Beispiel zur Berechnung der Biegelinie — Transcript

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1. 0:19gegeben ist das folgende tragwerk wir
2. 0:22haben einen balken auf zwei stützen der
3. 0:27jetzt allerdings an seinem linken auf
4. 0:29lager eingespannt ist er ist an seinem
5. 0:32linken auf lager eingespannt die last
6. 0:36gut 3 ist als konstante last gegeben
7. 0:40über die länge und desgleichen soll mike
8. 0:46wehrstedt über die länge konstant sein
9. 0:52und gesucht das ist gegeben und gesucht
10. 0:57ist die biege linie
11. 1:09und die schnitt größen und zwar das baby
12. 1:17moment und die querkraft und wir starten
13. 1:25so wie wir immer gestartet haben wenn
14. 1:30wir mit größen verläufe berechnet haben
15. 1:32als allererstes kontrollieren wir die
16. 1:35statische bestimmtheit und unser system
17. 1:37vergeblich ist nun vergeblich werde
18. 1:40dieses system nicht sein weil es mehr
19. 1:43auf lager reaktion hat als einen balken
20. 1:45auf zwei stützen deren bekanntestes werk
21. 1:46ist aber nichtsdestotrotz wollen wir mal
22. 1:48den grat der statischen bestimmtheit
23. 1:52ermitteln
24. 1:57das ist eben hier an dieser stelle die
25. 1:59altbekannte gleichung dreimal die anzahl
26. 2:02der körper das ist eins also dreimal 1 -
27. 2:05anzahl der auflage reaktion dort haben
28. 2:06wir 12 34 zwischen reaktionen haben wir
29. 2:11keine also 34 ist - 1 das heißt wir
30. 2:15haben einfach statisch über bestimmtes
31. 2:17system vorliegen
32. 2:19dieses system ist brauchbar aber die
33. 2:23können es mit unseren mitteln aus der
34. 2:25vergangenheit eigentlich nicht berechnen
35. 2:28wir können die stadt größen verläufe
36. 2:29nicht berechnen weil wir mehr unbekannte
37. 2:32lösen müssen als er mit der anzahl der
38. 2:34gleichgewichts bedingungen zur verfügung
39. 2:36haben
40. 2:43das heißt um wie gefordert die schnitt
41. 2:47größen zu ermitteln brauche ich
42. 2:48zusätzliche gleichungen so wo kriege ich
43. 2:51dir jetzt ja nun die kirche heraus der
44. 2:53allgemeinen differentialgleichungen oder
45. 2:56aus der differentiellen des allgemein
46. 2:57problems in diese differenzial gleichen
47. 3:00sie nämlich diese ganzen verformung
48. 3:01beziehungen eingeflossen die beim bike
49. 3:05nach der technischen bg theorie gelten
50. 3:07und diese verformung beziehungen sind
51. 3:09sozusagen zusätzliche bedingungen die
52. 3:12mir dann eben diesen differenziellen
53. 3:13zusammenhang gegeben habe nie wie viel
54. 3:15gestrichen ist gleich gut 3 und somit
55. 3:18bin ich also der lage mich dieses
56. 3:20allgemeine problem integrieren
57. 3:21daneben auch an einem statisch über
58. 3:25bestimmten system die schnitt grüßend zu
59. 3:30ermitteln
60. 3:30gut und da fange ich dann gleich als
61. 3:32allererstes mit der differential
62. 3:35beziehung mit der ausgleichs
63. 3:36differentialgleichungen und die lautet
64. 3:39de wie viel gestrichen
65. 3:42also viermal abgeleitet ist gleich diese
66. 3:47gleichung muss ich jetzt eben viermal
67. 3:49integrieren
68. 4:12so damit bin ich am ende angelangt das
69. 4:15heißt ich habe jetzt wirklich durch
70. 4:17vielfache integration aus der
71. 4:19differentialgleichungen des allgemein
72. 4:21problems meine biege linie erhalten und
73. 4:24sie sehen auf dem weg dahin
74. 4:25er halte ich auch mein schnitt größen
75. 4:28verlauf q3 und mein biegen momenten
76. 4:31verlauf m2 und auch den verlauf der
77. 4:34verdrehung und das einzige was jetzt
78. 4:36noch offen ist ist eben die bestimmung
79. 4:38der vier integrations konstanten und das
80. 4:41mache ich indem ich jetzt die
81. 4:43randbedingungen einarbeite wir haben
82. 4:45hier an unserem system länder vorliegen
83. 4:47deswegen brauche ich nur randbedingungen
84. 4:49und die randbedingungen sehen wie folgt
85. 4:51aus ich habe am linken ende eine 1
86. 4:53spannung das heißt was kreft angeht kann
87. 4:56ich da nichts aussagen aber ich weiß
88. 4:57dass meine durchbiegung an der stelle
89. 5:00eine durchbiegung an der stelle 0 gleich
90. 5:02null ist und ich weiß dass meine
91. 5:05verdrehung an der stelle 0 gleich null
92. 5:07ist das meine ersten beiden
93. 5:09randbedingungen meine zweiten
94. 5:11randbedingungen sind die dass ich am
95. 5:13rechten ende weiß dass meine
96. 5:14durchbiegung an der stelle 0 ist wie an
97. 5:18der stelle l ist gleich null
98. 5:20und ich weiß dass mein moment an der
99. 5:24stelle gleich null das weil es ein
100. 5:26freier rand ist mit einem gelenkigen auf
101. 5:28lager und mein moment ist die zweifache
102. 5:31ableitung das heißt ich weiß die
103. 5:34zweifache ableitung der bi das heißt ich
104. 5:36weiß wie strich durch an der stelle ist
105. 5:40gleich null
106. 5:41das heißt dass mein moment an der stelle
107. 5:45gleich null ist das heißt ich habe 12 34
108. 5:50randbedingungen zur verfügung
109. 5:5412 34 randbedingungen zur bestimmung
110. 5:58meiner vier integrations konstanten wenn
111. 6:03ich diese randbedingungen dann in die
112. 6:05ausdrücke die ich hier habe das sind
113. 6:07meine fünf gleichung nicht zur verfügung
114. 6:09habe beziehungsweise meine vier
115. 6:11gleichungen den integrations konstanten
116. 6:12vorkommen wie diese vierrad bedingungen
117. 6:14diese vier gleichungen einarbeite
118. 6:16erhalte ich folgende ausdrücke
119. 6:36wenn man das macht dann sieht man dass
120. 6:38man eben aus den randbedingungen am
121. 6:41linken rand relativ schnell die
122. 6:42integrations konstanten c3 und c4
123. 6:45bestimmen kann die ergeben sich daneben
124. 6:46zu null
125. 6:47wohingegen ich zur bestimmung der
126. 6:49integrations konstanten c 1 und c
127. 6:51zweifel die ich dir ein bedingungen am
128. 6:53rechten rand verwenden muss am ende dann
129. 6:55doch ein gleichnis system der ordnung
130. 6:59zwei lösen muss am ende habe ich jetzt
131. 7:03aber die integrations konstanten
132. 7:05bestimmt und kann sie jetzt hier in den
133. 7:08foren gewonnenen ausdruck für die biege
134. 7:11linie einsetzen und erhalte dann als
135. 7:13endergebnis für den wiener linien
136. 7:15verlauf folgen ausdruck und das ergibt
137. 7:27eben dann genau meine biege linie die
138. 7:29ich dann eben zweimal ableiten kann um
139. 7:31dann auf das moment zu kommen
140. 7:43und ein drittes mal abgeleitet erhalte
141. 7:46ich dann die querkraft so dass an dieser
142. 7:55stelle bin ich jetzt fertig ich habe wie
143. 7:57gefordert die biege linie ermittelt die
144. 8:00funktion der beagle linie und den
145. 8:03funktionalen zusammen verlauf von dem
146. 8:05moment und der querkraft das sind jetzt
147. 8:08eine ganze menge an rechenoperationen
148. 8:10gewesen um jetzt zu überprüfen ob man
149. 8:12richtig gerechnet hat kann man jetzt
150. 8:14umgekehrt hier in die ausdrücke für das
151. 8:18moment und für die biege linie die
152. 8:20randbedingungen einsetzen das heißt zum
153. 8:22beispiel hierfür das moment das moment
154. 8:25sollte ja an der stelle ist gleich null
155. 8:27sein und wenn ich dann eben hier für das
156. 8:29den x1 dort l einsetze dann muss dann
157. 8:33eben am ende null rauskommen und wenn
158. 8:34das rauskommt dann habe ich eben richtig
159. 8:37gerechnet das ist so eine leichte
160. 8:39kontrolle um zu gucken wo man sich bei
161. 8:41diesen umformungen nicht vertan hat und
162. 8:44der letzte schritt denen man jetzt dann
163. 8:46noch unüblich macht ist eben diese drei
164. 8:49verläufe diese drei verläufe daneben
165. 8:52auch im grafisch darzustellen