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Berechnung der Schubspannungen infolge Torsionen von Stäben mit Vollquerschnitt — Transcript

by Medien für die Lehre · 2,442 words · 411 segments · language en · Watch on YouTube

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0:06dazu machen wir als erstes den schritt
0:10wieder in der kinematik das heißt wir
0:12wollen jetzt als allererstes die
0:13verschiebungen und verzerrungen
0:15beschreiben und zwar infolge des fusions
0:22von wenn cmt so wenn wir die
0:28verschiebungen und verzerrungen in folge
0:29mt uns angucken wollen dann gehen wir
0:32hier unsere performance gleichungen
0:33gucken an welche verschiebungen wir
0:35überhaupt haben
0:36an erster stelle ist hier zu sagen dass
0:39wir keine verschiebung in u1 richtung
0:41haben weil ja dieser kreisky schnitt
0:43genau gerade welt frei sein soll
0:51das heißt eine verschiebung in die
0:53einrichtung haben wir nicht der soll
0:56seine quelle steht was wir auch nicht
0:58haben ist wird dir den querschnitt der
1:01soll sich aber nicht aufblähen oder
1:02nicht zusammenziehen dabei sind noch so
1:04klein dass wir eventuell seine
1:06verformungen vernachlässigen das heißt
1:08wir haben auch keine verschiebung in
1:10richtung das heißt in radialer richtung
1:13auch unser r soll seien identisch 0
1:17und dann ist die einzige verformung die
1:19wir haben wenn wir uns hier die
1:20verdrehung angucken
1:22eigentlich ein verschub entlang des
1:27umfangs ein verschub in umfang richtung
1:29und diese verschiebung in umfang
1:31richtung die bezeichnen wir wir sind in
1:33krimi inkrementell unterwegs und weiß
1:37inkrementelle und dieses dv das kann man
1:41sich sofort hier auf diesem bild hier
1:43angucken wie groß dieses de wie ist das
1:46ist eine ganz einfach winkel beziehung
1:47der infiniti sie malen geometrie
1:49entspricht eher mal die vier mal die
1:53inkrementellen drehwinkel das sind meine
1:57verformungen die ich habe und diese
2:00verformungen aus diesen verformung
2:02möchte ich jetzt meine verzerrungen
2:06verleiten und meine verzerrungen sind
2:08nichts anderes als die verformung
2:09abgeleitet insbesondere haben wie eben
2:11unser gama
2:18unser karma das ich eben ergibt aus der
2:21verschiebung in 1 richtung in umfangs
2:24richtung plus der verschiebung und
2:26umfangs richtung abhängig von der lage
2:28im in meinem stab diese verschiebung ist
2:31null weil wir jetzt in diesem sonderfall
2:34des kreis versetzung bewegen und sagen
2:36okay das feld frei das ist also nur das
2:39verbleibt also nur dieser ausdruck hier
2:42und für den setzen wir unsere bekannte
2:43beziehung von eben ein
2:47das war er mal verdreht inkl abgeleitet
2:50nach der orts koordinate x1 und diesen
2:54ausdruck hier diesen ausdruck hier
2:59drehwinkel abgeleitet nach der orts
3:02koordinate den bezeichnet man als fett
3:05drin um die verdrängung beschreibt also
3:13die verdrehung eines querschnitts
3:17bezogen auf die länge des querschnitts
3:21und jetzt haben wir die verzerrungen
3:24komplett beschrieben und wir haben die
3:27verformungen komplett beschrieben
3:29jetzt war der nächste schritt den wir in
3:31unserem china immer verwendet hatten ist
3:33wir mussten diese beiden felder
3:34spannungen und verformungen verzerrungen
3:37miteinander verknüpfen das haben über
3:39die konstitutiven gleichung über die
3:41werkstoff gesetze gemacht also auch hier
3:42verwenden wir jetzt als nächstes das
3:44werkstoff gesetz
3:52hier sehen wir eben unsere schub
3:54spannung siegmar 14 entspricht laut dem
3:57shop modul x der verzerrung 14
4:00und für die verzerrung hatten wir hier
4:02oben diesen ausdruck gefunden air malta
4:05das heißt meine schub spannung ist
4:07gleich schub modul mal radios mal fett
4:10drin
4:10der letzte schritt der jetzt noch übrig
4:13blieb war der dass sich von den schnitt
4:17größen auf meine spannungen kommen
4:19wir sind im sheema oben ich musste dann
4:21von den schnitt größen auf die
4:22spannungen kommen
4:23das haben wir immer mit dem sogenannten
4:25äquivalenzprinzip vollzogen
4:37ich habe also dieses moment m11 in
4:40meinem crash mitwirken ich zeige ihnen
4:42das koordinatensystem im querschnitt x3
4:46und x2 ich habe mein moment m1 wirken
4:52und habe jetzt hier irgendwie einen
4:54beliebigen spannungsfaktor t
4:57und dieser spannungsfaktor t hat jetzt
5:00zwei komponenten eine in zwei richtungen
5:03wirken
5:04das ist unser sigma 2 1 und eine
5:09spannungs komponente in drei richtungen
5:11wirken das ist unser sigma 31 nachher
5:15auch wieder an die indizes erinnert der
5:17erst index zeigt die richtung an in die
5:20die spannung zeigen und der zweite
5:21bezahlt die flächen normalen das heißt
5:23wir haben jetzt ein schnitt in unserem
5:25staat gemacht
5:26senkrecht zu 1 achse und deswegen haben
5:29wir hier dort die beiden komponenten x2
5:3116 31 und wenn ihnen jetzt angucke okay
5:35wie groß wäre jetzt das moment in folge
5:37dieser schnitt größen
5:39das ist ja genau die äquivalenz
5:42beziehung sei okay mein moment in folge
5:44dieser schnitt größe es ist einmal das
5:45integral über die fläche ich muss aus
5:47den spannungen wieder kräfte machen und
5:49jetzt ist es so dass die iks 21
5:51komponente ein hebel haben hat dieser
5:56hebelarm entspricht x3 weil x2 1 und ist
6:02dreht sie sehen dass hier in diesem
6:03beispiel hier positive six 21 dreht
6:08positiven x3 dreht entgegen dem dreh
6:10sind des m1 des toyota und deswegen ein
6:14- davor und die zweite komponente die
6:18wir haben das ist unser ex 3 1 und das
6:22greift an mit dem hebel arm nix 262 x
6:27fix 31
6:32das ist das moment damit haben wir die
6:36äquivalenz beziehung aufgestellt wir
6:39haben aber noch die herausforderung dass
6:40diese äquivalenz beziehung in kathi
6:44sischen koordinaten geschrieben ist und
6:47zwar einmal sowohl die hebel arme x3 und
6:51x2 aber auch die spannungen auch die
6:57spannungen sind noch in katholischen
6:59koordinaten dargestellt die
7:03transformation beziehung für die hebel
7:05arme in die zylinder koordinaten die wir
7:07ja männer haben wollen
7:08die haben sie schon kennen gelernt die
7:09hätten wir hier einmal gesehen das was
7:12jetzt noch übrig bleibt ist die
7:14transformation der spannungen in die
7:17zylinder koordinaten und dazu müssen sie
7:20als allererstes in erinnerung rufen wir
7:23haben nur eine spannung vorliegen das
7:25ist unser sigma 14
7:26das ist die spannung in umfangs richtung
7:30infolge der annahmen die wir getroffen
7:32haben
7:33tritt keine andere spannung auf das
7:35heißt wir haben nur diese eine spannung
7:37und wenn wir jetzt die transformation
7:39beziehungen herleiten wollen dann machen
7:41wir verfolgen das wir nehmen einfach
7:42diese spannung her
7:44sigma 14 und teilen die in ihre
7:50komponenten auf wir haben hier an dieser
7:53stelle den winkel
7:55um dem wir gedreht haben wieder
7:57vorliegen hier an dieser stelle das
7:59kriegen sie über einfache winkel
8:00beziehungen heraus mit dem wissen wissen
8:03sie okay hier oben ist wirkt ihr sigma 2
8:061 und je nach unten wirklich sieg macht
8:0931 und da habe ich können sie sofort die
8:12transformation beziehungen auf schreiben
8:14nämlich ihr sigma 2 1 ist gleich - weil
8:20es in die andere richtung wirkt - sigma
8:23143 sinus vieh und ihr sigma 31 ist
8:29gleich jetzt positiv ist gleich 14 mal
8:33cosinus 4
8:36und diese ganzen transformations-
8:39beziehungen sowohl für die hebel haben
8:41als auch jetzt diese hier für die
8:43spannungen die sitze ich jetzt hier in
8:44dieses äquivalenz
8:46und ich gelange dann zu folgendem
8:48ausdruck und ihr in diesem ausdruck
9:00sehen sie jetzt nur noch winkel und den
9:04radius
9:05das heißt ein abstand von nationalen
9:06lachs infocom das hatte sind jetzt
9:08komplett im zylinder koordinatensystem
9:10und jetzt kann ich zusammenfassen ich
9:12habe hier cosinus quadrat und hier
9:14zweimal den sinus cosinus quadrat und
9:16wenn sie wissen sie kennen auch das
9:18aktions theorien cosinus quadrat
9:20plusminus quadrat ist gleich 1 das heißt
9:23hier
9:23diese beziehung ist 1er und sigma 14
9:26kann ich rausziehen und ich erhalte dann
9:31die formel am ende mit cosinus quadrat
9:37halver plus/minus quadrat alpha ist
9:41gleich eins und er und vier
9:43ausgeklammert erhalte ich die gleichung
9:49das ist jetzt das äquivalenzprinzip in
9:52der zylinder koordinaten schreibweise
9:55und wenn sie sich mal diese formel
9:57angucken dann sehen sie auch gleich das
9:59auch sofort verständlich dass ist das
10:00sigma 14 ist die spannung in umfangs
10:03richtung und das moment was ist erzeugt
10:06ist natürlich x dem hebelarm und das ist
10:08natürlich der abstand zu der schwer
10:10achse also auch hier haben sie
10:11eigentlich stehen kraft mein hebel haben
10:14in diese beziehung in diese beziehung
10:17dieses äquivalenzprinzip was wir hier
10:19jetzt haben setzen wir jetzt das stoff
10:21gesetz ein das sieht man 14 das kennen
10:24wir ja nicht aber wir kennen ja die das
10:28stoff gesetz unser sigma 14 ist gleich
10:30gehen mal air malta das setzt sich jetzt
10:31in diese gleichung ein und ich erhalte
10:34dann
10:44und da sowohl der schub module als auch
10:48die verdrängung unabhängig von der von
10:52dem ort innerhalb des querschnitts sind
10:55ich führe hier ja eine integration über
10:56den querschnitt durch anders gehe und
10:58das theater das ist unabhängig von der
11:00lage im querschnitt
11:01es ist abhängig also das gsg ist für den
11:04konzepten starb konstant erstmal und das
11:06theater ist abhängig von der lage
11:08von der orts koordinate x1 aber nicht
11:11davon abhängig wo ich mich im
11:13querschnitt bewege weil es ja die
11:14vertretung des gesamten querschnitts
11:16beschreibt darum kann ich das gehe und
11:18das theater vor das integral ziehen und
11:24es verbleibt dann der ausdruck b x t x
11:27der verdrängung mal nicht integral von r
11:29quadrat über die fläche und diesen
11:32ausdruck diesen ausdruck den kennen wir
11:351 x r quadrat mal der einst wenn sie
11:38sich überlegen was eigentlich dieses
11:40r-quadrat jetzt ist mit den
11:43transformationsbedingten hatten wenn sie
11:46das jetzt sozusagen wieder
11:47rückübersetzung kommt eigentlich raus
11:50dass dieses r-quadrat nichts anderes ist
11:53als x2 quadrat plus x3 quadrat und
11:56diesen ausdruck kennen wir und das war
11:58nämlich das polare flächen
12:00trägheitsmoment
12:08und in diesem kontext der torsion nennen
12:11wir dann dieses polare flächen
12:13trägheitsmoment auch unser torsion
12:15trägheitsmoment und diese beziehung für
12:22das fusions strick und oben in die quali
12:24beziehung eingesetzt liefert uns dann am
12:26ende den ausdruck m1 ist gleich ein
12:30schub modul mal der verdrehung x dem
12:34polaren flächen trägheitsmoment dem
12:36torsion strickkreis moment und damit bin
12:39ich eigentlich fertig wenn ich jetzt
12:42hier raus zum beispiel die spannungen
12:46berechnen möchte dann setze ich einfach
12:49wieder mein werkstoff gesetz an dieser
12:51stelle ein
12:56das heißt ich habe hier im einst bei der
12:59verteilung weil i p und ich weiß ja über
13:02der ssg und die verdrängung wie sich das
13:04mit meinen schub spannungen verhält
13:09nämlich dergestalt dass war das
13:11werkstoff gesetzt was wir hatten
13:12das kann ich jetzt genau diese formel
13:13wieder einsetzen und ich erhalte dann
13:19meint jones moment in kontext mit dem
13:22schub spannung und da die spannung das
13:23sind was wir berechnen wollen muss hier
13:25noch einmal nach der show spannungen
13:26freistellen
13:31und das sind die spannungen infolge
13:35eines fusions moment es die sogenannten
13:39fusions schub spannungen an dieser
13:42stelle ist jetzt noch interessant sich
13:44einmal anzugucken wie jetzt eigentlich
13:46dieser schub spannungs verlauf über den
13:48querschnitt wie der aussieht das kann
13:51man sich ganz einfach vorstellen sich
13:52diese form hier anguckt ich habe jetzt
13:54also meine shows spannung dort geht ein
13:57das mt das ist für den ort jeweils
14:00konstant also es ist natürlich ärgerlich
14:03aber an dem ort ist mein mt konstant ich
14:06habe mein polaris flächen
14:08trägheitsmoment auch das ist eine
14:09querschnittsbranche es heißt für den
14:10querschnitts konnten die einzige
14:12variable die ich innerhalb des
14:13querschnitts habe ist dieses r und zwar
14:16in einem linearen zusammenhang mit
14:18meinem tau das heißt wegen mir das
14:20angucken
14:21sieht meine mein schuh spannungs verlauf
14:23ganz einfach wie folgt aus ich habe hier
14:25mein querschnitt ja wie hier die
14:29zylinder achse durch die meine x1 achse
14:33läuft hier habe ich entsprechend x2 x3
14:37und wenn ich jetzt die spannungen an
14:39tragen wollen würde gut die sind hier in
14:42der mitte 0 und zum außen nach außen hin
14:45wachsen sie auf den rand wert tt brand
14:54ist gleich mt durch ep gut und der
15:03abstand an dieser stelle den bezeichne
15:04ich mal mit großer das ist meine
15:06anspannung und dazwischen ist der
15:09verlauf einfach linear
15:12inzwischen ist der verlauf einfach
15:14linear und jetzt an dieser stelle
15:16das wird dann auch immer häufig nicht
15:17nicht mehr erkannt wie wirken jetzt
15:19diese spannung wie ist jetzt diese
15:21wirkungs richtung und die wirken in der
15:23ebene und zwar aufschub das heißt wenn
15:26ich hier jetzt wirklich eintragen wollen
15:28würde wie diese spannung wirken dann
15:30sind es eben hier lauter pfeile in der
15:33ebene die in umfangs richtung zeigen und
15:37das ist der schub spannungs verlauf von
15:39spannung in folge torsion in einem kreis
15:42volk verschnitt diese größe hier eher
15:49durch die p die kann ich auch wieder
15:52zusammenfassen die ist ja eine keine
15:54querschnitts größe das kennen wir schon
15:56aus den beagle spannungen
16:03das ist das sogenannte fusions
16:06widerstands moment und dieses
16:12widerstands moment das kann ich einmal
16:13für den kreis coesfeld ganz exemplarisch
16:16einfach mal ausrechnen
16:17ich habe dazu die das ep zu berechnen
16:26das heißt ich muss einmal das integral
16:29über die komplette fläche vollführen
16:34die fläche habe ich einmal komplett
16:36überstrichen wenn ich einmal über den
16:37kompletten umfang gehe von 0 bis 2 p und
16:40einmal von innen nach außen komplett von
16:42null bis er und auch mein dr eins muss
16:46ich dementsprechend anpassen
16:48das heißt ich gehe einmal von innen nach
16:51außen komplett das ist also das dr
16:55und dann einmal um den umfang komplett
16:59um die schulung besteht noch ein quadrat
17:01und dann um den homeplug umfang komplett
17:03rum und der umfang den punkt auf dem
17:05umfang dem beschreibe ich mit defi mal
17:13und dieses integral muss ich ganz
17:15einfach nur auswerten und habe dann das
17:20polare flächen trägheitsmoment und damit
17:23das fusions widerstands moment meines
17:26kreis querschnitts ausgerechnet als
17:30allerletztes möchte ich in diesem
17:31abschnitt jetzt nur noch die
17:33verformungen berechnet also wir haben
17:35jetzt es geschafft die kinematik
17:37aufzustellen das werkstoff gesetz
17:39aufzustellen die kva lenz beziehungen
17:40aufzustellen dass alles in zusammenhang
17:42zu setzen und sind so in der lage
17:45gewesen die spannungen infolge des
17:48fusions moments auszurechnen und jetzt
17:49möchte ich als allerletztes noch um das
17:51zu vervollständigen die verformungen
17:53ausrechnen dass waren die verdrängung
17:55und die verdrehung auch da haben wir die
17:58formeln alle komplett schulen bei der
18:05vertretung wussten wir eben dass das
18:06fusions moment das ist diese beziehung
18:09hier die wir an dieser stelle haben wir
18:11können ganz einfach hier
18:15diese diese formel hier nach der
18:18verdrängung freistellen und haben dann
18:21sind dann in der lage die vertretung zu
18:23berechnen
18:30und wenn ich daraus resultieren dann die
18:33verdrehung meines querschnitts haus
18:36rechnen möchte das heißt ich möchte
18:38jetzt ermitteln wie groß jetzt hier an
18:40dieser stelle wirklich die verdrehung
18:43die verdrehung eines querschnitts ist
18:45nun was muss ich da machen
18:47ich muss ganz einfach die verdrängung
18:49über die länge integrieren
18:58das ist die ganz allgemeine beziehung
18:59und hier in unserem fall hatten wir ein
19:01konstantes fusions moment vorliegen und
19:04auch ein konstantes g und ein konstantes
19:07ep das heißt das alles kann ich raus
19:10ziehen aus integral und dann habe ich
19:12einfach nur noch das integral über die
19:14länge von dxs und das ist gleich der
19:15länge
19:16das heißt meine verdrängung ist
19:18eigentlich in diesem einfachen fall
19:19nichts anderes als schuldigen meine
19:23verdrehung eine verdrehung ist in diesem
19:25fall nichts anderes als die verdrängung
19:27mal der länge die ich betrachte für den
19:31fall dass mike moment mt konstant ist

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