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Berechnung des Schubmittelpunkts für einfach symmetrisch, dünnwandige Profile — Transcript

by Medien für die Lehre · 2,802 words · 471 segments · language en · Watch on YouTube

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0:06wir hatten letztes mal als eine weitere
0:09querschnitts größe den schub mittelpunkt
0:11kennengelernt der schub mittelpunkt ist
0:13der punkt gewesen in dem die querkraft
0:15angreifen muss damit sie mit den
0:19teilzeitkräften des querschnitts
0:22äquivalent ist und kein weiteres fusions
0:25moment erzeugt was meinen querschnitt
0:27verdrehen würde
0:28wir haben diesen schub mittelpunkt eben
0:31die lage des shoot mittelpunkt eben bei
0:32normalen volk rechneten schon ermittelt
0:35und das thema heute wird sein dass wir
0:37die lage des shoot mittelpunkt es eben
0:40bei dünnwandigen profilen kennenlernen
0:42wollen
0:44das heißt wir das thema heute die
0:46berechnung des mittelpunkts für einfach
0:49symmetrische dünnwandige profile
1:03hier ist einmal so einen dünnen wendiges
1:06profil angegeben
1:07gefordert ist jetzt eine einfache
1:09symmetrie einfach um sicherzustellen
1:13dass wir die eine koordinate des schub
1:16mittelpunkt schon ermittelt haben
1:18durch dergestalt dass der schub
1:22mittelpunkt mit dem schwerpunkt auf
1:26einer linie ist wobei wir hier den
1:29schwerpunkt immer mit es bezeichnen und
1:30den schub mittelpunkt mit dem hier ist
1:33ein dünnwandiger querschnitt dargestellt
1:35dünnwandige querschnitte stellen wir da
1:37dass wir nur dich durch die profil
1:39mittel fläche und es soll jetzt eine
1:42querkraft kuh angreifen
1:46jetzt aber wie gesagt nicht im
1:49schwerpunkt das ist eine annahme die wir
1:51jetzt fallen lassen gegenüber der
1:53technischen betriebe von zu anfang sie
1:55soll nicht im schwerpunkt angreifen
1:57sondern sie soll im mittelpunkt
1:58angreifende nur wenn sie im schub
2:00mittelpunkt angreift ist die querkraft
2:04äquivalent zu den teilstreitkräften die
2:07sich einstellen infolge der zuflusses
2:15von es der abhängig ist von der lauf
2:21koordinate es die wir oben wie bekannt
2:24am freien rand beginnen lassen
2:26das heißt dieser schub fluss wenn wir
2:30den reduzieren auf einen punkt zum
2:32beispiel in es die querkraft eben es
2:35angreifen lassen würden dann hätten wir
2:36eben noch ein fusions moment übrig das
2:39haben wir schon gezeigt aber schon
2:41kennengelernt und damit das geht nicht
2:43der fall ist muss die querkraft
2:44sozusagen darf die kernkraft nicht dem
2:48schub mittelpunkt an er nicht dem
2:49schwerpunkt angreifen sondern muss im
2:50mittelpunkt angreifen und die lage
2:53dieses punktes m
2:54die möchten wir heute ermitteln unser
2:56koordinatensystem oder ausgangs
2:58koordinatensystem liegt immer noch im
3:00schwerpunkt
3:11das heißt wir haben x3 mx2 koordinate
3:14durch die einfache symmetrie die
3:16gefordert ist wissen wir dass m
3:19auf der x2 achse nicht das heißt extra
3:21ist gleich null symmetrien linien sind
3:25geometrische orte für den schub
3:26mittelpunkt und das was wir ermitteln
3:29wollen ist genau dieser abstand der
3:31schub mittelpunkt zum schwerpunkt x2 und
3:42die gleichung die uns die bestimmung
3:45gleichen geliefert oder beziehungsweise
3:46die bedingung die uns die bestimmung
3:48gleichung geliefert das ist die
3:50äquivalenz bedingung das heißt wir
3:52fordern dass die querkraft äquivalent
3:57mit den durch sie verursachten teil
4:00schubkräfte tm dünnwandigen querschnitt
4:03ist und an dieser stelle nochmal daran
4:05erinnert äquivalent kräftig balance
4:09heißt dass diese punkte reduziert auf
4:12erstellung dass diese kräfte oder kraft
4:14systeme reduziert auf einen beliebigen
4:16punkt immer die gleiche dynamik bilden
4:19das heißt wenn ich mir irgendeinen
4:21beliebigen punkt in meinem system
4:22aussuche der irgendwo liegen mag
4:26idealerweise liegt er hier auf meiner x2
4:31achse und ich nenne diesen punkt b wenn
4:37ich meine teil schubkräfte auf diesen
4:41punkt b reduziere muss die gleiche die
4:43namen herauskommen wie wenn ich meine
4:45querkraft q3 auf diesen punkt b
4:48reduziere und diese bedingung dass die
4:54dynamik die gleiche ist das ist das
4:56prinzip der äquivalenz die liefert mir
5:00dann bestimmung gleichung mit der ich
5:01die gesuchte größe x2 bestimmen kann und
5:06dafür schreiben wir jetzt einfach mal
5:11die nötigen gleichungen auf
5:15option auf eine dynamik hieß das einmal
5:17die resultierende der kräfte natürlich
5:20gleich sein musste und das ist können
5:23wir davon können wir ausgehen dass titan
5:24schubkräfte das ist die integration
5:27eines schuhs system das die vom betrag
5:30her gleich groß sind wie meine kraft gut
5:323 weil das benutze ich ja genau um meine
5:35teil schubkräfte beziehungsweise einen
5:37schub fluss zu ermitteln
5:38die zweite sache war die dass auch das
5:41moment bezüglich des gewählten punktes
5:44in diesem fall gleich sein muss das
5:46heißt was wir jetzt als erstes machen
5:47ist wir stellen das momenten
5:49gleichgewicht einmal der teilzeitkräfte
5:51infolge des flusses und dann des
5:54momentes infolge der querkraft drei um
5:56den punkt b auf
6:07da mehr als allererstes das moment um
6:10den punkt b infolge der querkraft q3 das
6:14ist die kraft q3 und multipliziert mit
6:17dem hebel arm oder hebel ansetzt sie
6:19zusammen als differenz des abstandes vom
6:22schub mittelpunkt x2 zum schwerpunkt
6:26abzüglich des abstand ist es punktes b
6:31vom schwerpunkt das ist genau dann der
6:33hebel an
6:34das hier ist der hebel an was hier in
6:38der differenz dargestellt ist und als
6:41zweites haben wir das moment des
6:44schusses
6:51da müssen wir dann natürlich das
6:53integral über die komplette länge die
6:56komplette länge meines den running
6:58profils bilden
7:00und natürlich immer zugehörigen mit dem
7:03zugehörigen hebelarm wo beide bei dem
7:05hebel haben eben zu sagen ist dass der
7:07zusagen senkrecht senkrecht
7:13b das ist mein faible rtn abhängigkeit
7:20von erst dies sind die beiden momente um
7:26das um den punkt b für den schub fluss
7:29tesa an dieser stelle nochmal dran
7:31erinnert gilt die sogenannte kursieren
7:38formel und das was jetzt gefordert ist
7:43ist dass diese beiden momente in folge
7:45der querkraft und in folge torsion
7:48gleich sind und das was es fordert ist
7:54das prinzip der äquivalenz das heißt ich
7:57möchte wirklich dass meine querkraft
7:58äquivalent mit dem schuh fluss im
8:00querschnitt ist mit dem kräfte system
8:02schuhplus in meinem querschnitt und da
8:06setze ich jetzt einfach in diese
8:07bestimmung des gleichen die beiden oben
8:09gewonnen beziehungen rein und erhaltet
8:11dann relativ schnell meine gesuchte
8:13größe
8:23und diesen ausdruck diesen gewonnenen
8:25ausdruck muss ich jetzt einfach nach bei
8:27einer gesuchten größe gesuchte ist ja x2
8:30freistellen und das am ende hier ist die
8:43gleichung aus der ich dann meine schub
8:47mittelpunkt die lage meines mittelpunkt
8:50bestimmen kann
8:51die koordinate x3 m die es gleich null
8:55das haben wir erreicht durch die
8:56einfache symmetrie und x2 m
9:02das ist der abstand vom schwerpunkt die
9:05nach dem wenn da ein positives x2 heraus
9:07kommt heißt es dass wir links vom
9:09schwerpunkt sind im anderen falle
9:12rechtsverkehr schwerpunkt muss diese
9:15gleichung angucken dann fällt uns auf
9:17dass in dieser gleichung nur
9:19geometrische größen drin stehen
9:21das heißt wir haben hier das x2 b das
9:23war der abstand eines beliebig gewählten
9:26punktes flächen trägheitsmoment das
9:29statische moment und daneben den abstand
9:32rt immer von unseren gewählten
9:34bezugspunkt um den wir das moment bilden
9:37das sind aber alles größen die allein
9:40vom querschnitt beeinflusst werden
9:43und das ist eben wieder der punkt dass
9:46der schub mittelpunkt eine reine
9:48querschnitts größe eine reine
9:50geometrische größe ist unabhängig von
9:53dem belastungs zustand das was wir jetzt
9:57gemacht haben es ist jetzt die allgemein
9:58sste form des querschnitts also wie
10:02gesagt bis auf die tatsache dass die
10:03metrisch ist aber wir haben ja
10:05eigentlich in der regel mit anderen
10:07profilen zu tun und zwar mit sogenannten
10:09profilen die sich durch teil wollten
10:12teilweise gerade abschnitte abbilden
10:15lassen
10:15und in diesem falle vereinfacht sich
10:19natürlich diese integration hier
10:20deutlich wir können dann genau die
10:22gleiche integration machen wie wir es
10:24bei der ermittlung der schubkräfte bei
10:26der ermittlung der schub spannungen
10:27kennengelernt
10:29haben indem wir ganz einfach dann unsere
10:31x3 delta und unsere s2 linie bilden
10:35das werden wir jetzt im folgenden
10:37einfach mal machen und zwar haben wir
10:38einfach ein beispiel eines profils
10:48gegeben ist folgendes profil
11:03und bei diesem profil führen wir jetzt
11:05wie bekannt als allererstes die lauf
11:08koordinate es ein und wir beginnen damit
11:10am spannungsfreien rand und lassen sie
11:17dann so laufen wie das wasser fließt die
11:21dicke des profils ist konstant höhe
11:23breites auch angegeben
11:24und jetzt steht als allererstes die wahl
11:28des punktes b an das heißt ich muss mich
11:31jetzt entscheiden wo ich jetzt meine
11:32punkt b wähle und idealerweise welchen
11:36punkt b so dass die abstands ermittlung
11:39der einzelnen querschnitts teile dazu
11:41hin relativ einfach ist respektive das
11:46die einzelnen quer schutzflächen
11:48vielleicht sogar gar nicht an diesen
11:50momenten gleichgewicht teilnehmen indem
11:53wir hebelarm 0 wird das heißt es in
11:56diesem beispiel ganz einfach wenn wir
12:00den punkt b wir müssen den punkt b
12:02irgendwo oder wir sollten ihn schulden
12:05wir sollten ihn irgendwo auf der x2
12:09achse verorten
12:11das ist natürlich klar weil dort auch
12:13irgendwo der schuh kittel punkt
12:14natürlich liegen muss aufgrund der
12:15einfachen symmetrie und wenn ich jetzt
12:17sage okay weil punkt b liegt jetzt genau
12:23auf dem steg dann ist der anteil des
12:29flusses der in dem steg liegt hat dann
12:33bezüglich des momentes um den punkt b
12:36den hebelarm 0
12:38den brauche ich also auch nicht in
12:40dieser formel einfließen lassen das
12:42heißt meinem eine formel meine formel
12:44verkürzt sich meine berechnung verkürzt
12:46sich das heißt man muss das ziel haben
12:49irgendwie diesen punkt b so zu legen
12:51dass idealerweise gesamte querschnitts
12:54teile nicht berücksichtigten müssen wenn
12:56das nicht möglich ist muss der die
12:58abstands ermittlung zu diesem punkt aber
13:00relativ einfach sein das ist die
13:02strategische entscheidung die bei der
13:05wahl des punktes b im hinterkopf haben
13:07muss hier in diesem fall wählen wir den
13:10punkt b auf dem steg liegen
13:13und jetzt machen wir als allererstes wie
13:16wir auch bei der
13:16mittelmeer schub spannungen kennen die
13:20ermittlung der x3 data linie
13:23das war die linie die die integrations
13:25das war die funktion die wir zur
13:29ermittlung des statischen momentes
13:30integrieren mussten so das ist ganz
13:40einfach wir haben an der oberen
13:42querschnitts fläche das ist der fleisch
13:45haben wir den abstand halbe nach oben
13:50das heißt negativ also ist unser delta
13:53x3 - delta x h halbe und unten
14:01entsprechend nur mit umgekehrten
14:04vorzeichen
14:06diese linie muss ich jetzt einmal
14:09integrieren um meine s2 linie zu
14:11erhalten und die integration war jetzt
14:19ja nichts anderes als dass ich mir die
14:23x3 delta linie an gucke ich habe hier
14:25oben einen konstanten verlauf das heißt
14:28integriert ergibt sich ein linearer
14:29verlauf ich weiß dass man rand wert am
14:33rechten ende 0 ist dann muss sie nur
14:35noch wissen wie groß man rand wert am
14:37linken ende ist und das entspricht genau
14:39dem flächen inhalt - delta maler halbe
14:44mal der breite de wie gesagt der verlauf
14:54ist konstant dieser wert gilt gemäss den
14:58übergangsbestimmungen einmal um die ecke
15:00um entlang des stegs habe ich aufgrund
15:06des linearen verlauf bei der x3 data
15:09linie eine parabel förmigen verlauf in
15:13der s2 linie gelange dann unten aber
15:16genau wieder auf dem gleichen rand wert
15:19wie oben auch nur mit umgekehrten
15:21schuldigen diesmal mit gleichen
15:22vorzeichen
15:27und falle dann am ende wieder linear auf
15:31den wert null zurück und das gesamte
15:35statische moment ist negativ jetzt muss
15:39ich wenn ich mir die ausgangsform hier
15:43unten angucke jetzt von dieser s2 linie
15:49das integral bilden und zwar s2 linie x
15:54dem mit dem abstand
15:58herr t und darüber das integral dann ist
16:06der witz der dass ich dieses rt diesen
16:10abstand wenn ich mich bei profilen
16:15bestehend aus teilweise geraden stücken
16:18finde dass das natürlich jeweils
16:21unabhängig von der länge vor der von dem
16:25ort in dem stab es für jeden starb oder
16:27für jeden jeden tag verschnitt wie ein
16:30teil möchte jahr habe ich ein anderes rt
16:34aber entlang dieses tag schätzt das
16:37heißt entlang der integration ist dieser
16:38abstand immer konstant das heißt ich
16:40kann diesen teil rausziehen
16:43ich kann diesen teil das rt herausziehen
16:46vor das integral ziehen und das was ich
16:48hier übrig habe das bezeichne ich als
16:53teil schubkraft
16:57das heißt meine formel sieht dann wie
16:59folgt aus
17:09das heißt ich habe hier an dieser stelle
17:12jetzt das rtg herausgezogen
17:17das damit verbleibt in dem integral
17:20immer nur noch das s2 und zwar immer
17:22über die länge des jeweiligen profil
17:24abschnitts und am ende muss ich das
17:28alles natürlich noch agieren und so kann
17:32ich dann eben mein x2 bestimmen vorher
17:36führe ich noch eine abkürzung ein und
17:39zwar diesen termin her den bezeichne ich
17:41jetzt als sie darf und das ist meine
17:45sogenannte ersatz schubkraft ersatz
17:51schubkraft deswegen weil im unterschied
17:53zum tee zum großteil was wir vorher
17:57kennengelernt haben die es hier jetzt ja
17:58eigentlich nur eine rein geometrische
18:01größe ist und eigentlich gar keine kraft
18:03darstellt man kann es aber hier in
18:05diesem sinne eben als kraft jetzt
18:07interpretieren
18:09für mein gewähltes profil hier ergibt
18:12sich jetzt für die einzelnen
18:13ersatzkräfte einmal
18:24mein es ein squared einfach als flächen
18:30inhalt dieses dreiecks hier oben
18:34welchen inhalt dieses dreiecks und damit
18:37erhalte ich
18:47das heißt ich habe hier für meinen des 1
18:49da einmal den rand wert delta hb halbe
18:52mal - mal die länge
18:55das ist b und da ich ein dreieck habe
18:58bei dem faktor 1 halbjahr so mal bhw und
19:01erhalte dann eben als ersatz schubkraft
19:03diesen ausdruck hier und für den flansch
19:08unten erhalte ich genau den gleichen
19:11ausdruck das heißt meine größe hier
19:16unten
19:17eine ersatz schubkraft unten ist genauso
19:20groß wie die ersatz schubkraft oben im
19:23oberen flansch wenn jetzt in diese
19:26formel hier gucke jetzt müsste ich jede
19:28ersatz schubkraft mit dem abstand noch
19:32einmal multiplizieren und jetzt komme
19:37ich zu diesem punkt den ich vorhin
19:38erwähnt hatte dieses rt1 nenne ich
19:41müsste ja eigentlich noch die ersatz
19:42schubkraft hier von diesem steg
19:43ermitteln
19:44das s2 strich sozusagen
19:49da dieses s2 strich aber hier in dieser
19:51formel mit einem 0 abstand eingehen
19:53würde rt1 ist der abstand zum punkt b
19:56und der punkt b liegt genau auf dem steg
19:59würde dieses hier sowieso nicht zu
20:01beitragen also muss ich diese ersatz
20:04schubkraft auch gar nicht erst ermitteln
20:06das ist das was ich holen meinte bei der
20:08strategischen wales punkt des bs
20:10normalerweise müsste ich jetzt hier und
20:12das ist ja schon eine relativ komplexe
20:14funktion hiervon auch die ersatzkraft
20:17ermitteln in dem moment wo ich den punkt
20:18b aber darauf lege hat diese ersatz
20:22schubkraft einfach keinen anteil in
20:24diesen momenten gleichungen kann damit
20:25vernachlässigt werden und damit bin ich
20:27eigentlich auch schon fertig und jetzt
20:29gehe ich einfach mit diesen ersatz
20:30ersatz schubkräfte hier oben in meine
20:34bestimmung gleichung rein und erhalte
20:36dann das x2 m
20:43ich habe - 1 durch j 22 das x2 das hab
20:49ich jetzt noch mal drüben gelassen dass
20:50wir am ende sowieso 0 - 1 durch
20:54entschuldigung schulung schön dass -
20:56extra b das ist ja der abstand vom
20:59schwerpunkt zum punkt b das heißt ich
21:00müsste erst auch die lage des
21:01schwerpunkts ermitteln dass er jetzt
21:04aber einmal hier außen vor das heißt ich
21:05habe das noch mal da drüben stehen
21:07anschließend habe ich hier diesen termin
21:101 durch jetzt wo zweimal der satz
21:12schubkraft ist 1 x dem abstand der
21:14abstand ist halbe und da das für den
21:19oberen flansch genauso gilt wie für den
21:21unteren flansch euch hier einfach nur
21:23noch den faktor 2 hinzufügen und bin
21:26dann am ende angelangt
21:33das heißt dieser ausdruck hier am ende
21:36dieser ausdruck vier wände
21:39das beschreibt den abstand eines punktes
21:45von diesem punkt hier vom punkt b und
21:50das ist eben ein weiterer vorteil durch
21:53die wahl des punktes bbi willy am ende
21:55wissen wo mein punkt m liegen muss und
21:58dieses wissen um diesen punkt kann ich
22:01ja nur von einer lage aus machen die mir
22:03bekannt ist zu diesem zeitpunkt hier bei
22:06dieser berechnung hier ist mit die lage
22:07des punktes es ja gar nicht bekannt die
22:10müsste ich jetzt ja eigentlich erst noch
22:11ermitteln
22:12brauche ich aber nicht weil ich weiß
22:15dass mein punkt b genau auf dem steg
22:17liegt und xm bezeichnet hier in diesem
22:20fall wie ich das jetzt hier unten
22:21aufgeschrieben habe genau den abstand
22:25zum steak das heißt hier dieses hier das
22:29ist genau der abstand zum steg die nicht
22:32bestimmen muss um die lage der super g
22:34punkt zu ermitteln
22:36das heißt dieser ausdruck hier das ist
22:41dieser abstand
22:47fxcm -6 2 b
22:52das heißt ohne die lage des schwerpunkts
22:55explizit zu kennen kann ich die lage des
22:59mittelpunkts bestimmen wenn ich den
23:01punkt b auf ein hort ablege den ich
23:04kenne
23:05ein letzter punkt an dieser stelle noch
23:08was man allgemein zur lage der schub
23:10mittelpunkt zu sagen kann man sagt dass
23:13der schub mittelpunkt querschnitts
23:14flüchtig ist
23:15was meint man damit wenn wir uns diese
23:17formel hier angucken
23:19die rücken wir sehen wir wir haben hier
23:20einen positiven term wir hatten das m
23:24links von der öffnung angenommen wir
23:28haben hier ein profil das nach rechts
23:30geöffnet ist und wir hatten links des
23:32stegs diesen punkt hin gelegt und diese
23:34formel ist ja dahingehend
23:35allgemeingültig dass wir sagen können
23:38okay unabhängig davon wie sich jetzt
23:39hier die lenk verhältnisse ändern
23:41unser m ist immer entgegengesetzt der
23:45öffnung und wird damit liegt damit
23:47außerhalb des querschnitts im gegensatz
23:49zum schwerpunkt der innerhalb des
23:51querschnitts liegt und deswegen
23:53bezeichnet man diese sam auch als
23:55querschnitts flüchtig

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