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1. 0:00Bueno,
2. 0:01vamos pues con la segunda parte del
3. 0:03vídeo. También se dieron cuenta que mi
4. 0:05perrito empezó a ladrar, entonces
5. 0:06también necesitaba que estuviera
6. 0:08calmadito para que no quedaran sus
7. 0:10ladridos aquí en la grabación.
8. 0:13Bueno, muchachos, vamos a resolver este
9. 0:14problema usando el método de Euler.
10. 0:17Recuerde, este es el PBI que vamos a
11. 0:20resolver, problema de valor inicial.
12. 0:23Ustedes ya recibieron las instrucciones
13. 0:25para el trabajo del 5% de esta
14. 0:27asignatura. Ustedes tienen que plantear
15. 0:29un problema real que se resuelva con una
16. 0:31ecuación diferencial de estas.
17. 0:34De eso se trata el trabajito del 5%.
18. 0:37Fíjese que no es una cosa del otro
19. 0:38mundo,
20. 0:39pero primero lo vamos a resolver con el
21. 0:41método de Euler.
22. 0:43¿Qué es lo primero que debemos hacer?
23. 0:45Lo primero que vamos a hacer es,
24. 0:47vamos a construir una tabla en donde
25. 0:50vamos a seleccionar los valores de X en
26. 0:52donde queremos encontrar por dónde pasa
27. 0:55la función. Ojo que esos valores tienen
28. 0:57que estar entre 0.5 y 1.8.
29. 1:01Y los vamos a escoger igualmente
30. 1:02espaciados para poder usar este valor de
31. 1:05H que habíamos puesto en la fórmula.
32. 1:07Entonces yo lo voy a hacer
33. 1:09en Excel.
34. 1:12Voy a colocar esto un poco más grande
35. 1:13para que se vea mejor. Vamos a hacer una
36. 1:16columna que se llame X, otra columna que
37. 1:18se llame Y.
38. 1:20Voy a hacer que todo esto esté centrado
39. 1:21para que se vea bonito, los primeros
40. 1:23elementos en negrilla,
41. 1:25y los ponemos aquí también.
42. 1:29Que se vea, que se vea agradable la
43. 1:31tabla.
44. 1:32Nuestro primer valor tiene que ser el
45. 1:34extremo izquierdo del intervalo,
46. 1:36obligatoriamente
47. 1:39tenemos que trabajar en el intervalo que
48. 1:41la ecuación diferencial describe.
49. 1:43El último valor tiene que ser el 1.8.
50. 1:47En este caso,
51. 1:49yo voy a usar una H de 0.1.
52. 1:53Pero ojo, esa no es la única H que me
53. 1:56podría servir.
54. 1:58Yo podría una H de 0.05, 0.001.
55. 2:03No sé, hay muchas distintas que me
56. 2:05podrían servir. Yo voy a de 0.1 en
57. 2:090.1.
58. 2:11Arranco en 0.5 y voy hasta el 1.8.
59. 2:16Hasta el 1.8. No son demasiados puntos
60. 2:19tampoco con los que voy a trabajar. Le
61. 2:21voy a bajar un poquito al tamaño para
62. 2:22que todos alcancen a estar.
63. 2:26Recuerde que el supuesto Euler es que
64. 2:28usted conoce por lo menos uno de los
65. 2:30puntos de la tabla. Resulta que el punto
66. 2:32de la tabla que conocemos es la
67. 2:34condición inicial. Y en este caso
68. 2:36nuestra condición inicial es que la
69. 2:39función evaluada en el extremo izquierdo
70. 2:41es dos.
71. 2:43Entonces vamos a colocar ese primer
72. 2:44valor conocido. Dos.
73. 2:48Ahora, ¿qué dice el método?
74. 2:51El método me dice que el valor de la
75. 2:53función en el punto que sigue
76. 2:56necesita del valor en la función en el
77. 2:59punto que ya conozco, más la H que en
78. 3:02nuestro caso es 0.1, multiplicada por la
79. 3:06función evaluada en el X y en el Y
80. 3:08conocidos. ¿Quién diablos es la función
81. 3:10F? La función F es la función
82. 3:15a la que está igualada la derivada en la
83. 3:18ecuación diferencial.
84. 3:21En este ejercicio nuestra función F es X
85. 3:25al cuadrado más 3Y
86. 3:27sobre X más Y.
87. 3:32Yo simplemente la quise escribir así,
88. 3:34pero la ecuación diferencial pudo haber
89. 3:35sido cualquier otra.
90. 3:38Entonces yo primero voy a evaluar la
91. 3:40función F en el X y en el Y que conozco.
92. 3:44Entonces voy a hacer una columna
93. 3:46adicional en donde voy a estar evaluando
94. 3:49la F en la X sub I y en la Y sub I.
95. 3:54Y vamos a ponerla también en amarillito
96. 3:56para que se vea que es un título.
97. 3:58Vuelvo y repito la función. X al
98. 4:01cuadrado más 3Y
99. 4:03sobre X más Y. Entonces voy a
100. 4:05calcularlo, abro paréntesis, selecciono
101. 4:08la X, elevado al cuadrado
102. 4:12más 3 multiplicado por la Y.
103. 4:16Cierro el paréntesis del numerador,
104. 4:18dividido
105. 4:20la X
106. 4:23más [resoplido] la Y.
107. 4:28Listo.
108. 4:29Acabo de evaluar la función F
109. 4:32en el X y en el Y conocido. Re-
110. 4:35revisémosla.
111. 4:36La función es el X elevado al cuadrado
112. 4:39más 3 veces Y sobre X más Y.
113. 4:44Con eso, con eso, ya podemos venir y
114. 4:48encontrar el valor de la Y en el punto
115. 4:50que sigue. El valor de la Y en el punto
116. 4:53que sigue es la Y que ya conocemos
117. 4:57más H por el valor de esa F. Entonces me
118. 5:00voy a parar en la Y que sigue y le voy a
119. 5:02decir, esta Y va a ser
120. 5:04la Y que ya conocemos
121. 5:08más H, que es 0.1
122. 5:11multiplicado por la F que ya conocemos.
123. 5:16Listo.
124. 5:18Ya tenemos el valor de la función en el
125. 5:20punto siguiente.
126. 5:22Eso es lo que dice el método de Euler.
127. 5:26Si eso fue lo que acabo de hacer para
128. 5:29encontrar el valor de la función en el
129. 5:31punto que sigue, que es en X igual a
130. 5:320.6, pues debería repetir exactamente lo
131. 5:36mismo para X igual a 0.7, para X igual a
132. 5:390.8.
133. 5:41Que sería simplemente esta fórmula
134. 5:44y arrastrarla.
135. 5:46Aunque se lleva uno una desagradable
136. 5:48sorpresa.
137. 5:49La se- desagradable sorpresa es que
138. 5:51todos los valores dan constantes.
139. 5:54¿Por qué esa desagradable sorpresa?
140. 5:57Porque debo estar usando el valor de la
141. 6:01función F en el punto X y Y que voy a
142. 6:05estar usando en cada paso.
143. 6:08Entonces, muchachos, también es
144. 6:09necesario arrastrar esta fórmula.
145. 6:14También es necesario que arrastremos la
146. 6:16columna de cómo se evalúa la función F
147. 6:19en la X y en la Y
148. 6:20porque en cada momento necesito la
149. 6:23X y la Y que ya encontré y necesito
150. 6:25evaluarla, la X y la Y que ya encontré y
151. 6:29necesito evaluarla, la X y la Y que ya
152. 6:31encontré y necesito evaluarla, porque
153. 6:34sin ese valor es imposible hacer la
154. 6:36estimación del que sigue.
155. 6:39Gráficamente, gráficamente simplemente
156. 6:42seleccionemos los puntos que llenamos en
157. 6:45la tabla y le decimos que vamos a
158. 6:47insertar
159. 6:48un gráfico de dispersión
160. 6:51y que el gráfico de dispersión
161. 6:54es los puntos.
162. 6:58Fíjate que aquí me está mostrando
163. 7:00que todo parece indicar que la solución
164. 7:03de la ecuación diferencial con el método
165. 7:05de Euler
166. 7:08parece que la solución es una línea
167. 7:09recta.
168. 7:12Si esta ecuación diferencial, si esta
169. 7:14ecuación diferencial que tenemos aquí,
170. 7:17vamos a seleccionarla en rojo,
171. 7:19si esta ecuación diferencial la
172. 7:21resolviéramos a mano,
173. 7:24como lo aprendimos a hacer en el curso
174. 7:26de ecuaciones diferenciales,
175. 7:29todo parece indicar que nuestra función
176. 7:32sería una línea recta.
177. 7:36Todo parece indicar.
178. 7:39Ah, pero que cuál es esa recta, no.
179. 7:42Eso no nos preocupa en análisis
180. 7:44numérico.
181. 7:45En análisis numérico usted no está
182. 7:48interesado en encontrar
183. 7:50cuál es la función.
184. 7:53En análisis numérico usted está
185. 7:55interesado en encontrar los puntos por
186. 8:00donde tiene que pasar la función.
187. 8:05Eso es resolver numéricamente una
188. 8:07ecuación diferencial.
189. 8:11Y eso es utilizar el método de Euler.
190. 8:15Desafortunadamente,
191. 8:17desafortunadamente,
192. 8:19Euler no solamente demostró que este
193. 8:22método se podía usar.
194. 8:25Euler demostró que el error
195. 8:29en cada
196. 8:31punto
197. 8:32calculado
198. 8:35es proporcional
199. 8:42a H.
200. 8:47O sea, que el error
201. 8:49del de las aproximaciones que usted
202. 8:51encuentra
203. 8:52depende de cómo es el H que usted
204. 8:55escogió.
205. 8:56Nosotros escogimos, o bueno, yo escogí H
206. 8:59= 0.1.
207. 9:01O sea, que el error de todos estos
208. 9:03puntos calculados en la tabla,
209. 9:05el error es proporcional a 0.1.
210. 9:09Si un error de 0.1 es demasiado grande
211. 9:13para lo que usted quiere,
212. 9:15usted tiene la solución en sus manos.
213. 9:18Simplemente seleccione una H mucho más
214. 9:21pequeña
215. 9:23con el problema de que si su H es más
216. 9:25pequeña,
217. 9:27entonces su tabla va a ser mucho más
218. 9:28larga y por lo tanto van a haber muchas
219. 9:31más operaciones para poder llenar la
220. 9:33tabla.
221. 9:34Y recuerde qué pasa en el análisis
222. 9:36numérico cuando usted incrementa el
223. 9:38número de operaciones que se deben
224. 9:39realizar.
225. 9:41Cuando usted incrementa el número de
226. 9:43operaciones, desafortunadamente,
227. 9:46el error de propagación empieza
228. 9:50a ir en su contra.
229. 9:52Entonces Euler se dio cuenta de que este
230. 9:54método es muy bueno, pero demasiado
231. 9:57malo.
232. 9:59Es muy bueno porque es un método muy
233. 10:01simple con una fórmula demasiado
234. 10:03sencilla,
235. 10:04pero es un método demasiado malo porque
236. 10:07para que funcione muy bien, la H tiene
237. 10:10que ser muy pequeña.
238. 10:12Y cuando la H es muy pequeña, la tabla
239. 10:14es muy larga.
240. 10:16Y cuando la tabla es muy larga,
241. 10:18el error de propagación se dispara.
242. 10:22Entonces, uno no puede esperar obtener
243. 10:24buenos resultados con un método tan
244. 10:27pobre como el método de Euler.
245. 10:31Por eso el método de Euler es únicamente
246. 10:33la primera puerta para empezar a
247. 10:35estudiar métodos numéricos.
248. 10:39Existen métodos mejores y esos métodos
249. 10:42mejores son los que vienen
250. 10:44en los siguientes vídeos.