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0:00llegó el momento de hacer magia con
0:01matemáticas Así que yo que vos me quedo
0:04del otro
0:05[Música]
0:16lado por qué digo hacer magia de dónde
0:20se me ocurrió decir hacer magia con
0:22matemáticas Cuando tenemos un problema
0:24complicado en ingeniería y que vemos
0:26solucionarlo a través de una manera a
0:28través de un artilugio
0:30sencillo hay caminos que nos pueden
0:33solucionar los problemas en este caso
0:35estoy hablando de la transformada de la
0:36plaz la transformada de la pl nos
0:39permite agarrar un atajo Al momento de
0:41por ejemplo resolver una ecuación
0:44diferencial Yo sé que muchos le pueden
0:46tener miedo porque la transforma de la
0:47plaza implica transformar
0:48antitransformada acordarse algunas cosas
0:51lo sé pero si practican se torna algo
0:56mecánico algo mecánico que tiene su sus
0:59ventajas y es el tiempo ahorran mucho
1:02mucho tiempo así que está buenísimo la
1:04idea de este video Es plantearles
1:06algunas algunas ideas para que puedan eh
1:09resolver Y defenderse ante problemas
1:11donde pueden aplicar la transformada de
1:12la plaz sin meterse tanto en la teoría
1:14les voy a dar lo mínimo indispensable
1:16para poder manejarla y usarla como
1:18herramienta que es lo que es Es una
1:20herramienta una fantástica herramienta
1:22hace magia vamos a ver cómo hace la
1:24magia vamos a arrancar con la definición
1:27después que te muestre la definición te
1:28voy a mostrar los pares transformados y
1:30una vez que vemos los pares
1:31transformados vamos a aplicar esos pares
1:33transformados y algunas dos o tres
1:35propiedades que existen en un ejemplo en
1:38una ecuación diferencial y ahí te vas a
1:40dar cuenta qué tan fácil se torna todo y
1:42todo brilla y la primavera es fantástica
1:44y todo es color de rosa así que vamos a
1:48arrancar con la definición ahí apareció
1:50el cartelito
1:52definición por qué definimos qué qué
1:55vamos a definir vamos a definir la
1:57transformada de una función de una sola
1:59variable
2:00si yo tengo una función de una sola
2:03variable F de T llamo t porque
2:05generalmente la variable que se usa es
2:07el tiempo porque en los sistemas que
2:09analizamos el tiempo es el parámetro que
2:11mide todo que mide cómo evolucionan las
2:14cosas Si explotas si no explotas Y si
2:16pasa algo fdt es una función la vamos a
2:19transformar a través de la transformada
2:21de la pl cómo hacemos
2:24eso se aplica un integral se resuelve un
2:27integral donde la función está metida
2:29dentro del integral qué integral qué
2:30está diciendo este tipo Presta
2:33atención lo que voy a hacer es a esta
2:36función fdt
2:38transformar transformarla Eso quise
2:40decir a través de la transformada de la
2:43plaz para llegar a una nueva
2:45función que va a estar en otro dominio
2:48que va a tener otra variable y va a ser
2:50distinta a esta pero se va a
2:52corresponder con esta esta Va a ser la
2:55transformada de la plaz de esta función
2:58Cómo hago para obtener esta transformada
3:00de la plaja a partir de la función que
3:01tengo lo que se hace Es lo siguiente por
3:04definición lo que se calcula es se dice
3:08que F de s es la integral no tengan
3:11miedo es una integral simplemente desde
3:14cero hasta más infinito hay dos tipos de
3:17transformada de la plaz una es bilateral
3:19y otra es unilateral yo me voy a quedar
3:22con la la unilateral unilateral porque
3:25arranco de cero para más infinito y no
3:28me importa lo que pasa de cero hasta
3:29menos infinito y por qué pasa esto por
3:31qué me quedó de esta manera Por qué
3:33analizo desde cer0 hasta más infinito y
3:36porque en los sistemas que vamos a
3:37analizar en las ecuaciones diferenciales
3:39que que tenemos que queremos resolver
3:41planteamos condiciones iniciales para
3:43cuando algo ocurre para cuando tire una
3:45bomba para cuando rompo todo para cuando
3:47prendo una llave para cuando aprieto un
3:50botón cuando algo ocurre y ese instante
3:53en el que algo ocurre Generalmente es el
3:56tiempo cero tiempo instante cero como
3:58referencia
4:00Entonces nos importa cómo evoluciona
4:02todo a partir de Cero en adelante por
4:04eso la definición de transformada de la
4:07plaz que vamos a usar es la unilateral
4:10desde cer0 hasta más
4:12infinito de qué qué ve integral de o a
4:15más infinito un producto de dos
4:17funciones una de esas funciones es la
4:19que yo tengo F de T y la otra función
4:24que voy a integrar es una exponencial
4:27que en el exponente tiene menos s * t Y
4:31esta es un integral respecto de
4:35T Por qué puse la exponencial esta Por
4:38qué se define de esta
4:41manera es una
4:43definición lo
4:46que lo que sirve esto para lo que sirve
4:48esto es porque simplifica ponerlo de
4:52esta manera y no ponerlo otra manera
4:54simplifica el cálculo de una convolución
4:56una convolución es una operación donde
4:58se donde interviene un integral y esa
5:02convolución se simplifica mucho si
5:04aplicamos la transforma de la plaz por
5:06otro lado el Por qué es de alguna manera
5:11decir que comparo estas dos funciones e
5:14integro el producto y veo qué me
5:17da Claro que esta función
5:20fds va a dar un resultado si la integral
5:23que es un integral impropia impropia
5:25porque uno de los límites es infinito me
5:27voy hasta el más allá y más allá hasta
5:28el lejano y más allá
5:32em es impropia e para que esta función
5:36exista necesariamente este integral
5:38tiene que existir y para que una
5:39integral impropia exista se dice que
5:42tiene que converger Qué significa que
5:44converja que integrar de 0 a más
5:47infinito la porquería que tenga acá
5:49dentro me dé un número un resultado y no
5:53me da infinito si me da infinito es
5:56porque diverge y no me sirve Entonces
6:00tengo que analizar qué le va a pasar a
6:02esto de acá dentro cuando resuelvo este
6:04integral para fijarme si converge o no
6:07Yo no te voy a resolver la la
6:10transformada por definición de cada una
6:11de las funciones solamente te voy a dar
6:14los pares transformados para poder
6:16aplicarlo rápidamente qué es lo que nos
6:18interesa pero esta es la definición es
6:21importante rescatarla
6:23ese es un parámetro que tranquilamente
6:26puede ser complejo nadie me dijo que ese
6:29es un número real y nada más ese es un
6:32parámetro que puede ser complejo
6:33entonces la función fds puede tomar
6:37valores complejos porque su variable es
6:39compleja vamos a analizar ahora los
6:42pares transformados cartelito pares
6:44transformados ahí apareció genial qué
6:46pares transformados podemos tener
6:48tenemos 1 2 3 4 cuatro pares
6:50transformados que nos van a servir para
6:52poder analizar problemas típicos donde
6:55aparecen ecuaciones diferenciales para
6:57resolver qu formados tenemos es más
7:00fácil la función
7:03ft igual a 1 es una función que en el
7:07tiempo vale siempre
7:08uno Cuánto vale la transformada de esta
7:11cosa lo metes en la definición de
7:14transformada de la plaz te fijas que
7:16para algunos valores de s va a converger
7:18la integral y para otros valores no y
7:20qué resultado me da el resultado de
7:23haber transformado 1 la función F de s
7:26es 1 sobre s
7:29para los s positivos s positivos porque
7:33la región de convergencia me exige eso
7:35pero la región de convergencia en los
7:37casos que vamos a analizar no nos
7:39interesan porque nos vamos a quedar con
7:41las expresiones y todo va a funcionar
7:43igual las cosas se complican cuando la
7:45transformada de la plaza es bilateral
7:47ahí sí es necesario Definir la región de
7:49convergencia pero acá no así que la
7:52transformada de uno es un sobre s Así
7:54que en cualquier lugar donde aparezca
7:57una constante la constante la puedo
7:59sacar a afuera la transformada porque la
8:00transformada es una integral y una
8:03constante de una integral la puedo sacar
8:06afuera así que en todo lugar donde me
8:09aparezca una constante la saco afuera y
8:12me queda la integral eh Perdón la
8:14transformada de 1 que es 1 sobre s
8:17perfecto qué otra
8:19cosa si yo tengo otra función por
8:23ejemplo una
8:26exponencial que pasa por un valor a
8:30en el tiempo
8:32no esta exponencial va a ser pasa por el
8:36valor uno Perdón que puse a acá estoy
8:38loco pasa por valor uno la expresión de
8:41esta exponencial es e a la Men at donde
8:45a es un parámetro que me dice como
8:47decrece si decrece o se va para el
8:49joraca si crece si hace esta cosa se va
8:51para infinito bueno dependiendo del
8:54signo que tenga a me va a dar una cosa o
8:56me va a otra pero si importar si es
9:00positivo o negativo la transformada de
9:02esta cosa que es una exponencial es 1
9:06sobre
9:07s+ a a es el número que puse acá que
9:11puede ser un complejo pero en los casos
9:13que vamos a analizar solamente son
9:15reales reales 1 sobre s + a qué otra
9:22función otra función que podemos
9:24analizar es el seno y el coseno para
9:28poder recordarlo
9:30se hace lo siguiente el seno de algo por
9:36t me va a dar algo y el coseno de algo
9:41por t me va a dar Epa se va a
9:44transformar se va a transformar esto se
9:46va a transformar en algo Y esto se va a
9:48transformar en otra cosa Cómo hago para
9:51recordar bueno el es un cociente la
9:54parte de abajo es la misma para los dos
9:56es a cuad más s cu
10:00acá lo mismo a cu má s cu y arriba que
10:04tengo bueno en el seno va a y en el
10:07coseno va s la otra cosa que puedo tener
10:11estos son los resultados también tiene
10:13su región de convergencia Pero insisto
10:15en los casos que vamos a analizar no nos
10:18interesa genial Así que tengo cuatro
10:21pares transformados que me van a servir
10:22si aparecen en ecuaciones diferenciales
10:26es la transformada de una constante la
10:28transformada del seno la del coseno y la
10:30de la
10:31exponencial Listo Ya está ya está
10:35terminó acá no no terminó acá por qué no
10:37terminó acá porque yo te dije que la
10:40transforma de la plaz no va a servir
10:42para poder resolver ecuaciones
10:44diferenciales y en las ecuaciones
10:45diferenciales no solamente aparecen
10:47senos y cosenos y exponenciales sino que
10:51también y constantes sino que también
10:54aparecen derivadas de una función Así
10:56que te voy a plantear lo siguiente no no
10:59me gusta decir las cosas de versito de
11:01memoria así como si fuera una receta
11:03pero para resolver problemas rápidamente
11:05y plantearlos y hacer y pasar otro
11:08ejercicio como todo funciona gracias a
11:11Dios la plaza es bueno y
11:14funciona
11:15em lo que te voy a mostrar es Cómo hacer
11:18la transformada de una derivada de una
11:20derivada enésima yo derivo una función
11:22una vez dos veces si en una ecuación
11:24diferencial me aparece una función
11:25derivada una dos veces Cómo es la
11:27transformada de la plaz Bueno si una
11:31función se transforma en una función que
11:34depende de s este par transformado a
11:37través de la transformada de la
11:39plaz Cuánto vale la
11:42transformada de la primer derivada de la
11:45función en qué se transforma la primer
11:47derivada de la
11:49función qué me da me da fds no fds es la
11:52transforma de la función sin derivar qué
11:55me da bueno la regla es la siguiente se
11:57pone s elevado al orden de la derivada
12:02la derivada es de primer orden 1 así que
12:05elevado a la 1 por
12:08F menos
12:11menos
12:13s elevado a una potencia más baja del
12:16término anterior el término anterior es
12:18este está elevado a la un Así que acá va
12:20elevado a la cer me da un Así que pongo
12:231 por y ahora viene la seguidilla de
12:27funciones chiquitas la función esta F
12:30evaluada dónde en cero bueno en cero Yo
12:34sé que parece un
12:35versito pero es así no te lo voy a
12:38demostrar no interesa demostrarlo quiero
12:41usarlo no quiero demostrar perder tiempo
12:43la demostración quiero usarlo Así que la
12:46primera derivada se transforma en s * f
12:48de s menos f en 0 ahí corro la cámara
12:51para que sea un poquito
12:53perfecto y la segunda
12:56derivada bueno la segunda derivada se va
12:59a transformar en s al cuadrado Recuerden
13:03que la potencia de s la primera que
13:06aparece es igual al orden de la derivada
13:09por fds la primer el primer término es
13:12con fds
13:14menos ahora viene
13:17s elevado a una potencia anterior Acá
13:20está en dos así que acab va en uno por
13:22la función chiquita evaluada en cero en
13:25tiempo cero menos y así sigue Acá está s
13:30cuadrado s a la 1 así que acá va s a la
13:34oer s a la 0 es 1 por f en oer no F
13:40prima en oer la primer derivada en cer0
13:42F prima en oer y v a preguntas Cómo hago
13:45para memorizar esto es espantoso es
13:50horrible para poder recordar Cuánto vale
13:54la derivada enésima No solamente la
13:56primera la segunda la tercera eh más
13:59derivadas lo que tenés que recordar es
14:01lo
14:03siguiente la derivada
14:07enésima de una función se va a
14:10transformar
14:12en el primer término es s a la elevada
14:17al orden de la derivada s a la n Sí si n
14:20es 5 s a la 5 y va multiplicando por fds
14:24fds es la transforma de la función
14:26original y después vien restando
14:30términos siempre restan resta un término
14:33resta otro término resta otro término Y
14:35estos términos van a ser
14:38s elevado a una potencia anterior al
14:42término que tengo previo Acá está s a la
14:44n Así que acá va s a la n - 1 y acá va s
14:48a la n - 2 y así
14:50siguiendo
14:52y va multiplicando por la primera que va
14:56acá es la función original evaluada en
14:58cer0 después va la primer derivada
15:00evaluada en cero después va la segunda
15:02derivada evaluada en cero y así
15:04siguiendo esas cosas función en cero
15:07primer derivada en cero segunda derivada
15:09en cero son las condiciones iniciales
15:11que nos dan para resolver la ecuación
15:13diferencial que en un ejemplo te voy a
15:15mostrar ahora no hay más otra cosa que
15:17hacer un ejemplo Así que vamos a hacer
15:20una pausa descansar un poquito porque lo
15:22que se ahora es la magia acá va a
15:23florecer todo y te vas a poner contento
15:26o
15:27contenta y

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