게임수학 6장-01 — Transcript

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1. 0:01안녕하십니까 김명식 교수입니다
2. 0:03챕터 6
3. 0:04매개변수 곡선과 곡면 같이
4. 0:06공부하겠습니다 영어로는
5. 0:09파라메트릭 커브 앤 서피스가 되겠고요
6. 0:13챕터 6은
7. 0:15컴퓨터 그래픽스이지만 게임
8. 0:18프로그래밍을 위한 컴퓨터
9. 0:19그래픽스이지만
10. 0:21굉장히 수학이 많이 들어가고요
11. 0:24매개변수를 이용한 곡선 그리고 곡면을
12. 0:27나타내는 그런 수학을 배울 텐데요
13. 0:30챕터 6에서 배우는 것이 왜 게임
14. 0:33프로그래밍이 필요하냐 예를 제가
15. 0:36다이렉트x
16. 0:38sdk에 들어있는 것을 보고 설명을
17. 0:40드려 보도록 하겠습니다
18. 0:42제가 다이렉트x sdk를 많이 예를
19. 0:46들어본다고 했고요 여러분들도이
20. 0:48다이렉트x sdk를 설치하셔서 여기에
21. 0:51보시면 샘플 브라우저라고 있어요
22. 0:55샘플 브라우저를
23. 0:57실행을 시키면
24. 0:58실행도 시켜 볼 수 있고 그 다음에
25. 1:01소스 코드도 같이 다이렉트x뿐만
26. 1:04아니라
27. 1:06hlsl 그 Shade Of
28. 1:09프로그램까지 같이 예제를 살펴볼 수
29. 1:11있습니다 다양한 예제들이 들어있고요
30. 1:14여기에 있는 예제들을 제가 수업시간에
31. 1:19배우는 그 게임수학 이론 설명하면서
32. 1:23얘를 여기 있는 것을
33. 1:25들어보려고 해요이
34. 1:27챕터 6에서 배우는이 맥의 변수
35. 1:30곡선과 곡면이
36. 1:32어디에 사용되냐면 정확하게
37. 1:35테셀레이션에 사용됩니다 테셀레이션
38. 1:38테셀레이션은 영어로 우리말로는 이제
39. 1:42분할이라는 뜻으로
40. 1:43쓸 수 있는데요
41. 1:45우리가
42. 1:47트라이앵글 메쉬 삼각형 매쉬로
43. 1:49모델링을 했을 때 그 삼각형들을
44. 1:52자동으로 쪼개줄 수 있어요 예를 들어
45. 1:55볼게요 예제 중에서 pntry
46. 1:58angle이라는 예제가 있는데요 제가
47. 2:00실행을 해보면
48. 2:03이와 같은 예제가 나오는데요
49. 2:07지금 여기에 보이는
50. 2:09이러한 모델이 있는데 모델이
51. 2:11여러가지가 있는데요 가장 쉬운
52. 2:14티팟
53. 2:15티팟에 대해서 해보겠습니다 주전자
54. 2:19[음악]
55. 2:20텍스처를 입히지 않고요
56. 2:23와이어프레임으로만 나타내 볼게요
57. 2:27와이어프레임 그 다음에 테셀레이션을
58. 2:29하지 않았을 때
59. 2:31지금 여기 보시면
60. 2:32컨트롤 포인트가 있어서
61. 2:34와이어프레임으로 나타내고 테셀레이션을
62. 2:36하지 않았을 때
63. 2:38자 그런데
64. 2:39테슬레이션을 해보면
65. 2:41테셀레이션을 하고
66. 2:43테슬레이션 팩터가 1인 경우에는
67. 2:46이렇게 삼각형이
68. 2:50듬성듬성
69. 2:52저해상도 메쉬로 되어 있는데 이것을
70. 2:56테슬레이션
71. 2:57팩터를 올리면
72. 2:59보이십니까 지금
73. 3:02삼각형 안에 굉장히 잘게 쪼갠
74. 3:04삼각형이 또 들어가 있는 것을 알 수
75. 3:06있어요
76. 3:08팩터를 키우면 좀 더
77. 3:10삼각형이 쪼개지죠
78. 3:12다시
79. 3:13작게 만들면
80. 3:15원래대로 저해상도 매쉬가 됩니다 자
81. 3:18지금 보면 여기에
82. 3:21컨트롤 포인트 중에서
83. 3:22백페이스 컬링이라는게 있어요
84. 3:24뒷면
85. 3:25삼각형을 지울 수도 있거든요 그걸
86. 3:27키면
87. 3:29뒷면도 보이지 않게 된다
88. 3:34완벽하게
89. 3:35뒷면이 다 안 보이는 건 아니네요
90. 3:37하여간
91. 3:38뒷면도 제거할 수 있고요
92. 3:40테슬레이션도 할 수 있다
93. 3:43자 다른 예제도 볼까요
94. 3:46타이거
95. 3:49원래는
96. 3:50와이어프레임이 아니면 이런
97. 3:52타이거인데요 여기에서
98. 3:55이게 지금 저해상도 메시로 되어
99. 3:57있는데 이것을
100. 4:00테셀레이션을 해서
101. 4:01테셀레이션 팩터를 키우면 여기 지금
102. 4:04커다랗게
103. 4:05삼각형이 몇 개 안 되게 모델링이
104. 4:07되어 있는데요
105. 4:09삼각형 안에 또 삼각형을 잘게
106. 4:11쪼개졌다
107. 4:12이것을 자동으로 할 수 있어요
108. 4:16그렇게 자동으로
109. 4:18쪼개기 위해서는 수학적인 이론이
110. 4:20필요한데 그게
111. 4:226장에서 배우는
112. 4:24매개변수
113. 4:25곡선
114. 4:26곡면 그 이론을 통해서 할 겁니다
115. 4:30자 다른 예제 또 볼까요 제일 처음에
116. 4:33봤던요 예제
117. 4:35이런 예제가 있었는데 이런 모델이
118. 4:37있었는데요
119. 4:40와이어 프레임으로 나타냈을 때
120. 4:44와이어프레임을 어땠을 때 이렇게 되어
121. 4:46있었는데
122. 4:48지금 보시면
123. 4:50테셀레이션 팩터를 켜면
124. 4:53좀 높이면
125. 4:56삼각형이 굉장히 잘게 쪼개지는 것을
126. 4:58알 수 있습니다 삼각형이 굉장히 잘게
127. 5:00쪼개진다 그래서 가까이 있는 물체에
128. 5:03대해서
129. 5:04고해상도 메시로
130. 5:06멀리 있는 물체는 저해상도 메시로
131. 5:07자동으로
132. 5:10테셀레이션 삼각형을 쪼갤 수 있다
133. 5:15자 이럴 때 사용할 수 있고요 또 좀
134. 5:18더 고차원적인 모델로
135. 5:22고차원적인 모델로
136. 5:31[음악]
137. 5:32켓몰 우리
138. 5:35애드캣멀
139. 5:37픽사
140. 5:38디즈니
141. 5:40설립자였던 그분이 텍스쳐
142. 5:43맵핑과이 서피스 분할에 관한
143. 5:46알고리즘을
144. 5:48서피스 분할에 관한 알고리즘을
145. 5:55논문으로 작성했는데요 여기 보시면
146. 6:05지금 이렇게
147. 6:08테셀레이션을
148. 6:10하고 나서
149. 6:11테셀레이션도 하고 그 다음에
150. 6:14분할한 테셀레이션 방법 상태로
151. 6:21테셀레이션도 하고
152. 6:23테셀레이션도 엄청나게 이렇게
153. 6:25테셀레이션도 할 수 있고요 그 다음에
154. 6:27그 정점을
155. 6:30옮길 수도 있다
156. 6:32그러면
157. 6:33와이어 프레임을 나타내고 테셀레이션
158. 6:35하면 테셀레이션 하면 이렇게 삼각형이
159. 6:38굉장히 많이 쪼개질 수 있는 거고요
160. 6:40그 다음에
161. 6:43정점을 위로 옮기면
162. 6:47이렇게
163. 6:48멋진 사람이 괴물로 변하게 된다
164. 6:53멋진 사람이 괴물로 변하게 된다
165. 6:56이게 서브 디비전 서피스 서비디비전에
166. 6:59해당하는 거고요 여기에 나와 있는
167. 7:00알고리즘도
168. 7:02매개변수 곡선 곡면과
169. 7:05관련이 있다이 얘기입니다
170. 7:07자 다시 한번
171. 7:09와이어 프레임으로 나타내고요
172. 7:11테셀레이션 팩터를 키우면 테셀레이션이
173. 7:14되고요
174. 7:15줄이면 다시 저해상도가 되고요
175. 7:19이것을 정점을 옮기면
176. 7:23이렇게
177. 7:26괴물로 변할 수 있다 이겁니다
178. 7:29자 이와 같은
179. 7:32테셀레이션
180. 7:33서브 디비전
181. 7:34관련된 것을 제 6장에서
182. 7:37매개변수 곡선
183. 7:41그 다음에 곡면이 알고리즘을 통해서
184. 7:44이론적인 배경을 배우게 될 것입니다
185. 7:48테셀레이션에 이론적인 배경을 배운다
186. 7:50자 그럼 하나씩 살펴보겠습니다
187. 7:55여기에 나와 있는 내용이
188. 7:57테셀레이션 이론에 그대로 적용되니까
189. 8:00적용되는 거니까 어렵다고 생각하지
190. 8:03마시고요 중요한 내용이니까 잘
191. 8:05살펴보시기 바래요 자 우선 선분
192. 8:09선분에 대해서
193. 8:11매개의 변수 곡선으로
194. 8:14매개변수 방정식으로 나타내 보겠습니다
195. 8:16우리가 챕터 3에서
196. 8:19피킹 마우스 피킹을 할 때 마우스
197. 8:23광선을
198. 8:24매개변수
199. 8:26광선으로 나타냈었거든요 매개변수
200. 8:29방정식으로 나타냈었는데 그때
201. 8:32시작점과
202. 8:34방향 벡터가 있으면
203. 8:36S 플러스 TD 즉 시작점과
204. 8:40스타트 포인트는 S
205. 8:41sxsysz
206. 8:44방향 벡터
207. 8:46방향 벡터는 dxdy 디저트가 있으면
208. 8:49그것에 해당하는
209. 8:52매개변수 방정식은
210. 8:54광선의 매개변수 방정식은
211. 8:57s+
212. 8:59td라고 했어요
213. 9:015장에서 연습문제에서도이
214. 9:04s+ TD 가지고 했었죠
215. 9:07매개변수
216. 9:08방정식으로 광선을 나타냈었다
217. 9:12그리고 여기서 t는
218. 9:14매개변수라고요
219. 9:16t가 0 이상이 되는 거예요
220. 9:18t가 0이면 시작점이고요 t가 0보다
221. 9:21클 때
222. 9:220.1 0.1 0.3
223. 9:24늘어나면이
224. 9:25점이 점점
225. 9:27앞으로이
226. 9:28방향 벡터 방향으로 나아가는 거죠
227. 9:31자 이게
228. 9:32광선의 매개변수 방정식이었고요
229. 9:36XYZ 성분에 대해서
230. 9:38각각 따로
231. 9:40s+
232. 9:41TD
233. 9:43s+ TD X Y z에 대해서
234. 9:47각각 따로
235. 9:49매개변수 방정식을 나타내야 된다라고
236. 9:52했어요
237. 9:53자 이게 광선의 매개변수 방정식인데요
238. 9:56자 이것을 선분의
239. 10:00매개변수 방정식으로 나타내고 있습니다
240. 10:02선분 선분은
241. 10:05시작과 끝이 있는 거예요 선분은 예를
242. 10:08들어서
243. 10:09p0와 p1을 잇는 선분을
244. 10:13매개변수 방정식으로 나타내어라 여기서
245. 10:16매개변수는 t예요
246. 10:18t는
247. 10:19선분일 때는 0에서 1 사이의 값을
248. 10:22가져요 자 그러면
249. 10:24조금 전에 했던
250. 10:26매개변수 방정식과 유사하게 나타내려면
251. 10:29자 피제로와 p1을 잇는
252. 10:34광선의 매개변수 방정식
253. 10:37그러면 시작점은 피자로가 되는 거고요
254. 10:40방향 벡터는
255. 10:43방향을 나타내는 것은
256. 10:45p1에서
257. 10:46p0에서 p1을 가는 방향이니까
258. 10:49P1 - p0가 되겠죠 방향 벡터는
259. 10:52P1 빼기 p0
260. 10:54따라서
261. 10:57p0와 p1을 잇는 선분의 매개변수
262. 10:59방정식은
263. 11:01pt는
264. 11:04시작점 p0
265. 11:16자 그래서
266. 11:18선분의 매개변수 방정식은
267. 11:21이거는 외우셔야 됩니다 선분의
268. 11:24매개변수 방정식은 1-t에
269. 11:28피제로 플러스 t에 P1 이것은
270. 11:32외우셔야 된다
271. 11:34자 그리고 이것은 1차
272. 11:401차 매개변수 방정식 1차
273. 11:44매개변수 방정식이라고 하고요 자
274. 11:461차는 왜 1차라고 하느냐
275. 11:49매개변수
276. 11:50t에 대해서 1차 방정식이기 때문에
277. 11:52그래요 자 그리고 1차면
278. 11:56컨트롤 포인트는 두 개가 되옵니다
279. 12:00컨트롤 포인트
280. 12:01컨트롤 포인트는 두 개가 된다
281. 12:06이제 조금 있다 나올 텐데요 2차
282. 12:09매개변수 방정식은
283. 12:10컨트롤 포인트가 3개가 돼요 좀 이따
284. 12:13나와요 1차
285. 12:15매개변수 방정식은 선분이고요
286. 12:17컨트롤 포인트는
287. 12:19p0와
288. 12:21P1
289. 12:22컨트롤 포인트는 두 개가 된다
290. 12:26그리고
291. 12:27매개변수 방정식은 1-t의
292. 12:29p0 +
293. 12:31t에
294. 12:32P1 이것은 외우셔야 된다
295. 12:34그리고
296. 12:36pt는
297. 12:38pt는 p0와 P1 사이에 있는
298. 12:42점이구요 t에 따라서
299. 12:44결정이 되는데 t는
300. 12:470과 1 사이에 있는
301. 12:50매개변수 방정수다
302. 12:520과 1 사이에 있는
303. 12:54실수다
304. 12:55그거에 따라서 pt의 점이 결정이
305. 12:58된다
306. 12:59그리고
307. 13:00pt는 x y z 성분이 각각
308. 13:03따로따로 있다 1
309. 13:05- t에 x0 + t의
310. 13:08X1
311. 13:11y0 + t의 y1
312. 13:15-t의 z0 + t의 z1 이렇게
313. 13:20x y z 성분이 각각 따로 있다
314. 13:24자 그러면
315. 13:25요것을 선분에 대한
316. 13:28매개변수 방정식을 성질을 다시 한번
317. 13:30나타내 보면
318. 13:33피제로와
319. 13:34p1을 컨트롤 포인트라고 하고요 두
320. 13:37점을 잇는 선분은 1차 매개변수
321. 13:40방정식이 되는데 그 1차 매개변수
322. 13:43방정식은요 두 점을 선형으로 보관을
323. 13:47합니다
324. 13:49선형으로 보관을 한다는 것은 가중치가
325. 13:52있다는 뜻이고요
326. 13:55이 PT
327. 13:57매개변수 방정식은
328. 13:59p0와 p1을 보관을
329. 14:02하는데 가중치가 있어야 그 두 끝점에
330. 14:06가중치는
331. 14:11p0에 대한 가중치는 1 - t구요
332. 14:15p1에 대한 가중치는 t다
333. 14:18그리고
334. 14:20pt는
335. 14:21p0와 p1을
336. 14:23t대
337. 14:251-t로
338. 14:29분할을 한다
339. 14:30t대 1 - t로 분할을 하는데 그
340. 14:33수식은 1-t의
341. 14:36p0 + t에 p1이다
342. 14:40p1의
343. 14:41가중치는 1-t 반대편에 있는 거고요
344. 14:46p1의 가중치는 t 반대편에 있는
345. 14:48거예요 다시 한번
346. 14:50pt는
347. 14:51p0와 p1을 선형 보관을 하는데
348. 14:54선형 보관은 t대 1 마이너스 t로
349. 14:57선형 보관을 한다
350. 15:00자 이것을
351. 15:02애니메이션으로 나타내 볼게요 이렇게
352. 15:04애니메이션으로 나타낼 수 있다
353. 15:07p0와 p1을 잇는 pt라는
354. 15:11매개변수는
355. 15:14매개변수 방정식은 t가
356. 15:160일 때는 p0
357. 15:18t가
358. 15:190.1 0.1 0.3 0.4 0.5
359. 15:210.6 해갖고 1이 될 때까지이
360. 15:25점이 점점
361. 15:26p0에서
362. 15:27p1으로
363. 15:29향하게 된다
364. 15:31t는
365. 15:320에서
366. 15:341 사이에
367. 15:36실수로 변하게 되는
368. 15:38매개의 변수다 변수 변하는 수 t는
369. 15:40변하는 수예요
370. 15:42t가 딱 정해지면 pt도 정해지는
371. 15:45거예요 예를 들어서 t가
372. 15:480이면
373. 15:49t가 0이면
374. 15:51p0는
375. 15:54p0는
376. 15:57t가 0일 때는 p0
377. 16:00t가 0.5면 한 가운데를 나타낼
378. 16:03거예요
379. 16:04한 가운데를 나타난다
380. 16:06t가 3분의 1이면 3분의 1대
381. 16:091/3로 보관을 할 겁니다
382. 16:12자 이러한
383. 16:14성질을 가진다 이게 선분의
384. 16:18매개변수 방정식
385. 16:19선분의 매개변수 방정식은
386. 16:21외우셔야 된다 그랬어요 선분의
387. 16:23매개변수 방정식은
388. 16:271-t의 p0 + t에
389. 16:30P1
390. 16:31p1과
391. 16:33p0와 p1을
392. 16:35t대 1 - t로
393. 16:38분할을 한다 보관을 한다
394. 16:40이 얘기예요
395. 16:43이 pt라는 점은
396. 16:45t에 따라서
397. 16:46값이
398. 16:48점이 점점
399. 16:49변하게 되는데
400. 16:50p0와 P1 사이를
401. 16:52움직인다
402. 16:54그리고 이것을 1차 매개변수
403. 16:57방정식이라고 합니다 왜 1차냐
404. 17:00t에 대해서 1차식이기 때문에 그래요
405. 17:03그리고 1차
406. 17:05매개변수 방정식은 컨트롤 포인트가 두
407. 17:08개다
408. 17:09p0와 P1
409. 17:11컨트롤 포인트가 두 개가 된다
410. 17:14자 선분의 매개변수 방정식을 알면
411. 17:17이제부터 이것을 이용해서 확장을 해서
412. 17:21곡선의 매개변수 방정식을 구할 거예요
413. 17:24확장을 할거다
414. 17:26잘 들어보세요
415. 17:29확장을 할거다
416. 17:32자 배지와 곡선
417. 17:35됐지요 곡선
418. 17:37백지열한 사람이 있었는데요 프랑스의
419. 17:39그 자동차 회사에 다니던
420. 17:43디자이너였다고 합니다이 사람이
421. 17:47곡선의 방정식을 만들었어요
422. 17:49매개변수 방정식으로
423. 17:52그런데 어떻게 만들었느냐
424. 17:55조금 전에 만들었던 1차
425. 17:57[음악]
426. 17:58매개변수 선분에 대한 1차 매개변수
427. 18:01방정식을
428. 18:02선형 보관을 하는 것을
429. 18:05제기적으로 반복을 해서
430. 18:09매개변수 곡선으로 만들었어요
431. 18:12그것을 뭐 드 카스텔조
432. 18:15알고리즘이라고도 하는데 하여간 그걸
433. 18:18만든 사람이 배찌입니다 배지와
434. 18:20곡선이에요
435. 18:22백지영 곡선 그 중에서
436. 18:252차 100제 옥션은
437. 18:282차 100제 옵션은 잘 들으세요
438. 18:312차 배치 옥션은
439. 18:33컨트롤 포인트가 3개입니다
440. 18:36p0
441. 18:37P1
442. 18:39P2
443. 18:41컨트롤 포인트가 3개다 2차 배째
444. 18:44곡선은
445. 18:45컨트롤 포인트가 3개
446. 18:47피제로 P1 P2 이렇게 컨트롤
447. 18:49포인트가 3개고요
448. 18:52선형 보관
449. 18:54즉 선분에 대한 매개변수 방정식을
450. 18:59재귀적으로 반복을 한다
451. 19:02무슨 얘기냐
452. 19:04피제로와 p1을
453. 19:06잇는
454. 19:07매개변수 방정식 선분의 매개변수
455. 19:09방정식
456. 19:11P1 제로
457. 19:14피제로와 p1을 t대 1-t로 선형
458. 19:17보관을 하는
459. 19:19P1 제로를 만들고요 또
460. 19:22p1과 p2를 선형보관하는
461. 19:26즉 t대 1 마이너스 t로 선형
462. 19:27보관하는
463. 19:29p11 점을 만든 다음에
464. 19:33P1 제로와 p11을 다시 한번
465. 19:37시대 1-2로 선형 보관을 하는
466. 19:41P2 제로를 만드는 거예요 그게
467. 19:43pt로 한다
468. 19:47그게 pt다 다시 한번 이걸 수식으로
469. 19:51밑에 수식으로 나타내보면요
470. 19:55컨트롤 포인트가 3개가 있어요 피제로
471. 19:57P1 p2가 있는데 일단
472. 19:59p0와 p1을 선형보관 했어요
473. 20:02t대 1 마이너스 t로 그러면 선형
474. 20:04보안 선분의 선형 분양 선형보관
475. 20:07매개변수 방정식 외우라 그랬어요
476. 20:081-t에
477. 20:11p0 + t의 P1
478. 20:13이거구요 이게
479. 20:16P1 제로고요
480. 20:18마찬가지로 p1과 p2를 선형보관했다
481. 20:21p1과 P2
482. 20:241-t의 p1+t의
483. 20:27P2
484. 20:28이걸 외우라 그랬어요 그게
485. 20:31p11
486. 20:33p11
487. 20:34그리고 나서
488. 20:37재귀적으로 한번 더 선형 보관한다
489. 20:40선형 보관을 또 한다
490. 20:421 - t에
491. 20:45P1 제로
492. 20:46t의 p11
493. 20:48이게
494. 20:50P2 제로다
495. 20:52이거를 풀어보면 이거를
496. 20:55풀어보면 P1 제로 대신에 요거
497. 20:58p11 대신에 요거를 대입하면
498. 21:01결론적으로
499. 21:02[음악]
500. 21:03나오는게
501. 21:05t에 대한 2차
502. 21:08매개변수 방정식이 나온다 이것도
503. 21:12외우셔야 됩니다
504. 21:141-t^2
505. 21:16p0 + 2배 t에 1만의 스티의
506. 21:19P1
507. 21:21+
508. 21:21t 제곱의 P2
509. 21:24외우셔야 된다
510. 21:26자 그리고
511. 21:292차부터는 2차 매개변수
512. 21:31방정식에서부터는
513. 21:34이제부터는
514. 21:35직선이 아니라
515. 21:36곡선이 된다 그 곡선도
516. 21:40컨트롤 포인트가 3개인 2차 배지어
517. 21:44곡선이라고 하고요 2차 매개변수
518. 21:45방정식을 2차 100제 곡선이라고
519. 21:47하고요
520. 21:482차 백제 옥션은 컨트롤 포인트가
521. 21:513개에요 피제로 P1 p2가 되고요
522. 21:55피제로와 p2는
523. 21:57통과하는데
524. 21:58p1은 지나지 않아요
525. 22:01p1은 곡선을 잡아당기는 역할만
526. 22:03합니다
527. 22:04P1 쪽으로 당기기만 한다
528. 22:07자 그러면 이것도
529. 22:09애니메이션으로 나타내 볼게요
530. 22:12요렇게 나타낼 수 있다
531. 22:15자이 PT
532. 22:18pt라는
533. 22:192차 100제곡선 4개 변수 방정식은
534. 22:232차 매개변수 방정식은
535. 22:26t가 마찬가지로
536. 22:280에서
537. 22:291 사이로 변하는
538. 22:32변수이고요
539. 22:340일 때는 p0가 되고요
540. 22:370.1 0.2 0.3 0.4 0.5
541. 22:400.6 0.7 0.8 0.9 1.0
542. 22:45될 때까지
543. 22:46변하는데이 pt라는 점이 점점
544. 22:49변하는데
545. 22:51지금이 녹색점은
546. 22:54피제로와 p1을 선형보관하고
547. 22:56p1과 p2로 선형 보관했고요 그
548. 22:59녹색점 두 개를 또다시 선형
549. 23:02보관했더니 이렇게
550. 23:05빨간
551. 23:06곡선의 점을 나타낸다 이거죠
552. 23:10아름다운 곡선을 나타낸다
553. 23:14다시 한번
554. 23:16컨트롤 포인트가 3개면
555. 23:182차 배제곡선이다
556. 23:212차 배 지역 곡선은
557. 23:241차
558. 23:26선형보관 1차 선분의 매개변수
559. 23:29방정식을
560. 23:30반복 재귀적으로 반복한거다
561. 23:36p0와 p1을 선형보관
562. 23:39P1 제로를 만들고요
563. 23:41p1과 p2를 선형보관
564. 23:44p11을 만든 다음에
565. 23:46이걸 한 번 더 선영 보관한다
566. 23:50p27 P2 제로를 만들어서 그게
567. 23:52pt가 된다 그 pt에 해당하는
568. 23:56점을 찍어봤더니 이렇게 아름다운
569. 23:59곡선이 되더라
570. 24:02그 2차 배치와 곡선의 수식을
571. 24:05외우셔야 된다
572. 24:062차 배제곡선의 수식은
573. 24:102차 몇 자 곡선의 수식은
574. 24:12요렇게
575. 24:141 - t에 1-t²에
576. 24:18p0
577. 24:19+ 2배 t에 1-t의 P1
578. 24:22+
579. 24:23t 제곱의 P2
580. 24:25외우셔야 된다 1-t²
581. 24:29+ 2배 t에 1-t의 P1
582. 24:33+
583. 24:34t 제곱의 P2
584. 24:362차 배제옥산 2차
585. 24:40백제옥선
586. 24:431차 선형보관을 1차 매개변수
587. 24:47방정식을 제기적으로 반복하면
588. 24:50곡선이 되온다
589. 24:51컨트롤 포인트가 3개면 2차 100제
590. 24:54옵션이다
591. 24:56자 그러면 이것을
592. 24:58계속해서
593. 25:00늘릴 수 있습니다
594. 25:02자 3차 배 쪽 선
595. 25:05까지는
596. 25:07외우셔야 돼요 3차 백제 옥션은
597. 25:11컨트롤 포인트가
598. 25:124개
599. 25:13피제로
600. 25:15P1
601. 25:16P2
602. 25:17p3
603. 25:20자 선형 보관을 반복한다고 했어요
604. 25:25p0와
605. 25:26p1을 선형보관해서
606. 25:28P1 제로
607. 25:30p1과 p2를 선형 보관해서
608. 25:32p11
609. 25:34p2와 p3를 선형 보관해서
610. 25:38P1 2
611. 25:41자
612. 25:42P1 제로와 p11
613. 25:46P2 제로
614. 25:49p11과 P1 2를 선형 보관해서
615. 25:53p21
616. 25:58그리고
617. 26:01마지막으로
618. 26:04마지막으로
619. 26:05P2 제로와 p21을 선형보관해서
620. 26:08p3 제로 이게
621. 26:11pt가 된다
622. 26:13이게 pt가 된다
623. 26:16그리고 그것에 대한 수식은 3차
624. 26:20백지영 곡선은 컨트롤 포인트가
625. 26:234개구요
626. 26:24t에 3차 방정식이 나온다
627. 26:27그것에 대한 수식은
628. 26:29외우셔야 된다
629. 26:311 - t에 세제곱
630. 26:35p0 플러스 3배
631. 26:37t에 1-t^2
632. 26:39P1
633. 26:40+ 3배 t 제곱의 1 - t의 P2
634. 26:44+t의 세제곱에 p3 이것은
635. 26:48외우셔야 된다 다시 한번
636. 26:513차 배제 곡선은 컨트롤 포인트가
637. 26:554개다
638. 26:58컨트롤 포인트가
639. 27:004개다
640. 27:013차 배적 곡선의
641. 27:04매개변수 방정식은
642. 27:081-t의 세제곱에 p0
643. 27:11+ 3배 t에 1-t^2의
644. 27:14P1
645. 27:15+ 3배 t^2의 1 - t의 P2
646. 27:19+t의 세제곱에 p3가 된다
647. 27:24자 이것도
648. 27:26애니메이션으로 나타내면 이렇게
649. 27:33t는
650. 27:340에서 1 사이에 변하는 실수가 되는
651. 27:36거고요 변수가 되는 거고
652. 27:39t가
653. 27:400일 때는
654. 27:41p0가 되고요
655. 27:420.1 0.1 0.3 0.4 0.4
656. 27:45해 갖고 점점
657. 27:46증가해서 1이 되면
658. 27:50p3가 된다
659. 27:52p3 점에 도달한다
660. 27:53자 그러면
661. 27:553차 100제 곡선은 마찬가지로
662. 27:59p0와
663. 28:01p3는 통과하고요
664. 28:04p1과
665. 28:06P2이 가운데 있는 컨트롤 포인트는
666. 28:09통과하지 않고요 곡선을 잡아당기는
667. 28:11역할만 한다
668. 28:14곡선을 잡아당기는 역할만 한다
669. 28:17이겁니다
670. 28:19자 3차 배제 곡선도
671. 28:211차 매개변수 방정식을
672. 28:24재귀적으로 두 번 반복하면
673. 28:273차 100제 곡선이 된다 3차
674. 28:30배적선도
675. 28:31외우셔야 된다
676. 28:331-t의 세제곱
677. 28:36p0
678. 28:42+ 3배 t의 1 - t의 제곱에
679. 28:45P1
680. 28:46+ 3배 t 제곱에 1-2의 P2
681. 28:51+ t의 세제곱의 p3
682. 28:54이렇게
683. 28:55된다
684. 28:573차 배제 곡선은
685. 29:00컨트롤 포인트가
686. 29:014개다
687. 29:03이거죠 1차
688. 29:06매개변수 방정식을 두 번 제기적으로
689. 29:09반복하면 3차 100제곱셈이 된다
690. 29:12컨트롤 포인트가 4개일 때
691. 29:17자 이런 식으로 반복하면
692. 29:21이런 식으로 반복하면요
693. 29:244차 배제 곡선도 나타낼 수 있어요
694. 29:26컨트롤 포인트가 5개 이렇게
695. 29:30컨트롤 포인트가 피제로
696. 29:32P1
697. 29:33P2
698. 29:34p3
699. 29:36p4
700. 29:37컨트롤 포인트가 5개면
701. 29:394차 배 쭉선 1차 배 쪽 곡선을
702. 29:412차
703. 29:43매개변수 방정식을 1차는
704. 29:46곡선이라고 안 하죠 직선이니까 1차
705. 29:48매개변수 방정식을 세 번 세 번
706. 29:51제기적으로 하면
707. 29:534차 100제 곡선이 나온다 컨트롤
708. 29:55포인트가 다섯 개일 때
709. 29:58이렇게 애니메이션으로 나타내는데 자
710. 30:024차 이상의 배적옥선은
711. 30:04예기치 않게 뒤틀린 모양 등의 문제가
712. 30:07발생해서요
713. 30:092차 배적선 컨트롤 포인트가 3개인
714. 30:12거는 좀 단순해서 그래픽스
715. 30:14분야에서는요 3차
716. 30:16배제옥션을 가장 많이 사용한대요
717. 30:193차 배제 옵션은
718. 30:22컨트롤 포인트가 4개다
719. 30:24컨트롤 포인트가 4개
720. 30:27컨트롤 포인트가 4개다 3차 배 쪽
721. 30:29선 외우셔야 된다 그랬어요
722. 30:311-t의 세제곱 p0
723. 30:34+
724. 30:363배 t에 1 - t의 제곱 P1
725. 30:40+ 3배 t 제곱의 1 - t에 P2
726. 30:44+
727. 30:45t의 세제곱에
728. 30:46p3 이렇게
729. 30:48외우셔야 됩니다
730. 30:51자
731. 30:53백지영 곡선은 선형 보관 1차
732. 30:56매개변수 방정식을 반복한다 1-t의
733. 31:00피제로 플러스티의 P1 2차
734. 31:03매개변수 방정식을 반복하는거다
735. 31:09자 그러면
736. 31:12그렇게
737. 31:14n차
738. 31:15n차 배적 곡선에 대해서
739. 31:18성질을 나타내보면
740. 31:20n차 배적 곡선은
741. 31:23컨트롤 포인트가 한 개 더 필요해요
742. 31:25n+1개가 필요하다 아까 봤잖아요
743. 31:272차 배치는 컨트롤 포인트가 3개
744. 31:313차 100자 곡선은 컨트롤 포인트가
745. 31:334개
746. 31:35자 보세요
747. 31:361차 이거는 곡선이라고 안 하지만
748. 31:391차
749. 31:41매개변수 방정식
750. 31:42외우셔야 된다 그랬어요 1-t의
751. 31:45p0 + tfp1
752. 31:48컨트롤 포인트는 두 개
753. 31:50그거에요
754. 31:52점을 나타내는 pt는
755. 31:54피제러와 p1을
756. 31:56t대 1-t로 선형 보관한다
757. 32:01선형보호관 한다
758. 32:04하지만 수식은 t대 1-t로 선형
759. 32:07보관하지만 수식은 1만의
760. 32:11p1이다
761. 32:12이게 1차
762. 32:14매개변수 방정식이구요
763. 32:172차
764. 32:19매개변수 방정식은 특히
765. 32:212차 배지와 곡선이라고 하죠 2차
766. 32:24배째 곡선은
767. 32:26컨트롤 포인트가 3개
768. 32:28그리고 수식은
769. 32:30외우셔야 된다고 했어요
770. 32:321-t의
771. 32:341마이스티제법의 피제로
772. 32:36플러스 2배 t에 1 - t의
773. 32:39P1
774. 32:41+ t 제곱의
775. 32:42P2
776. 32:44그리고 2차 배제 곡선은 컨트롤
777. 32:46포인트가 3개고
778. 32:48피제로와 p2는
779. 32:50지나는데
780. 32:52p1은 지나지 않고 곡선을 잡아당긴다
781. 32:57자 3차 배제 옵션은
782. 32:59컨트롤 포인트가
783. 33:014개다
784. 33:01피제로 P1
785. 33:03P2 p3
786. 33:05암기 하셔야 된다
787. 33:25이게
788. 33:263차 배째 곡선이고
789. 33:293차 배째 곡선은
790. 33:32컨트롤 포인트가
791. 33:334개다 3차 몇째 곡선은 컨트롤
792. 33:36포인트가 4개다
793. 33:40자 그리고요
794. 33:43각각의
795. 33:44n차 벳제 곡선에
796. 33:47계수
797. 33:49각각 컨트롤 포인트의
798. 33:51계수를이
799. 33:53번스트라인이라는 사람이 수식으로
800. 33:55나타냈습니다 번스타인 다항식이라는
801. 33:58수식
802. 33:59계수
803. 34:01요 p0
804. 34:03p1의 앞에 붙어 있는 거
805. 34:05p2의 앞에 붙어 있는 거 p3 앞에
806. 34:06붙어 있는 것을
807. 34:08번스트라이너라는 사람이 수식으로
808. 34:09나타냈다 어떻게
809. 34:11요렇게
810. 34:14수식으로 나타냈다 자 예를 들어
811. 34:17볼까요
812. 34:183차 배째 곡선일 때
813. 34:22즉 n이 3일 때 나타내 볼까요 n이
814. 34:253일 때
815. 34:29n이 3일 때
816. 34:31p1이라는
817. 34:32컨트롤 포인트에 해당하는
818. 34:35계수는이 수식에 넣어보면요요 수식의
819. 34:38넣으면
820. 34:39색깔을 다른 걸로 해 볼게요
821. 34:44ni 이게 뭐냐면
822. 34:47n개 중에 i를 선택하는 조합이에요
823. 34:49조합
824. 34:51t의 아이승
825. 34:53곱하기 1-n-i
826. 34:56승으로 나타낼 수 있다
827. 34:58자 이것을
828. 35:00n이 3이고
829. 35:03i가 1일 때 적용해 보면
830. 35:073 1
831. 35:09그리고
832. 35:11t에 1승
833. 35:141 - t에
834. 35:163 -
835. 35:173 - 1 즉 2승 자 세 개 중에
836. 35:22하나를 선택하는 조합은
837. 35:253개 중에 하나를 순서
838. 35:293개 중에 하나를
839. 35:33순서를 따지지 않고 선택할 수 있는
840. 35:35경우의 수는
841. 35:37세 가지죠
842. 35:38즉 3배
843. 35:40t에 1 - t에 제곱 이거가
844. 35:45무엇의 개수냐
845. 35:47p1의 계수다 보세요 p1에
846. 35:50계수인 걸 알 수 있죠 3배 t에
847. 35:531마티의 제곱의 P1
848. 35:56자 다시 얘를 한번 떠들어 볼까요
849. 36:01다른 예를 들어볼까
850. 36:08다른 예를 들어볼게요
851. 36:12p2에 대한 예제를 들어볼게요 P2
852. 36:15즉 아이가 2일 때
853. 36:17즉
854. 36:18n이 3이고 i가 2이면
855. 36:22세 개 중에 두 개를
856. 36:25순서 없이 선택할 수 있는
857. 36:27경우의 수
858. 36:29그리고 t에
859. 36:32I 승 1 - t에
860. 36:363 빼기 2 1승 자 세 개 중에 두
861. 36:39개를
862. 36:40순서 없이
863. 36:42선택할 수 있는 경우의 수는
864. 36:45여전히 세 개죠
865. 36:473배 t의 제곱 1 -
866. 36:51t
867. 36:52P2 자
868. 36:56p2의
869. 36:57계수에 대한 수식을 나타냈다 이게
870. 37:01번스타인이라는 사람이 나타낸 수식
871. 37:04그래서 이것을
872. 37:06번스타인 다항식이라고 합니다
873. 37:09크게 중요한 건 아니에요 중요한 건
874. 37:11요거예요 1차
875. 37:14매개변수 방정식
876. 37:151-t의 p0
877. 37:18+t에 P1
878. 37:211차 매개변수 방정식은
879. 37:24컨트롤 포인트가 두 개다 p0 P1
880. 37:27p0와 p1을 t대 1 - t로 선형
881. 37:31보관한다
882. 37:332차 매개변수 방정식은 특별히 2차
883. 37:37배치와 곡선이라고 하고
884. 37:39외워야 된다 1 - t의 제곱 p0
885. 37:43+ 2배 t에 1 - t P1
886. 37:46+ t²의 P2
887. 37:492차 배째 곡선은 컨트롤 포인트가
888. 37:523개다 피제로
889. 37:54P1
890. 37:55P2
891. 37:56p0와 p2는 통과하지만 가운데 있는
892. 37:59p1은
893. 38:00통과하지 않는다
894. 38:01곡선을 잡아당긴다
895. 38:043차 백제 곡선은 컨트롤 포인트가
896. 38:074개다 피제로 P1
897. 38:09P2 p3
898. 38:113차 배째 곡선은 수식이
899. 38:151-t의 세제곱의 p0에
900. 38:21P1 세 배 t^2에 1-t의
901. 38:26p2+t의 세제곱에
902. 38:28p3 이렇게 된다
903. 38:323차 백제 곡선도
904. 38:34시작과 끝은 통과한다
905. 38:36p0와 p3는 통과하는데
906. 38:40p1과 p2는 통과하지 않는다
907. 38:45이게
908. 38:46매개변수
909. 38:47곡선입니다
910. 38:50자 그리고
911. 38:52또 매개변수 곡선에 대해서 배치와
912. 38:55곡선에 대해서
913. 38:56성질을 보면
914. 38:58컨트롤 포인트의 순서가 바뀌면 예를
915. 39:00들어서 3차 백제 옥션 컨트롤
916. 39:03포인트가 4개라 그랬어요 여기도
917. 39:05abcd라고 했을 때
918. 39:08컨트롤 포인트가 abcd 이렇게 돼
919. 39:10있으면
920. 39:11a하고 d는 통과하고 b하고 c는
921. 39:13통과하지 않는다 이런
922. 39:15매개변수
923. 39:16곡선이 나오는데요 만약에
924. 39:19컨트롤 포인트가
925. 39:20abcd가 아니라
926. 39:22a b DC 라면
927. 39:25a b dc라면
928. 39:27처음과 끝은 통과하는 거죠 a와 c는
929. 39:29통과하고
930. 39:31가운데 있는 컨트롤 포인트는 곡선을
931. 39:34잡아당기는 역할만 한다 그래서 요렇게
932. 39:38곡선이 바뀌게 된다
933. 39:40컨트롤 포인트의 순서가 바뀌면
934. 39:43곡선이
935. 39:44달라진다이 얘기에요
936. 39:47당연하겠죠
937. 39:48컨트롤 포인트의 순서가 중요하다
938. 39:52시작과 끝의 컨트롤 포인트는
939. 39:54통과하고요 가운데 있는 컨트롤
940. 39:55포인트는 통과하지 않고 잡아당긴다
941. 39:58이 얘기입니다
942. 40:00자 그리고이
943. 40:03백제 곡선을 이제
944. 40:04테셀레이션에
945. 40:06적용을 시켜 보겠습니다
946. 40:08테슬레이션 조각조각
947. 40:11조각 조각 자른다는 뜻이고요
948. 40:14사실은 컴퓨터 그래픽스에서 곡선을
949. 40:17나타낼 때는요
950. 40:20짧은 선분을 이어 붙이는 거예요
951. 40:24곡선은
952. 40:25곡선은 못하고요
953. 40:27직선을 이어 붙이는 거예요
954. 40:29짧은 선분을 이어 붙인다
955. 40:31그러면
956. 40:33지금 여기 보면
957. 40:34컨트롤 포인트가 4개 있어요 피제로
958. 40:37P1
959. 40:38P2 p3 3차 100제 옥션이죠
960. 40:41이제 알겠죠 3차
961. 40:44왼쪽 상
962. 40:451-t 세제곱의 피제로 3배 t에
963. 40:52제곱의 P1
964. 40:54+ 3배 t^2에 1-t의 P2
965. 40:58+t 세제곱의 p3 외우셔야 된다고
966. 41:00했어요
967. 41:02그 pt를
968. 41:06그 해당하는 t를
969. 41:090.1씩
970. 41:11분할해서 점을 찍으면
971. 41:130.01 때
972. 41:150.1일 때
973. 41:170.2 때
974. 41:180.3일 때
975. 41:230.3일 때 이렇게 점을 찍고요
976. 41:27인접한 점끼리
977. 41:29선분을 그어주면
978. 41:33곡선이 된다이 얘기입니다
979. 41:36테셀레이션은 이런 식으로
980. 41:41곡성 상에 점들을
981. 41:43매개변수 t를
982. 41:44조금씩 잘게 쪼개서
983. 41:470.1씩
984. 41:49증가시켜서
985. 41:50점을 찍고 그 점들을 선분을 잇는다
986. 41:53이게
987. 41:54테셀레이션이다
988. 41:57이게 테슬라
989. 42:01t를
990. 42:040.1씩 분할을 하거나 혹은 0.2씩
991. 42:07분할하거나 혹은 0.30 분할하거나
992. 42:09이거에 따라서
993. 42:12찍는 점이 달라지겠죠 그러면
994. 42:15쪼갤 때
995. 42:17고해상도로 쪼개지거나 저해상도로
996. 42:20쪼개진 거라 이렇게 달라질 수 있는
997. 42:21거죠
998. 42:22테셀레이션의 팩터가 달라질 수 있다
999. 42:25이거예요
1000. 42:27자 그리고요
1001. 42:31캐셀레이션을
1002. 42:33하고 나서
1003. 42:34회전을 한 거 그리고 나서
1004. 42:37회전을 하고 테셀레이션 한 것은
1005. 42:41결국
1006. 42:41동일하다 자 보세요
1007. 42:44a번 그림을 보면 3차 배째 곡선에서
1008. 42:47먼저
1009. 42:49매개변수 t를 0.1씩 분할을 해서
1010. 42:51테셀레이션을 하고 나서요
1011. 42:54즉 정점을 쪼갰어요
1012. 42:57그리고 나서
1013. 42:58회전을 했다 그러면
1014. 42:59각각의 정점
1015. 43:01쪼갠 정점을 다
1016. 43:03회전 변환해 줘야 돼요
1017. 43:0590도 회전 변환을 다 적용해야 된다
1018. 43:09회전 변환
1019. 43:11회전 변환 행렬 곱셈을 많이 해야
1020. 43:12되는 거죠
1021. 43:14자 그런데
1022. 43:17이렇게 하는 방법이 있는 이렇게 하는
1023. 43:19거와 자 그림 비번을 보면
1024. 43:23컨트롤 포인트 4개에 대해서만
1025. 43:26회전 번호를 먼저 하고요
1026. 43:2890도 회전변을 하고 나서 그리고
1027. 43:31나서
1028. 43:33매개변수
1029. 43:343차 배째 곡선에 대해서 t에 대해서
1030. 43:370.1씩
1031. 43:38점을 찍으면
1032. 43:40그리고 나서 테셀레이션을 하면
1033. 43:44똑같다
1034. 43:46이거예요
1035. 43:47따라서
1036. 43:49매개변수 방송식으로 나타내면 이렇게
1037. 43:53변환을 할 때도 컨트롤 포인트만
1038. 43:56변환하고 나중에 테셀레이션을 하는게
1039. 43:59훨씬
1040. 44:00효과적이다이 얘기입니다
1041. 44:03컨트롤 포인트를 먼저
1042. 44:04변환을 하고 나서 테셀레이션을 나중에
1043. 44:06하는 것이
1044. 44:08효율적이다 왜냐하면 결과가 동일하기
1045. 44:10때문에
1046. 44:12그렇습니다
1047. 44:14자 이런 식으로
1048. 44:16매개변수 곡선은 테셀레이션에
1049. 44:19적용할 수 있다
1050. 44:21매개변수 t를
1051. 44:220에서 1 사이에
1052. 44:25변수인데 그것을 잘게 쪼개서 점을
1053. 44:27찍고
1054. 44:28인접한 점들끼리 이어붙이면
1055. 44:30테셀레이션이 된다
1056. 44:34자 그리고요
1057. 44:36그리고
1058. 44:39허밋 곡선이라는게 있는데요
1059. 44:42허밋이라는 사람이
1060. 44:44백지열한 사람과 유사하게
1061. 44:47곡선의 방정식을 나타냈는데요
1062. 44:50곡선의 방정식
1063. 44:51허밋이라는 사람이 만들었는데
1064. 44:53허밋이라는 사람은 어떻게 만들었냐면요
1065. 44:59먼저이
1066. 45:09매개변수 방정식을
1067. 45:14허밋이라는 사람은
1068. 45:18원래
1069. 45:18컨트롤 포인트가 일 때 피제로
1070. 45:21P1
1071. 45:22P2
1072. 45:23p3가 있었으면요
1073. 45:26컨트롤 포인트가 4개면
1074. 45:28컨트롤 포인트 4개에 대해서
1075. 45:303차 100제 곡선이 나오잖아요
1076. 45:33선형보관 선영보관 선영보관 그것을 또
1077. 45:37선형보관 또 선영 보관해서 반복하면
1078. 45:403차 배제 곡선이 나왔는데
1079. 45:43허밋이라는 사람은이
1080. 45:45컨트롤 포인트
1081. 45:464개 중에서요
1082. 45:49처음과 끝은 컨트롤 포인트를
1083. 45:51사용하고요
1084. 45:54중간에 있는 컨트롤 포인트 사용하지
1085. 45:56않고
1086. 45:58이
1087. 45:59p0에
1088. 46:01p0
1089. 46:03기울기
1090. 46:06[음악]
1091. 46:07접선의
1092. 46:08방정식
1093. 46:11접선의 방정식
1094. 46:12v0 그다음에 마지막 컨트롤 포인트에
1095. 46:16접선의 방정식
1096. 46:18V3
1097. 46:19즉
1098. 46:20v0와 v3를
1099. 46:22구해서요 4가지로
1100. 46:25곡선을 표현했다
1101. 46:27어떻게 하느냐
1102. 46:29자 허밋 곡선은
1103. 46:32결과적으로 배쪽
1104. 46:34곡선과 동일한데
1105. 46:37시작 포인트
1106. 46:39피제로와
1107. 46:41p3는 사용을 하고요
1108. 46:43p1과 p2는 쓰지 않고
1109. 46:45피제로의
1110. 46:47접선벡터
1111. 46:48p3에 접선벡터를 구해서 그것을
1112. 46:51사용했다
1113. 46:52자 그러면
1114. 46:55피제로의 접선 벡터는
1115. 46:57p0에 접선벡터는 어떻게 구하느냐
1116. 46:59먼저 우리 배째 곡선 3차 배째
1117. 47:03곡선을 수식을 외워야 된다 그랬죠
1118. 47:051-t^3
1119. 47:07+ 3배 t에 1만
1120. 47:09P1
1121. 47:10+ 3배 t 제곱의 1 -t의 P2
1122. 47:14+ t 세제곱의 p3
1123. 47:16자 접선을 나타내려면 미분을 해야
1124. 47:19되니까 자 미분을 합니다 미분
1125. 47:22t에 대해서 미분하면
1126. 47:25자
1127. 47:26겉미분 속미분
1128. 47:27겉미분 3배
1129. 47:291마티의 제곱 그리고
1130. 47:32[음악]
1131. 47:33속미분
1132. 47:34-t가 -가 앞으로 나오죠
1133. 47:37그 다음에 마찬가지로 또 미분을
1134. 47:40합니다
1135. 47:43미분을 또 하고요
1136. 47:45그것에 대해서 이렇게 미분한 미분을
1137. 47:49하고 나서
1138. 47:51이 p0에
1139. 47:54접선의 방정식은요
1140. 47:56t에서이 pt에서 t가 0이면
1141. 48:00t가 0이면
1142. 48:02p0에 기울기 벡터가 되겠죠
1143. 48:05t가 0이면
1144. 48:07따라서 여기서 t 대신 0을
1145. 48:08집어넣으면
1146. 48:12결국
1147. 48:13p0에 접선의 방정식은
1148. 48:183배
1149. 48:20P1 - p0가 된다
1150. 48:24따라서
1151. 48:26P1 대신에
1152. 48:31나타낼 수 있고요 마찬가지로
1153. 48:35끝점
1154. 48:36p3의
1155. 48:38접선 벡터
1156. 48:39v3는요 PT 미분방정식의
1157. 48:44t 대신 1을 넣으면
1158. 48:46t 대신 2를 넣으면
1159. 48:50결국에 남는 것은
1160. 48:523배의
1161. 48:54p3 -
1162. 48:56p2가 된다
1163. 48:57따라서
1164. 48:58p2는
1165. 48:59p3 -
1166. 49:013분의 1의 v3가 된다
1167. 49:04그래서
1168. 49:08결국은이 3차 배제 옥션에서 p1과
1169. 49:12P2 대신에
1170. 49:13지금 방금 구한
1171. 49:16p1과 P2 대신에
1172. 49:18p0와 3분의 1 v0
1173. 49:20p2는
1174. 49:22p3 - 3분의 1의 v3로
1175. 49:25바꿔치기 하면 이게
1176. 49:29허밋 곡선이다 이게 허밋곡선이다
1177. 49:33별로 중요한 건 아니에요
1178. 49:35허밋 곡선은
1179. 49:39백제 옥션과 동일한데
1180. 49:40피제로 P1 p2p3에서
1181. 49:44p1에 접선벡터
1182. 49:45p3에 접선 벡터 v0와
1183. 49:48v3를
1184. 49:54v0와 v3를 사용하는데 그것을
1185. 49:59p1과 P2 대신에 나타낸다
1186. 50:03그걸 적용하면
1187. 50:05허밋곡선이 되는데
1188. 50:07결국
1189. 50:07백제 곡선과
1190. 50:09동일하다이 얘기입니다
1191. 50:12자 그리고요이
1192. 50:20허밋곡선
1193. 50:22들을 이어 붙이면요
1194. 50:25스플라인이라는 것을 나타낼 수 있는데
1195. 50:27스플라이는
1196. 50:28곡선을 이어 붙인 거예요
1197. 50:30이어붙인 곡선 특히
1198. 50:33험익곡선을 이어붙인다
1199. 50:35스플라잉
1200. 50:36스플라인 피스와이스 커브 커브를
1201. 50:39이어붙였다
1202. 50:41거부를 이어붙였다
1203. 50:47자 커브를 이어 붙여줬고요 자 그
1204. 50:50중에서
1205. 50:52그 중에서 대표적인
1206. 50:54camerm sply
1207. 50:59m
1208. 51:02sply는 제가 아까
1209. 51:07보여드렸던이 예제에서야
1210. 51:13예제에서
1211. 51:25여기 보면
1212. 51:27이 펌프를
1213. 51:29하고 그 다음에요
1214. 51:32테셀레이션 팩터를함에 따라서
1215. 51:34테셀레이션이 되고
1216. 51:37서피스가 서브 디비전이 되고 그거에
1217. 51:39따라서
1218. 51:40각각 옮기고
1219. 51:41해서
1220. 51:42괴물이 만들어주는이 알고리즘을 만든
1221. 51:45사람이
1222. 51:46add cammal이에요
1223. 51:47픽사 설립자
1224. 51:50픽사의 설립자 애드캣멀이었다 그
1225. 51:53애드캣멀 그리고 그
1226. 51:56캠멀과 또 다른 사람
1227. 51:58롬이라는 사람이
1228. 52:00논문을 썼는데 그 논문의
1229. 52:03스플라인 곡선을 만들었다
1230. 52:07camm sply는
1231. 52:10캠벨럼 스플라이는 캡멀이라는 사람과
1232. 52:13롬이라는 사람이 논문을 써서 만든거다
1233. 52:15캠벌은 애드캣멀 그 픽사 설립자
1234. 52:18말하는 거예요
1235. 52:20두 사람이 만든 스플라인
1236. 52:22곡선을 이어붙이는데 어떤 곡선이냐
1237. 52:24허밋 곡선을 이어 붙였다
1238. 52:26그것은
1239. 52:29각각의
1240. 52:30변곡점이 있습니다
1241. 52:32변곡점 곡선을 이어붙인 곡 변곡점이
1242. 52:35있을 때
1243. 52:36각각의
1244. 52:38이 변곡점에
1245. 52:43변곡점에 접선벡터
1246. 52:48변곡점에 접선 벡터는
1247. 52:51qi에 접선 벡터는
1248. 52:54바로 앞과 바로 뒤
1249. 52:57즉
1250. 52:58qi-1과
1251. 53:00qi+e를
1252. 53:03잇는 선분과
1253. 53:06평행하도록
1254. 53:07이어붙였다 그런
1255. 53:10성질로 만들었다 이게
1256. 53:13캣멀럼 스플라인입니다
1257. 53:15스플라인
1258. 53:16곡선을 이어붙였다 자이 스플라이는
1259. 53:19어디에 많이 사용하냐면 카메라 이동
1260. 53:23스무스하게 이동하는 카메라 이런데
1261. 53:24많이 사용합니다 카메라 워킹 같은데
1262. 53:27사용하는 거예요
1263. 53:28캠벨럼 스플라이는
1264. 53:30곡선을 이어붙였는데 허밋 곡선을
1265. 53:32이어붙였는데
1266. 53:33즉 배적 옵션을
1267. 53:36곡선을 이어붙인이 변곡점의 접선
1268. 53:39벡터는
1269. 53:41인접한 변곡점을 이은 선분의
1270. 53:44기울기와 같다이 얘기에요
1271. 53:48인접한
1272. 53:49변곡점을 잇는 선분과
1273. 53:51평행하다
1274. 53:53기울기가 같다 이게
1275. 53:59이용해서
1276. 54:06camblem sply
1277. 54:11할 수 있다 응용은 할 수 있다 자이
1278. 54:14응용 사례는 뒤에
1279. 54:16연습문제에
1280. 54:18실제로 수식을
1281. 54:21구하는 걸로 나옵니다
1282. 54:23캠벨럼 스플라인을 통해서
1283. 54:25카메라 웍을 한다 보시면 카메라
1284. 54:29웍을 하는이 캠벨럼 스플라인을 보면
1285. 54:32요렇게
1286. 54:34곡선을 이어붙였어요
1287. 54:36t가 0일 때 t가 0.1일 때
1288. 54:380.2일 때 0.5일 때 이런 식으로
1289. 54:42매개변수 곡선으로 나타냈다
1290. 54:46자
1291. 54:48그때이 카메라의 경로는 PT
1292. 54:52카메라의 경로는 t의 매개변수
1293. 54:54방정식으로 나타냈다
1294. 54:56캠벨럼 스플라인 곡선을 이어붙인
1295. 54:58스플라인드로 나타냈다
1296. 55:01자 그것을 카메라의 위치
1297. 55:04pt를 i라고 하자 pt를 i라고
1298. 55:06하자
1299. 55:08자 그러면
1300. 55:10i는
1301. 55:13카메라의 위치가 되는 거고요 카메라가
1302. 55:16바라보는 지점 n은
1303. 55:19원점이라고 합시다 원점 그 사이에
1304. 55:22주전자가 있어요 그리고
1305. 55:24업백터는 y축이라고 합시다 어 어디서
1306. 55:27많이 보던 거네요 카메라의
1307. 55:29외부 파라미터 3개
1308. 55:31I
1309. 55:34그 다음에 카메라 카메라의 위치 아이
1310. 55:36카메라가 바라보는 지점 at 그
1311. 55:39다음에 업이 세 가지가 카메라의 외부
1312. 55:41파라미터 3개죠
1313. 55:43카메라의 외부 파라미터 3개가 있으면
1314. 55:46uvn을 구할 수 있다 그랬어요
1315. 55:48카메라 공간의
1316. 55:51기저 uvn을 구한다 그랬어요 uvn
1317. 55:55카메라가 바라보는
1318. 55:57카메라가 바라보는 방향의 반대
1319. 55:59방향으로
1320. 56:00엔 벡터를 먼저 구한다 그랬어요
1321. 56:01아이가 S 바라보는 반대 방향으로 m
1322. 56:04벡터를 구한다 그리고
1323. 56:06업과 n을 외적 해서 u를 구한다
1324. 56:09했고요
1325. 56:10n과 u를 외적 해서 v를 구한다고
1326. 56:12했어요 2장에서
1327. 56:13했어요
1328. 56:15이것은
1329. 56:17uvn 구하는 것은
1330. 56:19연습문제 또 나와야
1331. 56:20뒤에 연습문제 제가 또 설명드리도록
1332. 56:24하겠습니다 하여간
1333. 56:27카메라의 경로 i는
1334. 56:30스플라잉 곡선을 나타낸다 카메라가
1335. 56:32바라보는 지점은 앱
1336. 56:34업백터가 있고요 이런 식으로 됐을 때
1337. 56:38자 t가 0이면
1338. 56:40즉
1339. 56:41요 스플라잉 곡선에서
1340. 56:44t라는 pt는 계속 움직이는데 t가
1341. 56:460이면 위치가 0인 거죠 여기에서
1342. 56:48이렇게 바라보면
1343. 56:51여기서 이쪽 원점을 바라보면
1344. 56:55원점을 바라보면 주전자는 왼쪽에 있다
1345. 56:58원점을 바라보면
1346. 57:02자 그리고
1347. 57:03t가 0.5일 때
1348. 57:06t가 0.5일 때
1349. 57:07원점을 바라보면
1350. 57:10t가 원점을 때 원점을 바라보면
1351. 57:12주전자가 가운데 보인다
1352. 57:16t가 1일 때
1353. 57:18원점을 바라보면
1354. 57:21t가 1일 때 원점을 바라보면
1355. 57:24주전자는 오른쪽에 있다
1356. 57:26요거죠
1357. 57:27이런 식으로 카메라가
1358. 57:30곡선을 따라서 움직이는 것을
1359. 57:33캡멀라는 스플라인 스플라인으로 나타낼
1360. 57:36수 있다 이겁니다
1361. 57:39자 그리고요 이번에는 응용사례에서
1362. 57:42카메라와 카메라 애니메이션을
1363. 57:45나타내는데
1364. 57:47아까처럼 카메라는
1365. 57:50카메라 위치 아이는
1366. 57:53camm spline으로 나타내는데
1367. 57:55그것은
1368. 57:57카메라의 위치는 pt가 아니라
1369. 58:00qt라고 하겠습니다 왜냐면 오브젝트도
1370. 58:03움직여요 오브젝트는
1371. 58:06오브젝트는
1372. 58:08티팟은
1373. 58:10티팟은
1374. 58:12이렇게
1375. 58:35티팟
1376. 58:37티팟에 주전자의 경로는
1377. 58:40pt라고 할게요 그리고 아까는
1378. 58:43원점을 바라봤는데 이번에는
1379. 58:46바라보는게
1380. 58:47주전자의 주둥입니다
1381. 58:50그런데이 주전자가
1382. 58:53직선을 따라 움직여요
1383. 58:55직선을 따라 움직인다
1384. 58:59직선을 따라 움직이고 있다
1385. 59:04t가 0일 때 t가 0.5일 때 t가
1386. 59:061일 때 이렇게 직선을 따라 움직인다
1387. 59:10업백터는 y축이다
1388. 59:12오브젝트도 움직이고 카메라를 움직인다
1389. 59:15근데 카메라는 오브젝트를
1390. 59:17계속 바라본다 주전자를 바라본다 자
1391. 59:20그랬을 때 t가
1392. 59:220일 때
1393. 59:23t가 0이면 카메라는 여기 있고요
1394. 59:26주전자는 아래 있어요 약간 아래 있다
1395. 59:28거기서 이렇게 바라본다
1396. 59:32그러면
1397. 59:35주전자 끝을 바라보고 있고요
1398. 59:38주전자 끝을 바라보고 있다 오른쪽에
1399. 59:41주전자가 있다
1400. 59:44키가 0.5일 때 이렇게 바라본다
1401. 59:47t가 0.5일 때 주전자 끝을
1402. 59:49바라보고요 주전자는
1403. 59:51앞에 있다
1404. 59:52올라가고 있는 거예요
1405. 59:56t가 1일 때
1406. 59:59주전자는 올라갔죠
1407. 1:00:01t가 이럴 때 주전자 끝을 바라보면
1408. 1:00:03t는
1409. 1:00:04높이 우러러 보게 되는 거예요 그리고
1410. 1:00:07왼쪽에 있다 이렇게
1411. 1:00:10카메라의 경로와 오브젝트의 경로가
1412. 1:00:14각각
1413. 1:00:15카메라의 주전자의 경로는 매개변수
1414. 1:00:18방정식 1-t의 피제로 플러스
1415. 1:00:21t의 P1 1차 방정식이고요 카메라의
1416. 1:00:25경로는 배제곡선 3차방정식
1417. 1:00:28혹은 2차방정식 이런 식으로 나타낼
1418. 1:00:30수 있다 여기서는
1419. 1:00:36연습 문제에서 그대로 해 볼 겁니다
1420. 1:00:40연습문제에서 해 볼거다
1421. 1:00:43자 그래서
1422. 1:00:46곡선 같이 해봤습니다
1423. 1:00:50수고하셨습니다 여기까지 하겠습니다