YT YouTube2Text

YouTube2Text → Transcripts → YouTube transcript (EGw9JGg7l8g)

YouTube transcript (EGw9JGg7l8g) — Transcript

2,229 words · 408 segments · language en · Watch on YouTube

Open in transcriber Summarize with AI Download SRT/VTT

Full transcript

0:00Eh, bueno, muchachos,
0:02eh, algunos de ustedes ya vieron en
0:05clase la semana pasada esta primera
0:07parte
0:09del tema de solución numérica de
0:11ecuaciones diferenciales, pero
0:13tengo que preocuparme por todos los
0:15grupos y no únicamente por uno de
0:17ustedes.
0:18Entonces, el que lo quiera volver a ver,
0:20no tiene ningún problema en repetir el
0:22video.
0:24Muchachos, nosotros estamos
0:25acostumbrados a resolver ecuaciones
0:27diferenciales de muchos tipos distintos.
0:31Eh, cuando vos estabas en ecuaciones
0:32diferenciales aprendiste a resolver
0:34ecuaciones diferenciales que tenían más
0:36o menos una forma como esta, como
0:39y prima, bueno, escribámoslo de y de x,
0:45igual a
0:46eh, una función p de x
0:50por una función q de y.
0:53Y esas ecuaciones diferenciales uno las
0:54llamaba separables porque usted
0:56simplemente podía separar las variables,
0:58algo como de y sobre q de y
1:01igual a p de x
1:04por d x
1:05y podía integrar en ambos lados y
1:07resolver la ecuación diferencial.
1:10Eso es una ecuación diferencial
1:11separable.
1:13Es una ecuación diferencial de primer
1:15orden porque la derivada más grande que
1:17aparece es la primera derivada.
1:20Pero también aprendieron a resolver
1:21ecuaciones diferenciales que tenían esta
1:23forma.
1:26Que esta ecuación diferencial se conoce
1:28como ecuación diferencial lineal.
1:31Eh, las ecuaciones diferenciales
1:32lineales se resuelven buscando un factor
1:34integrante que es la exponencial de la
1:36integral de p de x.
1:39Y cuando se multiplica toda la ecuación
1:41diferencial por el factor integrante,
1:43pues uno termina convirtiéndola en una
1:44separable.
1:47También resolvieron una que es igualita,
1:48igualita, pero aquí multiplicada por y a
1:51la n.
1:53Y esa se llamaba una ecuación
1:54diferencial de Bernoulli.
1:58Las de Bernoulli se resuelven haciendo
1:59una sustitución las llevan a una lineal
2:02y la lineal se resuelve haciendo
2:04el factor integrante.
2:07También vieron ecuaciones diferenciales
2:09que se escriben de esta manera.
2:17Hay dos ecuaciones diferenciales que se
2:19escriben de esta forma, las ecuaciones
2:21diferenciales las homogéneas
2:25y las exactas.
2:28Para las homogéneas se necesitaba que
2:30estas dos funciones fueran funciones
2:31homogéneas.
2:33En su momento ya le dijeron cómo se se
2:35identificaba eso.
2:37En las homogéneas se resuelven haciendo
2:38una sustitución que es u igual a y sobre
2:41x o igual a x sobre y. Cualquiera de las
2:44dos sustituciones sirve.
2:46Y también las exactas, las exactas es
2:48que las m y las n eh tengan como las
2:51derivadas cruzadas iguales.
2:53Que eso en realidad es
2:55es algo que uno utiliza mucho en cálculo
2:58en varias variables que es encontrar una
3:00función potencial cuando un campo
3:03vectorial es un gradiente.
3:06Vea, no importa usted encontraba una
3:09técnica distinta para cada ecuación
3:11diferencial.
3:12Y sea cual sea la ecuación diferencial
3:14que usted resolviera, usted lo que
3:16quería llegar era encontrar la solución
3:20que es la función y de x.
3:23Y normalmente lo que encontrabas era una
3:26familia
3:28de soluciones.
3:31Si usted no quería una familia, usted
3:33tenía que acompañar su ecuación
3:35diferencial, la tenía que acompañar de
3:37una condición como y de a igual a y sub
3:40cero.
3:42Si usted acompaña su familia, la
3:44acompaña con esto
3:47entonces ya la solución va a ser una
3:49solución única.
3:51Y la solución única es una función y de
3:53x.
3:55Listo.
3:57Hay muchos problemas que se resuelven
3:59con estas ecuaciones diferenciales.
4:01Están los problemas de crecimiento
4:04y decaimiento. Están los problemas de
4:06cambio de temperatura.
4:09Están los problemas de mezclas.
4:13Están los problemas de vaciado de
4:15tanques, que es lo que se llama la ley
4:16de Torricelli.
4:20Y hay muchísimos otros muchísimos otros
4:23problemas en la naturaleza que se
4:25formulan con este tipo de ecuaciones
4:27diferenciales.
4:29Pero cuando vos vas a resolver una
4:31ecuación diferencial de forma numérica,
4:35vos no querés encontrar la función.
4:40Vos no querés encontrar cuál es la
4:42función f de x.
4:45O y de x.
4:47Vos lo que querés encontrar es por dónde
4:50tiene que pasar esa función.
4:54Eso es lo que te interesa.
4:57Si fuéramos a hacer una gráfica,
5:00encontrar la función y de x
5:04es encontrar esta curva.
5:09Pero en análisis numérico, lo importante
5:12no es encontrar la curva.
5:15Lo importante es encontrar algunos
5:18puntos
5:20por donde esa curva tiene que pasar.
5:24Eso es lo importante a la hora de
5:26resolver numéricamente una ecuación
5:28diferencial.
5:30Encontrar los puntos por donde la
5:34función tiene que pasar.
5:36¿Y por qué es más importante
5:38numéricamente encontrar los puntos?
5:41Porque nosotros ya sabemos que si
5:43tenemos los puntos,
5:46ya contamos con herramientas numéricas
5:49que me permitirían identificar
5:51cuál es esa función.
5:54Y eso lo vimos cuando vimos
5:56interpolación y y splines.
6:00Entonces, muchachos, numéricamente
6:03lo que nosotros queremos hacer es
6:06simplemente
6:07llenar una tabla de valores. Aquí vamos
6:10a poner los X y aquí vamos a poner los
6:12Y.
6:15Si nosotros lo que queremos hacer es
6:17llenar una tabla de valores es porque
6:20tenemos que tener claro en qué intervalo
6:23queremos resolver el problema.
6:26Y el valor de la A va a tener que ser el
6:29primer punto que escojamos.
6:32Y el valor de la B va a tener que ser el
6:35último punto que escojamos.
6:39Pero nosotros somos libres de escoger
6:42en qué restantes puntos queremos
6:45nosotros encontrar el valor de la
6:47función.
6:49Y nuestro trabajo
6:52va a ser encontrar todas estas Y que
6:55deben venir en esta columna.
6:58Esa es la incógnita a la hora de
7:00resolver un problema de forma numérica.
7:04Pero ojo, ¿cómo sabemos si la ecuación
7:06va a ser una ecuación separable, una
7:08ecuación lineal, una ecuación Bernoulli,
7:10una ecuación homogénea, una ecuación
7:12exacta?
7:13En realidad eso no importa.
7:16No importa para nada.
7:19Porque nosotros vamos a escribir
7:21cualquier ecuación diferencial de esta
7:23misma forma, Y' = a cualquier expresión
7:28que dependa de la X y de la Y
7:31como nuestra ecuación diferencial en un
7:34intervalo que la tenemos que resolver
7:38y con una condición que debemos conocer.
7:43Recuerde que cuando la ecuación
7:44diferencial tiene una condición se llama
7:47problema de valor inicial.
7:50PBI.
7:53Todos nuestros esfuerzos se van a a
7:57dedicar a llenar simplemente una tabla
8:00de valores.
8:03Eso es resolver una ecuación diferencial
8:05de forma numérica. Aprender a llenar una
8:08tabla.
8:10Eso es lo bueno de este capítulo, es el
8:12último capítulo del curso y es tal vez
8:14el capítulo más sencillo,
8:16porque nosotros lo único que necesitamos
8:18es cómo llenar una tabla.
8:23Pues existen muchas formas para llenar
8:25la tabla, muchachos.
8:27Existen muchísimas formas para llenar la
8:29tabla y la primera forma numérica que
8:32apareció se le debe
8:34a Euler.
8:37Euler fue la primera persona
8:40que desarrolló una técnica para llenar
8:43esa tabla de por dónde debe pasar
8:46una función que satisfaga la ecuación
8:48diferencial.
8:51Y el desarrollo es bastante sencillo,
8:53porque porque vamos a hacer todo el
8:56trabajito que Euler hizo.
8:58Euler hizo lo siguiente. Supongamos
9:02que conociéramos
9:07un punto
9:08de la tabla.
9:11Un punto de la tabla sería el punto X
9:13sub I con su respectiva Y, Y sub I.
9:18Ey, me devuelvo.
9:19Pilas.
9:21Lo que queremos saber es cómo se llena
9:23toda esta tabla
9:25y Euler está pensando en que supongamos
9:28que conociéramos uno de esos puntos.
9:32Entonces, lo que propone Euler es
9:34evaluemos
9:37la ecuación diferencial
9:41en ese punto conocido.
9:46Muchachos, evaluar la ecuación
9:47diferencial en el punto conocido,
9:49recuerde que la ecuación diferencial ya
9:50te acabé de decir que la vamos a
9:51escribir como Y prima igual a cualquier
9:54expresión que dependa de la X y de la Y.
9:57¿Cómo se evalúa esto en un punto
9:59conocido?
10:00Pues muy fácil, simplemente la derivada
10:03se evalúa en el punto X sub I.
10:06Y la expresión que depende de X y de Y
10:09se evalúa en X sub I y en Y sub I.
10:14Ahí acabamos de la ecuación
10:16diferencial
10:18y la estamos evaluando en el punto que
10:20estamos suponiendo que conocemos.
10:25Listo, hicimos eso.
10:26¿Y ahora qué?
10:29Pues ahora lo que Euler hace es
10:30simplemente
10:32vamos a cambiar
10:34la derivada evaluada en un punto
10:37por algo que sea matemáticamente
10:40parecido.
10:41Y para eso nos tenemos que devolver a
10:43cálculo diferencial.
10:46En cálculo diferencial nos enseñaron que
10:48la derivada en un punto significa la
10:51pendiente
10:53de la recta tangente
10:58en ese punto.
11:02Y entonces hay una manera muy sencilla
11:05de modificar o de aproximar una
11:08pendiente de una recta tangente
11:11con algo que se le parezca.
11:13Y es cambiar la pendiente de una recta
11:15tangente con la pendiente
11:19de una recta
11:21secante.
11:25Hombre, ¿cómo hacemos una pendiente de
11:26una recta secante?
11:28Pues si yo aquí tengo el punto
11:30X sub I y este es X sub I Y sub I
11:34pues vamos a usar que el X sub I más 1
11:40Y sub I más 1
11:44y yo no tengo idea de cómo es la curva,
11:46la curva pudo haber sido así.
11:48Yo lo que voy a hacer es aproximar la
11:51pendiente de la recta tangente, la voy a
11:53aproximar con la pendiente de esta recta
11:55secante.
11:58Entonces lo que propone Euler es
12:00simplemente poner Y sub I más 1 menos Y
12:02sub I
12:04sobre X sub I más 1 menos X sub I
12:08igual a la función F en X sub I y sub I.
12:14Es algo bastante sencillo lo que propone
12:16Euler.
12:17Ojo que estoy calculando la pendiente
12:19entre dos puntos usando la fórmula de
12:20pendiente entre dos puntos, que la
12:22conocemos desde que estábamos en primer
12:23semestre.
12:25La Y menos la Y dividido la X menos la
12:27X.
12:30Y aquí viene entonces un detalle muy
12:32bueno, y es
12:34vamos a despejar la Y del punto
12:37siguiente.
12:39Porque si nosotros suponemos que
12:41conocemos el punto X sub I y Y sub I,
12:43conocemos este,
12:45pues que este punto me sirva para
12:48conocer el que sigue.
12:50Entonces vamos a despejar el Y sub I más
12:521. ¿Cómo se despeja Y sub I más 1? Aquí
12:55me quedaría Y sub I más 1 menos Y sub I
12:57va a ser igual
12:58pasamos el X sub I más 1 menos X sub I
13:02a multiplicar a la F de X sub I Y sub I.
13:07Y pasamos después el menos Y sub I a
13:09restar, a a sumar. Y sub I más 1 va a
13:12ser aproximadamente
13:14Y sub I más
13:16X sub I más 1 menos X sub I
13:20por la función F de X sub I Y sub I.
13:26Y a eso se le llama método de Euler,
13:27pero vamos a ponerle una cosita
13:29adicional. Me devuelvo.
13:32Como yo te dije que vos sos el que vas a
13:34escoger los puntos X sub I X sub I que
13:37vas a usar, o sea, vos sos el que vas a
13:40seleccionar los X desde el inter en el
13:43intervalo AB,
13:45pues propongamos algo que sea bastante
13:47útil, y es que los puntos los vas a
13:49escoger con un mismo espaciamiento H.
13:53El espaciamiento lo puedes colocar vos,
13:55vos puedes seleccionar el espaciamiento
13:57como quieras.
14:00Si vos seleccionas el espaciamiento H es
14:02porque la distancia entre cada par de X
14:04consecutiva siempre va a ser la misma.
14:08¿Qué significa esto? Que esta resta
14:10siempre va a ser H.
14:13Por lo tanto, Y sub I más uno va a ser
14:17igual a y sub i
14:18más h
14:20por la función f evaluada en x sub i y y
14:23sub i.
14:25Y a esto es a lo que se conoce como la
14:27fórmula del método de Euler.
14:31Es la fórmula más simple para llenar la
14:34tabla.
14:37Simplemente vas a partir de un punto
14:40conocido,
14:42vas a encontrar el valor de la función y
14:45en el punto que sigue.
14:48Y a uno se le genera un problema y uno
14:50dice, "Pero es que esto sirve si hay un
14:53punto conocido."
14:55Siempre lo tiene que haber,
14:58porque recordad que estamos diciendo
15:00que vamos a tener un problema de valor
15:02inicial.
15:04Si tenemos un problema de valor inicial
15:07es porque obligatoriamente
15:10nuestra tabla comienza con un valor
15:13conocido.
15:15El valor de la condición inicial.
15:18Entonces, el método de Euler lo que va a
15:20hacer es
15:22con el x sub cero y con el y sub cero
15:24vamos a colocar el valor de la función
15:27en el punto que sigue.
15:30Y cuando ya tengamos el valor de la
15:32función en el punto que sigue es porque
15:34el x sub i y el y sub i ya son
15:35conocidos. Entonces, vamos a poder con
15:38estos dos volver a usar la misma fórmula
15:41para encontrar el valor de la función en
15:43el punto que sigue.
15:45Y eso significa que el x2 y2 ya es
15:47conocido. Entonces, con el x2 y con el
15:49y2 vamos a poder encontrar el y3 que es
15:51el valor de la función en el punto que
15:53sigue.
15:54Y así sucesivamente hasta terminar de
15:57llenar la tabla.
16:00La fórmula del método de Euler es una
16:02fórmula muy muy fácil de utilizar.
16:07Y es tan fácil de utilizar
16:09que la vamos a tener que usar en un
16:11ejercicio.
16:13Vamos a resolver un ejercicio con el
16:15método de Euler.
16:17Vamos a suponer una ecuación diferencial
16:19cualquiera.
16:20Vamos a suponer la ecuación diferencial
16:22Y prima igual
16:24a X a la 2
16:26más 3Y
16:28sobre
16:29X
16:31más Y.
16:33Y vamos a suponer que la vamos a
16:34resolver en el intervalo
16:37desde, no sé, desde 0.5
16:41hasta 1.8.
16:44Y vamos a colocar una ecuación
16:46diferencial, eh, una condición inicial.
16:49Vamos a colocar la condición inicial
16:52que Y de 0.5
16:54es igual a
16:56a 2.
16:58Listo.
16:59Voy a detener el video un momento y voy
17:02a hacer un video diferente para que el
17:03video no quede demasiado largo.

About this transcript

This page contains the full transcript of YouTube transcript (EGw9JGg7l8g) , generated from the public captions YouTube serves with the video. The transcript has 2,229 words across 408 segments, with the original timestamps preserved so you can click any line to jump to that moment in the embedded player.

What you can do with it

Use the transcript to take notes, quote the speaker, build a study guide, generate a summary with ChatGPT or Claude via the YouTube Summary tool, or export it as a timed subtitle file with YouTube to SRT. You can also re-open it in the transcriber to choose a caption track available on the video.

Free YouTube transcript tool

YouTube2Text is a free YouTube transcript generator — no signup, no daily limit. Paste any YouTube link and get the full transcript instantly, with timestamps, click-to-jump, caption language selection, AI prompts for ChatGPT, Claude, and Gemini, and exports to TXT, SRT, VTT, or Markdown.