Berechnung der Hauptspannungen — Transcript

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1. 0:00[Musik]
2. 0:07jetzt haben wir die notwendige Gleichung
3. 0:09gewonnen mit der wir dann wirklich
4. 0:11konkret in die Berechnung der
5. 0:13hauptspannungen gehen
6. 0:19können die notwendige Bedingung dafür
7. 0:21dass wir die hauptspannungen ermitteln
8. 0:23konnten war eben die dass das
9. 0:25Gleichungssystem aus der
10. 0:27eigenwertproblematik eben singulär ist
11. 0:29und das bekommt man eben über die
12. 0:30determinantenbedingung das heißt die
13. 0:32notwendige Bedingung lautet wie
14. 0:37folgt wobei in diesem Fall es eben darum
15. 0:41geht hier diese Lambdas zu ermitteln das
16. 0:44sind die hauptspannungen ich habe sie
17. 0:46jetzt einfach mal mit Lambda
18. 0:53bezeichnet und wir kennen diese
19. 0:55Problematik schon in den mathematischen
20. 0:58Grundlagen haben wir eben auch diese das
21. 1:00Problem der eigenwertbestimmung
22. 1:02kennengelernt und wir konnten diese
23. 1:05Gleichung wir haben diese Gleichung dann
24. 1:06ausgewertet und sind am Ende zu einer
25. 1:08sogenannten charakteristischen Gleichung
26. 1:10gelangt das war eine kubische Gleichung
27. 1:12aus der wir heraus dann diese Eigenwerte
28. 1:14bestimmt haben und genau das gleiche wen
29. 1:16ich jetzt natürlich hier auf dieses
30. 1:17Problem an und ich gelange dann am Ende
31. 1:20zu folgender charakteristischen
32. 1:22Gleichung
33. 1:30wobei jetzt hier
34. 1:32die
35. 1:34Invarianten meines spannungstensors
36. 1:38stehen die muss ich als allererstes
37. 1:41berechnen und dann kann ich eben aus
38. 1:43dieser kubischen Gleichung dann meine
39. 1:44drei Eigenwerte Lambda das sind dann
40. 1:48eben meine drei hauptspannungen
41. 1:50bestimmen
42. 2:03in dem Moment wo ich meine
43. 2:04hauptspannungen habe bin ich aber noch
44. 2:06nicht am Ende meines Problems angelangt
45. 2:08wenn wir uns dran erinnern mögen die
46. 2:11Ausgangsgleichung die wir uns ja
47. 2:13angeguckt hatten das war ja wie folgende
48. 2:15dass wir eben den Spannungstensor hatten
49. 2:17minus die hauptspannungen die Lambdas
50. 2:21mal dem
51. 2:24einheitstensor und jetzt z.B für eine
52. 2:28Richtung sagen wir mal für eine Haupt
53. 2:31und dann stand ja hier am Ende noch eine
54. 2:33ein basisvektor nämlich die sogenannte
55. 2:37Hauptrichtung und diese Hauptrichtung
56. 2:39die haben wir noch nicht bestimmt das
57. 2:42heißt als nächstes müssen wir uns an die
58. 2:45Bestimmung der Hauptrichtungen
59. 2:51machen und dazu gehen wir wie folgt vor
60. 2:54wir haben hier ja jetzt eine um den
61. 2:57Winkel gedrehte chuldigung nicht um den
62. 3:00wikelfinur sondern wir haben jetzt hier
63. 3:01eine gedrehte in die Hauptrichtung
64. 3:05gedrehte Basis vorliegen die wir e Stern
65. 3:08tituliert hatten und wie man eine Basis
66. 3:12Drehung eine basistransformation
67. 3:14vornimmt das haben wir schon
68. 3:15kennengelernt das haben wir
69. 3:16folgendermaßen
70. 3:25gemacht das heißt wir führen einfach
71. 3:27eine ganz normale Trans Formation
72. 3:30unserer Ausgangsbasis
73. 3:33E1 mit dem drehtensor R durch und
74. 3:36gelangen dann in unser gedrehtes in
75. 3:39unser ges gedrehtes Basissystem und
76. 3:42diese Bedingung werde ich jetzt einmal
77. 3:44gemäß der indexschreibweise
78. 3:56aus und damit erhalte ich di Skalare
79. 4:01Gleichungen und zwar jeweils für die
80. 4:03sogenannten richtungskosin das
81. 4:11heißt die Winkel um die ich dann mein
82. 4:14ausgangssystem
83. 4:16eK das hier soll ein Semikolon kein
84. 4:20Index
85. 4:22sein das heißt die drei Winkel um die
86. 4:24ich mein ausgangssystem
87. 4:26eK drehen muss um in das System e Stern
88. 4:32zu kommen an dieser Stelle noch mal einm
89. 4:34kurze Bemerkung zu dem Index hier ich
90. 4:37hatte eben gesagt okay wir haben drei
91. 4:41Haupt Spannungen erhalten Lambda 1 bis 3
92. 4:44und ich werde das jetzt eben für die
93. 4:46erste Hauptspannung aus das heißt für
94. 4:48Lambda 1 deswegen taucht an dieser
95. 4:50Stelle dann eben der Wert 1 auf
96. 4:53entsprechendes gilt natürlich für Lambda
97. 4:542 und für Lambda 3 für jede
98. 4:57Hauptspannung ermittel ich sozusagen ein
99. 5:00Hauptrichtung das Problem D ich an
100. 5:02dieser Stelle jetzt nur habe ist ich
101. 5:04bekomme jetzt eben hier eine Gleichung
102. 5:07bzw drei Gleichungen zur Bestimmung von
103. 5:11eigentlich ja aber vier Unbekannten wenn
104. 5:15wir einmal uns in Erinerung rufen das
105. 5:17hier ist ja hier die
106. 5:22Ausgangsgleichung und in dieser
107. 5:24Ausgangsgleichung stecken vier
108. 5:26Unbekannte nämlich einmal die drei
109. 5:27Unbekannten
110. 5:29Komponenten
111. 5:31meiner neuen Hauptrichtung und das
112. 5:35dürfen wir nicht vergessen wir haben
113. 5:36diese Gleichung aber auch benutzt um
114. 5:39diesen Eigenwert Lambda 1 zu berechnen
115. 5:42das heißt eigentlich haben wir vier
116. 5:45Unbekannte und
117. 5:49nur drei Gleichungen zur
118. 5:56Bestimmung das heißt wir benötigen noch
119. 5:58eine vierte Gleichung und die gewinnen
120. 6:02wir aus der Tatsache dass der
121. 6:05drehtensor das heißt der Tensor R mit
122. 6:08dem wir dann eben am Ende unsere
123. 6:10Hauptrichtungen gewinnen werden dass der
124. 6:13orthogonal sein
125. 6:16muss das
126. 6:19heißt die fehlende Gleichung gewinnen
127. 6:22wir aus der
128. 6:25Orthogonalität des drehtensors
129. 6:33und die sah ja wie folgt aus dass eben
130. 6:37das Produkt von RT mal R gich dem
131. 6:42einheitstensor
132. 6:44war und daraus ergibt sich dann für die
133. 6:47Komponenten des drehtensors das eben
134. 6:52RK mal rkt
135. 6:56Delta NT also gleich dem Kronik del also
136. 6:59gleich 1 oder 0 sein muss diese
137. 7:02Gleichung werten wir jetzt einmal aus
138. 7:04und wir halalten ein folgenden
139. 7:07Ausdruck 1 für das kronicaer Delta ist
140. 7:18GLE und diese ganzen Ausdrücke diese RS
141. 7:22bezeichneten ja immer die
142. 7:23eingeschlossenen Winkel von meinem
143. 7:25ausgangsvektor und dem endvektor dem
144. 7:28gedrehten Vektor das heißt wir konnten
145. 7:30hierfür also auch
146. 7:41schreiben und das ist die fehlende
147. 7:45vierte Gleichung mit der wir dann eben
148. 7:49unsere hier ist gleich 1 mit der wir
149. 7:52dann eben unsere Hauptrichtung das heißt
150. 7:55die drei Komponenten jetzt in diesem
151. 7:58Fall für die erste hauptsp des
152. 7:59basisvektors E1 Stern berechnen
153. 8:02können analog erfolgt es natürlich dann
154. 8:06für die zwei anderen Hauptrichtungen das
155. 8:08heißt E2 Stern dort gehört dann die
156. 8:11Hauptspannung Lambda 2 dazu und E3 Stern
157. 8:14wo dann die Hauptspannung Lambda 3 dazu
158. 8:16gehört