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Berechnung der Verdrillung infolge Torsion, Einführung der Verwölbung — Transcript

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0:00[Musik]
0:06wir haben die Spannungen an einem
0:09dünnwanigen geschlossenen die
0:10torsionsspannungen die Schubspannungen
0:12an einem dünnwandigen geschlossenen
0:13Querschitt infolge eines
0:14außenangreifenden
0:16Torsionsmoment schon
0:17kennengelernt heute möchten wir uns mit
0:19den damit einhergehenden
0:22Verformungen beschäftigen das heißt wir
0:24beschäftigen heute mit der Berechnung
0:25der Verdrillung und der Verwölbung
0:27infolge Torsion
0:33und zwar bleiben wir bei unserer
0:36querschnitzgruppe bei unsereri unserem
0:38querschitztyp dem des dünnwandigen
0:39geschlossenen
0:46querschitz bevor wir dort einsteigen
0:49müssen wir als allererstes uns noch mal
0:51ganz kurz mit der Verwölbung
0:52beschäftigen die habe ich ihn ja schon
0:54dargestellt was die Verwölbung ist die
0:56Verwölbung ist eigentlich nichts anderes
0:57als das Verlassen von eines Querschnitts
1:01hier einmal dargestellt hatte ich das
1:02wenn ich jetzt hier mein Tragwerk habe
1:04das ist jetzt ein offener Querschitt und
1:06ich Tiere den dann sehen wir dass dieser
1:08Querschnitt seine Ebenheit verlässt und
1:10dieses verlassende Ebenheit beschreiben
1:12wir dadurch dass eben mit einzelne
1:14Punkte meines Querschnitts jetzt eine
1:16Verschiebung in stabichtung erfahren und
1:19der Witz ist eben der dass diese
1:20Verschiebung in stabbrichtung jetzt eben
1:22nicht gleichmäßig ist sondern
1:24ungleichmäßig das heißt die Ebenheit
1:26meines Querschnitts hier sieht man das
1:28besser dieser Punkt wird nach inen
1:29choben dieser Punkt wird nach außen
1:31verschoben die Ebenheit males
1:32Querschnitts die verlasse ich das heißt
1:35die welbfreiheit wurde bisher nicht
1:38vorausgesetzt bei den vollwquerschnitten
1:40hatten wir das noch angenommen hier
1:42jetzt in dieser querschnittsklasse
1:43lassen wir diese Annahme fallen die
1:46Verwölbung kann also
1:52stattfinden unser Querschitt kann sich
1:54verwlben das U1 der Einzelne
1:57querschitzpunkt ist damit nicht mehr
1:59Null sonder ungleich n0 das findet statt
2:01allerdings wissen wir dass dieses U1
2:05nicht infolge eines einer Normalspannung
2:08auftreten kann weil die haben wir ja zu
2:11Null gesetzt das heißt die betrachten
2:13wir einfach erstmal gar nicht wir
2:14betrachten ja nur ein die verformen
2:17Folge eines torsionsmoments und dies
2:18erzeugt eben keine σ11 Spannungen und
2:20wir wissen dass unser Torsionsmoment das
2:22war auch eine
2:24Annahme konstant ist
2:27entlang der X1 Koordinate und damit
2:30folgt automatisch dass auch unser
2:33U1 nicht abhängig sein kann von X1
2:37sondern nur abhängig sein kann von der
2:40laufkoordinate
2:43S das heißt meine Verformung U1 ne die
2:47hier die ich jetzt hier herannehme um
2:49meine verwökung zu beschreiben die hängt
2:51nur von der Stelle innerhalb des
2:54Querschnittes ab wo sie wo sie gemessen
2:56wird ne nicht entlang des Querschnittes
2:58weil davon ist sie
3:01unabhängig und wenn ich das weiß diese
3:04diese Annahme
3:06hergenommen habe dann kann ich mich wie
3:08wir es eigentlich kennengelernt haben
3:09als nächstes einmal mit dem
3:10werkstoffgesetz
3:17beschäftigen das heißt ich habe damit
3:20den Zusammenhang zwischen den
3:22Schubspannungen die ich ja jetzt
3:23mittlerweile berechnen kann und meinen
3:25Verzerrungen hergestellt nämlich meiner
3:28gleitung Gamma S1 denken sie dar dran
3:30wir sind bei den dünnwandigen
3:31querschitten wo wir uns
3:34eben von den kartesischen Koordinaten
3:37gelöst haben und uns innerhalb der des
3:39laufkoordinatensystems bewegen deswegen
3:41das Gamma S1 und jetzt ist die Frage wie
3:44berechne ich jetzt dieses Gamma S1 und
3:46dazu muss ich mir einmal die Kinematik
3:48angucken das heißt ich muss mir angucken
3:50wie sich eigentlich mein Querschnitt
3:52verhält wenn er sich in folg Torsion
3:55verformt das möchte ich einmal ganz kurz
3:57darstellen wir können dort einmal
3:59z.bispiel uns angucken wie sich mein
4:01Querschitt
4:12verdreht ich sehe hier z.B habe ich
4:14jetzt einmal
4:18angetragen mein mein
4:20kreisringquerschnitt ne denken Sie dran
4:22das ist ein dünnwiniger das ist jetzt
4:24also hier die Darstellung der
4:26profilmittelfläche und den Tiere ich
4:28jetzt dann wird sich jetzt dieser quers
4:29Punkt
4:31hier dieser querschnitzpunkt hier wird
4:33sich also entlang meines Querschnitts in
4:36Richtung der laufkoordinate S verdrehen
4:39er wird sich in dieser Richtung
4:40verschieben und diese inkrementellen
4:43Verschub den bezeichne ich
4:44mit D das ist meine inkrementelle
4:48Verschiebung in Richtung der
4:49laufkoordinate und diese inkrementelle
4:52Verschiebung die ändert sich natürlich
4:54entlang
4:55meiner Koordinatenrichtung meines Ortes
4:58X1 hier da
5:00stellt das heißt die Winkeländerung und
5:03damit die gleitung infolge dieser dieses
5:06verschubs
5:07in
5:09laufkoordinatenrichtung diese
5:10Winkeländerung das war ja die gleitung
5:12diese Winkeländerung berechnet sich zu
5:15dus abgeleitet
5:20nach der Ortskoordinate X1
5:29damit habe ich den Teil der gleitung
5:32beschrieben infolge der Verdrehung der
5:36Verdrehung infolge der Torsion wir haben
5:39aber noch einen zweiten Bestandteil das
5:40war ja nämlich jetzt ist es nämlich die
5:42Verwölbung das heißt ich kann also ein
5:44Dux der ein du in Richtung 1 haben
5:49infolge der Verwölbung und auch infolge
5:51dessen würde sich mein Querschnitt
5:53verzerren das ist einmal hier
5:57dargestellt ich habe jetzt hier einmal
6:00dargestellt mein
6:01kreisringquerschnitt und der erfahre
6:03jetzt eine Verwölbung in eins Richtung
6:06das heißt eine Verschiebung in eins
6:08Richtung und ein Inkrement davon das ist
6:11das du1 und auch hier ist es eben
6:16so wenn ich jetzt ein rechck auftragen
6:20würde wäre die
6:22Winkeländerung vom rechten Winkel und
6:24genau das war ja die gleitung die würde
6:26man jetzt angeben mit du
6:30nach
6:31DS diese
6:33Winkeländerung infolge der Verwölbung
6:36das heißt der inkrementellen
6:38Verschiebung in einsrichtung die ist
6:40jetzt nur abhängig von der
6:42laufkoordinate S um den querstitt herum
6:46das heißt ich habe also zwei Winkel
6:49identifiziert einmal hier diesen Winkel
6:51infolge der Verdrehung dividiert durch
6:55die Länge des Stabes und im zweiten
6:57Winkel dieser Winkel das ist ist die
7:01infolge der Verwölbung um den Umfang
7:04herum und diese beiden Winkel
7:06beschreiben mir jetzt meine
7:12gleitung und
7:15zwar ganz einfach indem ich eben diese
7:18beiden winkelanteile addiere bekomme ich
7:20dann eben meine gesamtgleitung Gamma S1
7:23die aufgrund der zugeordneten
7:25Schubspannung das gilt auch hier
7:27weiterhin Gamma 1s ist ist ne ganz
7:30einfach diese beiden winkelanteile jetzt
7:33addiert und jetzt bin ich eigentlich
7:36schon fast soweit ich weiß nämlich an
7:39dieser Stelle
7:40okay ich kann das nach du nach nach nach
7:44nach der Ableitung der
7:46umfangsverschiebung US nach dx1
7:48freistellen und für mein Gamma kann ich
7:50das werkstoffgesetz Einsetzen und dann
7:52erhalte ich den Zusammenhang
8:02was habe ich dadurch gewonnen gut ich
8:04habe jetzt hier das ist ja das was wir
8:05am Ende berechnen wollen unser du1 das
8:07war die Verwölbung die möchten wir ja
8:09berechnen die gleitung habe ich jetzt
8:11schon durch die Schubspannung die ja
8:13schon bekannt sind oder die ich schon
8:15berechnen kann ersetzt und die einzigen
8:17den einzigen Thermo die ich mir jetzt
8:18noch Gedanken muss das ist dieser hier
8:20die umfangsverschiebung abgeleitet nach
8:22der Ortskoordinate X1 aber auch dafür
8:25habe ich eigentlich schon Beziehungen
8:27gewonnen
8:33das dus nach dx1 partiell abgeleitet
8:37hier das ist eigentlich nämlich nichts
8:39anderes als die
8:42Winkeländerung über die Länge und die
8:44Winkeländerung über die Länge das haben
8:46wir bezeichnet als DV nach dx1 und das
8:49ist eigentlich nichts anderes als die
8:52Verdrillung die wir ja auch schon
8:54kennengelernt
8:57haben und damit ergibt sich für die
8:59Verwölbung der
9:04Zusammenhang was habe ich dadurch
9:06gewonnen ich habe nun einen Zusammenhang
9:09geschaffen indem die Verdrillung
9:11auftaucht die ich ja am Ende bestimmen
9:13möchte das einzige was mir jetzt
9:16natürlich noch fehlt ist jetzt wirklich
9:18okay die bestimmungsgleichung also ich
9:20habe jetzt hier erstmal den Zusammenhang
9:21zwischen den Schubspannung und der
9:22Verdrillung die gibt mir eben meine
9:24Verwölbung aber was ist jetzt die
9:25bestimmungsgleichung n gut die
9:27bestimmungsgleichung ist ganz einfach
9:29kann man sich vorstellen wenn ich bein
9:30qunit hier
9:32habe und ich den jetzt verdrille
9:35verdrille hier das ist jetzt ein offener
9:37Querschitt wenn jetzt aber geschlossen
9:38wäre dann würde dürfte das eben genau
9:40nicht passieren es dürfte eben genau
9:41hier kein Delta auftauchen das heißt
9:44wenn ich einen geschlossenen Querschnitt
9:45hätte stellen sich mal vor dass ist
9:46jetzt hier geschlossen und ich würde
9:48daran drehen dann würde sich diese
9:49Verformung eben nicht auf auf auftun und
9:52der Witz ist eben der wenn ich jetzt
9:53einmal hier drum gehe ne mein
9:56ringintegral Bilde dann muss ich am Ende
9:58genau am Ausgangspunkt wieder ankommen
10:02und das ist die
10:08bestimmungsgleichung das
10:10heißt wenn ich die Verformung in
10:13einsrichtung mir angucke und einmal um
10:15den Querschitt rumgehe und weil mein
10:17Querschnitt ja geschlossen ist muss ich
10:20dann am Ende genau am selben Punkt
10:21wieder ankommen wie ich gestartet bin
10:23das heißt wenn ich einmal das Integral
10:24über den kompletten Umfang Bilde muss
10:27ich am Ende hier mit einer Null
10:30rauskommen und das ist die sogenannte
10:36kompatibilitätsgleichung oder
10:37kompatibilitätsbedingung und die liefert
10:39mir die
10:42bestimmungsgleichung und wenn ich in
10:44diese bestimmungsgleichung den Ausdruck
10:47für meine Verwölbung den ich hier
10:49gewonnen habe einsetze dann habe ich
10:51zwei summanten wo ich dann natürlich die
10:53Integration dementsprechend auch
10:54aufteilen kann
11:08wenn ich das gemacht habe gelange ich
11:09eben zu dem Ausdruck dass das in
11:11ringintegral meiner Schubspannung um den
11:13Umfang oder um den Querschitt herum
11:15entlang des DS ist nichts anderes ist
11:17als im Schubmodul mal der Verdrillung
11:19mal diesem Ausdruck hier und diesen
11:21Ausdruck den kennen wir schon aus der
11:23Berechnung der Schubspannung das war
11:25nämlich nichts anderes als das Doppelte
11:27der von der profilmittelfläche
11:29eingeschlossen
11:33querschitfläche und damit bin ich fast
11:35fast am Ziel angelangt ich habe jetzt an
11:37dieser Stelle meine
11:40torsionsschubspannung vorliegen und hier
11:42geh mal die Verdrillung mal die Fläche
11:44das alles kann ich berechnen aber die
11:46torsionsschubspannung die kann ich auch
11:48schon berechnen die Formel hatte ich
11:49schon hatten wir schon gemeinsam
11:51hergeleitet und wenn ich diesen
11:52Zusammenhang jetzt einfach in diese
11:54Formel einfüge gelingt es mir am Ende
11:56meine Verdrillung zu berechnen
12:10und diese Formel hier am Ende ist genau
12:12das was wir zu Anfang vorhatten diese
12:14Formel hier bestimmt mir jetzt die
12:16Verdrillung ich hatte wie gesagt hier
12:18ganz einfach für das Tau unseren
12:19Zusammenhang Tau ist= MT durch 2 am
12:22durch mal Delta eingesetzt habe alle
12:25Terme die unabhängig von DS sind vor das
12:27Integral gezogen und dann nach der
12:29Verdrillung freigestellt und komme dann
12:32am Ende eben hier zu diesem Zusammenhang
12:34dass die Verdrillung nichts anderes ist
12:36als mein Torsionsmoment dividiert durch
12:38das Vierfache des schubmoduls dividiert
12:40durch die eingeschlossene
12:42querschitsfläche zum Quadrat und das was
12:44ich hier habe diese integrationsausdruck
12:45das ist nichts anderes eigentlich als
12:46die Profillänge eben dividiert durch die
12:50jeweils
12:52vorherrschende Profildicke an der Stelle
12:55S und an dieser Stelle kommt wieder Herr
12:57Brett den wir ja schon einmal kenen
12:59gelernt haben ins Spiel Herr Brett hat
13:02sich jetzt eben Gedanken gemacht
13:04okay wie fasse ich jetzt diese Formel
13:06zusammen und er hat eben dort die
13:08Analogie zum Kreis volgferschitt gewählt
13:11dort hatten wir ja auch schon den
13:12Zusammenhang dass unsere Verdrillung
13:13gleich MT das Torsionsmoment durch den
13:16Schubmodul dividiert durch das
13:18torsionsflächenträgheitsmoment war und
13:20ihm ist aufgefallen dass er eigentlich
13:22formal hier genau das gleiche vorliegen
13:25hat MT durch G und das einzige was dann
13:29überbleibt dieses durch 4 durch am
13:31Quadrat multipliziert mit diesem
13:33integral das interpretiert er jetzt eben
13:36als
13:38torsionsflächenträgheitsmoment und
13:39gelangt so zu seinem Zusammenhang den
13:42wir als zweite bretsche Formel
13:53bezeichnen und wie gesagt dahinekommen
13:56ist er über die anal
13:59zum Kreis vololgverschnitt

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