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12 Teoría de Muestreo — Transcript

by Ezequiel I. Espinosa R. · 3,757 words · 569 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00en este vídeo vamos a ver lo que es el
0:04la teoría de muestreo
0:07esta teoría me da las bases matemáticas
0:10para principalmente lo que es la
0:12conversión de señales analógicas y
0:15digitales no vamos a ver circuitos nada
0:17de eso es la pura teoría matemática en
0:19la que está fundamentada la conversión
0:21de señales o el muestreo de señales ok
0:25vamos a empezar con esta teoría de
0:28muestreo como les decía en muchas
0:31aplicaciones es útil representar una
0:34señal en términos de valores muestran
0:37tomados en intervalos espaciados
0:39aproximar apropiadamente ya habíamos
0:41hablado algo de esto un poquito de que
0:44una señal podríamos tomarla a través de
0:45valores muestra mediante impulsos
0:47unitarios bueno esa función muestreada
0:51sampling de s la puedo representar
0:53simplemente como una sumatoria de
0:55impulsos unitarios
0:58en el té en un día cada una en un
1:00instante en el que cada impulso
1:03literario va a tener la amplitud de esa
1:05función en el instante en que es decir
1:09esa silla muestra la puedo representar
1:11de esta manera un 30 y por sanitarios
1:14cuya amplitud es la
1:16es el valor que tiene esa función es en
1:18ese instante que fue muestreo para cada
1:21valor de en 1234 infinitos ganas de ver
1:24es infinita infinito estrictamente
1:26hablando el intervalo donde t es el
1:28intervalo demuestro que me dice el
1:30teorema de muestreo me dice que si una
1:34función de tiempo
1:35efe no contiene componentes de
1:38frecuencias superiores a fm ciclos por
1:42segundo entonces
1:43efe dt se puede determinar por completo
1:46mediante sus valores de paros por
1:48intervalos uniformes menores a 1 / 2 fm
1:53segundos eso tiene un nombre que lo
1:55vamos a ver
1:57ok me repito esto es pura teoría
2:00matemática del teorema de convolución el
2:04teorema de convolución vamos a tener que
2:06dos funciones la transformada de fourier
2:09de dos funciones en el tiempo
2:10multiplicadas va a ser esto que yo tengo
2:13aquí o también puede ser expresado de
2:15esta manera es el teorema de convolución
2:17donde efe uno de omega en la
2:20transformada de fourier de la función
2:22uno en el tiempo y f2 de omega la
2:25transformada de fourier df dosis de en
2:28el tiempo decir simplemente sus
2:30respectivas transformadas de cada uno de
2:31ellos efe dt no tiene componentes
2:35frecuenciales superiores a fm ciclos por
2:37segundo entonces efe dt es una función
2:41de banda limitada lo cual significa que
2:45la transformada de fourier que es decir
2:47la función de omega que la transformada
2:50de fourier de esa función de t es igual
2:52a cero para intervalos que observa lo
2:55absoluto de omega mayores a m es igual w
2:58m2 pf es decir
3:01que la señal que se llama de banda
3:03limitada únicamente tiene un espectro
3:06cuando ya el exactos transformada de
3:08fourier que pasa el dominio del tiempo
3:10al dominio de la frecuencia esta señal
3:12únicamente vale en este pequeño
3:15intervalo de menos o mega m a omega m
3:18para cualquier otro valor que no esté
3:21dentro de este intervalo esa función
3:23vale cero para que esto ocurra esta
3:26señal tiene que ser como le repito
3:28demanda limitada solamente existir ante
3:31un pequeño intervalo de tiempo ok
3:33una señal de banda limitada hizo un
3:35aspecto en frecuencia o sea tu
3:37transformada a definir
3:40si se considera a fs de una función
3:43muestreada definida por el producto de
3:45la función
3:46efe dt y el impulso unitario del tapete
3:50este que es una función periódica de
3:53impulsos unitarios entonces esa función
3:56muestra es igual a efe bueno fue en el
3:59instante a la función por el impulso
4:02unitario el impulso unitario en el valor
4:04de teva a tomar el valor que tenga esa
4:07función durante ese instante de tiempo y
4:09eso le impulsó un éter vamos a verla
4:11antes de seguir con esto que son cómo
4:14representar los impulsos unitarios en
4:15tiempo y frecuencia bueno los tiempos
4:17los pulsos unitarios este aquí tengo un
4:19tren de impulsos frontales no nada más
4:21eso no son varios pulsos unitarios en el
4:24instante de tiempo si yo le sacó su
4:27transformada de fourier a un tren de
4:28impulsos unitarios me da otro tren de
4:31impulsos unitarios pero visto de esta
4:33manera una amplitud omega 0 y una
4:36secuencia de recursos unitarios
4:37separados omega 0 los pies de donde
4:39quede la separación es muy diferente si
4:42ustedes recuerdas transformada de
4:43fourier la transformada de un solo
4:45impulso unitario
4:46a la de un tren de impulsos unitarios
4:48tengo recursos sanitarios en el dominio
4:51del tiempo y su respectivo transformada
4:55en el dominio de la frecuencia a partir
4:58de entonces de la definición del creen
5:00periódico de impulsos unitarios es un
5:03tren de impulsos unitarios estado de
5:05esta manera matemáticamente el tren de
5:07impulsos y la sumatoria desde -1 bueno
5:10desde y menos infinito infinito del
5:12creando impulsos en ciertos instantes de
5:14tiempo
5:14nt puede ser 1234 así sucesivamente a
5:18esto significa esto es matemáticamente
5:20esta función
5:23entonces a partir de estos conceptos
5:27se tiene que la función muestra la fs dt
5:31es igual a ft multiplicada por el tren
5:35de impulsos que exceden es haciendo aquí
5:37que por un tren de impulsos ya no nada
5:41más por uno reacomodando simplemente la
5:43sumatoria la ponemos aquí afuera y
5:45tomando en cuenta que f tiene nada más
5:49va existir entonces para ciertos valores
5:50esta función muestra lo que me dice aquí
5:53es que va a tener nuevamente les repito
5:56los valores que tenga esa función en
5:59este instante de tiempo
6:00la ecuación 1 muestra que la función efe
6:03de esta ecuación 1 es una sex sucesión
6:06de impulsos localizados a intervalos
6:08regulares de t segundos y cuyos valores
6:11son iguales a efe dt en los instantes de
6:14muestreo es decir por ejemplo tengo esta
6:17señal que es la que voy a mis impulsos
6:20esta señal que voy a mostrar
6:23a lo largo la multiplicación la
6:25convulsión de entre estas dos señales y
6:28lo que voy a obtener es una función como
6:30ésta que tengo aquí donde cada impulso
6:33en este caso tenían las amplitudes por
6:36decirlo de una vez y vamos de uno pero
6:39una vez que se convulsiona con estas a
6:42multiplicar con este cada impulso va a
6:45tener el valor durante el instante de
6:48tiempo en el que forme este así este es
6:4990 desde antes tanto de tiempo durante
6:51éste tiene este valor durante este tiene
6:53este valor durante este continuo de este
6:55valor y voy a tener entonces que los
6:57impulso unitarios van a tener esta forma
7:00van a estar de alguna manera con esta
7:02envolvente de la función muestra que
7:05ellos tengo ahí y nada más son una
7:07secuencia de impulsos con esta amplitud
7:09que recuerdo cada impulso unitario va a
7:12tomar el valor de la amplitud que tenga
7:15la función durante el instante de tiempo
7:16en el que fue maestría y me vaya a
7:19quedar
7:20de esta manera ok entonces de la
7:24transformada de fourier del creal de
7:26impulsos unitarios que viene dada por
7:27ésta o sea también puedo sacar
7:29transforma
7:30el saco a transformar y diera un impulso
7:33me da de este valor entonces para el
7:35tren de impulsos unitarios que hagamos
7:37queda esto que tenía aquí de acuerdo con
7:39el teorema de convolución en la
7:41frecuencia que tengo lo siguiente la
7:43transformada de fourier de la función
7:45muestra la que es ésta que tengo yo aquí
7:47efe de s
7:49es igual a fs de omega simplemente la
7:52estoy pasando de este dominio en el
7:53tiempo aquí está en el dominio del
7:54tiempo a un dominio de la frecuencia
7:56mediante una transformada de fourier
7:57pues entonces simplemente la conversión
8:00de la fed de la transformada de esta
8:03función en el dominio de la frecuencia
8:06multiplicada por los trenes de impulso
8:08que tengo yo aquí y eso está bueno
8:11matemáticamente es esto
8:13sustituyendo omega 0 como 27 se tiene
8:16los siguientes crs se puede reescribir
8:18de esta manera no mediante el tren de
8:22impulsos de esta forma que yo tengo aquí
8:25simplemente se reacomoda y se rebautiza
8:28en estos 103 un reacomodo de los
8:29términos y me va a quedar esta expresión
8:32que tengo aquí la sumatoria la pasa para
8:34acá ok
8:35esta expresión que voy a llamar 2
8:39se sabe de los cursos de
8:42este de fourier que la conducción de una
8:46función de ft por un pulso es igual a la
8:49función ft que ft convulsionada por un
8:51pulso de un instante de esa función
8:54multiplicó en nuestra función desplazada
8:57igual por consiguiente el resultado en 2
8:59este resultado
9:03puede ser expresado de esta manera como
9:06lo vemos aquí la ecuación 3 ésta muestra
9:10que la transformada de fourier de fcc se
9:13repite cada omega 0 segundos
9:17estás en el dominio del tiempo esta es
9:19en el dominio de la frecuencia es decir
9:22tengo el mismo espectro que tiene esta
9:26señal pero repetido en de veces y
9:28espaciado la cantidad bueno de la que
9:30omega espaciado centrado omega 0
9:32enérgicas omega 6 y omega 0 luego todos
9:35omega son múltiplos de omega seo
9:37funciona en el dominio del tiempo
9:39funciona en el dominio de la frecuencia
9:41ok de la señal muestra entonces
9:45efe omega se repetirá periódicamente sin
9:48solaparse en tanto que omega 0 sea igual
9:52a 2 omega me2030 2 sea mayor o igual a 2
9:56por 2 p
9:57efe m es decir el periodo tiene que
10:01cumplir con esto que tenemos aquí
10:03mientras se tomen muestras de ft a
10:06intervalos regulares menores de 1 / 2 fm
10:10segundos el espectro de fourier de fs
10:13será una réplica periódica de efe de
10:15omega y contendrá toda la información
10:18acerca de ft que va a ocurrir si por
10:21ejemplo estos espacios se hacen más
10:27pequeños o más grandes más bien aquí si
10:30si yo hago el muestreo más grande esto
10:34se va a achicar y se van a solapar una
10:36con otra se van a juntar estas dos
10:38señales y es lo que no quiero para q
10:40para que eso no pase debo cumplir con
10:43este requisito el intervalo máximo de
10:46muestreo se denomina a veces intervalo
10:49de nightwish debo de cumplir con mi
10:51intervalo de nightwish cuales es este
10:54que tengo yo aquí para que para que
10:57estos aspectos no se me salen porque
10:59recuerden estamos hablando de ondas y se
11:02solapan me producen efectos de éste
11:06de fenómenos de interferencia consultiva
11:10destructiva entre ellas tras fin de
11:11cuentas son ondas y ya no voy a poder
11:14recuperar la onda original es por eso
11:17que debo de cumplir con este requisito
11:19el requisito de nike es lo que tengo
11:22aquí bueno siendo reducido de esta
11:24manera tengo mi función de banda
11:26limitada como ésta ésta me presenta un
11:30espectro de furia de lesa cola
11:32transformada de fourier y me saca y
11:33tengo esto que tengo aquí es el espectro
11:35en función de la frecuencia esta función
11:39yo la
11:40este
11:43la convulsión o con una serie de
11:44impulsos voy a tener esto que tengo aquí
11:46impulsos que tienen amplitud d
11:50el punto en donde fue maestría 2 y fue
11:53mostrado aquí entonces tomaste amplitud
11:54sin forma estoy aquí toma este y así la
11:57amplitud de cada impulso y la
11:58transformada de fourier de estos
12:00impulsos es esto que yo tengo aquí son
12:04las réplicas este mismo aspecto
12:05replicado 1 2 3 4 así n cantidad de
12:09veces ok
12:11pues es el resumen de lo que haríamos
12:13hasta ahorita consideramos una señal de
12:15banda limitada ft muestreada a una
12:18mínima rata requerida que es de 12 fm
12:21por ciento entonces tengo esto una
12:24función ft de banda limitada su función
12:27muestreada es decir ya convulsionado con
12:29una serie de impulsos que me da esto la
12:31función f dt muestra da simplemente son
12:33los impulsos con estambul 20 se paga
12:36usted como t es igual a 1 entre 12 fm
12:40entonces omega 0 es igual a 2 pídete es
12:43igual al juego podemos ver como 4 fm es
12:47igual a 2 omega m y si la función
12:50muestreada viene dada por esta expresión
12:51que simplemente era nuestra sumatoria de
12:54impulsos cuya amplitud
12:56va a ser la de la señal entonces es una
12:59función función periódica de omega es
13:02una función periódica cuyo periodo es
13:04omega omega 0 y se puede expandir en una
13:07serie de fui a lo que voy a hacer
13:08ahorita a continuación es esta señal
13:11expandirla en una serie de fui a por qué
13:13porque es una función periódica se me
13:15están repitiendo los impulsos con un
13:17cierto periodo t y entonces no solamente
13:21las funciones en tiempo pueden
13:22expresarse en series de fourier también
13:24como vamos a hacer las funciones en el
13:26dominio do menor entonces el dominio de
13:28omega
13:30una serie de furia viene dada de esta
13:33manera ya no es la misma que la del
13:35tiempo nada más que falta en función de
13:36omega y entonces necesito encontrar el
13:39valor ce de la función exponencial
13:41completa ok para encontrar ese valor
13:44tenemos esta fórmula adecuada estas
13:47condiciones en donde esto en función de
13:49omega y 9 o de x
13:52entonces aplicamos está integrada me voy
13:55a tener esta mega que tengo que bueno
13:57perdón esta cn que me va a dar aquí que
13:59a fin de cuentas este fn la sustituyó en
14:03mi función que tengo esta es la función
14:05que recuerden que es la que tenía acá la
14:07voy a sustituirse de n entonces bueno
14:10primero sustituye ya deje de hablar de
14:12dos pero este lo puse en función del
14:15periodo t y tengo aquí sustituyó el
14:18valor de n y me da esta función que yo
14:20tengo aquí ok es esta función expresada
14:26en series de fourier ok
14:31bueno vamos a hacerlo más puesto que la
14:34función muestra da es igual a efe
14:37para este intervalo es decir
14:41para este intervalo para nada más de
14:44humedad a humedad m
14:47se cumple esto
14:49la función muestral es igual a este
14:52valor para este intervalo con este es
14:54puro intervalo puedo yo recuperar
14:56diseñar original nada más con esta sin
14:59necesidad de las réplicas con solo este
15:01valor ok entonces para recuperar este
15:05solo tengo que pasar al dominio del
15:08tiempo como luego en el dominio del
15:09tiempo transforma la inversa fui que
15:11viene dada por esta expresión que
15:13tenemos aquí nada más sacó cálculo la
15:16integral de uno entre dos pide menos
15:18omega me df para este intervalo de menos
15:21omega aumento que sería el mismo de la
15:23señal se obtiene entonces todo hasta que
15:26veamos aquí la integral porque al fin de
15:28cuentas efe de omega como la sacamos
15:30anteriormente me estás diciendo aquí
15:32está aquí es la misma resta
15:36esta y estas son iguales entonces
15:42nos da todo este monstruo de ecuación
15:44entonces podemos reacomodar los términos
15:47me queda la fuerza la función de esta
15:49manera resuelvo la integral ésta me da
15:52una función que se me sean seno cardinal
15:54ustedes llaman algunos nombres que le
15:57ponen sea un argumento un país que
15:58responde nuestros libros bueno como sea
16:00esta función y menos aquí tengo menos
16:04cnt pero puedo cambiar la antt porque
16:06menos dts de menos en el cn se reemplazó
16:11a n porque todos los valores positivos
16:12negativos ya están involucrados en la
16:15sumatoria de su material de negativo
16:17desde menos infinito hasta infinito ya
16:19viene ahí todos los signos entonces esta
16:21función
16:24puesto que te es igual a 72 entre húmeda
16:28pero mega m la de muestreo la expresión
16:306 esta expresión 6 se pueden expresar
16:34también de esta manera ft es igual a la
16:38sumatoria de la función seno argumento
16:42será un argumento seno cardinal
16:43multiplicada por cuya amplitud va a ser
16:47fnp entre megan es la expresión 6 indica
16:51que cada muestra de la función está
16:53multiplicada por una función muestreador
16:56a la sampling es igual a ésta que tengo
16:59aquí y todas las formas donde resultante
17:02se pueden a partir de todas las formas
17:03donde arrastran se puede obtener ft
17:06si yo graficada esta función
17:09voy a tener esto que tengo aquí es decir
17:12una sumatoria de funciones es lo
17:14cardinales con valores con sus máximos
17:18ubicados en t1 t2 t3 t4 y que hace en su
17:21conjunto todas ellas me van a ayudar a
17:24reconstruir la señal original con
17:28electrónica probaría con
17:29y entonces con los capacitores que vayan
17:32siguiendo la curva y así es como se
17:34reconstruiría una señal a partir de el
17:37espectro de una señal muestran ahora
17:40ahora bien
17:43sabemos
17:45deberían saber lo que es un impulso
17:49genera un impulso en la realidad es muy
17:52muy difícil si no es que imposible
17:56como entonces se muestra muestreo
17:58natural el músculo real demostró que
18:00hacemos con nuestra electrónica pues
18:02simplemente es que a esta señal durante
18:05un pequeño instante de tiempo pues va a
18:07estar conectado primero mediante un
18:09switch tomó una pequeña muestra racial
18:11luego voy a tirar una pequeña me voy a
18:13decir y este switch va ser comer bauer
18:16dependido la frecuencia programada el
18:18periodo la muestra ahora mi señal
18:19electrónicamente hay muchas formas de
18:22hacerlo una forma de ésta sería mediante
18:24un puente de dios con que tengo aquí en
18:26donde yo controlo en qué momento se
18:28prende los diodos a través de un sistema
18:29bueno de un reloj 555
18:33entonces tengo mi señal muestra muestre
18:36que tengo aquí a la entrada la cual
18:40cruza por este circuito con el
18:42interruptor durante ciertos cinco este
18:44tiempo abrí cierro y voy a tener esto
18:47que tengo aquí mi señal ya mostrar ya no
18:49tengo impulsos tengo pequeños pulsos
18:51cuadrados estrictamente hablando tampoco
18:53que me puede generar impulsos cuatros lo
18:56que sabemos es que se me generan con una
18:58cierta pendiente así
18:59pero bueno hablemos de que tiene
19:01impulsos que son cuadrados como estos
19:03tengo esta señal muestra la mediante
19:06pequeños rectángulos ok entonces lo que
19:09ocurre nuevamente lo mismo esta señal la
19:11que entra
19:14en mi circuito muestreador a la entrada
19:16del circuito mostrador tiene su
19:18transformada de fourier
19:20para de esta manera usar su aspecto de
19:23esta señal en el dominio la frecuencia
19:24es esta
19:26tengo mis impulsos mostradores realmente
19:29se encarecieron lo cierro mi circuito
19:31cuya transformada de fourier es está en
19:34el dominio del tiempo en el dominio de
19:35la frecuencia es una serie de impulsos
19:38unitarios cuya amplitud va siguiendo la
19:41funda
19:43la función seno argumento selo cardinal
19:46de esta manera entonces la función
19:48muestreada es decir está con esta me va
19:51a dar resultado está puros impulsos con
19:54esta amplitud cuando no son impulsos son
19:56rectángulos con esta amplitud y el
19:59espectro de fuerte de esta señal es éste
20:02aquí yo tengo aquí son las mismas son
20:04réplicas de esta que está aquí por
20:06cuestiones de espacio pues no lo puede
20:09hacer escala pero son las mismas que
20:11tengo aquí que se nuevamente se me
20:13repiten pero en sus amplitudes ya no son
20:15las mismas van cambiando van siguiendo
20:17el mismo patrón que tiene esta que yo
20:19tengo aquí
20:20ese es el muestreo digamos el natural el
20:24real que se podría ser pero aún así se
20:26puede reconstruir pues volver a tomar
20:27nada más este intervalo de frecuencias i
20:31reconstruir mediante circuitos que van
20:33electrónica mi señal nuevamente de
20:36analógica visitada ok
20:41pero va a ocurrir los siguientes efectos
20:43al jazz
20:45en la práctica no se puede alcanzar el
20:48potencial total del teorema de muestreo
20:50y la expresión esta que tengo aquí sirve
20:54solamente como un tope superior del
20:56desempeño real porque primeramente por
20:59el totales y al cabo de decir que yo
21:02podría reconstruir la señal a partir
21:03simplemente de tomar nada más este
21:07espectro de una frecuencia como lo hago
21:09porque a fin de cuentas tengo todas las
21:11demás réplicas a través de un filtro
21:13pasaba casi nada más quiero que pase
21:15esta acción la respuesta ideal sería
21:18esta que tengo yo aquí
21:20pero ya vimos que los filtros ideales no
21:23existen los filtros reales tienen una
21:26pequeña pendiente como ésta quizás un
21:29poquito más pronunciada y así iban a
21:32tomar entonces pequeñas componentes
21:34porque muestras pequeñas este intervalos
21:37que corresponden a otro respecto que ya
21:40no corresponde a este y entonces
21:43componentes de frecuencia de las
21:46réplicas espectrales se pueden
21:48transmitir a través del filtro estos y
21:50recuerden son ondas lucha ya no me va a
21:53permitir reconstruir de manera
21:54totalmente fiel estas frecuencias
21:57espurias no las quiero explicar así se
21:59llaman frecuencias escorias se pueden
22:01mitigar incrementando la tasa de
22:03muestreo en los sistemas prácticos de
22:06software muestra qué quiere decir esto
22:09el muestreo entre más corto sea este
22:14intervalo t entre más juntos sean yo
22:17tengo que estos se me separan aquí se me
22:21van separando entre más grande sea la
22:24separación que hay entre este por
22:27ejemplo que tuviera aquí una de la otra
22:29estos se me van juntando son
22:30inversamente proporcionales 14 lo ideal
22:33siempre es tener un sobremuestreo un
22:37ejemplo muy claro en un archivo de audio
22:39ustedes conviertan los de un cedé y
22:40muestre este no es la misma calidad a
22:44128 bits 400 tantos mil por segundo la
22:48muestra busca cantidad de muestras el
22:50más grande entre más graves y tiene una
22:52mejor calidad es esto lo que ocurre
22:54sistemas de sobre muestreo
22:56ok otra cosa que va a ocurrir una señal
23:00limitada en el tiempo nunca es
23:03especialmente estrictamente de banda
23:06limitada hasta ahorita dijimos que las
23:08señales como éstas se dan demanda
23:11limitada únicamente existiendo un
23:13intervalo de menos omega a omega nada
23:16más pero no es así una señal como está
23:19en el mundo físico real no pues creo que
23:22no existe en el mundo físico real tiende
23:25a un valor que si se aproxima a cero
23:27pero no es cero no hay un corte tal cual
23:30y entonces lo que ocurre es que cuando
23:33dicha señal es mostrada existirá un
23:35traslape de las componentes espectrales
23:37en lugar de tener
23:39algo como esto en donde termina así voy
23:43a tener algo como esto que se me está
23:45solapando trasladando una tras otra y si
23:48yo quiero hacer el corte de aquí hasta
23:50acá nada más pues voy a tener de todo en
23:53esta zona se me está trasladando entre
23:55mi señal de imprime esta réplica y la
23:57otra réplica que tengo yo aquí y al
23:59reconstruir la señal las componentes de
24:01frecuencias originales localizadas por
24:03encima de la mitad de la frecuencia de
24:07muestreo aparecerán por debajo de este
24:09punto y serán transmitidas por el filtro
24:11para sabah así con el cerramiento este
24:14efecto se conoce como alias y el
24:15resultado es la distorsión de la señal
24:19es decir va a ocurrir esto bueno

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