Властивості функції. Алгебра 9 клас — Transcript

Full transcript

1. 0:00Вітаю, дев'ятикласники. Сьогодні ми з
2. 0:02вами розглядаємо тему властивості
3. 0:04функції. Приготуйтеся до уроку і
4. 0:07починаємо.
5. 0:09Описуючи властивості функції, зазвичай
6. 0:11починають з її області визначення.
7. 0:13Вказують усі значення, яких може
8. 0:16набувати аргумент. Якщо функцію задано
9. 0:18формулою, а про її область визначення
10. 0:21нічого не сказано, то розуміють, що вона
11. 0:24така сама, як і область допустимих
12. 0:26значень змінної, яка входить до цієї
13. 0:28формули.
14. 0:30Часто про властивості об'єкта можна
15. 0:31робити висновки за його зображенням,
16. 0:34фотографією, рентгенівським знімком,
17. 0:36рисунком тощо.
18. 0:39Зображенням функції може слугувати її
19. 0:42графік. Якщо функцію задано графічно, то
20. 0:45область визначення функції проекція її
21. 0:48графіка на вісь x. Область значення
22. 0:51функції проекція її графіка на вісь y.
23. 0:55Наприклад, область визначення і область
24. 0:58значень функції y = √ 4 - x²
25. 1:02проміжки
26. 1:04від -2 до 2 і від 0 до 2.
27. 1:08І ця функція має ось такий графік.
28. 1:13Розглянемо функцію y = f(x). Так
29. 1:16позначають деяку або яку-небудь функцію.
30. 1:19Графік її зображено на цьому малюнку.
31. 1:23Її областю визначення є проміжок від -4
32. 1:27до 7. Всі ікси цього графіка. А областю
33. 1:32значень є проміжок від -4 до 4. Це
34. 1:38ігреки.
35. 1:40Подивіться, при x = -3, 1 і 5 y буде
36. 1:45дорівнювати нулю. Тобто значення функції
37. 1:48дорівнюють нулю.
38. 1:50Значення аргументу, при якому значення
39. 1:53функції дорівнює нулю, називають нулем
40. 1:56функції. Так, числа -3, 1 і 5 є нулі
41. 2:01даної функції.
42. 2:03Нуль функції - це перша на сьогодні
43. 2:05властивість, яку вам потрібно
44. 2:07запам'ятати.
45. 2:10Зауважимо, що на проміжках від -4 до 3 і
46. 2:13від 1 до 5 графік функції f розташований
47. 2:17над віссю абсцис.
48. 2:21А на проміжках від -3 до 1 і від 5 до 7
49. 2:26під віссю абсцис.
50. 2:28Це означає, що на тих проміжках, де
51. 2:31графік розташовано над віссю абсцис,
52. 2:34функція набуває додатніх значень.
53. 2:37І навпаки, на тих проміжках, де під
54. 2:40віссю абсцис, функція набуває від'ємних
55. 2:43значень.
56. 2:44Кожний із зазначених проміжків називають
57. 2:47проміжком знакосталості функції f.
58. 2:52Проміжок, на якому функція набуває
59. 2:54значень однакового знака, називають
60. 2:57проміжком знакосталості функції.
61. 3:01Зауваження. Під час пошуку проміжків
62. 3:04знакосталості функції прийнято вказувати
63. 3:06проміжки максимальної довжини.
64. 3:09Наприклад, проміжок від -2 до -1 є
65. 3:13проміжком знакосталості функції f, але
66. 3:16до відповіді потрібно включити проміжок
67. 3:19від -3 до 1,
68. 3:22який містить якраз цей маленький
69. 3:24проміжок.
70. 3:26Проміжки знакосталості - це друга на
71. 3:29сьогодні властивість функції, яку нам
72. 3:30потрібно запам'ятати.
73. 3:33Якщо переміщатися по осі абсцис від -4
74. 3:36до -1, то можна помітити, що графік
75. 3:40функції йде вниз, тобто значення функції
76. 3:43зменшуються. Говорять, що на проміжку
77. 3:46від -4 до -1 функція спадає.
78. 3:50З збільшенням ікса від -1 до трьох
79. 3:55графік функції йде вгору, тобто значення
80. 3:58функції збільшується. Говорять, що на
81. 4:00проміжку від -1 до трьох функція
82. 4:04зростає. Спадання і зростання функцій -
83. 4:07це ще одна властивість на сьогодні.
84. 4:11Отже, функцію f називають зростаючою на
85. 4:14деякому проміжку, якщо для будь-яких
86. 4:17двох значень аргументу x1 x2
87. 4:20із цього проміжку таких, що x2 більше
88. 4:23x1, виконується нерівність
89. 4:26f(x2)
90. 4:28більше f(x1).
91. 4:32По-іншому: більше x - більше y.
92. 4:36А функцію f називають спадною на деякому
93. 4:40проміжку, якщо для будь-яких двох
94. 4:43значень аргументу x1 x2 із цього
95. 4:45проміжку таких, що x2 більше x1,
96. 4:48виконується нерівність f(x2)
97. 4:51менше f(x1), тобто чим більше x, тим
98. 4:54менше y.
99. 4:58Часто використовують і такі
100. 4:59формулювання: функцію називають
101. 5:01зростаючою на деякому проміжку, якщо для
102. 5:03будь-яких значень аргументу із цього
103. 5:06проміжку більшому значенню аргументу
104. 5:08відповідає більше значення функції.
105. 5:12А функцію називають спадною на деякому
106. 5:14проміжку, якщо для будь-яких значень
107. 5:16аргументу із цього проміжку більшому
108. 5:19значенню аргументу відповідає менше
109. 5:21значення функції.
110. 5:23Якщо функція зростає на всій області
111. 5:26визначення,
112. 5:27то її називають зростаючою. А якщо
113. 5:30функція спадає на всій області
114. 5:32визначення, то її називають спадною.
115. 5:37Ця функція, яку ми розглядали, вона є ні
116. 5:40зростаючою, ні спадною, тому що присутні
117. 5:44проміжки, частини графіка і спадання, і
118. 5:48зростання.
119. 5:50З усіх властивостей на сьогодні нам
120. 5:52залишилось дізнатись про найбільше та
121. 5:55найменше значення функції. Проаналізуємо
122. 5:58графік функції на малюнку. На області
123. 6:00визначення
124. 6:02дана функція не досягає свого
125. 6:04найбільшого значення, тобто це ще не
126. 6:07межа, вона йде вгору далі, далі до
127. 6:09нескінченності.
128. 6:11А от свого найменшого значення y = -9
129. 6:15дана функція набуває в точці з абсцисою
130. 6:19-2.
131. 6:21Можемо записати: y максимальне не існує,
132. 6:25y мінімальне = -9, якщо x = -2.
133. 6:31Проаналізуємо графік функції на цьому
134. 6:33малюнку.
135. 6:34На області визначення дана функція не
136. 6:36досягає свого найменшого значення,
137. 6:40а от свого найбільшого значення y = 4
138. 6:44дана функція набуває в точці з абсцисою
139. 6:483.
140. 6:49Можемо записати: y максимальне = 4, якщо
141. 6:53x = 3,
142. 6:55а y мінімального не існує.
143. 6:59У старшій школі ви дізнаєтесь і про інші
144. 7:02способи знаходження найбільшого та
145. 7:04найменшого значень функції.
146. 7:07А на сьогодні підсумуємо раніше сказане.
147. 7:11Якщо пропонують дослідити функцію, це
148. 7:14означає виявити її найважливіші
149. 7:17властивості,
150. 7:19а саме вказати область визначення та
151. 7:22область значень, знайти точку перетину
152. 7:26графіка функції з віссю y, знайти нулі
153. 7:30функції та проміжки знакосталості,
154. 7:33визначити проміжки зростання і спадання,
155. 7:37указати найбільше та найменше значення
156. 7:40функції і побудувати графік цієї
157. 7:43функції.
158. 7:45В цій таблиці представлені властивості
159. 7:47тих функцій,
160. 7:48які ми вже з вами вивчили.
161. 7:51Можете зафіксувати її собі, бо ці знання
162. 7:54вам знадобляться далі.
163. 7:56Давайте тепер виконаємо кілька завдань,
164. 7:58але перед тим буду вдячна за підтримку
165. 8:00мого каналу за посиланням під відео.
166. 8:04Завдання один. Знайдіть нулі функції.
167. 8:08Першою буде ось така функція: y = x² +
168. 8:126x.
169. 8:14Областю визначення функції є проміжок
170. 8:16від мінус нескінченності до плюс
171. 8:18нескінченності.
172. 8:20За умовою задачі значення функції має
173. 8:23дорівнювати нулю.
174. 8:25y = 0. Давайте підставимо нуль замість y
175. 8:29і отримаємо ось таке рівняння.
176. 8:32Розв'яжемо це рівняння. Винесемо
177. 8:35спільний множник x за дужки.
178. 8:38Отримали добуток, який дорівнює нулю.
179. 8:40Добуток може дорівнювати нулю,
180. 8:43коли хоча б один з множників дорівнює
181. 8:45нулю. Давайте дужку x + 6 прирівняємо до
182. 8:49нуля і тоді x1 у нас буде -6.
183. 8:53x2, звичайно, буде нуль.
184. 8:56Тому ми можемо написати відповідь: x1 =
185. 9:00-6, x2 = 0 і це є нулі функції y = x² +
186. 9:076x.
187. 9:08Зверніть увагу, щоб знайти нулі функції,
188. 9:11яку задано формулою y = f(x), потрібно
189. 9:15знайти корені рівняння f(x) = 0,
190. 9:20прирівняти до нуля.
191. 9:22І що ми щойно і зробили. Давайте
192. 9:24подивимось на наступну функцію.
193. 9:27Щоб знайти нулі функції, прирівняємо до
194. 9:29нуля.
195. 9:32Ми з вами отримали квадратне рівняння.
196. 9:36Давайте згадаємо формули знаходження
197. 9:39коренів квадратного рівняння. Давайте за
198. 9:41формулою знайдемо дискримінант. b - це у
199. 9:45нас -1, a - 1, c -6.
200. 9:50Підставляємо.
201. 9:53-1² буде 1, -4 * -6 буде 24 * 1 24. 1 +
202. 10:0024 25. Дискримінант у нас більше нуля,
203. 10:04тому маємо два корені. Підставляємо
204. 10:07також в ці формули.
205. 10:10√25
206. 10:11буде 5. 1
207. 10:13/ 2 буде -2. Підставляємо в іншу
208. 10:17формулу. 1 + 5 / 2
209. 10:21буде 3.
210. 10:23Ми знайшли нулі функції, можемо записати
211. 10:26відповідь.
212. 10:29Перейдемо до наступного завдання.
213. 10:32Знайдіть проміжки знакосталості функції
214. 10:35y = 12 - 6x.
215. 10:39Областю визначення функції є проміжок
216. 10:41від мінус нескінченності до плюс
217. 10:43нескінченності.
218. 10:45Першим кроком давайте знайдемо проміжки,
219. 10:47на яких функція набуває додатних
220. 10:50значень, тобто f(x) > 0.
221. 10:54Підставляємо і робимо ось таку
222. 10:56нерівність.
223. 10:58Перенесемо вільний член з протилежним
224. 11:00знаком і поділимо обидві частини на -6.
225. 11:04Пам'ятаємо, якщо ми ділимо на від'ємне
226. 11:06число, то знак нерівності змінюється на
227. 11:09протилежний. Отже, f(x) > 0, якщо x
228. 11:13належить проміжку від мінус
229. 11:15нескінченності до двох. Тепер знайдемо
230. 11:18проміжки, на яких функція набуває
231. 11:20від'ємних значень, тобто f(x) < 0. Так
232. 11:24само підставляємо, переносимо і змінюємо
233. 11:28знак нерівності на протилежний.
234. 11:31Отже, f(x) < нуля, якщо x належить
235. 11:35проміжку від двох до плюс
236. 11:37нескінченності.
237. 11:38Загалом, проміжками знакосталості
238. 11:41функції y = 12 - 6x є два проміжки: від
239. 11:46мінус нескінченності до двох і від двох
240. 11:49до плюс нескінченності. Але, як бачите,
241. 11:52два в ці проміжки не входить.
242. 11:55Завдання виконано. Сподіваюсь, що
243. 11:58властивості функції вам було легко
244. 12:00розглядати і ви зможете їх запам'ятати.
245. 12:03Якщо у вас є якісь питання, задавайте їх
246. 12:06у коментарях. Дякую за увагу. До
247. 12:08побачення.