COM V22-1 M13 A1 Variables aleatorias gaussianas complejas — Transcript

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1. 0:10hablemos brevemente sobre variables
2. 0:19aleatorias
3. 0:24complejas y en particular hablemos  sobre variables aleatorias jawzjan as
4. 0:32complejas
5. 0:41concretamente definamos una  variable aleatoria compleja zeta
6. 0:58una variable
7. 1:03aleatoria
8. 1:06compleja
9. 1:09z que se compone de una componente
10. 1:18real x también aleatoria y una componente  imaginaria y también aleatoria dónde x
11. 1:33y son ambas variables aleatorias normales reales  de media 0 y varianza sigma al cuadrado reales
12. 1:51es decir sus densidades de probabilidad px de x
13. 2:011 partido x la raíz d
14. 2:072 y sigma cuadrado por la exponencial de  menos x cuadrados partido por 2 sigma al
15. 2:20cuadrado y por supuesto p y de y es exactamente  la misma expresión solamente que reemplazando
16. 2:30x x y luego simplemente copiar la expresión  anterior pegarla y reemplazo acá la x por una y
17. 2:48ahora cuando uno tiene dos variables aleatorias  hablar de ellas no basta para hablar de ellas
18. 2:56no basta con conocer las estadísticas de  cada una de ellas por separar ni tampoco
19. 3:02su densidad de probabilidades de cada una de  ellas por separada sino que también hay que
20. 3:08referirse a la correlación o covarianza  entre ambas entonces vamos a asumir de
21. 3:17que estas variable a torias tienen z  tiene x j y con xe y normales y con
22. 3:30la covarianza / x
23. 3:36qué es el valor esperado del producto xy  recuerden que cada una de ellas tiene media cero
24. 3:44covarianza 0 cuando dos variables aleatorias  normales tienen covarianza 0 entonces esto es
25. 3:52equivalente a decir que x y son  estadísticamente independientes
26. 4:04son variables aleatorias independientes  la variable zeta así definida
27. 4:17es lo que se conoce como una
28. 4:24variable aleatoria
29. 4:35gauss jana
30. 4:41compleja
31. 4:47circular mente simétrica
32. 5:01y qué es lo que significa esa simetría circular lo  vamos a ver enseguida en cualquier caso lo que ya
33. 5:11podemos decir es que este tipo de variables  a la teoría de opción a es un caso especial
34. 5:28una
35. 5:31variable aleatoria gauss jana
36. 5:41compleja
37. 5:44sino la variable la teoría de oceana compleja  donde z se compone por x e y que tienen alguna
38. 5:52distribución normal no necesariamente de  misma varianza no necesariamente de media
39. 5:560 no necesariamente de misma media y no  necesariamente de covarianza 0 ese caso
40. 6:04general no lo vamos a estudiar pero acá nos  queremos enfocar en un caso bien particular
41. 6:10que es una variable altura compleja que tiene  esta propiedad de simetría circular que viene
42. 6:18asociada a el hecho que la cobranza es cero y que  las medias son cero y que tienen la misma varianza
43. 6:27para este caso la densidad  de probabilidad la función
44. 6:37de densidad
45. 6:42de probabilidad
46. 6:49ez estaba vapor
47. 7:00sub zeta de zeta es igual a 1  partido por y por sigma z al cuadrado
48. 7:14por la exponencial de menos z por  z conjurado / sigma zeta cuadrado
49. 7:30con
50. 7:33sin maceta al cuadrado igual a la varianza
51. 7:41la variable zeta la varianza de esta variable zeta  que tiene media cero desde luego si volvemos atrás
52. 7:53si es que xc y ambos tienen media cero entonces  el valor esperado de esta media es cero
53. 8:07entonces
54. 8:13es igual al valor esperado de z por z  conjugado no se le resta la media porque 0
55. 8:21y esto es igual a y el valor  esperado de x + j y x x - j y
56. 8:38lo cual es igual a valor esperado de x al cuadrado
57. 8:47más valor esperado de y al cuadrado y es  igual a entonces en definitiva es igual a 2
58. 9:03cuadrado
59. 9:09y tal vez el comentario sobre la media notando que
60. 9:17el valor esperado de z
61. 9:21es igual a el valor esperado de x +  jota y es igual al valor esperado de x
62. 9:33+ j valor esperado y es igual a 0
63. 9:44entonces hagamos lo siguiente tomemos esta  densidad de probabilidad y reemplacemos
64. 9:56para z y para z complejo conjugado  reemplacemos la definición x + j
65. 10:05y para sigma z al cuadrado reemplacemos 2  sigma al cuadrado y veamos lo que ocurre
66. 10:17entonces tenemos que z receta  es igual a 1 partido por 2 veces
67. 10:32al cuadrado exponencial d - x +  j y x j y / 2 sigma al cuadrado
68. 10:55es igual a 1 partido por 2 y sigma al cuadrado  exponencial de menos x al cuadrado más y
69. 11:09sigma al cuadrado
70. 11:14y todo eso es igual a 1 partido por  la raíz de 2 y sigma al cuadrado
71. 11:24exponencial de menos x al cuadrado  partido por 2 sigma al cuadrado x
72. 11:35exactamente lo mismo pero donde dice x ponemos y
73. 11:49es decir la densidad de la variable  aleatoria compleja es igual al producto
74. 11:59de las densidades de las variables aleatorias  reales que componen su parte real y su parte
75. 12:08imaginaria que componen su parte  en fase y su parte en cuadratura
76. 12:16pero esto no debiera ser sorpresa porque  habíamos partido d el supuesto que x y son
77. 12:27independientes entonces cuando x y son  independientes entonces su probabilidad
78. 12:32conjunta es igual al producto de sus densidades de  probabilidad entonces esto como era de esperarse
79. 12:50por ser x e y independientes
80. 13:03es decir esta variable aleatoria  compleja zeta no es otra cosa la
81. 13:11densidad espectral de potencia en la densidad
82. 13:17la función de densidad de probabilidad de  la variable compleja zeta es la función
83. 13:27de densidad de probabilidad y variada de x e y
84. 13:40función de densidad de  probabilidad de z es a la vez
85. 13:52la función de densidad de probabilidad y variada
86. 14:02de x y
87. 14:10ahora de dónde viene esta noción de simetría  circular aquí hablábamos de una variable
88. 14:20a thor ya de oceana compleja circularmente  simétrica eso tiene que ver con lo siguiente
89. 14:32notamos quién p z receta solo depende
90. 14:45el módulo de zeta al cuadrado  concretamente si volvemos atrás
91. 14:53esta densidad de probabilidad de z tiene  un parámetro múltiple constante tiene una
92. 15:03exponencial tiene otro parámetro constante y  aquí solamente que dentro aparece la variable
93. 15:08zeta y aparece como el módulo esto  es igual al módulo de z al cuadrado
94. 15:18entonces la densidad completa ansia completa  depende exclusivamente de este módulo al cuadrado
95. 15:28y esa es la observación que hemos  hecho acá y esto implica que
96. 15:40dz tiene simetría circular
97. 15:52es decir si es que tenemos el plano complejo
98. 16:01donde aquí ponemos la parte real de  z que es igual a equis y aquí arriba
99. 16:12ponemos la parte imaginaria de zeta que es igual a
100. 16:22y entonces vamos a tener un valor de x acá
101. 16:33un valor de y
102. 16:39iceta va a tener el valor  correspondiente a esa diagonal
103. 16:50y si es que repetimos numerosas veces un  experimento no cierto aleatorio en donde
104. 16:58se producen variables z de la forma  que lo hemos descrito entonces cómo
105. 17:07es como x schnauss jana x va a tener una densidad
106. 17:17que se reparte sobre el eje x con media 0 y  la varianza que tiene x entonces tenemos acá
107. 17:28una distribución normal de media  cero y varias asignó al cuadrado
108. 17:37y vamos a tener sobre el eje y
109. 17:44una
110. 17:46densidad normal
111. 17:55que representa la distribución vertical de la  variable aleatoria y esta también es una variable
112. 18:06en una distribución normal de media 0  y varianza sigma al cuadrado entonces
113. 18:15pueden ocurrir valores positivos de  x valores positivos de y pero también
114. 18:22pueden ocurrir valores negativos de x acá la  probabilidad distinta de 0 y también pueden
115. 18:26ocurrir valores negativos de y por qué porque  la probabilidad aquí es distinta de 0 y las
116. 18:33probabilidades máximas ocurren en torno al  valor 0 0 entonces si es que dibujamos acá
117. 18:42en múltiples realizaciones de esta variable  z la primera es la que acaba de mostrar ahí
118. 18:50con un punto rojo pero las siguientes van  a estar repartidas en los cuatro cuadrantes
119. 19:01y lo interesante es que van  a ser más probables al centro
120. 19:09que en la periferia
121. 19:19y la mayor densidad de realizaciones las  vamos a tener bien concentradas en torno
122. 19:25al origen y la simetría circular  se refiere a que cualquier corte
123. 19:32y aquí arbitrariamente voy a  hacer un corte a través de él
124. 19:42primer y tercer cuadrante cualquier corte
125. 19:48si miramos las estadísticas de la  variable en ese corte vamos a observar
126. 19:56en un sistema en un sistema ordenado  que sigue ese corte vamos a observar
127. 20:03una distribución estadística normal con las mismas
128. 20:15estadísticas en cualquier corte está este  nube de puntos va a tener la misma densidad
129. 20:24y esto se puede simular y lo  tenemos aquí corriendo donde
130. 20:34genere exactamente lo mismo que acaba de  escribir muchísimas realizaciones de variables
131. 20:44aleatorias normales donde cada uno de estos  puntos viene a representar un equis y un y
132. 20:52que produjeron un un zeta normal y estoy  dibujando muchos de ellos simultáneamente
133. 21:02y renovando es a esa generación para que se  hagan una idea de la nube de puntos en la
134. 21:11medida que va corriendo el tiempo en la medida  que se van generando estas variables aleatorias
135. 21:15lo que interesante observar que esto es y saca  en 0 decibeles 0 debe watts esto es varianza 1
136. 21:25esto es una variable atore que tiene potencia  1 varianza es 1 es decir tenemos volviendo
137. 21:37acá
138. 21:41sigma al cuadrado es un medio sigma al cuadrado a  su medio sumado 2da aquí lo vimos la varianza sin
139. 21:50maceta al cuadrado sumados dan dos veces por  un medio da 1 entonces sin maceta al cuadrado
140. 22:01esta animación que tenemos acá es uno  ahora podemos cambiar el sigma z por
141. 22:07ejemplo reduzcamos lo a un medio entonces  tenemos aquí una situación con -3 decide el
142. 22:14estrés decibeles es un factor un medio entonces  automáticamente vemos como esta nube gauss jana
143. 22:22compleja se redujo de tamaño y podemos volver  a reducir esa varianza aquí tenemos menos 7
144. 22:35decibeles así que es un poquito menos que un  cuarto el sin maceta al cuadrado la potencia
145. 22:42de esta variable y la nube volvió a encoger un  un poquito esas son las variables aleatorias
146. 22:55gaussianos circularmente simétricas y  poner a estar trabajando en distintos
147. 23:04aspectos de comunicaciones  digitales de pasa bandas