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1. 0:00Bueno, muchachos, vamos a continuar
2. 0:02entonces con un método más. Vamos a
3. 0:04hablar del método de Euler mejorado.
4. 0:13Resulta que Euler se dio cuenta entonces
5. 0:15que su método tenía esta gran falencia y
6. 0:18es que el error en cada punto calculado
7. 0:20es proporcional a H y eso obligaba a que
8. 0:23tenía que escogerse una H muy pequeña
9. 0:27para que el error fuera muy pequeño,
10. 0:30pero eso aumentaba mucho el número de
11. 0:31puntos
12. 0:33y, por lo tanto, aumenta demasiado el
13. 0:35número de operaciones y, por lo tanto,
14. 0:37aumenta demasiado el error de
15. 0:38propagación.
16. 0:40Entonces el hombre se dio cuenta de que
17. 0:41eso no funcionaba adecuadamente
18. 0:44y el hombre se ideó lo siguiente. El
19. 0:47hombre se ideó lo siguiente, vea.
20. 0:50Vamos a suponer que vamos a hacer Euler.
21. 0:53O sea, vamos a el Y sub I
22. 0:55más H por la función evaluada
23. 0:59en el X sub I, Y sub I.
24. 1:02Pero eso no lo vamos a poner en la tabla
25. 1:04como Y sub I más 1, o sea, no vamos a
26. 1:07colocar esto como el valor de la Y del
27. 1:09punto siguiente.
28. 1:11Vamos a llamar esto con algún nombre,
29. 1:12llamémoslo, por ejemplo, K 1.
30. 1:16¿Qué se supone que es esto? Esto es lo
31. 1:19que debería valer la función
32. 1:22en el punto que sigue
33. 1:24si hubiéramos hecho Euler.
34. 1:28Y entonces se le ocurrió lo siguiente.
35. 1:31Hagamos de nuevo Euler,
36. 1:34pero en lugar de usar la función F, que
37. 1:37recuerde que la función F es la función
38. 1:39a la que está igualada la derivada en la
39. 1:41ecuación diferencial,
40. 1:43vamos a usar el promedio
41. 1:47de la F en el punto X sub I, Y sub I
42. 1:50más la F evaluada en el punto que sigue,
43. 1:54o sea, el X sub I más 1,
44. 1:58Y sub I más 1 si hubiéramos hecho Euler,
45. 2:00es lo que estamos llamando K sub uno.
46. 2:03Y hagamos el promedio de estas dos
47. 2:04cosas. El promedio de estas dos cosas es
48. 2:06dividir esto por dos.
49. 2:08Pero para que quede más fácil, pues
50. 2:10hagamos que la H sea la que esté
51. 2:12dividido dos y ponemos esto así.
52. 2:14Y que este sea el valor que se coloca en
53. 2:17la tabla.
54. 2:20Esto es lo que se conoce como Euler
55. 2:21mejorado.
56. 2:23Es hacer una primera vez Euler,
57. 2:27pero no llenar la tabla con Euler
58. 2:31y volver a hacer Euler
59. 2:33en donde en lugar de evaluar la función
60. 2:35F únicamente en el punto conocido,
61. 2:39también se evalúa en el punto que sigue
62. 2:42si se hubiera hecho Euler.
63. 2:45Y con esto Euler demostró
64. 2:49que el error
65. 2:51en cada punto calculado
66. 2:57es proporcional
67. 3:02a H al cuadrado.
68. 3:05Hacer esa demostración requiere,
69. 3:07muchachos, hacer una expansión en serie
70. 3:09de Taylor. Nosotros no vamos a hacer esa
71. 3:11demostración porque no es lo que nos
72. 3:12interesa en este curso.
73. 3:16Pero pasar de tener un error que es
74. 3:19proporcional a H
75. 3:21a tener a un error que es proporcional a
76. 3:22H al cuadrado es mucho mejor.
77. 3:25Claro, es mucho mejor si coges hachis
78. 3:28menores que uno.
79. 3:31Que fue lo que hicimos cuando resolvimos
80. 3:33este ejercicio, cuando lo resolvimos con
81. 3:35Euler, que cogimos 0.1.
82. 3:39Entonces vamos a hacer una cosa.
83. 3:41Vamos a poner a prueba el método de
84. 3:44Euler mejorado.
85. 3:46Vamos a ponerlo a prueba con el mismo
86. 3:48ejercicio que ya resolvimos con Euler.
87. 3:52Entonces vamos a Excel.
88. 3:55Por aquí tengo Excel.
89. 3:57Y vamos a hacer una hoja nueva
90. 4:01donde esa hoja se llame método
91. 4:05de Euler
92. 4:07mejorado.
93. 4:10Listo, ¿qué vamos a hacer? Vamos a hacer
94. 4:11exactamente lo mismo, vamos a llenar una
95. 4:13tabla
96. 4:14eh mire que esta tabla está al 130%,
97. 4:16sigámosla llenando al 130 X y Y.
98. 4:20Pongámosla aquí al 130 para que se vea
99. 4:22bien.
100. 4:24Ah, tengo que esperar que se baje el
101. 4:27Bueno, enseguida lo ponemos.
102. 4:29Ponemos todo esto centrado, colocamos
103. 4:32los primeros en negrilla,
104. 4:35eh
105. 4:37pongámosles en amarillito.
106. 4:40Recordemos
107. 4:43Ay, recordemos que 130 ahí está.
108. 4:46Recordemos que estamos en el intervalo
109. 4:48de 0.5 a
110. 4:50entonces empecemos en el 0.5, hagamos
111. 4:53que la H siga siendo la misma,
112. 4:55lleguemos hasta el 1.8
113. 4:59y recordemos que el primer valor
114. 5:01conocido es el de la condición inicial y
115. 5:02es que la lleva el IA 2.
116. 5:05[resoplido]
117. 5:06Eso.
118. 5:08Entonces, ¿qué vamos a hacer?
119. 5:10Vamos a hacer lo que dice el método de
120. 5:13Euler mejorado. Primero vamos a hacer
121. 5:16Euler,
122. 5:17pero vamos a llamarlo con un nombre
123. 5:19diferente que se llame K sub 1. Para
124. 5:22poder hacer eso les recomiendo primero
125. 5:24evaluemos la F de la ecuación
126. 5:27diferencial, que es X a la 2 + 3 Y sobre
127. 5:30X + Y.
128. 5:32Entonces, voy a volver a hacer una
129. 5:33columna que se llame la F de la X sub I,
130. 5:37Y sub I.
131. 5:40Pongamos la amarillita para que se vea
132. 5:41bien y evaluémosla. Es la X
133. 5:47elevada al cuadrado + 3 veces la Y
134. 5:53dividido
135. 5:54el valor de X
136. 5:56más el valor de Y. Obviamente, cuando
137. 5:59tengan que resolver una ecuación
138. 6:00diferencial distinta, esta la van a
139. 6:03tener que modificar por función f de x,
140. 6:06y de su ecuación diferencial.
141. 6:10Y vamos a hacer Euler, pero no lo vamos
142. 6:12a poner en la tabla porque esta tabla ya
143. 6:14no va a ser para Euler. Vamos a ponerlo
144. 6:17aquí en una columna nueva que se va a
145. 6:18llamar la columna K 1.
146. 6:21¿Qué es K 1? K 1 es
147. 6:24cojamos la y que ya tenemos y le sumamos
148. 6:27la h multiplicada
149. 6:30por esta f de x sub i, y sub i.
150. 6:33Mire que este valor, el 2.25 fue el que
151. 6:36pusimos ahora en la tabla cuando hicimos
152. 6:39el método de Euler, 2.25.
153. 6:43Lo vamos a dejar aquí afuerita.
154. 6:46¿Y qué vamos a hacer enseguida? Lo que
155. 6:49vamos a hacer enseguida es volver a
156. 6:51evaluar la función f de la ecuación
157. 6:53diferencial
158. 6:55en la x que sigue
159. 6:59y en el valor de la y que hubiéramos
160. 7:01puesto si hubiéramos hecho Euler, o sea,
161. 7:04K sub 1.
162. 7:06O sea, vamos a evaluar la función f
163. 7:09en el x sub i + 1
164. 7:12K sub 1.
165. 7:16Ojo que la función f es la misma función
166. 7:19de la ecuación diferencial que es esta,
167. 7:22x a la 2 + 3 y sobre x + y.
168. 7:26Entonces, hagámosle paréntesis.
169. 7:29La x elevada al cuadrado. La x no es el
170. 7:310.5 porque es la que sigue
171. 7:34elevado al cuadrado
172. 7:37+ 3 veces la y, pero la y, uy, aquí no
173. 7:40escribí el 3, 3 veces la y,
174. 7:43pero la y no va a ser la y de la tabla
175. 7:45de Euler mejorado, sino K 1,
176. 7:48que eso es lo que hubiéramos encontrado
177. 7:50si hubiéramos hecho Euler.
178. 7:53Dividido
179. 7:56la x
180. 7:59+ la y.
181. 8:04Fíjese que la columna d y la columna F
182. 8:08están evaluando la misma función x al
183. 8:11cuadrado más tres y
184. 8:13sobre x más y.
185. 8:15Pero la primera vez se hace con la x y
186. 8:18con la y originales de la tabla.
187. 8:22La segunda vez se hace
188. 8:24con la x siguiente y con la y que
189. 8:28hubiéramos puesto si hubiéramos hecho
190. 8:30Euler en esa casilla siguiente.
191. 8:34Ahora sí, volvamos a hacer Euler.
192. 8:38Euler dice, cojamos la y que tenemos
193. 8:43y sumémosle la h por
194. 8:46el promedio de estas dos f que tenemos
195. 8:49aquí.
196. 8:50Entonces vamos a hacer esta f más esta f
197. 8:53y la dividimos por dos, que es
198. 8:55exactamente lo mismo que si primero
199. 8:57dividimos la h por dos
200. 8:59y la multiplicamos por esta f
201. 9:02sumada con esta f.
202. 9:06Y esa es la aproximación con el método
203. 9:08de Euler mejorado.
204. 9:11Fíjate que la aproximación no es la
205. 9:13misma que con Euler. Con Euler nos dio
206. 9:172.25,
207. 9:18con Euler mejorado 2.2497368.
208. 9:25Son parecidos. Claro que son parecidos
209. 9:28porque estamos tratando de resolver la
210. 9:30misma ecuación diferencial.
211. 9:33Pero no está dando exactamente el mismo
212. 9:36valor porque estamos utilizando un
213. 9:38método
214. 9:39que es mucho más confiable
215. 9:42porque el error en este punto ya no es
216. 9:44proporcional a 0.1,
217. 9:47sino que es proporcional a 0.1 al
218. 9:50cuadrado, o sea, .01.
219. 9:55El error es 10 veces más pequeño en este
220. 9:57punto.
221. 9:59¿Cómo terminamos de llenar la tabla?
222. 10:01Arrastramos.
223. 10:04Obviamente pasa lo mismo que nos estaba
224. 10:05pasando con Euler y es que todo nos está
225. 10:07dando puras constantes y es porque
226. 10:09necesitamos también arrastrar las
227. 10:12columnas de las evaluaciones de las
228. 10:14funciones F. Inmediatamente se actualiza
229. 10:16la tabla.
230. 10:18Mire como cambia significativamente el
231. 10:21valor en cada punto. Vamos a mirar lo
232. 10:23que pasa en 1.8.
233. 10:26Con Euler llegábamos a 5.329.
234. 10:30Con Euler mejorado llegamos a 5.339.
235. 10:36Si hacemos la gráfica,
236. 10:39vamos a terminar viendo prácticamente la
237. 10:41misma distribución de puntos.
238. 10:44Ah, esto es Euler mejorado.
239. 10:53Mire que la distribución de puntos es
240. 10:55prácticamente la misma que habíamos
241. 10:57visto con Euler ahora.
242. 10:59Mírela, prácticamente la misma.
243. 11:02Pero cada punto está o un poco más
244. 11:05arriba o un poco más abajo que en el
245. 11:07método anterior y es porque la
246. 11:10aproximación que estamos encontrando es
247. 11:12un poco más precisa.
248. 11:16Hombre, requerimos hacer muchos más
249. 11:18cálculos. Claro que sí.
250. 11:20Tuvimos que calcular unas columnas
251. 11:22adicionales que ahora en el método de
252. 11:23Euler era únicamente una columna. Ahora
253. 11:26tuvimos que hacer tres columnas
254. 11:28adicionales.
255. 11:30Pero vale la pena el trabajo adicional
256. 11:33porque las aproximaciones que se están
257. 11:35calculando son mejores que las que se
258. 11:38hicieron con el método pasado.
259. 11:41Y a eso es lo que le vamos a apuntar con
260. 11:43los siguientes métodos.
261. 11:45Los siguientes métodos lo que nos van a
262. 11:47permitir es encontrar mejores
263. 11:49aproximaciones en la tabla de X Y que
264. 11:52estamos llenando.