir dann unser
116. 5:25Problem gelöst haben dann haben wir
117. 5:26wirklich nur ein Spannungszustand in
118. 5:28einem Schnitt nur Normalspannungen drin
119. 5:31vorkommen
120. 5:33wenn wir jetzt also diese Sigma J diese
121. 5:37hauptspannungen ermitteln wollen und die
122. 5:39Hauptrichtungen ermitteln wollen wenden
123. 5:42wir einfach die Methoden an die wir
124. 5:45schon zuvor zur Lösung von
125. 5:46eigenwertproblemen kennengelernt hatten
126. 5:49und damals allererstes die Formulierung
127. 5:52dieses Problem als sogenannte
128. 5:54eigenwertaufgabe
129. 6:06das war das was wir auch schon zuvor
130. 6:08weil der Einführung in die tensorrechen
131. 6:11Regeln als Eigenwert Aufgabe
132. 6:14kennengelernt haben das heißt wir haben
133. 6:16hier ein homogenes Gleichungssystem
134. 6:17vorliegen für die gibt es natürlich
135. 6:19einmal die triviale Lösung das heißt
136. 6:21wenn hier dieser Vektor identisch dem
137. 6:25Nullvektor wäre daran sind wir natürlich
138. 6:26aber nicht interessiert sondern wir
139. 6:29wollen eben die nicht trivialen Lösungen
140. 6:31ermitteln und die erhalten wir eben
141. 6:32dadurch dass wir uns eben diesen Klammer
142. 6:34Ausdruck angucken und
143. 6:39dieses Gleichungssystem gab dann eben
144. 6:41nur dann eine nicht triviale Lösung wenn
145. 6:42dieses Gleichungssystem singulär ist und
146. 6:45die Bestimmung zur Singularität das ist
147. 6:47die Bestimmung der determinant des
148. 6:49Klammer Ausdrucks und wenn der gleich
149. 6:51Null war dann war unser gleiches System
150. 6:53singulär das heißt die Determinante des
151. 6:56Gleichungssystems schon die Determinante
152. 6:59des Klammer Ausdrucks das ist die
153. 7:00Gleichung die uns anschließend helfen
154. 7:02wird die hauptspannungen zu bestimmen
155. 7:06formal ausgedrückt heißt das also das
156. 7:09von diesem Ausdruck hier
157. 7:11die Determinante
158. 7:16das Spannungs
159. 7:18Tensors -
160. 7:24Hauptspannung mal identitätssensor
161. 7:29die muss gleich Null sein und das ist
162. 7:33meine bestimmungsgleichung
163. 7:39aus der ich jetzt im Anschluss die
164. 7:41hauptspannungen ermitteln werde