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0:01Bueno, ahora sí.
0:03Con este último vídeo terminamos todos
0:05los temas del curso de análisis
0:06numérico.
0:07[resoplido]
0:09Resulta que todos los métodos
0:11que hemos visto para resolver ecuaciones
0:13diferenciales, el método de Euler, el
0:15método de Euler mejorado,
0:17el método de Runge-Kutta 4, que lo
0:19tenemos por aquí,
0:21todos estos métodos se llaman métodos de
0:24un paso
0:31porque
0:32el valor de la función en un punto
0:37depende única y exclusivamente de lo que
0:40pasa en el punto anterior
0:42y solamente de lo que pasa en el punto
0:45anterior.
0:47Cuando lo vimos en la tabla, la la cosa
0:49era demasiado evidente. Cuando usted
0:52para en este puntico, voy a Aquí estoy
0:54mirando el método de Runge-Kutta 4.
0:56Cuando te paras en este punto,
1:00depende únicamente de los cálculos que
1:02se hicieron del punto inmediatamente
1:04anterior. Solamente ese punto
1:08y nada más de ese punto.
1:11Pues resulta que existen otros métodos
1:14que se llaman los métodos multipaso.
1:19Métodos
1:21multipaso.
1:24¿Qué es un método multipaso?
1:26Un método multipaso es un método
1:28[carraspeo] que lo que pasa, por
1:29ejemplo, en este punto, no solamente
1:31depende del punto anterior, sino que lo
1:33que pasa en un punto depende de los
1:35puntos anteriores.
1:38A veces de dos puntos anteriores, a
1:41veces de tres puntos anteriores, a veces
1:43de cuatro puntos anteriores. [resoplido]
1:46Y por eso los métodos tienen diferente
1:48cantidad de pasos.
1:50Entre más puntos utilice, es porque el
1:53método es de muchos más pasos.
1:56Uno de los métodos más tradicionales es
1:58el de Adams
2:01Bashford
2:03Bashford
2:05de cuatro pasos.
2:09El método de Adams Bashford de cuatro
2:11pasos es un método
2:13que para poder llenar el siguiente
2:16elemento de la tabla necesitas conocer
2:18lo que pasaba
2:20en los cuatro puntos anteriores.
2:24El [resoplido] método está dado por la
2:25siguiente fórmula.
2:27Y sub i más uno es igual a Y sub i más H
2:30sobre 24. Mira que esto es un promedio,
2:33es como si hiciéramos Euler
2:35pero vamos a sumar 24 cosas y vamos a
2:38hacer el promedio de ellas.
2:40¿Cuáles son las 24 cosas que se que se
2:42usan?
2:4455 veces
2:46la función F
2:48en el punto X sub i Y sub i.
2:51Obviamente el punto X sub i Y sub i es
2:53el anterior que tenemos.
2:55Menos 59 veces la función F en el punto
3:00X sub i menos uno
3:02Y sub i menos uno.
3:05Más 37 veces la función F en el punto X
3:10sub i menos dos Y sub i menos dos.
3:15Menos nueve veces la función F en el
3:18punto X sub i menos tres
3:20Y sub i menos tres.
3:25Estos métodos todos se deducen
3:28as a aproximando el valor de la derivada
3:31y de las integrales en puntos
3:33anteriores.
3:34Nosotros no estamos interesados en hacer
3:36la demostración de estas fórmulas.
3:39Nosotros estamos interesados es en
3:41saberlas utilizar.
3:44Y existe
3:45Adams Bashford de cinco pasos, de tres
3:47pasos, de dos pasos.
3:50Si usted es capaz de entender lo que
3:52pasa con esta fórmula de cuatro pasos
3:55usted sería capaz de reproducir el mismo
3:57proceso con cualquier otra fórmula que
3:59te pongamos en el examen final.
4:02O sea,
4:03en el examen final te puede aparecer una
4:05Adams-Bashforth de cinco pasos,
4:07obviamente se te da la fórmula
4:10y lo [resoplido] único que tendrías que
4:11hacer es aprender a utilizarla para
4:14poder resolver el problema que te pidan.
4:18A ver, les explico.
4:19Se supone que usted ya debería tener X
4:22sub 0, Y sub 0, X sub 1, Y sub 1, X sub
4:252, Y sub 2, X sub 3, Y sub 3.
4:30Se supone que ya deberías conocer estos
4:32valores, cuatro valores,
4:35y vas a calcular el Y sub 4. Este sería
4:38el Y sub I + 1.
4:41¿Cómo se encuentra el Y sub I + 1? Este,
4:43que es el que estamos buscando, necesita
4:46el anterior, que sería el Y sub I.
4:48El anterior del anterior, este es el Y
4:50sub I, este es el Y sub I - 1,
4:53este es el Y sub I - 2
4:56y este es el Y sub I - 3.
5:02Con los cuatro puntos anteriores se
5:05encuentra el punto que sigue.
5:09Cuando ya tengas ese valor,
5:11utilizando la fórmula que yo les acabo
5:14de dar de Adams-Bashforth, cuando ya
5:15tengas este,
5:17entonces inmediatamente
5:20el que sigue va a ser el Y sub I + 1
5:23para poder aplicar la fórmula. Entonces,
5:25este va a ser el Y sub I, este va a ser
5:27el Y sub I - 1, este va a ser el Y sub I
5:29- 2 y este va a ser el Y sub I - 3.
5:34La fórmula utiliza cuatro puntos
5:39anteriores
5:40y por eso el método se llama de cuatro
5:43pasos.
5:46Y así sucesivamente.
5:48El único detalle que le preocupa a uno
5:51es
5:52¿y cómo hago para aplicar por primera
5:54vez esta fórmula? Perdón, esto no era Y
5:56sub 3, era Y sub 4.
5:57¿Cómo hago para aplicar esta fórmula por
5:59primera vez?
6:01Si cuando uno va a empezar a llenar la
6:04tabla, uno solamente conoce
6:07el valor de la condición inicial, que es
6:09el valor en el primer punto.
6:12Pues la cosa es muy simple.
6:14Si el método es de cuatro pasos,
6:16pues vas a tener que utilizar uno de los
6:19métodos que no es multipaso, o sea,
6:21Euler,
6:23Euler mejorado
6:25o Runge-Kutta,
6:27lo vas a tener que usar para los
6:29primeros valores hasta completar la
6:33cantidad de puntos necesarios para poder
6:36aplicar la fórmula del método multipaso.
6:43Si el método multipaso fuera de cinco
6:45pasos,
6:47pues tendrías que aplicar Euler o Euler
6:49mejorado o Runge-Kutta, lo tendrías que
6:51aplicar hasta poder tener cinco y cuando
6:54tengas cinco, a partir de ahí, ya
6:56empiezas a aplicar la fórmula del método
6:58multipaso.
7:01Vamos a hacerlo, muchachos, con el
7:03ejercicio que ya venimos resolviendo con
7:05todos los métodos.
7:07Entonces, vengámonos para la tabla
7:08Excel, hagamos una hoja nueva.
7:12A esta [resoplido] hoja nueva la vamos a
7:13ponerle
7:15cambiar
7:16Adams
7:18Uy, ahí se me fue una D adicional,
7:20Adams-Bashforth
7:23cuatro pasos.
7:27¿Cómo voy a hacer yo Adams-Bashforth
7:28cuatro pasos?
7:30Voy a seleccionar el método Runge-Kutta
7:32de cuatro pasos que ya lo hicimos, lo
7:35hicimos en el video anterior.
7:37Lo voy a seleccionar todo, control C,
7:41y voy a pegarlo, control V. Copiar,
7:43pegar, solamente para que se vea todo.
7:47Y resulta que Runge-Kutta solo lo
7:50necesito
7:52para poder calcular uno, dos y tres
7:56puntos de la tabla para así completar
7:58cuatro, estoy contando la condición
8:00inicial, y a partir de ahí ya no voy a
8:04hacer más Runge-Kutta.
8:06Por lo tanto, de ahí esto no es
8:07necesario.
8:10Runge-Kutta 4 la estoy usando únicamente
8:14para poder llenar los primeros tres
8:18valores de la tabla y completar cuatro
8:21con mi condición inicial.
8:25¿Qué necesito para empezar a hacer el
8:27método de Adams-Bashforth de cuatro
8:29pasos? Necesito aplicar la fórmula de
8:31Adams-Bashforth, se las recuerdo que las
8:32tengo aquí.
8:34Esta es la fórmula de Adams-Bashforth.
8:37El Y sub I más uno va a ser Y sub I.
8:38Vamos a hacer una cosa, vamos a poner
8:40aquí
8:41una línea
8:42horizontal para que sepan que estos
8:45primeros
8:46no son del método multipaso. Estos
8:49primeros son del método que es de un
8:51solo paso, que en este caso estoy
8:53usando, que es el método Runge-Kutta.
8:56Y recuerden que cuando calculamos K1, K1
8:59en realidad era la función F evaluado en
9:02el X y en la Y que había en la tabla.
9:05Esta es el la función F evaluada en la X
9:08y en la Y que había en la tabla.
9:10Esta, la función F evaluada en la X y en
9:12la Y que había en la tabla. Por eso hice
9:15tanto hincapié cuando hice Runge-Kutta
9:16de que este K1 era en realidad evaluar
9:19la función F de la ecuación diferencial.
9:21En este problema la recuerdo muy bien,
9:23la función F es el X elevado al cuadrado
9:27más tres veces Y dividido X más Y.
9:30Recuerde que si yo te cambio la ecuación
9:32diferencial por otra es porque hay una
9:34función F de X coma Y diferente
9:37y con esa es con la que tendrías que
9:38trabajar, ¿listo?
9:40Hagamos el método multipaso. ¿Qué dice
9:42el método multipaso? El método multipaso
9:44dice
9:45la Y es igual a la Y anterior
9:47la Y es igual a la Y anterior
9:49más el H que estamos usando, 0.1
9:53dividido 24 que multiplica, abro
9:57paréntesis.
9:59Ojo que la fórmula es un poquito
10:00extensa, es 55 veces
10:03la función F evaluada en el punto
10:05anterior.
10:0655 veces la función F evaluada en el
10:09punto anterior. La función F es el F de
10:12X sub I y Y sub I.
10:14Viene -59
10:17veces
10:19la función F evaluada en el que hay
10:21antes.
10:25+37 veces
10:28la función F en el que hay antes de ese.
10:33Y para terminar, -9 veces
10:37la función F en el que hay antes de ese.
10:41Fíjate que estoy usando la función F
10:44en los cuatro puntos anteriores.
10:47Cuando aprieto Enter
10:49estoy encontrando el valor de la función
10:52en 0.9
10:53a partir de los datos de los cuatro
10:57puntos anteriores y no solamente del
10:59punto anterior.
11:01Por eso el método se llama multipaso de
11:04cuatro pasos.
11:06A partir de aquí
11:07la fórmula se repite para el que sigue,
11:09para el que sigue, para el que sigue,
11:11para el que sigue. Sería solamente
11:13arrastrar.
11:15Fíjese que llegamos a un momento en
11:17donde todo me empieza a dar constante.
11:19¿Por qué me empieza a dar constante?
11:21Porque también tengo que arrastrar, pero
11:23no toda la tabla de Runge-Kutta.
11:26Solamente la columna de las F de X sub I
11:29y Y sub I. Esta columna de las F de X
11:32sub I y Y sub I es la única columna que
11:34tengo que arrastrar para que se me
11:36actualicen todos los valores en la
11:38tabla.
11:41Los valores que se obtienen son valores
11:43relativamente parecidos [carraspeo] a
11:44los que encontramos con Runge-Kutta 4,
11:46pero no son exactamente los mismos.
11:48Fíjese, por ejemplo, al final.
11:50Con Runge-Kutta 4 me dio que la función
11:53en 1.8 era 5.33887333.
11:58Aquí me da 5.3388026.
12:02¿Cuál es la ventaja del método de
12:04multipaso? La ventaja es que vos
12:07solamente tenés que hacer muchos
12:09cálculos
12:10en los primeros cuatro puntos.
12:15De ahí en adelante ya no tenéis que
12:17hacer tantos cálculos porque se reduce
12:19demasiado la cantidad de operaciones. Y
12:22cuando reduces mucho la cantidad de
12:24operaciones es porque también estás
12:25reduciendo las posibles propagaciones de
12:27errores.
12:29Traten de hacer el ejercicio cogiendo
12:31una H que de verdad sea bien pequeña.
12:35Traten de hacer el ejercicio cogiendo
12:36una H 0.001.
12:40Con Runge-Kutta 4 la tabla se vería muy
12:44larga, muy grande, porque todas estas
12:48columnas habría que calcularlas para
12:50todos los valores de la tabla.
12:53En cambio con el método multipaso
12:55solamente tendrías que ver estas
12:57columnas adicionales en los primeros
13:00valores y a partir del quinto, que es el
13:04primero que vas a calcular con el método
13:05de cuatro pasos, y a partir del quinto
13:08solamente verías esto.
13:11Los métodos multipaso generan muy buenas
13:14aproximaciones, muy buenas
13:17aproximaciones con muchísimos menos
13:20cálculos que los métodos que no son
13:22multipaso.
13:24Entonces, si entendiste este método de
13:26Adams-Bashforth de cuatro pasos, con
13:27seguridad vas a entender un método
13:29multipaso de cualquier cantidad de pasos
13:31siempre y cuando nosotros te demos la
13:34fórmula del método multipaso.
13:38Esas fórmulas es muy fácil encontrarlas
13:40en internet. Simplemente métete en
13:42Google y metes "método Adams-Bashforth
13:45de cinco pasos", te aparece la fórmula.
13:48Incluso te pueden aparecer muchos
13:49lugares en donde te hacen la
13:51demostración de la fórmula.
13:53Nosotros no estamos interesados en hacer
13:56la demostración, estamos interesados en
13:58saber utilizar el método para poder
14:02generar la tabla de solución del
14:03sistema. Mira que la tabla de solución
14:06del sistema
14:08cuando se grafica termina dando una
14:11solución supremamente parecida a la que
14:13encontramos con Euler, con Euler
14:15mejorado,
14:16con Runge-Kutta 4.
14:19¿Listo?
14:21Lo último para que se acabe ya el
14:22capítulo, muchachos, y se acabe el
14:24curso, lo último.
14:26Estos métodos sirven para ecuaciones
14:29diferenciales de primer orden.
14:33Primer orden.
14:35Permítame yo borro, que es que no me
14:36está funcionando el lápiz y prima, no sé
14:38por qué se me está bloqueando.
14:41Ecuaciones diferenciales en donde
14:43tenemos escrito y prima igual a f de x
14:47coma y.
14:49Pero ojo, que se podría hacer una
14:51generalización
14:53para poder resolver ecuaciones
14:55diferenciales de órdenes más grandes.
14:58A ver, yo veo si de pronto ya el lápiz
15:00me está funcionando, que es que se se
15:02bloqueó, ahora sí.
15:04Muchachos, estamos resolviendo problemas
15:06de esta forma.
15:09¿Qué pasa si una ecuación diferencial es
15:11de la forma y segunda,
15:13por ejemplo, a sub 2 de x y segunda más
15:16a sub 1 de x por y prima
15:19más a sub 0 de x por y
15:23igual a una función f de x?
15:27Muchachos, si la ecuación diferencial es
15:28de orden 2 o de orden 3 o de orden 4,
15:32eh existen los mismos métodos, Euler,
15:35Euler modificado, Runge-Kutta, los
15:37métodos multipaso, todos, pero todos
15:40habría que pensarlos en una ver en una
15:42versión vectorial.
15:44En una versión vectorial,
15:46porque en tu versión vectorial, pues vas
15:49a ir encontrando los valores de la
15:52segunda derivada, los valores de la
15:53primera derivada y los valores de la
15:55función y
15:56para poder ir aplicando los métodos.
15:59Esa teoría la pueden encontrar en
16:01cualquier texto de ecuación de análisis
16:03numérico, por ejemplo, en el libro guía.
16:06Recuerde que el me el libro guía es el
16:08de métodos numéricos,
16:13que es el método de Burden, el libro de
16:15Burden. Ese libro está en biblioteca,
16:17también está en formato digital en
16:19muchas páginas en internet.
16:21Y entonces, si ustedes en el trabajo
16:24deciden resolver ecuaciones
16:25diferenciales que no sean de orden uno,
16:27sino que sean de orden dos o de orden
16:29tres o superior,
16:32tienen que tener presente que cuando
16:34vayan a utilizar los métodos que les
16:36estamos pidiendo que usen, van a
16:38tenerlos que usar en sus versiones
16:39vectoriales. Y eso dificulta un poquito
16:42el trabajo. Yo [resoplido] personalmente
16:45lo veo innecesario.
16:47Porque recuerden que esto no es un
16:49proyecto de semestre. Esto es un trabajo
16:52que solamente tiene un peso del 5%.
16:56Entonces, cuando vayan a plantear sus
16:58problemas, plantéelos únicamente como
17:00ecuaciones diferenciales de primer orden
17:02para que no se enreden demasiado la vida
17:05con un trabajo que se supone que es tan
17:07simple.
17:09Bueno, muchachos, los dejo. Espero que
17:11nos podamos ver la próxima semana ya de
17:13forma presencial y que podamos resolver
17:15algunos ejercicios en horario de clase.
17:19Disfruten estos videos. Lo bueno es que
17:21los van a poder reproducir tantas veces
17:23como necesiten y lo van a poder detener
17:25cuando cualquier cosa no esté
17:27funcionando bien.

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