COM V22-1 M13 C6 Análisis de la variable de decisión — Transcript

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1. 0:07hemos estado formulando nuestro receptor
2. 0:13óptimo equivalente de banda base y lo  hemos estudiado no sólo en términos de
3. 0:20cómo se implementa en banda base la operación  de filtro adaptado sino que también el filtro
4. 0:26adaptado y propiamente tal cuál es y de hecho  habíamos encontrado que el filtro adaptado es
5. 0:37en términos generales siempre no sólo la versión  tiempo invertida de la señal sino que también la
6. 0:45forma con jugada de la señal y esto se vuelve  relevante cuando uno calcula el filtro adaptado
7. 0:52y repente de banda base a partir de una envolvente  compleja que es una señal compleja ahora para el
8. 0:59caso particular de bps k hay un pulso base fin  que tal como lo hemos definido es real y ese
9. 1:09pulso hace real por lo tanto en estricto rigor  no necesita una conjugación pero mantenemos esta
10. 1:17conjugación por claridad en los análisis que  vamos a realizar ahora nuestro receptor tiene
11. 1:30su forma equivalente en esta lámina acá donde  todo lo que ocurre en términos de pasa bandas
12. 1:39lo representamos también equivalentemente en la  banda base y lo que queremos hacer en la cápsula
13. 1:45actual es analizar en mayor detalle esta variable  de decisión que ahora es una variable compleja
14. 1:53y en base a dicho análisis vamos a tener todas  las herramientas que necesitamos para calcular
15. 2:00una probabilidad de error acá en la salida de  este dispositivo de decisiones entonces análisis
16. 2:14la variable
17. 2:20de decisión
18. 2:30la variable decisión x check si es que revisamos  nuestra figura es simplemente la señal recibida
19. 2:39que se compone de la suma de la señal deseada  y el ruido de pasa banda filtrada con el filtro
20. 2:49adaptado y muestreada en el instante t es decir  igual que la misma mecánica que aplicamos en el
21. 2:58caso de comunicaciones digitales de banda base  podemos decir que x check es igual a la señal más
22. 3:10el ruido con evolucionado con el filtro  adaptado y todo esto evaluado en ti
23. 3:22igual a t mayúscula al instante de mayúscula  y si desarrollamos esto esto es igual a la
24. 3:28integral de conclusión de menos infinito a  infinito entre la señal y el filtro adaptado
25. 3:40the town todo esto evaluado en el  instante de mayúsculo mayúscula más
26. 3:49la integral de convolución entre  el ruido n y el filtro adaptado
27. 4:00detalló también evaluado en el instante  de mayúscula ahora el filtro adaptado
28. 4:13q ya hemos visto que en el caso de dsk  y algunas otras señales más es igual a
29. 4:26asterisco dt mayúscula menos text  así que podemos insertar eso ahora
30. 4:32aquí entonces tenemos esto es igual a la  integral de menos infinito a infinito d
31. 4:44asterisco de t mayúscula menos el instante en  el cual se evalúa en efecto acta o entonces es
32. 4:55de más tau detalle todo esto igualado ante igual  a ti ahora dejé acá un espacio en blanco porque
33. 5:06tenemos que reemplazar la señal y esta señal  en general es igual a lo que fue transmitido
34. 5:15ese y check multiplicado por el pulso base de  tagua esto en el caso de todas maneras de bps
35. 5:24acá y varias otras modulaciones que vamos a estar  aprendiendo también entonces y lo mismo podemos
36. 5:35aplicar acá con respecto al filtro adaptado queda  entonces el ruido n de tau [Música] asterisco de
37. 5:47de menos de más está o de tau y todo esto puede  ser un poquito de espacio todo esto evaluado
38. 6:02igual a d mayúscula ahora como  siempre antes y evalúa este valor d
39. 6:15t mayúscula párate en la integral y así queda
40. 6:23que esto es igual a es igual a éste que  pasa como constante hacia afuera de la
41. 6:31integral multiplicado por la integral de menos  infinito e infinito de fin de tau al cuadrado de
42. 6:45town es decir en caso de que si fuera una señal  compleja esto acá finalmente calcula su energía
43. 6:54y sabemos que es la energía del pulso base  es uno por diseño entonces esto es igual a 1
44. 7:05más
45. 7:09la integral de menos infinito a infinito de n
46. 7:15sí asterisco d tal de tagua ahora mirando con  detalle nosotros tenemos que esto a su vez es
47. 7:33igual a ese y check este primer término  es igual a ese y check y la pregunta es
48. 7:39qué es lo que es este segundo término  esto es un proceso estocástico complejo
49. 7:47en general ponderado por una señal que puede  ser compleja por lo tanto toda esta integral
50. 7:56es una suma de infinitas variables aleatorias  gaussianos por lo tanto todo esto resulta en
51. 8:09escalar complejo que vamos a llamar n check  y que distribuye normal complejo con alguna
52. 8:19media y alguna varianza y las propiedades  de esta variable aleatoria normal compleja
53. 8:26es algo que tenemos que mirar en detalle así  que aquí abajo tenemos esto es igual a el 66
54. 8:36más ruido n check y en el caso particular de  bps k vamos a tener que esto acá en el caso
55. 8:49debe de sk que en el caso que nos interesa en  este momento vamos a tener que eso es igual a
56. 8:59más menos raíz d bits que es algo que ya sabíamos  muy bien desde el momento en que introdujimos la
57. 9:08modulación de bs acá aquí teníamos los valores  s ch como la raíz de ebit y ese 16 como menos
58. 9:18la raíz d y beat ahora esté en elche lo  voy a copiar y pegar la próxima lámina
59. 9:40esto en el check es igual a  esta integral recordemos qué
60. 9:51este proceso tocas tico n n tilde de tau  en realidad se compone por un proceso n
61. 10:04y en fase de tal mascota un proceso n en  cuadratura de taut cuyas propiedades estadísticas
62. 10:15conocemos bien así que toda la integral realmente  es la integral de menos infinito a infinito de n y
63. 10:27de estado real x fi conjugado de tau generalmente  complejo pero pero posiblemente real también de
64. 10:41tau más hot a veces una integral de menos infinito  a infinito de n de tao asterisco de edad de tau
65. 10:58y también podemos para estas dos  variables aleatorias definir esto
66. 11:04acá como nx que distribuye normal con  alguna media y alguna varianza pero ojo
67. 11:12es normal real en el supuesto  que esto acá es una señal real
68. 11:21paréntesis supuesto
69. 11:26de que es real y de igual forma está  integral de acá la definimos como
70. 11:36n psuv y que distribuye también normal  con alguna media y alguna varianza ahora
71. 11:49se puede mostrar
72. 11:49se puede mostrar
73. 12:01y esto lo dejo propuesto es un
74. 12:07buen ejercicio qué
75. 12:13el valor esperado de nx es igual al valor esperado  de n y y esto es igual a cero se puede demostrar
76. 12:26también que la varianza de nx es igual a la  varianza de n y es igual a n cero medios y
77. 12:43finalmente se puede demostrar que la covarianza /  n x y n y es igual a 0 es decir dado que nx y son
78. 12:58variables de altura cause jana al tener covarianza  0 significa que también son independientes
79. 13:06y estas tres condiciones conjuntamente  implican que esta variable n de acá
80. 13:19en el check es una variable aleatoria  causana compleja circularmente simétrica
81. 13:31por lo anterior
82. 13:38en el cheque es una variable
83. 13:49aleatoria
84. 13:56the ops jana
85. 14:00compleja
86. 14:06circularmente
87. 14:12simétrica
88. 14:21y para este tipo de variables conocemos una  serie de propiedades y en particular ello implica
89. 14:36dos cosas que son de interés que el valor esperado
90. 14:44d en el check es igual a cero y la varianza
91. 14:52en check
92. 14:57es igual a n 0 que es la suma de las  varianzas de las partes que la componen
93. 15:09y se habla en general de una distribución normal
94. 15:14compleja de media 0 y de varianza n 0  circularmente simétrica ahora eso es
95. 15:31define
96. 15:36las estadísticas de
97. 15:40x check de esta parte de x check y x  check sin embargo tiene además este
98. 15:47término determinísticos para alguna  transmisión y que puede ser 0 1 este
99. 15:54término determinísticos ya sea más o menos  raíz de ebit entonces ya tenemos todo lo
100. 16:00que necesitamos para entender exactamente  cómo se ve x entonces concretamente dado que
101. 16:14x check es igual a lo que se  transmitió s y check más el
102. 16:21ruido en elche que ahora ya conocemos  en sus propiedades estadísticas podemos
103. 16:30graficar
104. 16:34el diagrama de señales
105. 16:45dsk
106. 16:48bajo ruido
107. 16:53como sigue
108. 16:58tenemos entonces
109. 17:02el eje imaginario
110. 17:07tenemos el eje real
111. 17:21y lo que estamos realmente es dibujando x  check tenemos por un lado el punto de señal
112. 17:31s 0 check y por otro lado  simétricamente tenemos ese 1 check
113. 17:47ambos están ubicados
114. 17:53a una distancia
115. 17:57raíz de bits del eje de ordenadas
116. 18:10acá tenemos raíz de vista y aquí también  tenemos raíz de bits de distancia
117. 18:20y
118. 18:24cuando estos puntos de señal s se contaminan  con ruido esto se le eche generan una nube
119. 18:34cause jana en torno a cada uno de estos  dos puntos es cierto que se debilita y
120. 18:43que pierde densidad hacia afuera ahora lo  que voy a hacer para representar bien esta
121. 18:51nube gauss jana voy a hacer una pequeña nube  gauss jana y la voy a después mover y copiar
122. 19:02para ilustrar exactamente la situación
123. 19:10y esto intencionalmente son nubes gaussianos menos  densas hacia afuera y más densas hacia el centro
124. 19:29y entonces ahora voy a agobiar esta nube
125. 19:33voy a pegar una copia la voy a centrar en ese 1  check y la otra copia la voy a centrar en ese cero
126. 19:51así es como se ve la señal x check en la entrada  del dispositivo de decisión este x check es uno de
127. 20:07dos puntos ya sea el punto de las señales es cero  o el punto de las señales según o es un valor real
128. 20:15es decir x0 check es real puro
129. 20:20igual más raíz de ebit o menos país de bits  si se transmitió ese 0 o si se transmitió ese
130. 20:301 respectivamente y se contamina en el eje real  y en el eje imaginario con ruido en elche que es
131. 20:41una variable de autor ya gauss jana compleja  circularmente simétrica entonces según si se
132. 20:49transmitió 0 o cada vez que se transmite  0 se va a observar a lo largo del tiempo
133. 20:55que una nube gauss jana como ésta cada vez que se  transmite uno se va a observar una nube cause jana
134. 21:04como la otra y eso lo tengo  acá ilustrado en una animación
135. 21:14y justamente muestra esas dos nubes cause  jana de múltiples transmisiones visualizadas
136. 21:24simultáneamente acá tenemos [Música] una razón  señala ruido de 7 decibeles para una cierta tasa
137. 21:35da como una cierta cantidad de datos que  se transmiten si esa razón señala ruido
138. 21:43disminuye vamos a tener una nube de graciana mayor  la potencia del ruido es mayor manteniendo la
139. 21:51potencia y la energía de la señal así que la razón  sea la ruidosa aumenta vamos a tener una nube de
140. 22:04puntos mucho más pequeña y así tenemos múltiples  casos aquí en caso intermedio 11 decibeles 3
141. 22:12decibeles [Música] 7 decibeles para ilustrar  cómo van materializándose visualizándose estás
142. 22:27después de ausiàs nubes de puntos y océanos como  se va materializando esta variable aleatoria x
143. 22:38y con esto ya tenemos todos  los elementos necesarios para
144. 22:42calcular la probabilidad de error de bits de pps