COM V22-1 M13 C7 Probabilidad de error de bit de BPSK — Transcript

Full transcript

1. 0:10abordemos ahora el cálculo de la probabilidad  de error de dsk tratándose de una modulación
2. 0:21binaria se trata de una probabilidad  de error de bit entonces probabilidad
3. 0:31de error
4. 0:35de bits
5. 0:39d b p s
6. 0:50y aquí no
7. 0:54más indicado es repetir el  diagrama de señales que habíamos
8. 1:06he hecho para dsk
9. 1:15y volver a poner los  correspondientes puntos de señal
10. 1:22vamos a poner ese 0 checa y vamos a poner
11. 1:31s 16
12. 1:38y vamos a recordar de que ese 0 cheque está  en la posición más raíz de ebit s 1 cheque
13. 1:45está en la posición menos raíz de bit y que  el eje de abscisas representa la parte real
14. 1:55de la variable de decisión x check el eje  de ordenadas representa su parte imaginaria
15. 2:07y vamos a asumir de que este punto de  señal ese 0 s 1 fue transmitido y qué
16. 2:23se materializó un ruido que vamos a asumir que es
17. 2:30ese punto que acabo de dibujar ahí lo  que se recibió es esto vale decir x check
18. 2:43es eso
19. 2:48y sx sex puede resultar bueno aquí una lámina  atrás x check es la suma de lo que se fue lo
20. 2:59que se transmitió más el ruido n check entonces  ese cheque con un determinado ruido nace ya sea
21. 3:09de transmitir ese cero y se contaminó por ruido o  bien se transmitió ese 1 y se contaminó por ruido
22. 3:21entonces tenemos realmente dos posibilidades  una es que esto acá es el ruido n check
23. 3:33y la segunda posibilidad es  que el ruido en el check sea
24. 3:40eso y simplemente para facilitar el análisis  y la discusión a esa segunda alternativa la
25. 3:48vamos a llamar n check priman uno de esos dos  ruidos se materializó sabemos que se transmitió
26. 3:56ya seas s0s uno no sabemos cuál x probable x  la transmisión del 0 y la grabación de un 1
27. 4:05y si fue un 0 el ruido fue este y si fue  un 1 el ruido tiene que haber sido ese otro
28. 4:13asumiendo de que se transmitió un s 0 y que el  ruido entonces es este de aquí habíamos definido
29. 4:22que el ruido se puede descomponer este ruido en  el check se descompone en una porción nx real de
30. 4:32una porción en y imaginaria pura entonces podemos  acá dibujar exactamente lo mismo podemos dibujar
31. 4:45en el eje y la componente n y  aquí en el eje x la componente
32. 4:58tiene x como una suma vectorial que entre  los dos por supuesto producen n check
33. 5:09ahora la pregunta clave que surge  mirando este esta figura es la siguiente
34. 5:30x se ha observado
35. 5:35es decir llegó una transmisión llegó un  pit pasó por el filtro adaptado se tomó
36. 5:42la muestra se generó x check se observa un  determinado check dada esa observación cuáles
37. 5:51el símbolo
38. 5:56más probable
39. 6:02de haber sido transmitido
40. 6:14y la respuesta es [Música] bastante simple  es aquel con la menor magnitud de ruido
41. 6:26n
42. 6:29y porque bueno porque ya qué
43. 6:35n es circularmente
44. 6:49simétrica
45. 6:55y con esto me refiero coloquialmente  que en el cjex tiene estadísticas
46. 7:02de sombrero mexicano
47. 7:06la densidad de probabilidad en  el check es un sombrero mexicano
48. 7:16y el sombrero mexicano es más alto justo en  la mitad el valor más probable es el valor con
49. 7:26magnitud 0 entonces en valores pequeños
50. 7:41son más probables
51. 7:48y esto si volvemos a la figura significa  directamente que esta realización de en
52. 7:56elche una realización de noche radiante  corta es más probable que esta realización
53. 8:03de genetech que hemos llamado leche exprima  que es más larga entonces si en ese bronce x
54. 8:18es más cercano
55. 8:26s 0 elche como el caso de la figura  que acabamos de hacer entonces
56. 8:39es más probable
57. 8:46que ese 0 check haya sido transmitido
58. 9:01y esto es lo que está en el corazón  del problema de decisión porque
59. 9:09siempre se va a declarar aquel símbolo siempre  se va a decidir en favor de aquí el símbolo
60. 9:20en base a si el punto recibido x check es  más cercano a dicho símbolo que al otro
61. 9:30entonces todas las ubicaciones de x check  en el plano complejo que sean más cercanas
62. 9:39a ese cero que van a generar una decisión en  favor del cero y todas las ubicaciones en el
63. 9:46plano complejo que son más cercanas a ese uno  van a generar una decisión en favor de ese uno
64. 9:56y este es un criterio del lugar geométrico que  establece la frontera de decisión y todos los
65. 10:03puntos del plano que son más cerca de ese cero  por supuesto son aquellos que están en el seño
66. 10:09y plano derecho y todos los puntos del plano  que son más cercanos a ese seguro son los de
67. 10:14semi plano izquierdo y la frontera de decisión  es entonces esta que estoy dibujando acá en
68. 10:26líneas segmentos fronteras
69. 10:34decisión
70. 10:41y así todo x check que aterriza en este  semiplano derecho genera una decisión en
71. 10:50favor del 0 y viceversa semiplano izquierdo en  favor del 1 entonces la frontera de decisión
72. 11:12dividen
73. 11:17al plano complejo
74. 11:26él todos los puntos
75. 11:34más cercanos
76. 11:40ese 0 check y s1 check respectivamente
77. 11:49y así la formulación de la pregunta  de probabilidad de error es cuál es
78. 12:00la probabilidad
79. 12:08que x check este
80. 12:14en la región
81. 12:20de decisión
82. 12:25opuesta
83. 12:31lo transmitido
84. 12:39y aquí tal vez enfatizar está idea de región
85. 12:50de decisión
86. 12:56y mostrarla acá como una región  de decisión correspondiente
87. 13:02al 1 y aquí una región de decisión  correspondiente al 0 los respectivos
88. 13:12semi planos derechos izquierdos otra  observación que es muy importante en esta figura
89. 13:25para responder a esa pregunta de cuál es  la probabilidad de que si se transmite por
90. 13:30ejemplo ese cero este vector x termine  acá en el semi plano izquierdo es que
91. 13:44la realización del ruido en y no tiene  la capacidad de cambiar si mi plano no
92. 13:52tiene la capacidad de generar error si se  transmite ese cero y el ruido en el cjex
93. 14:00tiene un en y muy grande en algunos de estos  dos sentidos no va a cometer un error igual
94. 14:10solamente con realizaciones de nx que  superan una distancia entre el punto
95. 14:17de señal y la frontera decisión solamente  realizaciones suficientemente grandes de nx
96. 14:24tienen la capacidad de generar un error  a no tenemos esa idea entonces ninguna
97. 14:39realización
98. 14:44del ruido
99. 14:48en cuadratura
100. 14:53en y es capaz
101. 14:59llevar
102. 15:05a x check
103. 15:08la región de decisión
104. 15:15incorrecta
105. 15:23y con eso tenemos ya los elementos necesarios para
106. 15:27calcular la probabilidad de error y para  eso necesito copiar esta figura de acá
107. 15:47la huella y pegar en esta nueva hoja
108. 15:59ahí está y voy a graficar aquí debajo n
109. 16:10x como variable y nx habíamos visto que  es una variable aleatoria graus jana
110. 16:25con cierta media y cierta varianza  que luego habíamos establecido que
111. 16:32la media cero y la varianza  es n cero entonces en torno a
112. 16:42este punto de acá
113. 16:46tenemos una campana de gauss jana
114. 16:56qué
115. 17:00distribuye normal
116. 17:05con media cero en torno a este punto con  media raíz de ebit en torno a este punto
117. 17:18y varianza n 0 medios
118. 17:25y eso es bajo el supuesto que se transmitió cero
119. 17:37y
120. 17:41lo mismo podemos establecer  cuando se transmite un 1
121. 17:48se tiene una campana gauss jana
122. 18:00centrada
123. 18:13él
124. 18:15- raíz de x
125. 18:20y es una distribución
126. 18:24normal de media menos raíz de bits
127. 18:30y varianza n0 medios y esta distribución  está en efecto bajo la transmisión de un 1
128. 18:44esta área bajo la curva acá es la probabilidad que  habiendo sido transmitido ese 0 este valor de nx
129. 18:58sea tan grande que x se aterriza  en el semi plano equivocado esta
130. 19:05es la probabilidad correspondiente la  probabilidad la voy a curar en verde
131. 19:32estoy ayudando
132. 19:41esa probabilidad es la probabilidad
133. 19:48declarar
134. 19:571 dado que se transmite un 0 y esta otra  probabilidad por simetría es igual y es
135. 20:04la probabilidad de declarar un cero cuando se  transmitió un 1 la voy a capturar en celeste
136. 20:30es la probabilidad de y declarar
137. 20:37pero dado que se transmitió un 1 y  por supuesto ambas probabilidades
138. 20:41son iguales entonces evaluemos igual  que siempre la probabilidad declarar
139. 20:541
140. 20:561 a 0 es igual a un medio más un medio de
141. 21:06el valor del umbral el valor del  umbral es 0 menos el valor de la media
142. 21:15es raíz de bits 0 - raíz de bit /  raíz de dos veces raíz de la varianza
143. 21:29que es en ese medio por qué por qué es esta  varianza es la varianza de nx es la varianza de
144. 21:37aquella variable que puede generar llegar al semi  plano izquierdo y si desarrollamos esto es igual
145. 21:50a un medio el complemento de la raíz de bits / n  0 es a su vez igual a la probabilidad de declarar
146. 22:050 dado uno por simetría y es por lo mismo bits x  probables la probabilidad de error de bits de d s
147. 22:23este resultado lo conocemos bien esta es la  probabilidad de error de bit de la población
148. 22:30n r z pero en realidad no debiera sorprender  mayormente porque en estricto rigor tenemos
149. 22:39un diagrama de señales idénticos tenemos un ruido  de la misma potencia en el cero medio que en su
150. 22:49momento cuando estudiamos modulación binaria de  banda base por lo tanto la probabilidad de error
151. 22:57tiene que ser la misma y esto lo vemos acá en  estas gráficas en estas curvas que ya conocemos
152. 23:05que ya habíamos introducido tiempo atrás para  m para mí y decía paradójicamente paréntesis
153. 23:12pps k tasa de error de bit es decir esta curva de  probabilidad de error un medio del complemento de
154. 23:21la raíz de ebit partido por n0 es efectivamente  también la probabilidad de error de bit debe
155. 23:29p sk y con eso hemos encontrado nuestra primera  probabilidad de error de pitt una mutación pasa